第3章 矩阵及其运算

第3章 矩阵及其运算

3.1 基本要求、重点难点

基本要求：

1．1．掌握矩阵的定义.

2．2．掌握矩阵的运算法则.

3．3．掌握伴随矩阵的概念及利用伴随矩阵求逆矩阵的方法.

4．4．掌握矩阵秩的概念及求矩阵秩的方法.

5．5． 掌握初等变换和初等矩阵的概念，能够利用初等变换计算矩阵的秩，求可逆矩阵的逆矩阵.

6．6．掌握线形方程组有解得判定定理及其初等变换解线形方程组的方法.

重点难点：重点是矩阵定义，矩阵乘法运算，逆矩阵的求法，矩阵的秩，初等

变换及线性方程组的解.

难点是矩阵乘法，求逆矩阵的伴随矩阵方法.

3.2 基本内容

3.2.1 3.2.1 重要定义

定义3.1 由n m ⨯个数)2,1;,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的数表成为一个m 行n 列矩阵，记为

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 2122221

11211

简记为A n m ij a ⨯=)(，或A )(ij a =,n m A ⨯,mn A

注意行列式与矩阵的区别：

（1） （1） 行列式是一个数，而矩阵是一个数表.

（2） （2） 行列式的行数、列数一定相同，但矩阵的行数、列数不一定相

同.

（3） （3） 一个数乘以行列式，等于这个数乘以行列式的某行（或列）的所有元素，而一个数乘以矩阵等于这个数乘以矩阵的所有元素.

（4） （4） 两个行列式相等只要它们表示的数值相等即可，而两个矩阵相等则要求两个矩阵对应元素相等.

（5） （5） 当0||≠A 时，||1A 有意义，而A 1

无意义.

n m =的矩阵叫做阶方阵或m 阶方阵.一阶方阵在书写时不写括号，它在

运算中可看做一个数.

对角线以下（上）元素都是0的矩阵叫上（下）三角矩阵，既是上三角阵，

又是下三角的矩阵，也就是除对角线以外的元素全是0的矩阵叫对角矩阵.在对角矩阵中，对角线上元素全一样的矩阵叫数量矩阵；数量矩阵中，对角线元素全是1的n 阶矩阵叫n 阶单位矩阵，常记为n E （或n I ），简记为E （或I ），元素都是0的矩阵叫零矩阵，记为n m 0⨯，或简记为0.

行和列分别相等的两个矩阵叫做同型矩阵，两个同型矩阵的且对应位置上的

元素分别相等的矩阵叫做相等矩阵.

设有矩阵A =n m ij a ⨯)(，则A -n m ij a ⨯-=)(称为A 的负矩阵.

若A 是方阵，则保持相对元素不变而得到的行列式称为方针A 的行列式，记

为||A 或A Det .

将矩阵A 的行列式互换所得到的矩阵为A 的转置矩阵，记为T A 或A '.

若方阵A 满足A A T =，则称A 为对称矩阵，若方阵A 满足A A T -=，则称A

为反对称矩阵.

若矩阵的元素都是实数，则矩阵称为实矩阵.若矩阵的元素含有复数，则称矩

阵为复矩阵，若A =n m ij a ⨯)(是复矩阵，则称矩阵n m ij a ⨯)(（其中ij a 为ij a 的共轭矩阵，记为A n m ij a ⨯=)(.

定义3.2 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，则

称方阵A 可逆，B 称为A 的逆矩阵，记做1-=A B .

对于方阵A n m ij a ⨯=)(，设ij a 的代数余子式为ij A ，则矩阵

*A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nm n n n n A A A A A A A A A 2122212

12111

称为A 的伴随矩阵，要注意伴随矩阵中元素的位置.

定义3.3 设有矩阵A ，如果：

（1） （1） 在A 中有一个r 阶子式D 不为零.

（2） （2）

A 中任意1+r 阶子式（如果有的话）全为零，则称D 是矩阵A 的一个最高阶非零子式，数r 称为矩阵A 的秩，记为R )(A .

定义3.4 初等变换与初等方阵：

（1） （1） 初等变换：变换矩阵的某两行（记为j i r r ↔）；把非零数k 乘

以矩阵的某行的所有元素（记为0,≠k kr j ）；把矩阵的第i 行的h 倍加到第j 行上（记为i j hr r +）.

以上为矩阵的三种类型的初等行变换，同样可以定义矩阵的初等列变换.

矩阵的初等行变换、初等列变换统称为矩阵的初等变换.

矩阵的初等行（列）变换皆可逆，且为同种类型的初等变换.例如：变换

j i r r ↔的逆是其自身，变换j kr 的逆变换为i r k 1变换i j hr r +的逆变换为i j r h r )(-+.

初等变换的性质：

若矩阵A 经有限次初等行（列）变换为B ，则A 的行（列）向量组与B 的

行（列）向量组等价.

若矩阵A 经有限次初等行（列）变换为B ，则A 的任意k 个列（行）向量

与B 中对应的k 个列（行）向量有相同的线形相关性.

（2） （2） 初等方阵：由单位矩阵经过一次初等变换而得的矩阵叫做初

等矩阵，初等矩阵也叫初等方阵.

初等方阵共分三种，它们是：E ()j i ,，E ()()k i ，E ()()i k j ,.它们与单位矩阵

的关系是：

E E j i r r −−

→−↔()j i ,，或E E j i c c −−→−↔()j i ,， E E i kr −→−

()[]k i ，或)],([k i E E i kc −→−()0≠k E E j i kr r −−

→−+()[]i k j ,，或E E j i kc c −−→−+()[]i k j , 容易搞错的是第三组关系式，读者仔细些.

初等矩阵皆可逆，且E

()1,-j i =E ()j i ,，E ()[]1-k i =E 11-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛k i ，

E ()[]i k j ,=E ()[]i k j ,-