第三章矩阵的运算(1)
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则在数学和众多科学领域中，矩阵是一种非常重要的工具，它有着广泛的应用。
要深入理解和运用矩阵，就必须掌握矩阵的运算及其运算规则。
矩阵的加法是一种基础运算。
两个矩阵相加，只有当它们的行数和列数分别相等时才能进行。
具体来说，就是将对应位置的元素相加。
比如，有矩阵 A ＝ a₁₁ a₁₂; a₂₁ a₂₂和矩阵 B ＝ b₁₁ b₁₂;b₂₁ b₂₂，那么它们相加的结果矩阵 C 就是 C ＝ a₁₁＋ b₁₁ a₁₂＋ b₁₂; a₂₁＋ b₂₁ a₂₂＋ b₂₂。
矩阵的数乘也较为常见。
用一个数乘以矩阵，就是将这个数与矩阵中的每个元素相乘。
假如有矩阵 A ＝ a₁₁ a₁₂; a₂₁ a₂₂，k 是一个数，那么数乘的结果就是 kA ＝ k×a₁₁ k×a₁₂; k×a₂₁ k×a₂₂。
接下来谈谈矩阵的乘法。
矩阵乘法相对复杂一些，但在实际应用中却非常重要。
当矩阵 A 的列数等于矩阵 B 的行数时，这两个矩阵才能相乘。
假设矩阵 A 是 m×n 的矩阵，矩阵 B 是 n×p 的矩阵，那么它们相乘得到的矩阵 C 是 m×p 的矩阵。
具体计算时，矩阵 C 中第 i 行第 j 列的元素 cij 等于矩阵 A 的第 i 行元素与矩阵 B 的第 j 列对应元素乘积的和。
例如，A ＝ a₁₁ a₁₂; a₂₁ a₂₂，B ＝ b₁₁ b₁₂; b₂₁ b₂₂，那么它们相乘得到的矩阵 C 中的 c₁₁＝ a₁₁×b₁₁＋ a₁₂×b₂₁，c₁₂＝ a₁₁×b₁₂＋ a₁₂×b₂₂，c₂₁＝ a₂₁×b₁₁＋ a₂₂×b₂₁，c₂₂＝ a₂₁×b₁₂＋ a₂₂×b₂₂。
矩阵乘法不满足交换律，也就是说一般情况下AB ≠ BA。
但它满足结合律，即（AB)C ＝ A(BC)，还满足分配律，即 A(B ＋ C) ＝ AB ＋AC。
矩阵的运算优秀课件
且A2X=B，求X。
解：
X
=
1 2
(B
A)
=
1 2
2 0 0
2 1 5
5 1 2
2
4
5
1 1 = 0 1/ 2
5/2 1/ 2
1 2
。
0 5 / 2 1 5 / 2
练习
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三、矩阵的乘法
定义2.5 设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵：
a11 a12 a1s
0 3 6 9 0 12 8 16
92 156 214 60 7 9 17 6
= 64 02 1210 914 = 2 2 2 5 。
00 312 68 916 0 9 2 7
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3572
1320
例4．已知 A= 2 0 4 3 ， B = 2 1 5 7 ，
0 1 23
0 6 48
列式称为矩阵A的行列式，记为|A|，即
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2. 数乘矩阵满足的运算律
设 A, B 为同型矩阵, λ , μ为常数，则
(1) (λμ) A=λ (μ A); (2) (λ + μ)A = λ A + μ A. (3) λ(A + B) = λ A + λ B.
结合律 分配律 分配律
矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。
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四、方阵的幂
(１) 定义
如果 A 是 n 阶矩阵, 那么AA 有意义, 也有意义, 因此有下述定义:
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则矩阵是代数中一种重要的数学工具，它由数个数按照规定的行列顺序排列而成。
矩阵的运算包括加法、减法、数乘、乘法以及转置等，这些运算规则在代数中有着重要的应用。
一、矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法规则相同，对应位置的元素进行相加或相减。
具体来说，如果有两个m×n（m行n列）的矩阵A和B，它们的和为C，则A和B之间的加法运算可以表示为：C = A + B。
其中，C的元素cij就是A和B相对应位置元素之和。
同样，矩阵的减法也是对应位置的元素进行相减操作。
例如，对于如下两个矩阵：A=[[1,2],[3,4]]B=[[5,6],[7,8]]则A和B的和、差分别为：A+B=[[1+5,2+6],[3+7,4+8]]=[[6,8],[10,12]]A-B=[[1-5,2-6],[3-7,4-8]]=[[-4,-4],[-4,-4]]二、矩阵的数乘矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素都与一个常数k相乘。
具体来说，如果有一个m×n的矩阵A和一个实数k，则矩阵A乘以k的结果为B，可表示为：B = kA。
其中，B的元素bij等于k与A相对应位置元素的乘积。
例如，对于如下矩阵：A=[[1,2],[3,4]]k=2则A乘以k的结果为：B=kA=2A=[[2,4],[6,8]]三、矩阵的乘法矩阵的乘法是指给定两个矩阵A和B，如果A的列数等于B的行数，则可以将它们相乘得到一个新的矩阵C。
具体来说，如果A是一个m×n 的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则矩阵C的大小为m×p。
C的元素cij 可以通过计算A的第i行与B的第j列对应位置元素的乘积之和得到。
例如，对于如下两个矩阵：A=[[1,2],[3,4]]B=[[5,6],[7,8]]则A和B的乘积为：C=AB=[[1×5+2×7,1×6+2×8],[3×5+4×7,3×6+4×8]]=[[19,22], [43,50]]注意，在矩阵乘法中，矩阵的位置很重要，即AB一般不等于BA。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则矩阵是线性代数中的基本概念，也是数学、计算机科学、物理、经济学等领域中广泛运用的工具之一。
矩阵的运算是矩阵代数的重要组成部分，并且矩阵的运算规则是进行代数运算、求解线性方程组、计算特征值和特征向量等的关键。
1.基本矩阵运算矩阵的四则运算：加法、减法、乘法和除法是矩阵运算的基础。
加减法均是对应元素相加减，必须两个矩阵形状相同才可加减。
例如A、B是两个3\*3矩阵，那么它们相加后我们可以表示为C=A+B，C的每个元素都等于A和B对应位置的元素之和。
矩阵的乘法是相乘并对乘积元素求和，而不是元素相乘。
