苏州大学数学分析(二)课堂练习(2018.6.20)

数学分析Ⅱ练习15答案

当
x2 < 1 ,即 −2 < x < −2 时级数收敛,故级数的收敛半径为 R = 2 . 4
2
数学分析Ⅱ
练习题(十五)答案
∞
班级:
学号:
姓名:
2n + 1 2 n ∞ 2n + 1 2n + 1 ,而 lim ≠ 0 ,故当 x = ±2 时,幂级数发散,于是级数 x =∑ 2 n +1 n →∞ 2 2 n=0 2 n=0 的收敛域为 (−2, 2) . ∞ 2n + 1 设 f ( x) = ∑ 2 n +1 x 2 n , x ∈ (−2, 2) ,则 n =0 2
2、设幂级数 ∑ an x n 在点 x = −3 收敛,则在点（
n =0
∞
B
）
A、 x = −3 绝对收敛 C、 x = 3 收敛解根据阿贝尔第一定理
∞ n =0 ∞
B、 x = 2 绝对收敛 D、 x = 4 发散
∞
若幂级数 ∑ an x n 点 x0 ≠ 0 收敛,则 ∀x : x < x0 ,幂级数 ∑ an x n 收敛且绝对收敛;
n =0
3、设幂级数 ∑ a n x n 在 x = −2 处发散,则在 x = 3 处此级数（
n =1
B
）
A、收敛 B、发散解根据阿贝尔第一定理
∞ n =0
C、可能收敛
D、可能发散
∞
若幂级数 ∑ an x n 在点 x1 发散,则 ∀x : x > x1 ,幂级数 ∑ an x n 也发散.
n=0
2 n +1
=
2x , ∀x ∈ (−2, 2) 4 − x2
3

江苏大数学分析-第四章函数的连续性习题课

1．函数 f 在点 x0 有极限与函数 f 在点 x0 连续有什么区别与联系？
答：1）从对邻域的要求看：在讨论极限时，假定 f 在U 0 (x0 ) 内有定义（ f 在点 x0 可
以没有定义）．而 f 在点 x0 连续则要求 f 在某U (x0 ) 内有定义（包括 x0 ）．
2）在极限中，要求 0 <| x - x0 |< d ，而当“ f 在点 x0 连续”时，由于 x = x0 时，
lim
x®x0
f (x) ¹
f (x0 )
Û $e 0
> 0, "d
> 0, $x¢ÎU °(x0 ;d ) ，使得
f (x¢) - f ( x0 ) ³ e0 ．
例如狄利克雷函数
D(
x)
=
ì1,当x为有理数, íî0,当x为无理数,
"x0
Î
R,
lim
x®x0
D(x)
不存在．
因为："x0
，取 e 0
第四章函数的连续性习题课
一概念叙述
1．叙述 f 在在点 x0 连续的定义． f 在点 x0 连续 Û "e > 0, $d > 0 ，当| x - x0 |< d 时，有| f (x) - f (x0 ) |< e ．
2．叙述 f 在 I 上一致连续的定义．
f 在 I 上一致连续 Û "e > 0, $d (e ) > 0 ， "x¢, x¢¢Î I ，只要 x¢ - x¢¢ < d ，就有
x0 = 0 点不连续．
2）设在点 x0 处， f ( x) 不连续， g ( x) 不连续， f ( x) + g ( x) ， f ( x).g ( x ) 在 x0 点

数学分析课后习题答案2.00

(1 + h) n >
得
1 n(n − 1)(n − 2)n 3 (n > 2) 3!
2 (1 − ) → 0(n → ∞) 1 n n(1 − ) n 1
6 6 n2 n2 < 3 = 3 0< n q = n (1 + h) h n(n − 1)(n − 2) h
2 n
故由迫敛性定理知 lim n q = 0
n →∞
证: (1)因为 lim a n = a ,故对任意的 ε > 0, 必存在 N 1 ,当 n > N 时, a n − a < ε ,
n →∞
于是当 n > N 1 时
a − a + a2 − a + + an − a a1 + a 2 + + a n −a = 1 n n
1 ≤ ( a1 − a + a2 − a + + a N1 +1 − a + a N1 + 2 − a + + an − a ) n
n →∞ n →∞ n →∞
所以
lim a n = lim bn ,
n →∞ n →∞
6、若数列 {a n } 存在常数 M,对一切的 n 有
An = a 2 − a1 + a3 − a 2 + 3 + a n − a n −1 ≤ M ,
证明:(1) { An } 为收敛数列; (2) {a n } 为收敛数列. 证 (1) 因为 An +1 − An = a n +1 − a n ≥ 0 ,且 An ≤ M , 所以 { An } 为递增且有上界的数列,故必收敛. (2) 由于 { An } 收敛,由柯西准则,对任给的 ε > 0 ,存在 N,当 m>n>N 时,

