3-2.2齐次变换矩阵及其运算
线性代数的矩阵运算
线性代数的矩阵运算矩阵是线性代数中一种重要的数学工具，矩阵运算是线性代数的核心内容之一。
通过矩阵运算，我们可以解决各种线性方程组，研究向量空间的性质，以及进行线性变换等。
本文将介绍线性代数中的矩阵运算，包括矩阵的加法、减法、乘法、转置以及求逆运算等。
1. 矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是相似的运算。
对于两个具有相同维度的矩阵A 和B，它们的加法运算定义为将相同位置的元素相加得到一个新的矩阵C，即C = A + B。
而矩阵的减法运算定义为将相同位置的元素相减得到一个新的矩阵D，即D = A - B。
例如，对于如下两个矩阵：A = [1 2 3]B = [4 5 6][7 8 9] [10 11 12]它们的加法运算结果为：C = A + B = [1+4 2+5 3+6] = [5 7 9][7+10 8+11 9+12] [17 19 21]而减法运算结果为：D = A - B = [1-4 2-5 3-6] = [-3 -3 -3][7-10 8-11 9-12] [-3 -3 -3]这样，我们可以通过矩阵的加法和减法运算来对矩阵进行融合、分解和控制等操作。
2. 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的关键操作，它可以将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
对于两个矩阵A和B，若A的列数等于B的行数，则它们可以进行乘法运算。
设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，它们的乘法运算定义为两个矩阵对应元素的乘积之和。
新的矩阵C的行数等于A的行数，列数等于B的列数。
记作C = A × B。
例如，对于如下两个矩阵：A = [1 2 3]B = [4 5][6 7 8] [9 10][11 12]它们的乘法运算结果为：C = A × B = [1×4+2×9+3×11 1×5+2×10+3×12][6×4+7×9+8×11 6×5+7×10+8×12]= [59 64][149 163]矩阵的乘法可以应用于很多实际的问题中，比如线性方程组的求解、向量空间的转换等。
矩阵的运算知识点总结
矩阵的运算知识点总结一、矩阵的定义在开始讨论矩阵的运算知识点之前，首先需要了解矩阵的定义。
矩阵是由数个数按矩形排列组成的数组。
一般地，我们定义一个m×n矩阵A为一个m行n列的数组，其中每个元素aij（i行j列的元素）都是一个实数。
数学上通常用大写字母A、B、C、...表示矩阵。
例如，一个3×2矩阵可以表示为：A = [a11 a12a21 a22a31 a32]其中，a11、a12、a21、a22、a31、a32是矩阵的元素。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法当两个矩阵具有相同的行数和列数时，它们可以相加。
矩阵相加是将对应位置的元素相加得到新的矩阵。
例如，对于矩阵A和矩阵B相加，结果矩阵C的第i行第j列元素为：cij = aij + bij。
2. 矩阵的减法矩阵的减法定义与加法类似，对应位置的元素相减得到新的矩阵。
例如，对于矩阵A和矩阵B相减，结果矩阵C的第i行第j列元素为：cij = aij - bij。
3. 矩阵的数量乘法矩阵与一个实数相乘，是将矩阵的每个元素都乘以该实数。
例如，对于矩阵A和实数k相乘，结果矩阵B的元素为：bij = k * aij。
4. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行列互换得到新的矩阵。
例如，对于矩阵A的转置矩阵AT，有AT 的第i行第j列元素为A的第j行第i列元素。
5. 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中最重要的部分。
两个矩阵的乘法只有在满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能进行。
如果A是一个m×p的矩阵，B是一个p×n的矩阵，它们的乘积为一个m×n的矩阵C。
矩阵的乘法运算过程中，结果矩阵C的第i行第j列元素为：cij = a(i,1)b(1,j) + a(i,2)b(2,j) + ... + a(i,p)b(p,j)。
以上就是矩阵的基本运算，矩阵运算的内容很广泛，包括了基本运算，特殊矩阵运算和矩阵运算的性质定理等。
矩阵的基本运算与性质
矩阵的基本运算与性质矩阵是线性代数中重要的数学结构，它广泛应用于统计学、物理学、计算机科学等领域。