A\*B中A的列数应该等于B的行数，乘积C则应该是A的行数和B的列数构成的矩阵。
例如A是一个3\*2 的矩阵，B是一个2\*4 的矩阵，则将A的每一行和B的每一列依次相乘求和，得到一个3\*4的结果矩阵C。
除法在矩阵中一般不存在，但是可以通过矩阵的逆来实现除法运算。
如果乘积A\*B=C，且B是可逆的，那么我们可以利用B的逆矩阵来得出矩阵A，即A=B^{-1}C。
2.转置和逆矩阵矩阵的转置是将矩阵的行和列交换位置得到的新矩阵。
如果矩阵A的形状是m\*n，则转置后的矩阵形状是n\*m。
例如A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6\end{bmatrix}，则A的转置为A^T=\begin{bmatrix}1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6\end{bmatrix}。
矩阵的逆矩阵是一个矩阵，使得矩阵和它的逆矩阵的乘积为单位矩阵。
只有方阵才有逆矩阵，而且并不是所有的方阵都有逆矩阵。
如果一个矩阵A不能求逆，那么我们称它是奇异矩阵或不可逆矩阵。
如果一个矩阵A可以求逆，那么我们称它是非奇异矩阵或可逆矩阵。
逆矩阵的求解方法有伴随矩阵法、高斯-约旦消元法、矩阵分块法等。
3.矩阵的性质及运算规则矩阵的性质包括转置、对称、正交、幂等、奇异等性质。
《线性代数》课件-第3章 矩阵
§3.1 矩阵的运算（1）第三章矩阵矩阵的加法定义1111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦A B 设有两个 矩阵 和 n m ⨯[]ij a =A [],ij b =B 那么矩阵与 的和 A B 记作 规定为,+A B 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.（可加的条件）注矩阵的加法235178190, 645, 368321-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵矩阵则A B 213758169405336281+-++⎡⎤⎢⎥=+-++⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦3413755.689⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应元相加例1+A B矩阵的加法;+=+A B B A ()()++=++A B C A B C ；+=+=；A OO A A 矩阵加法的运算律 [],ij a =A 设矩阵 （交换律）（结合律）（加法单位元）(1)(2) (3) (4) 规定 [],ija -=-A 称之为 的负矩阵.A ()(),+-=-+=A A A A O ().-=+-A B A B （加法逆元）规定矩阵的减法为：+=+⇒=.A B A C B C (5) 加法消去律成立，即数量乘法111212122211[].n nij m n m m mn ka ka ka kaka ka k ka ka ka ka ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 规定数 k 与矩阵 A 的数量乘积为定义2数量乘法()();k l kl =A A ()k l k l +=+A A A ；()k k k +=+.A B A B 数量乘法的运算规律(1) (2)(3)矩阵的加法和数量乘法统称为矩阵的线性运算 .设为A , B 为矩阵，k, l 为数： m n ⨯矩阵的乘法（矩阵与矩阵相乘）定义3设 是一个 矩阵， m n ⨯[]ij a =A 记作 C =AB.[]ij b =B 是一个 矩阵， n s ⨯规定矩阵 与 的乘积是一个 的矩阵 A Bm s ⨯[],ij c =C 其中 11221nij i j i j in nj ikkjk c a b a b a b ab ==+++=∑()1,2,;1,2,,,i m j s ==矩阵的乘法1212[,,,]j j i i in nj b b a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1122i j i j in nj a b a b a b =+++1n ik kj ij k a b c ===∑行乘列法则可乘条件：左矩阵的列数=右矩阵的行数11211300514-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设，A 034121.311121⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦B 例20311212113031051412⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦-⎣⎦C AB .⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦5-61022-17乘积矩阵的“型” ？ A m n ⨯B n s ⨯C m s⨯=1111⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦设，A 例300,00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AB 22,22⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦BA .BA AB ≠故1111-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，B 则矩阵的乘法（1）矩阵乘法一般不满足交换律； 若 ，则称矩阵 与是乘法可交换的. =AB BA A B 定义3=AB O ⇒;==或A O B O （2） ()≠-=若而A O A B C O，⇒=B C.注意：(),+=+A B C AB AC ();+=+B C A BA CA ()()()k k k ==AB A B A B （其中 k 为数）;n m ;m n m n m n ⨯⨯⨯==A E E A A 矩阵的乘法()();=AB C A BC 矩阵乘法的运算规律 (1) (2) (3) (4) （结合律） （左分配律）（右分配律）（乘法单位元）11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，，，11121121222212n n m m mn n a a a x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111122121122221122n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ⎡⎤+++⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦12m b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=AX =β⇔=（矩阵形式）AX β ==00（齐次线性方程当时组的矩阵形式），AX β .