数学分析2部分习题解析(傅里叶级数部分)

数学分析2部分习题解析傅里叶级数部分第3节部分习题1、设f 以2π为周期且具有二阶连续的导数，证明f 的傅里叶级数在(),-∞+∞上一致收敛于f 。

证明由条件知，f 一定是以2π为周期的连续函数且在一个周期区间[],ππ-上按段光滑，所以由收敛定理得，在(),-∞+∞上有()011cos sin ()2n n n a a nx b nx f x ∞=++=∑，其中0a ，n a ，n b （1n ≥）为()f x 的傅里叶系数。

由三角级数一致收敛的判别法，下证()0112n n n a a b ∞=++∑收敛即可。

事实上，记0a '，n a '，nb '为导函数()f x '的傅里叶系数，由()f x 与()f x '的傅里叶系数的关系得0a '=，n n a nb '=，n n b na '=-。

所以，()()22211112n n n n n n a b b a a b n n n ⎛⎫''''+=+≤++ ⎪⎝⎭。

又由傅里叶系数满足的贝塞尔不等式得，()()()221nn n a b ∞=''+∑收敛，再注意到211n n∞=∑收敛，所以()0112n n n a a b ∞=++∑收敛，故结论成立。

2、设f 为[],ππ-上的可积函数，证明：若f 的傅里叶级数在[],ππ-上一致收敛于f ，则成立帕塞瓦尔等式：()22220111()d 2n n n f x x a a b πππ∞-==++∑⎰，其中0a ，n a ，n b （1n ≥）为()f x 的傅里叶系数。

证明由f 在[],ππ-上可积得，f 在[],ππ-上有界，从而由题设可得()2011()()cos ()sin ()2n n n a f x a f x nx b f x nx f x ∞=++=∑，在[],ππ-上一致成立。

