北京101中学2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年北京市101中学上学期高二期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年北京市101中学上学期高二期末考试数学试题一、单选题 1．复数z 11ii-=+，则|z |=( )A ．1B ．2CD ．【答案】A【解析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z . 【详解】由题意复数z 11ii-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A 【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.2．设,,a b c 分别是ABC V 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】C【解析】,,a b c 分别是ABC V 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=斜率为：sin Aa -， sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=的斜率为：sin bB，∵sin sin A ba B-n =﹣1，∴两条直线垂直． 故选C ．3．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个. 故选C 【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.4．椭圆2214x y +=的长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2，将坐标平面沿y 轴折成一个锐二面角，使点A 1在平面B 1A 2B 2上的射影恰是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．以上答案均不正确【答案】A【解析】画出满足条件的图形，由112212,AO B B A O B B ⊥⊥可得出1FOA ∠为所求二面角的平面角，通过解三角形1FOA 即可求出二面角. 【详解】由椭圆2214x y +=得长轴124,A A = ，短轴122B B =.将坐标平面沿y 轴折成一个锐二面角，如图.设点A 1在平面122B A B 上的射影恰是该椭圆的一个焦点，设该焦点为F . 则1A F ⊥平面122B B A .所以1A F ⊥FO .由112212,AO B B A O B B ⊥⊥,所以1FOA ∠为所求二面角的平面角. 在1AOF △中，12,AO OF ===所以11cos OF FOA OA ∠==由条件二面角为锐角，所以1=30FOA ∠︒【点睛】本题考查二面角的平面的求法，涉及翻折问题可椭圆的基本性质，属于中档题. 5．已知两圆C 1：（x -4）2+y 2=169，C 2：（x +4）2+y 2=9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（ ）A ．2216448x y -=B ．2214864x y +=C ．2214864x y -=D ．2216448x y +=【答案】D【解析】由两圆外切和内切，得出圆心距与两圆的半径和差的关系，设出动圆的半径r ，消去r ，再由圆锥曲线的定义，可得动圆的圆心M 的轨迹，进一步求出其方程. 【详解】设动圆的圆心(),M x y ，半径为r圆M 与圆1C :()224169x y -+=内切，与C 2：()2249x y ++=外切. 所以1213,3MC r MC r =-=+.1212+168MC MC C C =>=由椭圆的定义，M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为16的椭圆. 则8,4a c ==，所以2228448b =-=动圆的圆心M 的轨迹方程为：2216448x y +=故选：D 【点睛】本题考查两圆的位置关系以及判断方法和动点的轨迹方程，椭圆的定义，属于中档题.6．已知F 为抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( ) A ．34B ．1C ．54D ．74【答案】C【解析】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，则可利用几何性质得到32MH =，故可得M 到y 轴的距离.【详解】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，因为,A B 是该抛物线上的两点，故,AE AF BG BF ==， 所以3AE BG AF BF +=+=， 又MH 为梯形的中位线，所以32MH =，故M 到y 轴的距离为315244-=，故选C. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.7．正四棱锥S -ABCD 底面边长为2，高为1，E 是棱BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持0PE AC ⋅=u u u r u u u r，则动点P 的轨迹的周长为（ ）A ． BC ．D ．【答案】B【解析】设,F G 分别为,DC SC 的中点,则可证明AC ⊥平面EFG ，得到满足条件的动点P 的轨迹为EFG V ，然后求解即可. 【详解】由0PE AC ⋅=u u u r u u u r，即满足PE AC ⊥.设,F G 分别为,DC SC 的中点，连接,,,,AC BD EF FG GE . 设,AC BD 交于点O ，,AC EF 交于点1O . 所以在正四棱锥S -ABCD 中，SO ⊥平面ABCD .所以SO AC ⊥,且AC BD ⊥, 由,,E F G 分别为,,BC DC SC 的中点.所以1//,//BD EF SO GO ,则有，1GO AC ⊥,AC EF ⊥,且11EF GO O =I 所以AC ⊥平面EFG .故当点P 在平面EFG 内时，有PE AC ⊥成立.所以动点P 的轨迹为平面EFG 截正四棱锥S -ABCD 的截面，即EFG V . 