例4cos sin ,,sin cos OP ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵平面向量x A y cos ,sin ,x r y r θθ=⎧⎨=⎩于是x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A cos sin sin cos x y ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦cos()sin()r r θϕθϕ+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦例5cos cos sin sin cos sin sin cos r r r r θϕθϕθϕθϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦,,OP r θ设的长度为幅角为则cos sin sin cos x y x y ϕϕϕϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦111x OP y ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.OP ϕ这是把向量按逆（或顺）时针旋转角的旋转变换xyopp 1θϕ11cos sin ,sin cos .x x y y x y ϕϕϕϕ=-⎧⎨=+⎩（线性变换）小结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算；（2） ≠=若而A O AB AC ，⇒;=B C 且矩阵相乘一般不满足交换律；（3）只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同； 可交换的典型例子：同阶对角阵；数量阵与任何同阶方阵. k n E ≠=若而A O BA CA ，⇒=B C.( 4 )§3.1 矩阵的运算（2）方阵的幂·矩阵多项式·迹第三章矩阵定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.一般地， (),,.AB A B A B ⨯≠∈k k k n n注2 注3时，以下结论成立：AB BA =当 (1)();AB A B =kkk222(2)()2;A B A AB B +=++22(3)()();A B A B A B +-=-,,A B ⨯∈n n11(4)()C C .A B A AB AB B --+=+++++mmm k m kkmmm例1解 ,A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2121214=01010112.01A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦设求其中为正整数mm ,（）32141216,010101A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦mm m 由此归纳出方阵的幂112(1)1212,010101A A A --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦k k k k ()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦m m m 用数学归纳法证明当 时，显然成立.2=m 假设 时成立， 1=-m k 所以对于任意的m 都有=m k 则时，方阵的幂解法二 利用二项式定理122()m m m mA EB EC B=+=+202,.00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B B O 其中=且这种方法适用于主对角元全相同的三角形矩阵求幂 2,=+A E B ,E B 显然与乘法可交换由二项式定理有2E B=+m 100212.010001m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦m1110()A A A A E --=++++m m m m n f a a a a 为方阵 A 的矩阵多项式.例如 2()524,f x x x =--12,11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 22524A A E --1412101116524211101811--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦定义2A ⨯∈设n n ，称()A =f：注f g g fA A A A()()()()运算性质 定义3设A 是n 阶方阵，称A 的主对角线上所有元素之和为方阵的迹(trace )，记为11221tr .A ==+++=∑nnn ii i a a a a (1) tr()tr tr ;A B A B ⨯⨯⨯⨯+=+n n n n n n n n (2) tr()tr();A A ⨯⨯=n n n n k k (3) tr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m ntr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m n设A , B 为 n 阶方阵， 求证.AB BA E -≠n tr()tr()tr()0,--AB BA =AB BA = 证明： tr()0,n n =≠E 故 . n -≠AB BA E 例2§3.1 矩阵的运算（3）矩阵的转置·方阵的行列式第三章矩阵例 123,458A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦T ;A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦142538叫做 的转置矩阵， m n A ⨯m n A ⨯把矩阵的行依次变为同序数的列得到的新矩阵， 定义1T A 记作. 思考 T A A 与的关系?