机器人学_第二讲 齐次变换矩阵
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机器人学技术基础课程-位姿描述和齐次变换
2、齐次变换在研究空间机构动力学、机器人控制算法、计算 机视觉等方面也得到广泛应用。
位姿描述与齐次变换
1 刚体位姿的描述 2 坐标变换 3 齐次坐标系和齐次变换 4 齐次变换矩阵的运算 5 变换方程
2.1 刚体位姿的描述
为了完全描述一个刚体在空间的位姿，通常将刚体与某 一坐标系固连，坐标系的原点一般选在刚体的特征点上，如 质心、对称中心等。
YˆB ZˆA
ZˆB Xˆ A ZˆB YˆA
ZˆB ZˆA
XB n
2.1.4 旋转矩阵的意义
若坐标系B可由坐标系A,通过绕A的某一坐标轴获得,则绕 x,y,z三轴的旋转矩阵分别为：
1 0 0
c 0 s
c s 0
R(x, ) 0
Ay
y
所以： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
2.1.2 方位的描述
矢量： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
模的计算： | A | Ax2 Ay2 Az2
z
Az
A
方向角与方向余弦：, ,
o
Ay
Ax
y
x
cos Ax = A aˆx , cos Ay = A aˆy , cos Az A aˆz
两矢量的叉积又可表示为：
aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
2.1.2 方位的描述
空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系{B}的三 个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述.
BAR n o a a
位姿描述与齐次变换
1 刚体位姿的描述 2 坐标变换 3 齐次坐标系和齐次变换 4 齐次变换矩阵的运算 5 变换方程
2.1 刚体位姿的描述
为了完全描述一个刚体在空间的位姿，通常将刚体与某 一坐标系固连，坐标系的原点一般选在刚体的特征点上，如 质心、对称中心等。
YˆB ZˆA
ZˆB Xˆ A ZˆB YˆA
ZˆB ZˆA
XB n
2.1.4 旋转矩阵的意义
若坐标系B可由坐标系A,通过绕A的某一坐标轴获得,则绕 x,y,z三轴的旋转矩阵分别为：
1 0 0
c 0 s
c s 0
R(x, ) 0
Ay
y
所以： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
2.1.2 方位的描述
矢量： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
模的计算： | A | Ax2 Ay2 Az2
z
Az
A
方向角与方向余弦：, ,
o
Ay
Ax
y
x
cos Ax = A aˆx , cos Ay = A aˆy , cos Az A aˆz
两矢量的叉积又可表示为：
aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
2.1.2 方位的描述
空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系{B}的三 个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述.
BAR n o a a
齐次变换矩阵在机器人运动学中的应用
LIU Feng
（Hunan Institute of Technology，Hengyang Hunan 421002）
Abstract: Matrix is an important mathematical tool for robotics. In this paper, homogeneous transformation matrix was introduced to represent the pose of robot. To be specific, researchers established a proper coordinate system for each joint of the robot, and then used homogeneous coordinates to establish the transformation relationship between two adjacent coordinate systems, and then the kinematics equation of the robot was obtained. Keywords: robot；kinematics；rotation martrix；homogeneous transformation matrix
1 所示，则机械手（工具）的位姿可以由坐标系 {B} 的坐标
原点 o′ 在坐标系 {A} 中的坐标 ( px ,py ,pz)′ 和与 o′x′,o′y′,o′ z′ 正向同方向的单位向量在坐标系 {A} 中的坐标表示。
若记 i′,j′,k′ 表示与 o′x′,o′y′,o′ z′ 正向同方向的单位向
（6）
为了得到 P 在 {A} 坐标系中的坐标，要将 P 在 {B}
（Hunan Institute of Technology，Hengyang Hunan 421002）
Abstract: Matrix is an important mathematical tool for robotics. In this paper, homogeneous transformation matrix was introduced to represent the pose of robot. To be specific, researchers established a proper coordinate system for each joint of the robot, and then used homogeneous coordinates to establish the transformation relationship between two adjacent coordinate systems, and then the kinematics equation of the robot was obtained. Keywords: robot；kinematics；rotation martrix；homogeneous transformation matrix
1 所示，则机械手（工具）的位姿可以由坐标系 {B} 的坐标
原点 o′ 在坐标系 {A} 中的坐标 ( px ,py ,pz)′ 和与 o′x′,o′y′,o′ z′ 正向同方向的单位向量在坐标系 {A} 中的坐标表示。
若记 i′,j′,k′ 表示与 o′x′,o′y′,o′ z′ 正向同方向的单位向
（6）
为了得到 P 在 {A} 坐标系中的坐标，要将 P 在 {B}
机器人的数学基础齐次变换矩阵及其运算ppt课件共38页
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
机器人的数学基础齐变换矩阵及其
运算ppt课件
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
机器人学-运动学部分
本章讲解以串联机器人为主。
运动学研究的问题
Where is my hand?
Direct Kinematics HERE!
运动学正问题
运动学逆问题
How do I put my hand here?