由,,E F G 分别为,,BC DC SC 的中点. 所以111,,222EF BD GE SB FG SD === 又正四棱锥S -ABCD 底面边长为2，高为1，所以22BD =,()21+2=3SB =.所以23EF FG GE ++=+故选：B【点睛】本题考查轨迹问题，考查线面的垂直的证明，属于中档题.8．设点P 为双曲线2222100x y a b a b-=>>（，）右支上的动点，过点P 向两条渐近线作垂线，垂足分别为A ，B ，若点AB 始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e 的取值范围是( ) A ．（123] B ．（12]C ．23，+∞） D ．2，+∞）【答案】B【解析】结合已知条件得到垂足始终在第一、第四象限内,则可以得到倾斜角的范围,再利用离心率的计算方法求出结果. 【详解】根据题意,因为点P 为双曲线右支上的动点,过点P 向两条渐近线作垂线,垂足分别为A ,B ,若点AB 始终在第一、第四象限内,则有渐近线b y x a =的倾斜角不大于45︒,即1ba≤,则双曲线的离心率为c e a ====≤又1e >,则1e <≤故选B 【点睛】本题考查了求双曲线的离心率范围问题,解答时要结合题目中的已知条件,并能熟练运用离心率计算推导公式c e a ====考查了理解能力和转化能力.二、填空题9．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22163x y -=的右焦点重合，则p 的值 ． 【答案】6【解析】试题分析：根据题意，由于双曲线22163x y -=的222226,3,+93a b c a b c ====∴=右焦点坐标为3,0（），因此可知抛物线22y px=的焦点pp,03622p =∴=∴=（）,故答案为6 【考点】考查了抛物线与双曲线的性质．.点评：解决该试题的关键是利用双曲线的右焦点坐标得到抛物线的焦点坐标，然后得到参数p 的值，属于基础题．10．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2，点E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为_____. 【答案】1【解析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果. 【详解】因为点E ,F 分别是边BC ,AD 的中点,则111()()224AE AF AB AC AD AB AD AC AD ⋅=+⋅=⋅+⋅uu u r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r,又因为空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于2,所以原式1(22cos6022cos60)14=⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒=.故答案为:1 【点睛】本题考查了向量数量积的运算,解题过程中运用向量的加法运算进行转化,转化为空间四边形边之间的关系,然后再结合题意计算出结果,需要掌握解题方法.11．已知A （﹣1，0），B （1，0）两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若2||MN AN NB λ=⋅u u u u r u u u r u u u r，当0λ≠时，动点M 的轨迹可以是_____（把所有可能的序号都写上）.①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线. 【答案】①②③【解析】设点M 的坐标,得到N 点坐标,利用条件中2||MN AN NB λ=⋅u u u u r u u u r u u u r计算出关于动点M 的轨迹方程,然后再进行判断轨迹图形. 【详解】设(,)M x y ,则(,0)N x ,由题意2||MN AN NB λ=⋅u u u u r u u u r u u u r 计算可得2(1)(1)y x x λ=+-,化简得22x y λλ+=,又因为0λ≠,即得221y x λ+=,当0λ<时,其轨迹方程是双曲线;当0λ>且1λ≠时其轨迹方程是椭圆;当1λ=时其轨迹方程是圆,综上动点M 的轨迹可以是圆、椭圆、双曲线. 故答案为: ①②③ 【点睛】本题考查了动点轨迹问题,求解过程中依据已知条件进行先求出轨迹方程,然后再进行判断,解答题目得方法是依据题意设出点坐标进行化简,注意分类讨论.12．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB最小时，直线l 的方程为_____． 【答案】2x ﹣4y +3＝0【解析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程. 【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==-- ,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+= .故答案为：2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.13．斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于,A B 两点，则AB 的最大值为_____【答案】4105【解析】设出直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆方程，利用弦长公式求得弦长的表达式，进而求得弦长的最大值. 【详解】设直线方程为y x b =+，代入椭圆方程并化简得2258440x bx b ++-=，21212844,55b b x x x x -+=-⋅=，()22264204416800b b b ∆=--=-+>，55b <<222641616168011225525b b b AB --+=+-=0b =时，max 804102255AB ==. 【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交所得弦长最大值的求法，属于中档题.14．