⨯→⨯的变化型m n n m(1) : '(,)=元的变化ij ji i j a a (2) ：TA A 与的关系?矩阵的转置()()T T 1;=A A ()()T T T 2;+=+A B A B ()()T T 3;A A =k k 注 性质(2)和(4)可推广到有限个矩阵的情形()()T T T T12122;s s '+=+A A ++A A A ++A ()()T T T T 12114.s s s -'=A A A A A A ()()T T T 4.=AB B A (倒序)矩阵的转置与其它矩阵运算的关系若矩阵A 满足 A A =T ，()n ,,,j ,i a a ji ij 21==201035.157A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例为对称阵如注：对称矩阵为方阵，元素以主对角线为对称轴 对应相等 .例1 (对称矩阵）则称 A 为对称矩阵 .注 对任意矩阵 A,和 均是对称矩阵. T A A T AA对称矩阵的数乘、和、乘积是否为对称矩阵？思考：练习1 对任意实矩阵 A, 若 则 . T A A =O ,A =O练习2 若实对称矩阵 A 满足 则 . 2A =O ,A =O 设A ，B 为同阶实对称矩阵，则AB 为实对称矩阵当且仅当AB =BA .若矩阵A 满足 A A =-T ，013105.350A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦例为反对称阵如注：反对称矩阵为方阵，且例2 (反对称矩阵）则称 A 为反对称矩阵 . 0-≠⎧=⎨=⎩ji ij a i j a i j证明任一 n 阶方阵 A 都可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和. 证明： ()T T A A +T A A =+()T T A A -T A A =-22T T A A A A A -++=证毕.例3所以 为对称矩阵.T A A +T ,A A =+T ()A A =-- 所以 为反对称矩阵. T A A -方阵的行列式设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则()T1;A A =()3;AB A B =()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系方阵的行列式n n n n n A O E B ⨯⨯-A B =n n nO AB E B ⨯=-2(1)n n E AB =--2(1)n n AB +=-.AB =证明： 22222A O E B ⨯⨯-111221221112212200001001a a a a b b b b =--12111111122122111221220001001a a b a b a a b b b b =--111112211112122221221112212200001001a b a b a b a b a a b b b b ++=--111112211112122221112221211222221112212200001001a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b ++++=--222O AB E B ⨯=-设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则 ()T 1;A A =()3;AB A B =(可推广到有限个) 一般的， +.A B A B ≠+特别地 ,A A =mm ()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系 其中m 为非负整数.24000200,00430034A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设2.A 求k 22A A =k k2242443()(4(25))10.0234=⋅=⋅-=-k k k 解 例4证明奇数阶反对称矩阵的行列式为零.例5§3.2 初等矩阵第三章矩阵定义1elementary matrix 阶单位矩阵经过一次矩阵的初等变换所得到的矩阵称为阶即初等矩阵n n （），E B −−−−−→一次初等变换行或列为一个初等矩阵n 1,23100010010100.001001E B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对换行为一个初等矩阵例如初等矩阵的类型及表示方法1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .0E ≠即以数乘单位矩阵的第行(或第列).n k i i i i r c 11[()]11E E ⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦kn n ki k k 或i ←第行初等矩阵的类型及表示方法2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .0E ≠即将的某行元素的倍加到另一行(或列)上去.n k 11[())]11E E ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i jj ir kr n n c kc k i j k 或←i 第行←j 第行[()]E >+n i j k i j 当时,为下三角 .初等矩阵的类型及表示方法3[,],E 初等对换矩阵n i j ） E n 即对调的某两行或某两列.11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行11[()]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n i k k i ←第行1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .11[())]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n k i j k ←i 第行←j 第行()i j <3[,],E 初等对换矩阵n i j ） 11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行注初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等阵.Ti k i k=1)[()][()];E En nT+=+i j k j i kE E2)[()][()];n nTi j i j=3)[,][,].E En n初等矩阵的应用揭示： 