本文将介绍矩阵的基本运算和性质，包括矩阵的加法、减法、数乘、乘法以及转置等运算。
一、矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是指将两个矩阵进行逐元素地相加或相减的运算。
假设我们有两个矩阵A和B，它们的维度相同，即有相同的行数和列数。
矩阵的加法运算可以表示为C = A + B，其中C的每个元素等于A和B对应元素的和。
同理，矩阵的减法运算可以表示为D = A - B，其中D的每个元素等于A和B对应元素的差。
二、矩阵的数乘运算矩阵的数乘运算是指将一个实数或复数与矩阵的每个元素相乘的运算。
假设我们有一个矩阵A和一个实数k，矩阵A的数乘运算可以表示为B = kA，其中B的每个元素等于k乘以A对应元素的值。
三、矩阵的乘法运算矩阵的乘法运算是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵的运算。
矩阵乘法的定义要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
假设我们有两个矩阵A和B，A的维度为m×n，B的维度为n×p，那么矩阵的乘法运算可以表示为C = AB，其中C的维度为m×p。
矩阵乘法的元素计算方式为C的第i行第j列元素等于A的第i行与B的第j列对应元素乘积的和。
四、矩阵的转置运算矩阵的转置运算是指将矩阵的行转换为列，将列转换为行的操作。
假设我们有一个矩阵A，A的转置可以表示为A^T。
A^T的第i行第j 列元素等于A的第j行第i列元素，即A^T的维度为n×m，其中A的维度为m×n。
矩阵的基本性质：1. 矩阵的加法和减法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A +B) + C = A + (B + C)。
2. 矩阵的乘法满足结合律，即(A × B) × C = A × (B × C)。
3. 矩阵的加法和数乘运算满足分配律，即k(A + B) = kA + kB，(k + l)A = kA + lA。
矩阵运算公式大全
矩阵运算公式大全矩阵运算是线性代数中的重要内容，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
矩阵运算包括加法、减法、乘法等多种运算，掌握这些矩阵运算公式对于理解和解决实际问题至关重要。
本文将为您详细介绍矩阵运算的各种公式，帮助您更好地掌握矩阵运算的知识。
1. 矩阵加法。
矩阵加法是指两个矩阵相加的运算。
如果两个矩阵的行数和列数相等，那么它们可以相加。
具体公式如下：\[ A + B = \begin{bmatrix}。
a_{11} & a_{12} \\。
a_{21} & a_{22}。
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}。
b_{11} & b_{12} \\。
b_{21} & b_{22}。
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}。
a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\。
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22}。
\end{bmatrix} \]2. 矩阵减法。
矩阵减法和矩阵加法类似，也是针对两个行数和列数相等的矩阵进行的运算。
具体公式如下：\[ A B = \begin{bmatrix}。
a_{11} & a_{12} \\。
a_{21} & a_{22}。
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}。
b_{11} & b_{12} \\。
b_{21} & b_{22}。
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}。
a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} \\。
a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22}。
\end{bmatrix} \]3. 矩阵乘法。
矩阵乘法是矩阵运算中最常用的一种运算。
两个矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
矩阵运算总结
矩阵运算总结矩阵运算是线性代数中的一个重要内容，也是在解决许多实际问题时经常使用的数学工具。