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动.平面区域W 5≤|A 1P |6≤P 组成，则W 的面积是_____；四面体P ﹣A 1BC 的体积的最大值是_____.【答案】4π43【解析】156A P ≤≤,然后计算出其面积;要求四面体的体积的最大值,已知高是固定的,当底面面积最大时就可以求得体积最大. 【详解】连接AP ,在正方体中可知1A A AP ⊥,则三角形1A AP 为直角三角形,又因为12A A =156A P ≤≤可计算得12AP ≤≤又因为点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动,则平面区域W 是以点A 为圆心,半径为12之间交正方形ABCD 的14圆环,所以平面区域W 的面积是221[(2)1]44ππ⨯-=;由题意可知当点P 在边AD 上时,四面体1P A BC -的体积最大值是114222323⨯⨯⨯⨯=. 故答案为: 4π； 43【点睛】本题考查了立体几何中的动点轨迹问题,求解时需要理清题意,计算求出满足题意的结果,在求四面体的最值时可以转化顶点和底面,找到确定值和变量,然后再求最值.三、解答题15．已知复数z 满足|z |2=z 的实部大于0，z 2的虚部为2.（1）求复数z ；（2）设复数z ，z 2，z ﹣z 2之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求（OA OB +u u u r u u u r ）⋅OC u u u r的值.【答案】（1）1+i ；（2）﹣2.【解析】（1）先设出复数z 的表达式,结合已知条件中2z =,实部大于0,和2z 的虚部为2,列出方程求解出复数z 的表达式.（2）由（1）求出复数z 的表达式,即可得到z ,2z ,2z z -在复平面上对应的点坐标,进而求出结果. 【详解】（1）设复数z =x +yi ,x 、y ∈R; 由|z |2=,得x 2+y 2=2;又z 的实部大于0即x >0, z 2=x 2﹣y 2+2xyi 的虚部为2xy =2, 所以xy =1; 解得x=1,y=1; 所以复数z=1+i ;（2）复数1z i =+,则22(1)2z i i =+=,2121z z i i i -=+-=-;则A （1,1）,B （0,2）,C （1,﹣1）;所以()(1,3)(1,1)113(1)2OC OA OB ⋅=⋅-=⨯+⨯-=+-u u u r u u u r u u u r.【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础.16．如图在△AOB 中，∠AOB =90°，AO =2，OB =1，△AOC 可以通过△AOB 以直线AO 为轴旋转得到，且OB ⊥OC ，点D 为斜边AB 的中点.（1）求异面直线OB 与CD 所成角的余弦值； （2）求直线OB 与平面COD 所成角的正弦值. 【答案】（1）13；（225. 【解析】（1）以O 为原点,OC 为x 轴,OB 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系, 求出异面直线OB 与CD 的坐标表示,运用公式求出其夹角的余弦值.（2）先求出平面COD 的法向量,然后运用公式求出直线OB 与平面COD 所成角的正弦值. 【详解】（1）以O 为原点,OC 为x 轴,OB 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系, O （0,0,0）,B （0,1,0）,C （1,0,0）,A （0,0,2）,D （0,12,1）, OB =u u u r （0,1,0）,CD =u u u r （﹣1,112，）, 设异面直线OB 与CD 所成角为θ,则cosθ1123914OB OB CD CD⋅===⋅⨯u u u r u u u r u u u u u r ur , ∴异面直线OB 与CD 所成角的余弦值为13. （2）OB =u u u r （0,1,0）,OC =u u u r （1,0,0）,OD =u u u r （0,12,1）,设平面COD 的法向量n =r（x ,y ,z ）,则0102n OC x n OD y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u uv r u u uv r ,取2y =,得n =r（0,2,﹣1）, 设直线OB 与平面COD 所成角为θ, 则直线OB 与平面COD 所成角的正弦值为:sinθ2555OB nOB n ⋅==⋅=u u u r r u u u r r .【点睛】本题考查了求异面直线所成角问题以及线面角的正弦值问题,求解过程中建立空间直角坐标系,运用空间向量知识来求解,需要熟记运算公式并计算正确.17．已知三棱锥P ABC -（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD 为边长为2的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形，在三棱锥P ABC -中： (I)证明：平面PAC ⊥平面ABC ; (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值； (Ⅲ)若点M 在棱PC 上，满足CMCPλ=，12[,]33λ∈，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥，求BNBP的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）33;（Ⅲ）12[,]45BN BP ∈ . 