初等矩阵与矩阵的初等变换的关系.11121314212223243132333411⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦a a a a a a a a k a a a a 111213142122232313233434⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦k a a a a a a a a a ka ka ka 111213142122232431323334111a a a a a a a a k a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111214212221323343133234a a a a a a a a a ka ka a k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()i k A i r k ⨯相当于以数乘的第行；111211212[()]E A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n m m m m i i in n a a a i k a ka ka a a a k i ←第行[()]E A 左以矩阵乘m i k ，[()]n E i k A 右乘而以矩阵，其结果结论: 相当于以数k 乘A 的第i 列 .()i c k ⨯。
矩阵的运算及其运算规则（1）
矩阵的运算及其运算规则（1）矩阵的运算及其运算规则⼀、矩阵的加法与减法1、运算规则设矩阵，，则简⾔之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个⾏数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可⾏的．2、运算性质（假设运算都是可⾏的）满⾜交换律和结合律交换律；结合律．⼆、矩阵与数的乘法1、运算规则数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每⼀个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵．2、运算性质满⾜结合律和分配律结合律：(λµ)A=λ(µA)；(λ+µ)A =λA+µA．分配律：λ(A+B)=λA+λB．典型例题例6.5.1已知两个矩阵满⾜矩阵⽅程，求未知矩阵．解由已知条件知三、矩阵与矩阵的乘法1、运算规则设，，则A与B的乘积是这样⼀个矩阵：(1) ⾏数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即．(2) C的第⾏第列的元素由A的第⾏元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．典型例题例6.5.2设矩阵计算解是的矩阵．设它为想⼀想：设列矩阵，⾏矩阵，和的⾏数和列数分别是多少呢是3×3的矩阵，是1×1的矩阵，即只有⼀个元素．课堂练习1、设，，求．2、在第1道练习题中，两个矩阵相乘的顺序是A在左边，B在右边，称为A左乘B或B右乘A．如果交换顺序，让B在左边，A在右边，即A右乘B，运算还能进⾏吗？请算算试试看．并由此思考：两个矩阵应当满⾜什么条件，才能够做乘法运算．3、设列矩阵，⾏矩阵，求和，⽐较两个计算结果，能得出什么结论吗？4、设三阶⽅阵，三阶单位阵为，试求和，并将计算结果与A⽐较，看有什么样的结论．解：第1题第2题对于，．求是有意义的，⽽是⽆意义的．结论1只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可⾏的：左矩阵的列数＝右矩阵的⾏数．第3题是矩阵，是的矩阵．．结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成⽴．可见矩阵乘法不满⾜交换律．第4题计算得：．结论3⽅阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．单位阵在矩阵乘法中的作⽤相当于数1在我们普通乘法中的作⽤．典型例题例6.5.3设，试计算和．解．结论4两个⾮零矩阵的乘积可以是零矩阵．由此若，不能得出或的结论．例6.5.4利⽤矩阵的乘法，三元线性⽅程组可以写成矩阵的形式若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为，，，则线性⽅程组⼜可以简写为矩阵⽅程的形式：．2、运算性质（假设运算都是可⾏的）(1) 结合律．(2) 分配律（左分配律）；（右分配律）．(3) ．3、⽅阵的幂定义：设A是⽅阵，是⼀个正整数，规定，显然，记号表⽰个A的连乘积．四、矩阵的转置1、定义定义：将矩阵A的⾏换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或．例如，矩阵的转置矩阵为．2、运算性质（假设运算都是可⾏的）(1)(2)(3)(4) ，是常数．典型例题例6.5.5利⽤矩阵验证运算性质：解；⽽所以．定义：如果⽅阵满⾜，即，则称A 为对称矩阵．对称矩阵的特点是：它的元素以主对⾓线为对称轴对应相等．五、⽅阵的⾏列式1、定义定义：由⽅阵A 的元素所构成的⾏列式（各元素的位置不变），称为⽅阵A 的⾏列式，记作或．2 、运算性质(1) （⾏列式的性质）(2) ，特别地：(3) （是常数，A的阶数为n）思考：设A为阶⽅阵，那么的⾏列式与A的⾏列式之间的关系为什么不是，⽽是？不妨⾃⾏设计⼀个⼆阶⽅阵，计算⼀下和．例如，则．于是，⽽．思考：设，有⼏种⽅法可以求？解⽅法⼀：先求矩阵乘法，得到⼀个⼆阶⽅阵，再求其⾏列式．⽅法⼆：先分别求⾏列式，再取它们的乘积．。
人教版高中数学选修 4-2矩阵变换 第三章 第一节 逆变换与逆矩阵
导入新课除了我们已学过的一些矩阵的性质之外还有其他性质么?知识回顾矩阵乘法的运算性质结合律(ab)c=a(bc)交换律ab=ba消去律设a≠0,若ab=a,则b=c;若ba=ca,则b=c.类比实数的乘法运算中有一条重要的运算性质：.aa a a ,a 1=1•=•10则如果 ≠把恒等变换I 和单位矩阵E 作为数1的类比对象知识与能力掌握逆矩阵的概念和简单性质过程与方法●通过线性变换理解逆矩阵的性质情感态度与价值观●培养学生提出问题,解决问题的能力重点：●逆矩阵的概念与简单性质.●逆矩阵的概念;●用线性变换的角度理解逆矩阵的简单性质.难点：探究1对于一个线性变换ρ,是否存在一个线性变换σ,使得σ·ρ=ρ·σ= I ?