矩阵可以用来表示线性变换、方程组、向量空间等，通过各种矩阵运算操作，可以实现对向量和矩阵的加减乘除、转置、求逆等操作，进而解决实际问题。
矩阵的加法是指将两个矩阵按相同的位置对应元素相加，得到一个新的矩阵。
矩阵的加法满足交换律和结合律，可以通过加法将多个矩阵合并成一个矩阵。
矩阵的减法是指将两个矩阵按相同的位置对应元素相减，同样也满足交换律和结合律。
矩阵的乘法是指将一个矩阵的每个元素与另一个矩阵的对应行的每个元素分别相乘，并将结果相加得到一个新的矩阵。
矩阵的乘法满足分配律和结合律，但不满足交换律。
矩阵的乘法可以用来实现线性变换，通过矩阵的乘法可以将一个向量变换到另一个向量。
矩阵的乘法在计算机图形学中有广泛的应用，用来实现图形的平移、缩放和旋转等变换操作。
矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到一个新的矩阵。
转置后的矩阵与原矩阵有相同的元素，但行和列的顺序发生了变化。
转置操作可以用来实现矩阵的行列变换，也可以用来求解线性方程组和计算矩阵的特征值和特征向量等。
矩阵的求逆是指找到一个与原矩阵相乘等于单位矩阵的逆矩阵。
只有方阵才存在逆矩阵，非方阵只能求广义逆矩阵。
求逆矩阵可以用来解线性方程组，通过乘以原矩阵的逆矩阵，可以将方程组转化为一个等价的形式。
求逆矩阵在计算机图形学中也有广泛的应用，用来实现变换的逆操作。
除了上述常见的矩阵运算，还有一些其他的矩阵运算操作。
矩阵的幂运算是指一个矩阵自乘多次，幂运算可以用来计算矩阵的高阶项。
矩阵的行列式是指一个方阵的一个标量值，可以用来判断方阵是否可逆。
矩阵的迹是指一个方阵主对角线上元素的和，迹运算可以用来计算矩阵的特征值。
矩阵的秩是指一个矩阵的最大线性无关行（列）向量的个数，可以用来描述矩阵的维度。
总之，矩阵运算是线性代数中的一个重要内容，通过各种矩阵运算可以实现对向量和矩阵的加减乘除、转置、求逆等操作。
矩阵的运算的所有公式
矩阵的运算的所有公式矩阵是线性代数中非常重要的一种数学工具，它广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。
矩阵的运算包括加法、减法、乘法、转置以及求逆等操作。
下面将详细介绍这些矩阵运算的公式。
一、矩阵的加法和减法设有两个矩阵A和B，它们都是m行n列的矩阵，即A和B的大小相同。
矩阵的加法和减法操作定义如下：1.加法：A+B=C，其中C是一个和A、B大小相同的矩阵，其每个元素的计算公式为：C(i,j)=A(i,j)+B(i,j)，其中i表示矩阵的行数，j表示矩阵的列数。
2.减法：A-B=D，其中D是一个和A、B大小相同的矩阵，其每个元素的计算公式为：D(i,j)=A(i,j)-B(i,j)。
二、矩阵的乘法设有两个矩阵A和B，A是m行n列的矩阵，B是n行p列的矩阵。
矩阵的乘法操作定义如下：1.乘法：A×B=C，其中C是一个m行p列的矩阵。
计算C的方法如下：C(i,j)=A(i,1)×B(1,j)+A(i,2)×B(2,j)+...+A(i,n)×B(n,j)，其中i表示C的行数，j表示C的列数。
需要注意的是，两个矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
三、矩阵的转置给定一个矩阵A，它是m行n列的矩阵。
矩阵的转置操作定义如下：1.转置：A'，表示矩阵A的转置。
即将A的行变为列，列变为行。
例如，如果A是一个3行2列的矩阵，那么A的转置A'是一个2行3列的矩阵。
四、矩阵的求逆对于一个非奇异的n阶矩阵A，它的逆矩阵记作A^{-1}。
求逆的公式如下：1.A×A^{-1}=I，其中I是单位矩阵。
即矩阵A与其逆矩阵相乘等于单位矩阵。
需要注意的是，只有方阵（行数等于列数）并且满秩的矩阵才有逆矩阵。
五、矩阵的幂运算给定一个n阶矩阵A，A的幂运算定义如下：1.A^k=A×A×...×A（共k个A相乘），其中A^k表示A的k次幂，k是一个正整数。
矩阵运算公式大全
矩阵运算公式大全矩阵运算是线性代数中的重要内容，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
矩阵运算公式是矩阵运算的基础，掌握这些公式对于理解矩阵运算的原理和应用至关重要。
本文将为大家详细介绍矩阵运算的各种公式，希望能够帮助大家更好地理解和运用矩阵运算。
一、矩阵的加法和减法。
1. 矩阵加法，设矩阵A、B的阶数相同，即都是m×n阶矩阵，则矩阵A、B 的和记作A+B，即A+B=(a_ij+b_ij)。
2. 矩阵减法，矩阵A、B的减法定义为A-B=A+(-B)，即A-B=(a_ij-b_ij)。
二、矩阵的数乘。
1. 数乘的定义，设k为数，A为m×n矩阵，则kA=(ka_ij)。
