椭圆的参数方程
课前自主学习
课堂讲练互动 课堂达标测练 教材超级链接
1. 椭圆的参数方程
(1)椭圆xa22＋by22＝1
的参数方程为
x＝acos φ， __y_＝__b_s_in___φ__ (φ 为参数)，
参数的几何意义是以___a_为__半__径__所__作___圆__上__一__点__和__椭___圆__中__心_ _的__连__线___与__x_轴__正__半__轴___的__夹__角___．
课前自主学习
课堂讲练互动 课堂达标测练 教材超级链接
证明 如图所示，
设 Pcosa α，btan α，Acosa θ，btan θ.
∵AB 过原点 O， ∴A，B 的坐标关于原点对称，
于是有 B－cosa θ，－btan θ，从而：
kPA·kPB＝b（atcaons1
α－tan α－cos1
θθ）·ba（ctoasn1
1 cos
α，tan
α
.d1
＝
1 cos
α－tan
α
2
，
d2
＝
1 cos
α＋tan
α，
2
d1·d2＝cos12α－2 tan2α＝12，
故 d1 与 d2 的乘积是常数．
课前自主学习
课堂讲练互动 课堂达标测练 教材超级链接
[P36 思考交流]
参照求圆的参数方程
x＝（11－＋kk22）r，
(k
m/s2)
(1)求炮弹从发射到落地所需的时间； (2)求炮弹在运动中达到的最大高度．
课前自主学习
课堂讲练互动 课堂达标测练 教材超级链接
解 (1)令 y＝20tsin π6 －12gt2＝0，即 4.9t2－10t＝0.解得 t ＝0 或 t≈2. 所以炮弹从发射到落地所需时间约为 2 秒． (2)由 y＝10t－4.9t2， 得 y＝－4.9t2－14090t＝－4.9t－54092＋24590.
x＝v0t， y＝588－12gt2
(g＝9.8 m/s2)，即xy＝＝518580－t，4.9t2，
课前自主学习
课堂讲练互动 课堂达标测练 教材超级链接
这是炸弹飞行曲线的参数方程． (2)炸弹飞行到地面目标B处的时间t0满足方程y＝0， 即 588－4.9t2＝0，解得 t0＝2 30. 由此得 x0＝150×2 30＝300 30≈1 643 (m)．
即飞机在离目标约1 643 m(水平距离)处投弹才能击中目 标． 【反思感悟】 准确把握题意，分析物理学中运动过程，选 择适当的坐标系及变量，将物理问题转化为数学问题．利 用抛物线的参数方程解决．
课前自主学习
课堂讲练互动 课堂达标测练 教材超级链接
3．若不计空气阻力，炮弹运行轨道是抛物线，测得我炮位A 与炮击目标B在同一水平线上，水平距离为6 000米，炮弹 运行的最大高度为1 200米，求炮弹的发射角α和发射初速 度v0(重力加速度g＝9.8米/秒)．
(2)若x＋y＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)设圆的参数方程为xy＝＝1co＋s sθin ，θ，
2x＋y＝2cos θ＋sin θ＋1＝ 5sin(θ＋φ)＋1，
∴－ 5＋1≤2x＋y≤ 5＋1.
(2)x＋y＋a＝cos θ＋sin θ＋1＋a≥0. ∴a≥－(cos θ＋sin θ)－1＝－ 2sinθ＋π4 －1，
(2)设P是(1)中椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方 程． 解 (1)由椭圆上点A到F1、F2的距离之和是4， 得2a＝4，即a＝2.