Inverse Kinematics: Choose these angles!
研究的问题:
运动学正问题---已知杆件几何参数和关节角矢量，求操 作机末端执行器相对于固定参考作标的位置和姿态（齐 次变换问题）。
u″ y
-3 oy
4
例2：①先平移Trans (4,-3,7)；②绕当前 v 轴转动9x0º；
③绕当前 wz轴转动90º；求合成旋转矩阵。
z w
v u o(o′) y
w′
o′ v′
u′
o
y
z
o′
v″
w″ u″
oy
z
v```
o′ u```
w```
oy
x
x
x
x
例题2： ∑O´与∑O初始重合，∑O´作如下运动：①绕X轴转动90º；②绕w 轴转动90º；③绕Y轴转动90º。求① T；②改变旋转顺序，如何
0
z
0 0 0 1
第三章 机器人运动学
机器人运动学主要是把机器人相对于固定 参考系的运动作为时间的函数进行分析研 究，而不考虑引起这些运动的力和力矩
把机器人的空间位移解析地表示为时间的 函数，研究机器人关节变量和机器人末端 执行器位置和姿态之间的关系
§3.1 机器人运动学所讨论的问题
旋转才能获得相同的结果。
解①： 1 0
0 0
Rx
0 0
cos 90o sin 90o
运动学研究的问题
Where is my hand?
Direct Kinematics HERE!
运动学正问题
运动学逆问题
How do I put my hand here?
Inverse Kinematics: Choose these angles!
研究的问题:
运动学正问题---已知杆件几何参数和关节角矢量，求操 作机末端执行器相对于固定参考作标的位置和姿态（齐 次变换问题）。
u″ y
-3 oy
4
例2：①先平移Trans (4,-3,7)；②绕当前 v 轴转动9x0º；
③绕当前 wz轴转动90º；求合成旋转矩阵。
z w
v u o(o′) y
w′
o′ v′
u′
o
y
z
o′
v″
w″ u″
oy
z
v```
o′ u```
w```
oy
x
x
x
x
例题2： ∑O´与∑O初始重合，∑O´作如下运动：①绕X轴转动90º；②绕w 轴转动90º；③绕Y轴转动90º。求① T；②改变旋转顺序，如何
0
z
0 0 0 1
第三章 机器人运动学
机器人运动学主要是把机器人相对于固定 参考系的运动作为时间的函数进行分析研 究，而不考虑引起这些运动的力和力矩
把机器人的空间位移解析地表示为时间的 函数，研究机器人关节变量和机器人末端 执行器位置和姿态之间的关系
§3.1 机器人运动学所讨论的问题
旋转才能获得相同的结果。
解①： 1 0
0 0
Rx
0 0
cos 90o sin 90o
计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵
相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵是机器视觉和工业机器人领域中一个非常重要的概念。
对于工业领域的自动化生产，机械臂和相机之间的精确配准是至关重要的，而齐次变换矩阵正是用来描述相机坐标系到机械臂末端坐标系之间的关系的。
本篇文章将深入探讨相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵的计算方法，并且将详细介绍该计算方法的原理和实际应用。
一、齐次变换矩阵的概念和基本原理齐次变换矩阵是一种用来描述坐标系之间关系的数学工具，它可以将一个坐标系中的点映射到另一个坐标系中去。
在工业机器人和机器视觉系统中，我们常常需要将相机坐标系中的点映射到机械臂末端坐标系中，这就需要使用到齐次变换矩阵。
齐次变换矩阵的基本形式如下所示：\[ T = \begin{bmatrix} R & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]其中，\[R\]为旋转矩阵，\[t\]为平移向量。
齐次变换矩阵可以将一个点的坐标\[P\]从相机坐标系变换到机械臂末端坐标系：\[ P' = T \times P \]二、计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵需要以下步骤：1. 确定相机坐标系和机械臂末端坐标系的原点需要确定相机坐标系和机械臂末端坐标系的原点位置。
这两个坐标系的原点通常是相机的光学中心和机械臂末端执行器的中心点。
确定了原点位置之后，我们可以将相机坐标系和机械臂末端坐标系的坐标系原点重合。
2. 计算旋转矩阵接下来，需要计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的旋转矩阵。
旋转矩阵描述了两个坐标系之间的旋转关系。
在实际应用中，可以通过标定相机和机械臂的姿态来获取旋转矩阵。
3. 计算平移向量除了旋转矩阵之外，还需要计算相机坐标系到机械臂末端坐标系的平移向量。
平移向量描述了两个坐标系之间的平移关系。
平移向量可以通过相机和机械臂的空间位置信息来计算得到。
4. 组合旋转矩阵和平移向量将计算得到的旋转矩阵和平移向量组合在一起，就得到了相机坐标系到机械臂末端坐标系的齐次变换矩阵。
第2章 齐次变换(2)
• 先绕 z 轴旋转 90° • 再绕 y 轴旋转 90° • 再沿 x 轴平移 4