【解析】试题分析：第一问取AC 中点O ，根据等腰三角形的性质求得PO AC ⊥，根据题中所给的边长，利用勾股定理求得PO OB ⊥，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果；第二问根据题中所给的条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出结果；第三问利用向量间的关系，利用向量垂直的条件，利用向量的数量积等于0，得出所求的比值μ与λ的关系式，利用函数的有关知识求得结果. （Ⅰ）方法1：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意 2PA PB PC ===，1PO =，1AO BO CO ===因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点 所以PO AC ⊥，因为在POB ∆中，1PO =，1OB =，2PB =所以PO OB ⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC 所以PO ⊥平面ABC 因为PO ⊂平面PAC 所以平面PAC ⊥平面ABC 方法2：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点 所以PO AC ⊥，因为PA PB PC ==，PO PO PO ==，AO BO CO == 所以POA ∆≌POB ∆≌POC ∆ 所以90POA POB POC ∠=∠=∠=︒ 所以PO OB ⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC 所以PO ⊥平面ABC 因为PO ⊂平面PAC 所以平面PAC ⊥平面ABC 方法3：设AC 的中点为O ，连接PO ，因为在PAC ∆中，PA PC =，所以PO AC ⊥设AB 的中点Q ，连接PQ ，OQ 及OB . 因为在OAB ∆中，OA OB =，Q 为AB 的中点 所以OQ AB ⊥.因为在PAB ∆中，PA PB =，Q 为AB 的中点 所以PQ AB ⊥.因为PQ OQ Q ⋂=，,PQ OQ ⊂平面OPQ 所以AB ⊥平面OPQ 因为OP ⊂平面OPQ 所以OP AB ⊥因为AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC 所以PO ⊥平面ABC 因为PO ⊂平面PAC 所以平面PAC ⊥平面ABC（Ⅱ）由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0A -，()0,0,1P 由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为()0,1,0OB =u u u v由()1,1,0BC =-u u u v ，()1,0,1PC =-u u u v设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =v，则由00n BC n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v 得：00x y x z -=⎧⎨-=⎩ 令1x =，得1y =，1z =，即()1,1,1n =v3cos ,331n OB n OBn OB⋅===⋅⋅u u u v v u u u v vu u u v v由二面角A PC B --是锐二面角， 所以二面角A PC B --的余弦值为3（Ⅲ）设BN BP μ=u u u v u u u v，01μ≤≤，则()()()1,1,01,0,11,1,BM BC CM BC CP λλλλ=+=+=-+-=--u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v()()()1,1,00,1,11,1,AN AB BN AB BP μμμμ=+=+=+-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v令0BM AN ⋅=u u u u v u u u v得()()()11110λμλμ-⋅+-⋅-+⋅= 即1111λμλλ==-++，μ是关于λ的单调递增函数， 当12,33λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，12,45μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以12,45BN BP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x -y -2=0，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）.（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q. ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,)p p --； ②求p 的取值范围. 【答案】（1）；（2）①证明见解析;②.【解析】（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）①利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证;②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：2244(44)0p p p ∆=-->，解出p 的取值范围.【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2p 由点(,0)2p 在直线:20l x y --=上，得0202p--=，即 4.p = 所以抛物线C 的方程为28.y x =（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点00(,)M x y 因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ， 于是直线PQ 的斜率为1-，则可设其方程为.y x b =-+①由22{y px y x b==-+消去x 得2220(*)y py pb +-=因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12,y y ≠从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>.