2. 数乘的性质，数乘满足分配律和结合律，即k(A+B)=kA+kB，(k+m)A=kA+mA。
三、矩阵的乘法。
1. 矩阵乘法的定义，设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则矩阵AB的乘积为一个m×p矩阵C，其中C的元素c_ij为c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+...+a_inb_nj。
2. 矩阵乘法的性质，矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律，即AB≠BA。
四、矩阵的转置。
1. 矩阵的转置定义，设A为m×n矩阵，记作A^T，其中A^T的元素a_ij为a_ji。
2. 转置的性质，(A^T)^T=A，(kA)^T=kA^T，(A+B)^T=A^T+B^T，(AB)^T=B^TA^T。
五、矩阵的逆。
1. 矩阵可逆的定义，设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=E，其中E为单位矩阵，则称A可逆，B为A的逆矩阵，记作A^-1。
2. 逆矩阵的性质，若A、B均为n阶可逆矩阵，则(AB)^-1=B^-1A^-1，(A^-1)^-1=A，(A^T)^-1=(A^-1)^T。
六、矩阵的行列式。
1. 行列式的定义，设A为n阶方阵，其行列式记作det(A)，其中当n=1时，det(A)=a_11；当n>1时，det(A)=Σ(-1)^(i+j)a_ijM_ij，其中M_ij为A去掉第i行第j列后所得的n-1阶方阵的行列式，i、j为行列标号。
矩阵的基本运算
矩阵的基本运算矩阵在数学中扮演着重要的角色，常用于解决各种实际问题。
矩阵的基本运算是我们在学习矩阵时必须掌握的内容。
本文将介绍矩阵的加法、减法、数乘运算以及矩阵乘法等基本运算方式。
一、矩阵的加法矩阵的加法是指两个同型矩阵相互对应元素相加的运算。
假设有两个m×n的矩阵A和B，它们的和记作A + B，其中A = [a_{ij}]，B = [b_{ij}]。
若令C = A + B，则C的元素c_{ij}可以通过以下方式计算：c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}要注意的是，两个矩阵相加的前提是两个矩阵必须具有相同的行数和列数。
二、矩阵的减法与矩阵的加法类似，矩阵的减法也是指两个同型矩阵相互对应元素相减的运算。
仍以矩阵A和B为例，它们的差记作A - B，其中A = [a_{ij}]，B = [b_{ij}]。
若令C = A - B，则C的元素c_{ij}可以通过以下方式计算：c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}同样的，两个矩阵相减的前提是两个矩阵必须具有相同的行数和列数。
三、矩阵的数乘运算矩阵的数乘运算指的是将一个矩阵的每个元素都乘以同一个数。
假设有一个矩阵A = [a_{ij}]，要将其乘以一个实数k，得到的结果记作kA。
对于乘积矩阵kA的元素c_{ij}，可以通过以下方式计算：c_{ij} = ka_{ij}其中k为实数。
四、矩阵的乘法矩阵的乘法是指两个矩阵按照一定规则相乘得到一个新的矩阵的运算。
假设我们有两个矩阵A和B，A的行数为m，列数为p，B的行数为p，列数为n。
它们的乘积记作C = A · B，其中C为一个新的矩阵，它的行数与A 相同，列数与B相同。
C = [c_{ij}]，其中c_{ij}的计算方式如下：c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + ... + a_{ip}b_{pj}即C矩阵中的每个元素是A的第i行和B的第j列对应元素的乘积之和。
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平移变换和旋转变换可以组合在一个齐次变换中。上例 中点U若还要作4i-3j+7k的平移，则只要左乘上平移 变换算子即可得到最后的列阵表达式。
E Trans(4,3,7) Rot( y,90) Rot( z,90)u
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A 齐次变换矩阵 BT 的数学意义：
A
B pB 0 C R 1 0
B
pC 0 1
复合变换可解释为：
B A (1) CT 和 CT 分别代表同一坐标系{C}相对于{A}和{B}的描述。则
A B
T 表示坐标系{C}从
B C
T
A 映射为 C T 的变换。