对于一个二阶矩阵A,是否存在一个二阶矩阵B,使得AB=BA=E?Oyx30°R －30°R 30°αα′例1 旋转变换R 30°：.y x y ,y x x 23+21=′2123=′－R －30°：.y x y ,y x x 23+21=′21+23=′－对于直角坐标系xOy 内的任意一个向量α由图可得：α′ αα有：（R 30°· R －30°）= R 30°（R －30°）= α α α同理可得：R －30°· R 30°=I∴R 30°· R －30°= I23212123－23212123－对于二阶矩阵,存在二阶矩阵,使得23212123－23212123－23212123－23212123－==E 2思考一般的旋转变换Rψ,也有相似的结论么?探究2对于切变变换、伸缩变换、反射变换等线性变换,能否找到一个线性变换,使得它们的复合变换是恒等变换I?同学们:我会了哦!你们会了么?类比书本看看答对了么?定义设ρ是一个线性变换,若存在线性变换σ,使得σρ=ρσ= I,则称变换ρ可逆,并称σ是ρ的逆矩阵.用矩阵的语言表述:设A是一个二阶矩阵,若存在二阶矩阵B,使得AB=BA=E2,则称矩阵A可逆,或A是可逆矩阵,并称B是A的逆矩阵.设A是一个二阶可逆矩阵,对于对应的线性变换为ρ,由矩阵和变换的对应关系,得到A的逆矩阵就是ρ逆变换对应的矩阵.思考是否每一个二阶矩阵都可逆?若能,请说明理由;若不能,请举例说明.答案:不是.如A =0012探究31.若一个线性变换是可逆的,则它的逆变换是唯一的么?2.若一个二阶矩阵是可逆的,则它的逆矩阵是唯一的么?以例1中的两个旋转变换为例反证法证明:假设不唯一,则存在变换R 30°的任意一个逆变换σ,使得σ R 30°= R 30°σ= I .∴对平面上任意一个向量有,α()()()()()().R I R R R R R R R I α=α=ασ•=ασ=ασ=ασ=ασ°30°30°30°30°30°30°30°30 －－－－－）（.=σ°30假设不成立－,R ∴∴逆变换是唯一的.性质1设A是一个二阶矩阵,若A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.证明：设B,B2都是A的逆矩阵,则1B1A=AB1=E2,B2A=AB2=E2.∴B=E2B1=(B2A)B1=B2(AB1）1=B2E2=B2.即：B=B2.1探究4两个可逆变换的复合变换仍可逆么?yy ,x x 2=′=′伸缩变换ρ:yx y ,y x x 23+21=′2123=′－旋转变换R 30°:它们的逆矩阵分别为:y y ,x x 21=′=′：－ρ1yx y ,y x x 23+21=′21+23=′－R －30°:任意一个平面向量: = .αy x 先经ρ·R 30°的复合变换,再经R －30°·ρ－1,最终仍得到α如图:ρOyxαR °30－R °30ρ1－()()().RR R R .I R R I R R 1°301°3011°30°30°301°30°30°301ρ=ρ=ρ•,ρ•=ρ•ρ•=ρ••ρ－－－－－－－－－且可逆即：变换）（类似：；）（∴性质2设A , B是二阶矩阵,若A,B都可逆,则AB 也可逆,且(AB)－1=B－1A－1.证明：∵(AB)(B－1A－1)=A(BB－1)A－1=AE2A－1=AA－1=E2,(B－1A－1) (AB)= B－1( AA－1)B= B－1E2B= B－1B=E2,即:(AB)(B－1A－1)=(B－1A－1)(AB)=E2∴AB可逆,且(AB)－1 = B－1A－1.课堂小结1. A是一个二阶矩阵,若存在二阶矩阵B,使,则称矩阵A可逆.得AB=BA=E22.A是一个二阶矩阵,若A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.3.A, B是二阶矩阵,若A,B都可逆,则AB也可逆,且(AB)－1=B－1A－1.教材习题答案：）伸缩变换（ρ11.：其逆变换为可逆σ,kyy ,x x =′=′yky ,x x 1=′=′：轴的反射变换）关于（ρ2x 可逆，yy ,x x －=′=′.y y ,x x －=′=′：其逆变换为ρ1201－1201）（12.其逆矩阵为可逆,10021021）（2其逆矩阵为可逆,1000）（3不可逆θθθθcos sin sin cos －θθθθcos sin sin cos －）（4其逆矩阵为可逆,()()..I I .I ,I ,.逆变换是唯一的则矩阵都是它的逆，是可逆的，设线性变换∴∴σ=σ•=σ•ρ•σ=σ•ρ•σ=•σ=σ=ρ•σ=σ•ρ=ρ•σ=σ•ρσσρ322212*********().A AA .E A A A A ,E A A A A ,A .=====41111111－－－－－－－可逆且即：则可逆设二阶矩阵∴()()()()()().A A A .E A A EA A A A A A A A ,E A A A AE A AAA A A .E A A A A ,A .211221111221111121211===========5－－－－－－－－－－－－－－也可逆且则可逆设二阶矩阵∴∴∴。
9.2(1)矩阵运算(加减法)
运算性质 加法运算律： A+B=B+A
加法结合律：（A+B）+C=A+（B+C）
矩阵的运算（一）
甲 乙 丙 语文 数学 外语 平时 期中 期末 平时 期中 期末 平时 期中 期末 85 80 90 80 85 90 80 85 90 70 70 70 80 80 70 80 80 70 80 85 90 90 95 90 70 90 80
书p74
（1）矩阵的定义
（2）矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。
（3）矩阵 方程组的系数矩阵。它是2行2 列的矩阵，可记做A22 （4）矩阵 方程组的增广矩阵。它是2 行3列的矩阵，可记做 A23
1 -2 5 3 1 8
1 2 3 1
（5）1行2列的矩阵 1 2 ，3 1 叫做系数 矩阵的两个行向量 1 2 （6）2行1列的矩阵 3 ， 1 叫做系数 矩阵的两个列向量
如果求这三位同学期末考试语文、数学、外语 三门总分． 记：语文成绩为矩阵 A 数学成绩为矩阵 B 外语成绩为矩阵 C 总分为矩阵 D 则：
90 90 90 270 A 70, B 70, C 70, D 210 90 90 80 260
称两个矩阵相等，记作 A B
矩阵的运算（一） 例1 已知
3 2 x y B 2 A 0 4 ， 2x y 4
且AB
求 x, y 的值。
矩阵的运算（一）
二、矩阵的加法 1.定义 当两个矩阵A，B的行数与列数分别 相等时，将它们对应位置上的元素 相加 (相减) 所得到的矩阵C 称为矩阵A、B的和（差）, 记作：A+B（A-B）
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B 都是 m × n 矩阵， λ , µ 是数) 运算规律(设 A ，
（4） ( λµ ) A = λ ( µ A ) . （5） ( λ + µ ) A = λ A + µ A . （6） λ ( A + B ) = λ A + λ B . （7） 1i A =