又点 A1，32在椭圆上，
课前自主学习
课堂讲练互动 课堂达标测练 教材超级链接
因此14＋32b22＝1，得 b2＝3， 于是 c2＝a2－b2＝1，所以椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1， 焦点坐标为 F1(－1，0)，F2(1，0)．
当 cosθ＋π4 ＝－1 时，dmax＝152(2＋ 2)；
当 cosθ＋π4 ＝1 时，dmin＝152(2－ 2)．
课前自主学习
课堂讲练互动 课堂达标测练 教材超级链接
x＝20tcos 3．已 知 弹 道 曲 线 的 参 数 方 程 为
y＝20tsin
π
6， π6 －12gt2
(g
＝
9.8
课前自主学习
课堂讲练互动 课堂达标测练 教材超级链接
【思维导图】
【知能要点】 1．椭圆的参数方程． 2．双曲线的参数方程．
课前自主学习
课堂讲练互动 课堂达标测练 教材超级链接
题型一 椭圆的参数方程
1． 和圆的参数方程yx＝＝rrscions
θ， θ 中的参数
θ
是半径
OM
的旋
转角不同，椭圆参数方程xy＝＝bascions
课前自主学习
课堂讲练互动 课堂达标测练 教材超级链接
2．已知双曲线xa22－by22＝1 (a>0，b>0)的动弦 BC 平行于虚轴， M，N 是双曲线的左、右顶点，求直线 MB，CN 的交点 P 的轨迹方程．
解 设点 Bcosa φ，btan θ，则 Ccosa φ，－btan θ，
又 M(－a，0)，N(a，0)．
课堂讲练互动 课堂达标测练 教材超级链接
题型二 双曲线的参数方程
与椭圆类似，双曲线的参数方程x＝cosa φ， (φ 为参数)中 y＝btan φ
φ 的几何意义也是双曲线上一点 M 的离心角． 【例2】直线 AB 过双曲线xa22－by22＝1 的中心 O，与双曲线交于
A，B 两点，P 是双曲线上的任意一点．求证：直线 PA， PB 的斜率的乘积为定值．
由xa22＋yb22＝1，
可得直线 AP 与椭圆的交点的横坐
标，x1＝－a，x2＝abb22＋－aa23kk22.
直线 AP 与椭圆交点的纵坐标为 y1＝0，y2＝b22＋aba22kk2
课前自主学习
课堂讲练互动 课堂达标测练 教材超级链接
即点 P 的坐标为abb22＋－aa23kk22，b22＋aba2k2k2. ∵点 P 是椭圆任意的不同于 A 的点， ∴xy＝＝abb2b22＋2a＋－baa2ak22k3kk222，(k 为参数)，
解 由动点C在该椭圆上运动，故据此可设点C的坐标为
(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标为(x，y)，则由题意可知点
A(6，0)，B(0，3)．
由重心坐标公式可知xy＝＝06＋＋30＋＋3336scions
θ
＝2＋2cos
θ，
θ
＝1＋sin
θ.
由此消去 θ 得到（x－42）2＋(y－1)2＝1 即为所求．
弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来．
课前自主学习
课堂讲练互动 课堂达标测练 教材超级链接
解 (1)如图所示，A为投弹点，坐标为 (0，588)，B为目标，坐标为(x0， 0)．记炸弹飞行的时间为t，在A点t＝0. 设M(x，y)为飞行曲线上的任一点，它 对应时刻t，炸弹初速度v0＝150 m/s， 用物理学知识，分别计算水平、竖直 方向的路程，得
所以当 t＝5409时，ymax＝24590≈5.1. 所以炮弹在运动中达到的最大高度为 5.1 米．
4 ．已知双曲线方程为x2－y2＝1，M为双曲线上任意一点，M 点到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘 积是常数．
ห้องสมุดไป่ตู้
课前自主学习
课堂讲练互动 课堂达标测练 教材超级链接
证明 设d1为M点到渐近线y＝x的距离，d2为M点到渐近 线y＝－x的距离， 因为M点在双曲线x2－y2＝1上，则可设M点坐标为
课前自主学习
课堂讲练互动 课堂达标测练 教材超级链接
【反思感悟】 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解 决相关问题的优越性．运用参数方程显得很简单，运算更 简便．
课前自主学习
课堂讲练互动 课堂达标测练 教材超级链接
1．设 F1、F2 分别为椭圆 C：xa22＋by22＝1 (a>b>0)的左、右焦点． (1)若椭圆 C 上的点 A1，32到 F1、F2 距离之和等于 4，写 出椭圆 C 的方程和焦点坐标；
(2)中心在
C(x0，y0)的椭圆的参数方程是xy＝＝yx00＋＋bascions
φ， φ
(φ 为参数)．
课前自主学习
课堂讲练互动 课堂达标测练 教材超级链接
2．双曲线的参数方程 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线xa22－by22＝1 的参数方程
x＝cosa φ (φ 为参数) 为___y＝ ___b_ta_n___φ_________ ，规定 φ 的取值范围为 φ__∈__[_0_，__2_π__)_且_____φ_≠__π2__，__φ_≠__32_π____．