A (2)坐标系{C}相对于{A}的描述 C T 是这样得到的：最初{C} 与{A}重合，首先相对于{A}作运动 A ，到达{B},然后相 BT B 对{B}作运动 CT ，到达最终位置{C}。
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例 动坐标系{A}相对于固定坐标系的X0、Y0、Z0轴作 (-1,2,2)平移后到{A’}；动坐标系{A}相对于自身坐标系(即 动系)的X、Y、Z轴分别作(-1,2,2)平移后到{A’’}。已知A, 写出坐标系{A’}、 {A’’}
0 1 0 1 0 0 A 0 0 1 0 0 0
机器人学基础
——齐次变换矩阵及其运算
LOGO
齐次变换矩阵及其运算
由于各种原因，变换矩 阵应写成方型形式，3*3 或4*4均可. 为保证所表示的矩阵为 方阵，如果在同一矩阵 中既表示姿态又表示位 置，那么可在矩阵中加 入比例因子使之成为4*4 矩阵。
nx n F y nz 0
ox oy oz 0
{A}
坐标系{B}由坐标系{A}绕 k 轴旋转 角得到。
k
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旋转变换通式
再定义两坐标系{A’}和 {B’}，分别与{A}和{B}固接，但要求 (1){A’}和 {B’}的z轴与k重合。 (2)旋转之前{A’}和 {B’}重合， {A}和{B}也重合。 A z A B
pB 0 1
A B A T R 1 B R
B B AR AT 0
B
p A0 1
利用旋转矩阵正交性
利用复合变换公式(2.13) ,求出
A
pB 0
在{B}中描述。
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B A
B A ( pB0 ) A R pB0 BpA0 0
B
p A0 R pB 0 R
0 sin 1 0 0 cos 0 0
0 0 0 1
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如图所示单操作手臂，并且手腕 也具有一个旋转自由度。已知手 部的起始位姿矩阵为G1.
若手臂绕Z0轴旋转90°，则手臂 到达G2；若手臂不动，仅手部绕 手腕Z1轴转90°，则手部到达 G3.写出手部坐标系G2、G3表达 式。
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3．复合齐次变换
复合变换是由固 定参考坐标系或 当前运动坐标系 的一系列沿轴平 移和绕轴旋转变 换所组成的。任 何变换都可以分 解为按一定顺序 的一组平移和旋 转变换。
相对于固定坐标系
算子左乘
相对于动坐标系
算子右乘
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已知坐标系中点U的位置矢量 u 7 3 2 1 ，将此点绕 Z轴旋转90°，再绕Y轴旋转90°，如图所示，求旋转变 换后所得的点W。
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5.变换矩阵求逆
如果知道坐标系｛B｝相对于｛A｝的描述。希望得到｛A｝相对 于｛B｝的描述，这是个齐次变换求逆问题。
B 求逆问题可以描述为：已知 A ，求解 AT 。 BT
•对4*4矩阵直接求逆；
•利用齐次变换矩阵的特点，简化矩阵求逆运算。
A A BR BT 0 A
ax ay az 0
px py pz 1
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变换可定义为空间的一个运动。
已知一直角坐标系中的某点坐标，那么该点在另一直角坐标系中的
坐标可通过齐次坐标变换来求得。 变换可分为如下形式： 纯平移 纯旋转 平移与旋转的结合
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1.平移的齐次变换
0 1 0 0
0 x cos sin 0 y 1 z Rot( z, ) 0 0 1 0
sin cos 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1
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A C
B T A BT CT
4．变换矩阵相乘
对于给定的坐标系｛A｝、｛B｝、｛C｝，已知｛B｝相对 A B ｛A｝的描述为 BT ，｛C｝相对｛B｝的描述为 C T ，则
T-1 =
式中的 “ . ” 表示向量的点积。
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计算T矩阵的逆矩阵。