A. （8） λ A = 0 当且仅当 λ = 0 或 A = 0 .
A A =A k l kl (A ) = A
k
l
k +l
(k,l均为正整数)
由于矩阵的乘法不满足交换律，所以对于 同阶方阵 A 和 B ，一般说来
( AB) ≠ A B
k
k
k
但是，如果方阵 A 与 B 可交换，即 AB = BA 则
( AB ) = A B
k
k
k
设 f ( x) = a0 x + a1 x
⎛ 1 1⎞ 例6 设 f ( x) = x + 2 x + 1 , A = ⎜ ⎟, ⎝ 0 1⎠ 求 f ( A) .
n
2
解: f ( A) = An + 2 A2 + E
⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 2 ⎞ 因为 A = AA = ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟, ⎝ 0 1⎠ ⎝ 0 1⎠ ⎝ 0 1 ⎠
⋯ ，xn 到变 x2 ， 上式称为从变量 x1， y2 ， ym的线性变换. 量 y1 ， ⋯，
令
A = ( aij )
⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ x=⎜ ⋮ ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ n⎠
⎛ y1 ⎞ ⎜ ⎟ y =⎜ ⋮ ⎟ ⎜y ⎟ ⎝ m⎠
利用矩阵的乘法，则上述线性变换可写成矩 阵形式:
y = Ax .
⎛ 7 −1⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜3 2 ⎟ ⎜0 5 ⎟ ⎝ ⎠
⎛10 1 ⎞ ⎜ ⎟ 则A + B = ⎜ 4 2 ⎟ ⎜ 7 13 ⎟ ⎝ ⎠
运算规律 （设 A ， B， C 都是 m × n 矩阵）
B + A. （2）( A + B ) + C = A + ( B + C ) . （3） A + (− A) = 0 . 其中 − A = ( − aij ) ， − A 称为矩阵 A 的负矩阵.
m
m
m −1
+ ⋯ + am−1 x + am
为 m 次多项式， A 为 n 阶方阵，则
f ( A) ≜ a0 A + a1 A + ⋯ + am −1 A + am E 仍为一个n 阶方阵，称 f ( A ) 为方阵 A 的多项式
m −1
其中
⎛1 ⎜ 0 E =⎜ ⎜⋮ ⎜ ⎝0
0 ⋯ 0⎞ ⎟ 1 ⋯ 0⎟ 称为n阶单位矩阵 ⋮ ⋮⎟ ⎟ 0 ⋯ 1 ⎠n×n
由此可规定矩阵的减法为
（1） A + B =
A − B = A + ( −B ) .
2. 数与矩阵相乘 定义2 规定为 数λ 与矩阵 A 的乘积记作λ A 或 Aλ
⎛ λa11 λa12 ⋯ λa1n ⎞ ⎜ ⎟ λ a λ a ⋯ λ a 21 22 2n ⎟ ⎜ λ A = Aλ = ⎜ ⋮ ⋮ ⋮ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ λam1 λam2 ⋯ λamn ⎠
例如
⎛1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠
B = ( 4 5 6)
求 AB , BA . 解:
⎛ 1× 4 1× 5 1 × 6 ⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AB = ⎜ 2 ⎟ ( 4 5 6 ) = ⎜ 2 × 4 2 × 5 2 × 6 ⎟ ⎜ 3× 4 3× 5 3× 6 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(2) λ ( AB ) = ( λ A ) B = A ( λ B ) (λ为数） .
（3）A ( B + C ) = AB + AC ,
( B + C ) A = BA + CA .
例3 线性方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = b1 ⎪ a x + a x +⋯ + a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪ ⎪ ⎩ am1 x1 + am 2 x2 + ⋯ + amn xn = bm
⎧ y1 = a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn ⎪ y = a x + a x +⋯ + a x ⎪ 2 21 1 22 2 2n n ⎨ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪ ⎪ ⎩ ym = am1 x1 + am 2 x2 + ⋯ + amn xn
其中 aij 为常数 (i = 1, 2, ⋯ , m ; j = 1, 2, ⋯, n) .
单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1 在算术乘法中的作用.