方程（）的两根为1,2y p =-120.2y y y p +==- 因为00(,)M x y 在直线l 上，所以02.x p =- 因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p -- ②因为M(2,).p p --在直线y x b =-+上 所以(2)b p p -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p <因此p 的取值范围为4(0,).3【考点】直线与抛物线位置关系 【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．19．一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子在滑槽AB 内作往复运动时，带动绕O 转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221164x y +=；（Ⅱ）存在最小值8． 【解析】【详解】 （Ⅰ）设点，，依题意，2MD DN =u u u u r u u u r，且1DN ON ==u u u r u u u r ，所以，且22002200(1,1.x t y x y ⎧-+=⎨+=⎩） 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -=由于当点D 不动时，点D 也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=， 即所求的曲线C 的方程为221.164x y += （Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．（2）当直线l 的斜率存在时，设直线，由22,{416,y kx m x y =++=消去y ，可得．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ① 又由,{20,y kx m x y =+-=可得；同理可得．由原点O 到直线PQ 的距离为21m d k =+和21P Q PQ k x x =+-，可得． ②将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--． 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--． 因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQS k ∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8．【考点】椭圆的标准方程、几何性质,直线与圆、椭圆的位置关系，最值．。
北京一零一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题
北京101中学2017-2018学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 双曲线的左、右焦点坐标分别是F 1（-3，0），F 2（3，0），虚轴长为4，则双曲线的标准方程是（ ） A. 14y 5x 22=- B. 14x 5y 22=- C. 14y 13x 22=- D. 116y 9x 22=- 2. 命题“∃x 0∈（0，+∞），lnx 0=x 0-1”的否定是（ ） A. ∀x ∈（0，+∞），lnx ≠x-1 B. ∀x ∉（0，+∞），lnx=x-1C. ∃x 0∈（0，+∞），lnx 0≠x 0-1D. ∃x 0∉（0，+∞），lnx 0=x 0-l 3. 抛物线y=4x 2的焦点坐标是（ ）A. （0，1）B. （0，161） C . （1，0） D. （161，0） 4. 有下列三个命题：①“若x+y=0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若x>y ，则x 2>y 2”的逆否命题；③“若x<-3，则x 2+x-6>0”的否命题。
则真命题的个数是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 05. 4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）A. 24种B. 36种C. 48种D. 60种6. 已知圆M ：x 2+y 2-2ay=0截直线x+y=0所得的线段长是22，则a 的值为（ ） A. 2 B. 2 C. 2± D. ±27. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）A. 24B. 18C. 12D. 68. 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|=|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. （332，2] B. [332，2） C. （332，+∞） D. [332，+∞）二、填空题共6小越。
北京市西城区2018-2019学年高二第一学期期末考试数学试题(解析版)
北京市西城区2018—2019学年度第一学期期末试卷高二数学2019.1一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由椭圆方程得到的值，然后由求得的值，进而求得离心率.【详解】根据椭圆标准方程，得，故，所以椭圆的离心率为.故选B.【点睛】本小题主要考查根据椭圆的标准方程写出，根据椭圆的几何性质求离心率，属于基础题.2.命题“对任意的，”的否定是（）A. 不存在，B. 存在，C. 存在，D. 对任意的，【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出原命题的否定，注意否定结论.【详解】原命题是全称命题，故其否定是特称命题，主要到要否定结论，故原命题的否定是“存在，”.故选C.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查全称命题的否定是特称命题，属于基础题.3.数列的前项和为，且，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件得到数列是等比数列，并且得到首项和公比，根据等比数列前项和公式求得.【详解】由可知数列为等比数列，且公比为，首项为，故.所以选D.【点睛】本小题主要考查等比数列的定义，考查等比数列前项和公式，属于基础题.4.