课前自主学习
课堂讲练互动 课堂达标测练 教材超级链接
解 在以 A 为原点，直线 AB 为 x 轴的直角坐标系中，弹道方
x＝v0tcos α， 程是y＝v0tsin α－12gt2(t 为参数)
它经过最高点(3 000，1 200)和点 B(6 000，0)的时间分别为 t0
3 000＝v0t0cos α， 和 2t0，代入参数方程得1 200＝v0t0sin α－12gt20，
∴直线 MB 的方程为 y＝cobstaanφ＋θa(x＋a)
直线 CN 的方程为 y＝－cosbataφn－θa(x－a)．
将以上两式相乘，得点 P 的轨迹方程为xa22＋by22＝1.
课前自主学习
课堂讲练互动 课堂达标测练 教材超级链接
题型三 参数方程的应用
若曲线的参数方程xy＝＝22pptt2， (t 为参数)，由于xy＝1t ，因此 t
上面参数方程即为椭圆的另一种形式的参数方程．其中参 数k表示直线AP的斜率．也由此可以看出，由于参数的选 取不同，参数方程也不同．
椭圆参数方程推导原理
椭圆参数方程推导原理
椭圆参数方程是一种用来描述椭圆形状的数学方程，它可以用来描述椭圆的位置、大小和形状。
椭圆参数方程的推导原理是基于椭圆的标准方程，即：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴。
椭圆参数方程的推导原理是将椭圆的标准方程转换为椭圆参数方程，即：
$$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$$
其中，h和k分别是椭圆的中心点的横纵坐标。
椭圆参数方程的推导原理是将椭圆的标准方程中的x和y分别减去h和k，然后将结果代入椭圆的标准方程中，即可得到椭圆参数方程。
椭圆参数方程的推导原理是基于椭圆的标准方程，它可以用来描述椭圆的位置、大小和形状。
椭圆参数方程的推导原理是将椭圆的标准方程转换为椭圆参数方程，即将椭圆的标准方程中的x和y分别减去h和k，然后将结果代入椭圆的标准方程中，即可得到椭圆参数方程。
椭圆参数方程的推导原理是一种简单而有效的方法，它可以用来描述椭圆的位置、大小和形状，为椭圆的研究提供了有效的数学工具。
椭圆的参数方程中参数的几何意义
椭圆的参数方程中参数的几何意义椭圆的参数方程中参数的几何意义是指，椭圆的参数方程为x=a cos t，y=b sin t，其中a和b均为正数， t为参数。
其中，参数t 代表椭圆上的点与椭圆圆心所连直线的倾角，即t是一条从圆心出发的射线与x轴的夹角。
a表示椭圆主轴的长度，b表示椭圆次轴的长度，其中a和b的比值称为离心率，离心率越小，椭圆越趋向于圆形；离心率越大，椭圆形状越扁平。
椭圆的边界由椭圆轮廓上的所有点组成，这些点在参数方程中用参数t表示。
通过改变参数t的值，可以得到椭圆轮廓上的所有点，从而确定整个椭圆的形状和大小。
因此，椭圆的参数方程中的参数t、a、b以及离心率，都代表了椭圆的重要几何特征，可以用于描述、计算和绘制椭圆的形状。
椭圆参数方程
2、求定点(2a,0)和椭圆{
Hale Waihona Puke x = a cos θ y = b sin θ
(θ为参数)上各
点连线的中点轨迹方程。
解：设定点与椭圆上的点连线的中点为M ( x, y ) 2a + a cos θ x= 2 则{ (θ为参数) b sin θ y= 2 ( x − a) 2 y 2 上述的方程消去参数，得 + 2 =1 2 a b 4 4
x 9
2
y2 4
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos α ,2sin α ) S⊳ ABC 面积一定 , 需求 S⊳ ABP 最大即可 即 求 点 P 到 线 AB的 距 离 最 大 值
x 线 AB的 方 程 为 3 + y 2
= 1 ⇒ 2x + 3y − 6 = 0 =
6 13
d =
| 6 cos α + 6 sin α − 6 | 2 2 + 32
y
分析1：设P ( ± 8 − 8y 2 , y ),
则d = | ± 8 − 8y 2 − y + 4 | 2
O x
分析2：设P( 2 2 cos φ, sin φ),
则d = | 2 2 cos φ − sin φ + 4 |
P
2 至首次与椭圆相切，切点即为所求. 分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求 小结：借助椭圆的参数方程， 小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一 点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。 点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。
思考： 与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数 x y x, y满足 + = 1的前提下，求出z = x − 2 y的 25 16 最大值和最小值吗？
2.2.1椭圆的参数方程