0.5 0.866 T 0 0 0 0.866 3 0 -0.5 5 2 1 0 5 0 0 1
0.5 0.866 0 (3 0.5 2 0.866 5 0) 0 0 1 (3 0 2 0 5 1) 1 T 0.866 0.5 0 (3 0.866 2 0.5 5 0) 0 0 1 0
B T B T B W T W T TT
S G T B T T TT S G
令上面两式相等，则得变换方程
B W B S G TW T T TT T ST G
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变换方程中的任一变换矩阵都可用其余的变换矩阵来表 示。例如，为了对目标物进行有效操作，工具坐标系{T}相对于 B 目标坐标系{G}的位姿 G 是预先规定的，需要改变 T W T 以达到 T B 这一目的，即通常规定 G ，求 W TT T 。
{B}代表基座坐标系； {W}代表腕部坐标系； {T}代表工具坐标系；
B S
{S}代表工作站坐标系；
{G}代表目标坐标系； 它们之间的位姿关系用相应
T 描述工作站坐标系相对于基座的位姿； T 描述目标坐标系相对于{S}的位姿；
T 描述腕部{W}相对于基座{B}的位姿；
………………
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2．旋转的齐次变换
点在空间直角坐标系中的旋转如图所示。A(x, y, z)绕Z轴旋 转θ角后至A’(x’, y’, z’),则A与A’之间的关系为 ：
x' x cos y sin y ' x sin y cos z' z
x' cos y ' sin z' 0 1 0 sin cos 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 x y z 1
B B C p C T p
A
B A B C p A T p T p B BT C
从而定义复合变换
A C
。
B T A T B CT
表示｛C｝相对于｛A｝的描述，是两变换矩阵的乘积。
注意：变换矩阵相乘不满足“交换律”，变换矩阵的左乘 和右乘的运动解释不同。
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A A A B BR CT BT CT 0
（1）同一点在不同坐标系{B}和{A}中的变换； （2）描述坐标系{B}相对于坐标系{A}的位置和方位； （3）点的运动算子。
A B p A T p B
0 1 A BT 0 0
0 0 1 0
1 1 0 3 0 4 0 1
1 0 T rans (x, y, z ) 0 0
S G
B W
的齐次变换来描述。
对物体进行操作时，工具坐标系{T}相对于目标坐标系{G}的位 姿 G 直接影响操作效果。它是机器人控制和规划的目标。 TT 实际上，它与其他变换之间的关系类似于空间尺寸链，
G T
T 则是封闭环。如图所示，工具坐标系{T}相对于基座坐标系{B}
的描述可用两种变换矩Байду номын сангаас的乘积来表示：
空间某一点在直角坐标系中的平移,由 A(x, y, z)平移至A′(x′, y′, z′), 即
x ' x x y ' y y z ' z z
x' 1 y ' 0 z ' 0 1 0 0 0 x 1 0 y 0 1 z 0 0 1 x y z 1
B A A A B
A T B BR T A 0
T A
pB 0
A T A B R pB0 1
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下面我们写出变换矩阵的一般表达形式 nx ox ax px ny oy ay py T = nz oz az pz 0 0 0 1 式中 n, o, a 是旋转变换列向量，p 是平移向量，其逆是 nx ox ax 0 ny nz - p.n oy oz - p.o ay az - p.a 0 0 1
记为: a′=Rot(z, θ)a
旋转算子
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绕Z轴旋转算子内容为：
cos sin Rot( z, ) 0 0 sin cos 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
同理，绕x轴、Y轴旋转算子内容为：
0 1 0 cos Rot( x, ) 0 sin 0 0 0 sin cos 0 0 cos 0 0 Rot( y, ) 0 sin 1 0
k
z B z A
nx n A B R R A B y nz
ox oy oz