工业机器人的数学基础

工业机器人技术基础
第二章 工业机器人的数学基础
工业机器人技术基础
▲矩阵与矩阵相乘 设矩阵A=(aij ) ms ，B=(bij ) sn，则矩阵A和矩阵B的乘积矩阵C=
（cij）mn，其中 Cij=ai1b1j+ai2b2j++aisbsj
（i=1，2， ，m；j=1，2， ，n） 记作C=AB。
A B = A +(-B)
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III 矩阵的运算 ▲矩阵相等
条件：①矩阵要同阶②对应元素相等 满足上述条件，矩阵就相等。 如下述矩阵：
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a11 a12 L a1n
A
a21
a22 L
a2
n
M M M M
am1
am2
L
amn
b11 b12 L b1n
例1 求AB和BA。其中
b1
A a1 a2 L an
,
B
b2
M
解：
b1
bn
AB a1 a2 L
an
b2
M
a1b1
a2b2
L
n
anbn aibi
i1
bn
b1
BA
b2
M
a1
a2
L
bn
b1a1 b1a2 L b1an
an
b2a1 M
b2a2 M
L
b2an
M M
bna1 bna2 L bnan
4 2 0 2 2 1 0 1 3
如果n阶矩阵A=（aij）的元素满足aij= aji（i，j=1，2，，n），则称 A为n阶反对称矩阵。显然，故aii=0（i=1，2，，n）
如：
0 1 2
1
0
3
2 0
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III 矩阵的运算
▲矩阵的加法
设有两个mn的矩阵A=（aij），B＝（bij），则矩阵A和B的和记作 A+B 。即：
aij=bij （i=1，2，，m；j=1，2，，n），
那末就称矩阵A与矩阵B相等，记作 A=B。元素都是零的矩阵，记作0。 注意不同型的零矩阵是不同的。
II 几种特殊矩阵
a) 对角矩阵(diagonal matrix)，如下的矩阵称为对角矩阵，记为diag （a11 ,a22,a33…… ann ）
a11
0
M
0
0 a22
M 0
L L
M L
0
0
M
ann
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b) 数量矩阵(scalar matrix)
a 0 L 0
0 a L
0
M M M M
0 0 L
a
c) 三角矩阵(triangular matrix)
上三角矩阵(upper triangular matrix)
对于矩阵的乘法需注意以下三点：
第一，只有矩阵A的列数等于B的行数时，AB才有意义。
第二，乘积C=（cij）mn的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行的 每一个元素与矩阵B的第j列的对应元素的乘积之和。
第三，乘积C的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数。
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例2 求AB和BA。其中
A
1 1
1 1 ,
B
1
1
1 1
解：
AB
1 1
1 1
1
1
1 1
0 0
0 0
BA
1
1
1 1 1 1
1 1
2`
2
2
2
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在上述两个例子中都有ABBA，即矩阵乘法不满足乘法交换律，为此 将AB称为用A左乘B，而将BA称为A右乘以B。还应注意到在例5中：A， B均为非零矩阵，但AB却为零矩阵。
B
b21
b22 L
b2
n
M M M M
bm1 bm2 L
bmn
若aij bij，则A B
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▲数与矩阵相乘 数与矩阵A的乘积记作A或A，规定为
a11
A
A
a21
M
am1
a12 a22
M
am 2
L a1n
L
a2n
M M
L amn
易证，数乘矩阵满足下列运算规律（设A、B为 mn矩阵，、为数）： (i). （）A = （A）； (ii). （+）A = A + A； (iii). （A + B）=A + B。
a11 a12 L
a1n
0
a22 L
a 2n
L L L L L L L L L L L
0
0
L
amn
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d) 对称阵(symmetric matrix）和反对称阵(anti-symmetric matrix)
如果n阶矩阵A=（aij）的元素满足aij=aji（i，j=1，2，，n），则称A 为n阶对称矩阵 ，如
j=1,2，，n），排
a11
a12
L
a1n
A a 21
a 22
L
a 2n
L L L L L L L L L L L
a m1
a m2
L
a mn
称为m行n列矩阵，简称为mn矩阵。这mn个数称为矩阵A的元素，aij 叫做矩阵A的第i行第j列元素。元素是实数的矩阵叫做实矩阵，元素是复 数的矩阵叫做复矩阵。本教程中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵。通 常用大写的拉丁字母A、B、C等表示矩阵。有时为了指明矩阵的第i行第j 列元素为aij，可将A记
第2章 工业机器人的数学基础
主要内容 2.1 矩阵及运算 2.2 坐标系及其关系描述 2.3 坐标变换 2.4 机器人运动学 2.5 机器人动力学
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2.1 矩阵及运算
1.矩阵的定义
定义1 由mn个数aij（i=1，2，，m； 成m行n列的数表：
作A=(aij)mn 或A= (aij) ，也可将mn矩阵A记为Amn。当A的行数与列 数相等时，称A为n阶方阵或n阶矩阵。显然，一阶矩阵就是一个数。
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2.1 矩阵及运算
只有一行的矩阵A=（a1，a2，，an）叫做行矩阵；只有一列的矩阵叫 做列矩阵。两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们为同型矩阵。 如果A=(aij)与B=(bij)是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即
a11 b11
A
B
a21
b21
M
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
M am2 bm2
L a1n b1n
L
a2n
b2n
M M
L
amn
bmn
易证，矩阵加法满足下列运算规律（设A、B、C都是mn矩阵）： a) A+B=B+A； b)（A+B）+ C=A +（B+C）。
设矩阵A=（aij），记 A=（aij）， A称为A的负矩阵，显然有A +（A）= 0。 由此定义矩阵的减法运算为