第04课时2.2.1椭圆的参数方程学习目标1.通过学习椭圆的参数方程的建立，进一步熟悉建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解。
学习过程一、学前准备复习：1.直角坐标系下的椭圆的标准方程是什么？2.点到直线的距离公式是怎样的？3.你还记得下面一些三角公式的运算吗？试试看。
（1）22sin cos θθ+=（2）cos35cos55sin 35sin 55︒︒-︒︒= （31sin 12212ππ-= （4）55sincos 1212ππ+= 。
二、新课导学◆探究新知（预习教材P 27～P 29，找出疑惑之处） 以原点O 为圆心，,(0)a b a b >>，为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上任一点，连接OA ，与小圆交于B ，过点A 、B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M ，那么M 点的轨迹是什么？（用几何画板考察）设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(),x y 。
那么点A 的横坐标为，点B 的纵坐标为y ，由于点,A B 均在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有cos cos x OA a ϕϕ==，sin sin y OB b ϕϕ==当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数（） 这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆.，通常规定参数ϕ的范围是[),2o ϕπ∈，可以看出参数ϕ是点M 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角（称为点M 的离心角） ◆应用示例例1．在椭圆22194x y +=上求一点M ，使点M 到直线2100x y +-=的距离最小，并求出最小距离。
（教材P 28例1）解：yx第二讲 参数方程 班级： 姓名： 时间： 年 月◆反馈练习 1.椭圆2c o s ()5sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数的焦距等于（ ）AB、 CD、2.已知椭圆⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x (θ为参数)求 （1）6πθ=时对应的点P 的坐标 （2）直线OP 的倾斜角三、总结提升 ◆本节小结1．本节学习了哪些内容？答：学习椭圆的参数方程的建立，进一步熟悉建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解。
椭圆参数方程y轴为焦点
椭圆参数方程y轴为焦点
当椭圆的焦点位于y轴上时，其参数方程可以表示为：
x = a * cos(t)
y = b * sin(t)
其中，a和b是椭圆的半长轴和半短轴，t是参数，通常代表角度或时间。
在这个参数化表示中，当t从0变化到2π时，它将沿着椭圆描绘出一个完整的曲线。
这种参数化方式的一个重要特点是，当t=0时，点(x,y)位于椭圆的右端点（对于x轴），而当t=π/2时，点(x,y)位于椭圆的上焦点。
这是因为在这个参数化表示中，我们是以椭圆的右端点为起点，然后按照逆时针方向沿着椭圆描绘曲线的。
注意，当椭圆的焦点位于y轴上时，其半长轴a和半短轴b的关系与焦点位于x轴上时相反，即a<b。
这是因为在这种情况下，y轴是椭圆的主轴，而x轴是次轴。
参数方程椭圆
参数方程椭圆一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2距离之和等于常数2a（a>0）的点P的轨迹。
定点F1和F2称为椭圆的焦点，线段F1F2的长度称为椭圆的长轴，长轴中点O称为椭圆的中心，线段AB垂直于长轴且过中心O，长度为2b，则b被称为短轴。
二、参数方程参数方程是用参数表示自变量和因变量之间关系的方程。
对于椭圆而言，其参数方程可以表示为：x=a*cos(t)y=b*sin(t)其中t是参数。
三、如何绘制椭圆可以使用计算机软件或者手工绘制来完成。
手工绘制需要画出长轴和短轴，并且确定焦点位置。
然后按照参数方程依次取不同t值时对应的x,y坐标进行描点，并将这些点依次连接起来即可得到整个椭圆形状。
四、参数方程与直角坐标系下方程之间的转换在直角坐标系下，椭圆可以表示为：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1通过代入cos(t)和sin(t)得到：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=cos^2(t)+sin^2(t)=1因此，参数方程和直角坐标系下的方程是等价的。
五、参数a和b的含义a和b分别代表椭圆长轴和短轴的长度。
在参数方程中，当t取0时，x=a；当t取π/2时，y=b。
因此，a和b可以用来确定椭圆的大小。
六、参数方程椭圆的性质1. 椭圆是对称图形，关于x轴、y轴以及原点对称。
