七年级数学下册 3.1 多项式的因式分解《因式分解》重点难点解读素材 (新版)湘教版

《因式分解》重点难点解读
分解因式与前面学习的整式和后一章的分式联系极为密切，它是在整式运算的基础上进行的，它的理论根据是多项式乘法的逆变形下面对这章知识进行归纳和总结，以期对同学们的学习有所帮助．
一．知识结构
二．正确理解分解因式的概念
1．定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式分解因式．
2．注意事项：
要正确理解分解因式的概念，必须注意以下几点：
（1）分解因式的对象必须是多项式，如把25a bc 分解成5a abc 就不是分解因式，因为25a bc 不是多项式；再如：把
211x -分解为11(1)(1)x x +-也不是分解因式，因为211x -是分式，不是整式．
（2）分解因式的结果必须是积的形式，如21(1)1x x x x +-=+-就不是分解因式，因为结果(1)1x x +-不是积的形式．
（3）分解因式结果中每个因式都必须是整式，如：221(1)x x x x -=-就不是分解因式，因为21(1)x x -是分式，不是整式．
三．搞清分解因式与整式乘法的关系
分解因式与整式乘法是两种相反方向的变形过程，即它们互为逆过程，互为逆关系，例如： ()m a b c ++ ma mb mc ++因此，我们可以利用整式乘法来检验分解 因式的结果是否正确．
四．注意掌握分解因式的一般方法
1．提公因式法
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而把多项式化成两个整式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提公因式法．
分解因式
整式乘法
这种方法实质上是逆用乘法分配律．
要正确应用提公因式法，必须注意以下几点：
（1）准确找出多项式中各项的公因式，方法如下：
首先公因式的系数是多项式中各项系数的最大公约数；
其次字母取各项中都含有的；相同字母的指数取次数最低的，如：多项式
222291812x y x y x y z -+，各项系数的最大公约数是3，各项中都含有的字母是,,x y z ，x 的指数取最低的２，y 的指数取最低的１因此公因式是2
3x y ．
（2）如果多项式首项是“－”号，一般应先提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的；在提出“－”号时，多项式的各项都要变号，如： 2222279(279)x y xy x y xy -+=--=9(3)xy x y --．
（3）当某项全部提出后，剩下的是1，而不是0，如：2
(1)m mn m m m n +-=+-，而不能发生2()m mn m m m n +-=+的错误．
2．运用公式法
把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解，这种分解因式的方法叫运用公式法．
（1）平方差公式 22()()a b a b a b -=+-，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 运用平方差公式，应注意：
①熟记公式特征：公式的右边是这两个二项式的积，且这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数，公式的左边是这两项的平方差，且是左边相同的一项的平方减去互为相反数的一项的平方．
②注意公式中字母的广泛含义，即可以表示单项式，也可以表示多项式，如： 22()()[()()][()()]2(2)4x y x y x y x y x y x y x y xy --+=-++--+=-=-（其中x y -相当于公式中的a ，x y +相当于公式中的b ）．
（2）完全平方公式
2222()a ab b a b ±+=±，即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
运用平方差公式，应注意：
①熟记公式特征：右边是两数和（或差）的平方，左边是前平方（2a ）、后平方（2b ）、二倍之积在中央（ab 2±）．
②注意公式中字母的广泛含义，即可以表示单项式，也可以表示多项式，如： 222()4()4[()2](2)x y x y x y x y ---+=--=--，（其中x y -相当于公式中的a ，2相当于公式中的b ）．
③结果的符号应与第二项符号相同．
五．注意分解因式的一般步骤
（1）对于一个多项式，首先观察能否提公因式，再看可否利用公式法分解．
（2）分解因式必须分解到每个多项式不能再分解为止．
为了便于记忆请同学们记住以下“顺口溜”：“分解因式并不难，首先提取公因式，然后考虑用公式，两种方法反复试，结果必是连乘积”，请同学们还要注意“反复试”的目的，就一直分解到每个因式都不能再分解为止，然后检查分解因式的结果是否正确，也可以简记为“一提二公三查”．
分解因式是整式乘法的逆变形，学习时要紧紧抓住这一关键，采用对比的方法，从多项式的乘法出发，根据相等关系，得出分解因式的公式和方法，并且随着知识的增加，还要学习分解因式的其他方法，总之，这部分内容对今后的学习有直接影响，一定要牢固掌握！。