3. 矩阵的乘法 定义3 设 A = aij
( )
m× s
， B = bij
( )
s×n
规定:矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个m × n 矩阵
C = ( cij )m×n
其中
cij = aBiblioteka 1b1 j + ai 2b2 j + ⋯ + ais bsj
= ∑ aik bkj ( i = 1, 2,⋯ , m ; j = 1, 2,⋯ , n )
⎛4 5 6⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 8 10 12 ⎟ ⎜12 15 18 ⎟ ⎝ ⎠
⎛1⎞ ⎜ ⎟ BA = ( 4 5 6 ) ⎜ 2 ⎟ = 4 ×1 + 5 × 2 + 6 × 3 ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ = 32
显然AB≠BA
⎛ 2 4 0⎞ 例1 A = ⎜ ⎟ ⎝ 1 0 3⎠
⎛6 1 2⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜7 2 5⎟ ⎜3 0 0⎟ ⎝ ⎠
⎛ a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn ⎞ ⎜ ⎟ a21 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2 n xn ⎟ ⎜ = ⎜ ⎟ ⋮ ⎜ ⎟ ⎝ am1 x1 + am 2 x2 + ⋯ + amn xn ⎠
根据矩阵相等的定义，即知可表示成Ax=b的形式。
例4
设变量
y1 , y2 ,⋯ , ym 均可表示成变量 x1 , x2 ,⋯ , xn 的线性函数，即
⎛ −6 1 3 ⎞⎛ z1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ 12 −4 9 ⎟⎜ z2 ⎟ ⎜ −10 −1 16 ⎟⎜ z ⎟ ⎝ ⎠⎝ 3 ⎠
即
⎧ x1 = − 6 z1 + z2 + 3 z3 ⎪ ⎨ x2 = 12 z1 − 4 z2 + 9 z3 ⎪ x = −10 z − z + 16 z 1 2 3 ⎩ 3
求 z1 , z2 , z3 到
x1 , x2 , x3
的线性变换.
解: 上述两个线性变换的系数矩阵分别为
⎛ −3 1 0 ⎞ ⎛ 2 0 1⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜ 2 0 1⎟ A = ⎜ −2 3 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 −1 3 ⎟ ⎜ 4 1 5⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
记
⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ x = ⎜ x2 ⎟ , ⎜x ⎟ ⎝ 3⎠
可以表示成
Ax = b
其中A是方程组的系数矩阵
⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ x =⎜ ⋮ ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ n⎠
⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ b=⎜ ⋮ ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ m⎠
因为
⎛ a11 ⎜ Ax = ⎜ a21 ⎜ ⋮ ⎜ ⎝ am1
a12 a22 am 2
⋯ a1n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⋯ a 2 n ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⋮ ⎟⎜ ⋮ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⋯ amn ⎠ ⎝ xn ⎠
⎛ 1 1⎞ A=⎜ ⎟ ⎝ 0 1⎠
⎛ x1 B=⎜ ⎝0
x2 ⎞ ⎟ x1 ⎠
⎛ x1 不难验证： AB = BA = ⎜ ⎝0
x1 + x2 ⎞ ⎟ x1 ⎠
一般地，如果矩阵的乘积与次序无关 , 即 AB=BA, 称矩阵A, B可交换. 矩阵乘法满足结合律和分配律:(假定运 算是可行的) （1）( AB) C =A (BC)
( )
( )
⎛ a11 + b11 a12 + b12 ⋯ a1n + b1n ⎞ ⎜ ⎟ a + b a + b ⋯ a + b 21 21 22 22 2 n 2n ⎟ ⎜ A+ B = ⎜ ⋮ ⎟ ⋮ ⋮ ⎜ ⎟ ⎝ am1 + bm1 am2 + bm2 ⋯ amn + bmn ⎠
例如
⎛ 3 2⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 0⎟ ⎜7 8⎟ ⎝ ⎠
解:
⎛ 1 2 ⎞⎛ 2 −3⎞ ⎛ 8 −1 ⎞ AB = ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ 2 1 ⎠⎝ 3 1 ⎠ ⎝ 7 − 5⎠ ⎛ 2 −3 ⎞⎛ 1 2 ⎞ ⎛ −4 1 ⎞ BA = ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎝ 3 1 ⎠⎝ 2 1 ⎠ ⎝ 5 7 ⎠
显然AB≠BA
总之，一般说来，AB≠BA, 即矩阵的乘法不 满足交换律．不过，在有些情况下，也可能 有AB=BA. 例如：
求AB, 并问BA是否有意义? ⎛ 6 1 2⎞ 解: ⎛ 2 4 0⎞⎜ ⎟ AB = ⎜ ⎟⎜ 7 2 5⎟ ⎝ 1 0 3⎠ ⎜ ⎟ 3 0 0 ⎝ ⎠
⎛ 40 10 24 ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 15 1 2 ⎠
显然 BA 无意义
例2
⎛1 2⎞ A=⎜ ⎟ ⎝2 1⎠
求AB，BA
⎛ 2 −3 ⎞ B=⎜ ⎟ ⎝3 1 ⎠