2. 椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于常数2a。
3. 椭圆上任意一点到长轴中心O的距离与到短轴中心O'（O'为长轴与短轴交点）的距离之和等于常数2a，即PF1+PF2=2a=PQ+PQ'。
4. 椭圆面积为πab。
5. 椭圆周长无法用初等函数表示。
七、应用参数方程椭圆在数学以及物理学等领域有广泛应用。
例如，在天文学中，行星运动可以用椭圆来描述；在工程设计中，椭圆形状的物体可以减小空气阻力，提高速度；在艺术领域中，椭圆形状也常被用来表现某些特定的情感或者意境。
椭圆的参数方程
l：x-y+4=0的距离最小.
y
分析1： P( 8 8y 2 , y), 设
则d | 8 8y 2 y 4 | 2
O x
分析2：设P(2 2 cos, sin ),
则d | 2 2 cos sin 4 | 2
P
分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求. 小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一
2
B
)
方程为__________ __________ ?
解：方程x 2 y 2 4 x cos 2 y sin 3 cos2 0 可以化为( x 2 cos ) ( y sin ) 1
2 2
所以圆心的参数方程为 {
x 2 cos y sin
(3)
x 9
2
1 (4)
y 25
2
x 64
2
y 100
2
1
x 2cos 练习2：已知椭圆的参数方程为 ( 是 y sin
参数) ，则此椭圆的长轴长为（ 4 ），短轴长为
（ 2 ），焦点坐标是（( 3 , 0)），离心率是 （
3 2
）。
例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线
a ,0
(
）,(0,
c,0)
b)
（
b ,0
）,(0,
(0,
c)
a)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a,b,c关系 离 心 率
a2=b2+c2
c e a
问题、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
椭圆的参数方程(含答案)
椭圆的参数方程(含答案)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March椭圆的参数方程教学目标：1.了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题；2.通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分析问题和解决问题的能力。
3.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：椭圆的参数方程。
教学难点：椭圆参数方程中参数的理解.教学方式：讲练结合，引导探究。
教学过程：一、复习焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：22221(0)x y a b a b+=>> 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：22221(0)y x a b a b+=>> 二、椭圆参数方程的推导1. 焦点在x 轴上的椭圆的参数方程因为22()()1x y a b+=，又22cos sin 1ϕϕ+= 设cos ,sin x y a b ϕϕ==，即a cos y bsin x ϕϕ=⎧⎨=⎩，这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
2.参数ϕ的几何意义问题、如下图，以原点O 为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径作两个圆。
设A 为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B 。
过点A 作AN ⊥ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程.解：设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(x, y)。
那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。
由于点A,B 均在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有||cos cos x OA a ϕϕ==， ||sin cos y OB b ϕϕ==。
当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是a cos y bsin x ϕϕ=⎧⎨=⎩()ϕ为参数这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
(完整版)椭圆的参数方程和极坐标方程总结
完整版)椭圆的参数方程和极坐标方程总结概述椭圆是一种重要的几何图形，具有许多应用。