已知点，，是中点，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据中点坐标公式，求得的中点的坐标.【详解】根据中点坐标公式得，即，故选A.【点睛】本小题主要考查空间坐标计算，考查空间两点中点坐标的求法，属于基础题.5.平面经过三点，，，则平面的法向量可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】对四个选项，通过计算判断是否是平面的法向量.【详解】设平面的法向量为，对于选项，，故A选项错误.对于B选项，，故B选项错误.对于C选项，，故C选项错误.对于D选项，由于，故D选项符合题意.所以本题选D.【点睛】本小题主要考查空间法向量的概念以及法向量的判断，属于基础题.6.如果，那么下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用的特殊值，代入选项逐一判断选项是否正确，由此得出正确选项.【详解】令.对于A选项，所以A选项错误.对于B选项，，故B选项错误.对于C选项，，C选项正确.对于D选项，，故D选项错误.综上所述，本小题选C.【点睛】本小题主要考查比较数的大小，考查选择题的特殊值排除法，属于基础题.比较两个数的大小，对于对于选择题或者填空题来说，最主要的方法是特殊值法.还有的方法就是利用不等式的性质，或者指数函数单调性、对数函数的单调性来求解.如果问题较为复杂，还需要借助奇偶性，结合图像来求解.7.已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点坐标，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出、，即可得到双曲线方程.【详解】双曲线的一条渐近线方程是，可得，它的一个焦点坐标为，可得，即，解得，所求双曲线方程为：.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.8.设数列是等比数列，则“”是“为递增数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，虽然有，但是数列不是递增数列，所以不充分；反之当数列是递增数列时，则必有，因此是必要条件，应选答案B。
北京101中学2018-2019学年上学期高二年级期中考试数学试卷(含精品解析)
曲线”，否则则不是．
【详解】对于①，由题意得曲线 C1 是以(0,0)为圆心，2 为半径的圆；曲线 C2 是以(2,−1)为圆心，半径
为 1 的圆．两圆的圆心距为 C1C1 = 5 ，由于1 < C1C1 < 3 ，故两圆相交，因此有两条外公切线，故①正
确． 对于②，由题意得曲线 C1，C2 是共轭双曲线（它们各自在 x 轴上方的部分），具有相同的渐近线，因此两 曲线没有公切线，故②不正确． 对于③，因为 b>a>0，在同一坐标系内画出两曲线，如下图中的图形．
由图可得圆在抛物线的内部，所以两曲线不会有公切线，故③正确．
对于④，当 a=1 时，曲线 C1： y = x2 +2x +2 = (x +1)2 +1 ，此时直线 y =1与曲线 C1 和曲线 C2 都相切，
故④正确． 综上可得有三个命题正确． 故选 C． 【点睛】解答本题的关键是正确理解题意，并找出两曲线的公切线，解题时要注意对每个结论中两曲线形 状、性质的分析和判定，进而得到两曲线是否有公切线．考查理解和运用知识解决问题的能力．
④必存在正数 a 使得曲线 C1： y = ax2 +2x +2 和曲线 C2： x2 + y2 =1为“相关曲线”.其中正确命题 2
的个数为（ ）
A. 1 B. 2 【答案】C 【解析】
C. 3
D. 4
【分析】
根据“相关曲线”的定义，只需判断每个命题中的两条曲线是否有公切线即可，若有公切线，则为“相关
①有且只有两条直线 l 使得曲线 C1： x2 + y2 = 4 和曲线 C2： x2 + y2 - 4x +2 y +4 = 0 为“相关曲线”；
北京101中学 高二数学文期末试题含解析
北京101中学高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若为假命题，则A. 命题与的真值不同B. 命题与至少有一个假命题C. 命题与都是假命题D. 命题与都是真命题参考答案：D略2. 设，曲线在点处切线的斜率为2,则 ( )A. B. C.D.参考答案：B3. 设过抛物线的焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系（）A．相交B．相切C．相离D．以上答案均有可能参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】设抛物线为标准抛物线：y2=2px （p＞0 ），过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M且到准线的距离是d．设P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|．结合中位线的定义与抛物线的定义可得： ==半径，进而得到答案．【解答】解：不妨设抛物线为标准抛物线：y2=2px （p＞0 ），即抛物线位于Y轴的右侧，以X轴为对称轴．设过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M，M到准线的距离是d．而P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|．又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d=，由抛物线的定义可得： ==半径．所以圆心M到准线的距离等于半径，所以圆与准线是相切．故选：B．4. ( )A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据定积分的运算公式，可以求接求解.【详解】解:，故选C.【点睛】本题考查了定积分的计算，熟练掌握常见被积函数的原函数是解题的关键.5. 设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出M，N的坐标，再利用余弦定理，求出a，c之间的关系，即可得出双曲线的离心率．