苏州大学理工类高等数学课次练习

院系专业学号姓名 3211.1 对弧长的曲线积分1. 计算下列对弧长的曲线积分 (1)⎰+L n ds y x )(22 , 其中)20(sin cos :π≤≤⎩⎨⎧==t t R y t R x L 122+n R π(2)⎰Lds x 2 , 其中L 为由1222=++z y x 与0=++z y x 所表示的圆的一周 32π(3)⎰Γ++ds z y x 2221,Γ为曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos 上相应于t 从0到π2 的一段弧)1(232π--e(4)⎰+Lds y x )(3434, 其中L 为内摆线323232a y x =+ 374a(5)设L 为双纽线)0(),()(222222>-=+a y x a y x , 求ds y L ⎰)22(22-a院系专业学号姓名 3311.2 对坐标的曲线积分1. 计算下列对坐标的曲线积分 (1)⎰L xydx , 其中L 为)0(,)(222>=+-R R y R x 及x 轴所围成的在第一象限内的区域的逆时针方向绕行的整个边界23R π-(2)⎰+--+L yx dy y x dx y x 22)()( , 其中L 为逆时针方向绕行的圆周222R y x =+ π2-(3)⎰Γ+-++dz y x ydy xdx )2(32 , 其中Γ为从点)1,1,1(到点)4,3,2(的直线段 39/2(4)⎰-+-L dy xy y dx xy x )2()2(23 , 其中L 为2x y =上从点)1,1(-到点)1,1(的一段弧-4/52. 利用曲线积分计算星形线323232a y x =+所围图形的面积 283a π院系专业学号姓名 3411.3 格林公式及其应用1. 利用格林公式计算下列曲线积分 (1)⎰-+++-Ldy y x dx y x )753()42( , 其中L 为三顶点分别为)2,3(),0,3(),0,0(的三角形正向边界15(2) ⎰+-L y x xdy ydx )(422其中L 为9)2(22=+-y x ,且为逆时针方向 2π-2. 验证下列曲线积分与路径无关,并求积分值(1)⎰--)1,1()0,0())((dy dx y x 0(2) ⎰-)2,1()1,2(2x xdy ydx 沿在右半平面的路线 -3/2院系专业学号姓名 353. 利用格林公式计算曲线积分⎰-+-Ldy y x dx y y )1cos ()(sin , 其中L 为圆周x y x 222=+上从点)0,0(O 到点)1,1(A 的一段弧411sin π--4. 验证下列dy y x Q dx y x P ),(),(+是某一函数),(y x U 的全微分,并求这个),(y x U(1)dy y xy x dx y xy x )2()2(2222--+-+ (2)ydy x dx y x cos )sin 2(++ C y xy y x x y x U +--+=33),(3223 C y x x y x U ++=sin ),(25. 在过点)0,0(O 与点)0,(πA 的曲线族x a y sin = )0(>a 中求一条曲线L , 使沿该曲线从O 到A 的积分⎰+++L dy y x dx y )2()1(3的值最小1=a6. 求可微函数)(x f ,使0))((=-⎰L xdy ydx x f 成立,其中L 为与y 轴不相交的任何闭曲线2xC y =院系专业学号姓名 36第十一章曲线积分习题课1. 计算⎰+Lds y x )( , 其中L 为连接点)1,0(),0,1(),0,0(的闭折线 21+2. 计算⎰+L y x ds e 22 , 其中L 为圆周222a y x =+,直线0,==y x y 在第一象限内围成扇形的边界a a ae e 4)1(2π+-3. 计算⎰-L ydx x dy xy 22, L 是从)0,1(A 沿21x y -=到)0.1(-B 的圆弧4π4. 设曲线积分⎰+L dy x y dx xy )(2ϕ与路径无关,其中ϕ具有连续导数,且0)0(=ϕ,计算⎰+)1,1()0,0(2)(dy x y dx xy ϕ1/2院系专业学号姓名 375. 计算曲线积分⎰+---=L y x dyx ydx I 22)1()1((1)L 为圆周0222=-+y y x 的正向(2) L 为椭圆08422=-+x y x 的正向π2-6. 设曲线L 是正向圆周1)()(22=-+-a y a x ,)(x ϕ是连续的正函数,证明πϕϕ2)()(≥-⎰L dx x y dy y x院系专业学号姓名 3811.4 对面积的曲面积分1. 计算下列对面积的曲面积分(1)⎰⎰∑++dS z y x )(,其中∑是上半球面0,2222>=++z a z y x3a π(2)⎰⎰∑+22yx dS ,其中∑是柱面222R y x =+被平面0,0>==h z z 所截取的部分 Rh π2(3)⎰⎰∑xyzdS ,其中∑是平面1=++z y x 在第一卦限的部分12032. 求面密度为z =ρ的抛物面壳)(2122y x z +=)10(≤≤z 的质量 π)152534(+院系专业学号姓名 3911.5 对坐标的曲面积分1. 计算下列对坐标的曲面积分(1)⎰⎰∑yzdzdx ,其中∑是球面1222=++z y x 的上半部分并取外侧 4π(2) ⎰⎰∑++zxdxdy yzdzdx xydydz ,其中∑是由平面1,0=++===z y x z y x 所围的四面体表面并取外侧为正向1/82. 求流速场k y i x v ρρρ2+=穿过曲面22y x z +=与平面1=z 所围的立体表面的流量2π院系专业学号姓名 4011.6 高斯公式1. 利用高斯公式计算⎰⎰∑+++-dxdy xz ydzdx x dydz z x y )()(22 , 其中∑是a z z a y y a x x ======,0,,0,,0所围成的正方体表面的外侧4a2. 利用高斯公式计算⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz , 其中∑是介于3,0==z z 之间的圆柱体922≤+y x 的整个表面的外侧π81院系专业学号姓名 41 第十一章曲面积分习题课1. 计算⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 111 , 其中∑是球面2222R z y x =++的外侧 R π62. 设∑是球面2222a z y x =++的外侧,计算⎰⎰∑zdxdy343a π3. 计算⎰⎰∑-+-+-dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()( , 其中∑是)0(222h z y x z ≤≤+=的下侧苏州大学理工类高等数学课次练习院系专业学号姓名 424.求曲面积分⎰⎰∑+dS y x )(22 , ∑为锥面22y x z +=与平面1=z 所围成的区域的边界曲面 π212+5.计算对坐标的曲面积分⎰⎰∑++=dxdy z h dzdx y g dydz x f I )()()(,其中∑是平行六面体c z b y a x ≤≤≤≤≤≤0,0,0的表面并取外侧,)(),(),(z h y g x f 为∑上的连续函数 ab h b h ac g b g bc f a f ))0()(())0()(())0()((-+-+-。

苏州大学数学分析试题集锦(2000-2012年)