在数学中，椭圆可以通过参数方程和极坐标方程进行描述和表示。
本文将详细介绍椭圆的参数方程和极坐标方程，包括定义、推导以及应用等方面。
参数方程定义椭圆的参数方程通常由两个参数表示，分别是水平方向的参数t和垂直方向的参数u。
以坐标点(x,y)表示的椭圆上的任意一点，其参数方程可以用如下形式表示：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴的长度。
参数方程推导为了推导出椭圆的参数方程，我们可以从椭圆的标准方程出发，即：x - h)^2 / a^2) + ((y - k)^2 / b^2) = 1其中，(h,k)表示椭圆的中心点坐标。
我们可以通过引入参数u，将标准方程中的变量x和y表示为：x = a * cos(u)y = b * sin(u)通过将x和y的表达式代入标准方程中，可以得到：a * cos(u) - h)^2 / a^2) + ((b * sin(u) - k)^2 / b^2) = 1进一步整理可得：cos(u))^2 / a^2 + (sin(u))^2 / b^2 = 1因为`(cos(u))^2 + (sin(u))^2 = 1`，上式化简为：cos(u))^2 / a^2 + (sin(u))^2 / b^2 = (cos(u))^2 / a^2 + ((sin(u))^2 /b^2) * (a^2 / b^2) = 1比较原式与化简式，可得：a^2 = 1b^2 = a^2 / b^2由此，我们得到了椭圆的参数方程。
极坐标方程定义椭圆的极坐标方程由一个参数θ表示，以坐标点(r,θ)表示的椭圆上的任意一点，其极坐标方程可以用如下形式表示：r(θ) = a * b / sqrt((b * cos(θ))^2 + (a * sin(θ))^2)其中，a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴的长度。
特别解析：椭圆的参数方程
特别解析：椭圆的参数方程一、复习焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：22221(0)x y a b a b +=>>焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：22221(0)y x a b a b+=>>二、椭圆参数方程的推导1. 焦点在x 轴上的椭圆的参数方程因为22()()1x y a b +=，又22cos sin 1ϕϕ+=， 设cos ,sin x ya bϕϕ==，即a cos y bsin x ϕϕ=⎧⎨=⎩，这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
2.参数ϕ的几何意义如图，以原点O 为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径作两个圆。
设A 为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B 。
过点A 作AN ⊥ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程.设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(x, y)。
那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。
由于点A,B 均在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有：||cos cos x OA a ϕϕ==，||sin cos y OB b ϕϕ==。
当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是：a cos y bsin x ϕϕ=⎧⎨=⎩ ，这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
()ϕ为参数在椭圆的参数方程中，通常规定参数ϕ的范围为[0,2)ϕπ∈。
思考：椭圆的参数方程中参数ϕ的意义与圆的参数方程r cos y r sin x θθ=⎧⎨=⎩ 中参数θ的意义类似吗？由图可以看出，参数ϕ是点M 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角（称为点M 的离心角），不是OM 的旋转角。
参数θ是半径OM 的旋转角。
3. 焦点在y 轴上的椭圆的参数方程2222y 1,b ax +=三、例题分析例1.把下列普通方程化为参数方程.把下列参数方程化为普通方程例2. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>,求椭圆内接矩形面积的最大值.解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为(cos ,sin )a b θθ4cos sin 2sin22S a b ab ab θθθ=⋅=≤ 矩形()224k k Z S ab ππθ∴=+∈=矩形当时，最大。