z z z1 o1 o x y x o1 o y1 x1 y x z y1 o1 o z1 x1 y y1 o1 x z1 o x1 y z
1 0 T Trans( 4,0,0)Rot ( y,90)Rot(z,90) 0 0
1) p R o t ( x , ) p
A B
得到{B}中的矢量在{A}中的表示
C 2）{C}、{A}重合， {C}再绕YA轴转β p和 A p等价，
3) A p Rot ( y, )C p = Rot ( y, ) A p
4) A p Rot ( y, ) Rot ( x, ) B p
• 绕当前轴
开始{B}、{A}重合，然后先绕XA轴转α 得到新坐标系{C} ，再绕 当前轴YC轴转β得到要求的坐标系{B} 。
A 2) A p C R C p = Rot ( x, )C p
B 1) C p C p = Rot ( y, )B p B R
0 s cc 1 0 ss csc c css 0 c
n o a
oA xA
yA
几个特定意义的齐次坐标：
• • • • [0, 0, 0, n]T [1 0 0 0]T [0 1 0 0]T [0 0 1 0]T — 坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数 — 指向无穷远处的OX轴 — 指向无穷远处的OY轴 — 指向无穷远处的OZ轴
2
[ n, o, a ] 等价于 [ i B , jB , k B ]
• 绕固定轴
开始{B}、{A}重合，然后{B}先绕XA轴转α ，再绕YA轴转β。 刚体位置描述：利用齐次坐标变换可以描述刚体的位置和姿态。刚体上其它 点在参考坐标系中的位置可以由变换矩阵乘以该点在刚体坐标系中的位置获 得。
第二章 机器人数学基础
R3×3 T = O1×3
P3×1 旋转矩阵3×3 = I1×1 O1×3
位置矢量3 ×1 1
若三维空间的位置矢量P表示成齐次坐标，即P＝(px py pz 1) T， 那么利用变换矩阵的概念，对纯转动，3 × 3旋转矩阵可扩展成4 × 4 齐次变换矩阵
齐次变换 规定两矢量的点积为一标量
可以类似用 A R 描述{A} 相对于{B}的方位。 A B R 和 B R 都是正交矩阵，两者互逆。根据正交 A 矩阵的性质有：
B A A A R = B R 1 = B RT
B
xA
xB
§ 2.2
三、复合变换
坐标变换
yC yB yA
Ap Ap
Bp
xB xC
坐标系{B} 的原点与{A}的原点既 不重合，两者的方位又不同时，用位 置矢量ApB。描述{B}的坐标原点相对 B 于{A} 的位置，用旋转矩阵 A R 描述 {B}相对于{A} 的方位，则任一点p在 坐标系{A} 和{B}的描述Ap和Bp具有如 和 下变换关系
物体的变换及逆变换
我们可以用描述空间一点的变换方法来描述物体在 空间的位置和方向。例如，图2.8(a)所示物体可由固定该 物体的坐标系内的六个点来表示。我们可对上述楔形物 体的六个点变换如下：
0 1 0 0 0 1 4 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 4 4 6 0 4 4 1 1 1 = 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 6 4 4 1 1 1 0 4 4 1 1 1
坐标变换
设坐标系{A} 与{B}具有相同的坐标原点，但 两者的方位不同。 A 用旋转矩阵 描述{B}相对于{A} 的方位。同一点p在两个坐标系{A} BR 和{B}中的描述Ap和Bp具有如下变换关系： 和
机器人技术 二、齐次坐标变换
Px d x Py d y Pz d z 1
注：相对固定坐标系的平移，变换矩阵 左乘，公式为
Fnew Trans(d x , d y , d z ) Fold
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
例
纯旋转(相对坐标绕参考坐标X轴）
Px P n
Py l1 l 2 P o cos P a sin
Fobject
nx n y nz 0
ox oy oz 0
ax ay az 0
Px Py Pz 1
第二章 机器人运动学
点、向量和坐标系的齐次表示
约束变量
由刚体（坐标系）在参考坐标系的齐次矩阵表达可知，该矩 阵有12个变量，但描述刚体位姿只需要6个变量（自由度）就 足够了，因此，齐次矩阵中12个变量之间并不是相互独立的， 而是有约束的，约束条件为： 1、三个方向向量相互垂直； 2、每个单位向量的长度均为1。即：
U
PU TR R P
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
纯旋转－例题
旋转坐标系中有一点P（2，3，4），此坐标系绕参考坐标系x轴旋转90 度。求旋转后该点相对于参考坐标系的坐标。
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
复合变换
例 特点：既有平移，又有旋转，而且可以多次。
假设坐标系（n，o，a）相对于参考坐标系（x，y，z）依次进行如下变换： 1、绕x轴旋转 角； 2、平移 l1 l2 l 3 ； 3、再绕y轴旋转 角。
2 2 2 2
2
2
例：有一向量P（3，5，2），请按如 下要求表示成矩阵形式： 1、比例因子为2；
2、表示为方向的单位向量。