7. 设 f 在0, 上单调递减，且 f x dx 收敛。证明 lim xf x 0 。
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
8.
（1）设 f 在有限闭区间a, b 上连续。证明 f 可以连续地延拓到上，即存在上
的连续函数 F ，使 x a,b 时，有 F x f x 。
（2）设二元函数 f x, y 在闭圆盘 B x, y : x2 y2 1 上连续。证明存在 2 上
（2） x R ， f x 2 。
2
2008 年攻读硕士学位研究生入学考试数学分析试题 1. 求下列极限。
（1） lim
1
1
1
；
n n2 1 n2 2
n2 n
（2） lim ex3 1 x3 。 x0 sin2 2x
2.
计算积分
2 0
a2
cos2
dt t
b2
sin2
苏州大学
2012 年攻读硕士学位研究生入学考试数学分析试题一、下列命题中正确的给予证明，错误的举反例或说明理由。共 4 题，计 30 分。
1.
设
f
x
在
a,
b
上连续，且
b
a
f
x dx 0 ，则 x a,b ，
f
x 0。
2. 在有界闭区间a,b 上可导的函数 f x 是一致连续的。
3. 设 f x 的导函数 f x 在有限区间 I 上有界，则 f x 也在 I 上有界。
1. 设 f x 在a,b 上可微，证明：存在 a,b ，使成立
2 f b f a b2 a2 f 。
2. 设 f x ex2 sin x ，求 f 2012 0 。

苏州大学数学分析考研部分试题答案

1、设)(x f 是以T 为周期的周期函数且⎰=TC x f T 0)(1，证明⎰+∞∞→=n n C dx x x f n 2)(lim 。

证明：由⎰=T C x f T 0)(1，得到⎰=-Tdx C x f T 00])([1，从而有⎰=-T dx C x f 00])([ （*）本题即证明⎰+∞∞→=-n n dx x C x f n 0)(lim 2（此因⎰+∞=n n dx x112）注意到21x 是递减的正函数，应用积分第二中值定理，对ξ∃>∀,n A 介于n 与A 之间，使⎰⎰-=-A n n dx C x f n dx xC x f n ξ])([1)(2 k ∃为非负整数使T kT n <--<ξ0，于是由（*），dx C x f dx C x f dx C x f dx C x f kTn kTn kTn nn⎰⎰⎰⎰+++-=-+-=-ξξξ])([])([])([])([于是有dxC x f n dx C x f n dx C x f n dx x C x f nTkT n kT n An⎰⎰⎰⎰-≤-≤-=-++02)(1)(1])([1)(ξξ令∞→A 有dx C x f n dx xC x f nTn⎰⎰-≤-∞+02)(1)( 故⎰+∞∞→=-nn dx x C x f n0)(lim 2，即⎰+∞∞→=n n C dx x x f n 2)(lim 。

2、设函数f(x)在整个实数轴有连续的三阶导数，证明存在实数a 使0)()()()(''''''≥a f a f a f a f 。

证明：由于f 的三阶导数连续，故若'''''',,,f f f f 有一个变号的话，利用根的存在性原理便知，使a ∃0)()()()(''''''＝a f a f a f a f ，结论得证。

苏州大学2018届高考考前指导卷2(终稿)

（2）①若
，求
的最大值；
②在 x轴上是否存在一点 P，使得
为定值，若存在，求出点 P；若不存在，请说明理由．
y
B
OQ
x
A
（第 18题图）
3
19．（本小题满分 16分）已知数列{an}，{bn}满足：bn＝an＋1－an（n∈N*）．
（1）若 a1＝1，bn＝n，求数列{an}的通项公式；
（2）若 bn＋1bn－1＝bn（n≥2），且 b1＝1，b2＝2．
（1）若点 M 是线段 BC的中点，
，求 b的值；
（2）若
，求△ ABC的面积.
，
.
2
17．（本小题满分 14分）某校在圆心角为直角，半径为
的扇形区域内进行野外生存训练．如图所示，在相距
的 A，B
两个位置分别有 300，100名学生，在道路 OB上设置集合地点 D，要求所有学生沿最短路径到 D点集
S← 2I+1 I← I+2 End While Print S （第 5题图）
为▲．
8．设 Sn是等比数列{an}的前 n项和，若满足 a4+3a11=0，则
▲．
9．已知
，函数
和
存在相同的极值点，则
▲．
10.在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 C：x2＋(y－1)2＝4，若等边△PAB的一边 AB为圆 C的一条弦，
所以
平面 CDE.
（2）在△ABD中，因为∠ABD=60º，BD=2AB，
所以
，即
，
因为
，所以
又
，所以
平面 ACD，
又
面 ABC，所以平面 ABC⊥平面 ACD.
16.解（1）因为点 M 是线段来自C的中点，，设，则