【解答】解：不妨设圆与y=x相交且点M的坐标为（x0，y0）（x0＞0），则N点的坐标为（﹣x0，﹣y0），联立y0=x0，得M（a，b），N（﹣a，﹣b），又A（﹣a，0）且∠MAN=120°，所以由余弦定理得4c2=（a+a）2+b2+b2﹣2?bcos 120°，化简得7a2=3c2，求得e=．故选A．6. 偶函数满足=，且在时，，则关于的方程，在上解的个数是( )A.1B.2C.3D.4参考答案：D7. 已知m=0.9 5.1 ，n= 5.1 0.9 ，p=log 0.9 5.1，则这三个数的大小关系是( )a.m＜n＜pb.m＜p＜nc.p＜m＜nd.p＜n＜m参考答案：C本题考查指数函数的单调性和对数函数的单调性.由指数函数的性质，∵0＜0.9＜1，5.1＞1，∴0＜0.9 5.1 ＜1，即0＜m＜1.又∵5.1＞1，0.9＞0，∴ 5.1 0.9 ＞1，即n＞1.由对数函数的性质，∵0＜0.9＜1，5.1＞1，∴log 0.9 5.1＜0，即p＜0.综合可得p＜m＜n.8. 设a=，b=﹣，c=﹣，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a参考答案：B 【考点】72：不等式比较大小．【分析】利用有理化因式和不等式的性质即可得出．【解答】解： =，．∵，∴，∴b＜c．∵=4，∴．即c＜a．综上可得：b＜c＜a．故选：B．【点评】本题考查了有理化因式和不等式的性质，属于基础题．9. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①则；②若则；③若则；④若，则．其中正确的命题的序号是A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④参考答案：C10. 已知a为函数的极小值点，则a=（）A. －4B. －2C. 4D. 2参考答案：D【分析】利用导数研究函数的极值得解.【详解】由题得，令，所以函数的增区间为，减区间为（-2,2）,所以函数的极小值点为x=2. 所以a=2. 故选：D【点睛】本题主要考查函数的极值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且=，则=．参考答案：【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由题意和等差数列前n 项和的特点，设出两数列的前n 项和分别为S n =kn （3n ﹣1），T n=kn（2n+3）（k≠0），由关系式：n≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1求出它们的通项公式，再求出的值即可．【解答】解：∵{a n }，{b n }为等差数列，且其前n 项和满足=，∴设S n =kn （3n ﹣1），T n =kn （2n+3）（k≠0），则当n≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=6kn ﹣4k ，当n=1时也满足，则a n =6kn ﹣4k ； 当n≥2时，b n =T n ﹣T n ﹣1=4kn+k ，当n=1时也满足，则b n =4kn+k ，∴=．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式的应用，求出等差数列{a n }，{b n }的通项是解题的关键，是中档题．12. 过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的方程为 ▲参考答案：13. 已知双曲线C 与双曲线有共同的渐近线，且C 经过点，则双曲线C 的实轴长为 ．参考答案：3【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；规律型；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线C 与双曲线有共同的渐近线，设出方程，把点，代入求出λ再化简即可．【解答】解：由题意双曲线C 与双曲线有共同的渐近线，设所求的双曲线的方程为（λ≠0），因为且C 经过点，所以1﹣=λ，即λ=，代入方程化简得，，双曲线C 的实轴长为：3．故答案为：3．【点评】本题考查双曲线特有的性质：渐近线，熟练掌握双曲线有共同渐近线的方程特点是解题的关键． 14. 已知,(i 是虚数单位)则,ab = .参考答案：2，215. 若点（1,1）到直线的距离为，则的最大值是 ．参考答案：16. 过点M （1，-1），N （-1,1），且圆心在x+y-2=0上的圆的方程是___ ____________. 参考答案：略17. （5分）已知复数z 满足，则|z+i|（i为虚数单位）的最大值是 ．参考答案：由，所以复数z 对应的点在以（2，0）为圆心，以为半径的圆周上， 所以|z+i|的最大值是点（2，0）与点（0，﹣1）的距离加上半径，等于．故答案为．由复数模的几何意义可得复数z 对应的点在以（2，0）为圆心，以为半径的圆周上，由此可得|z+i|的最大值是点（2，0）与点（0，﹣1）的距离加上半径．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
【精品高二数学期末】2018-2019海淀区高二年级第一学期期末数学练习+答案(文)
海淀区高二年级第一学期期末练习数 学 （文科） 2019.1学校 班级 姓名 成绩本试卷共100分．考试时间90分钟．一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线210x y +-=在y 轴上的截距为（ ）A ．2- B. 1- C. 12- D. 12．双曲线22:1169x y C -=的渐近线方程为（ ）A ．34y x =± B. 43y x =± C. 916y x =± D. 169y x =±3. 已知圆 22310x y x m +-++=经过原点，则实数m 等于（ ）A ．32- B. 1- C. 1 D. 324. 鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑. 它看似简单，却凝结着不平凡的智慧. 下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则它的体积为（ ） A. 32 B. 34C. 36D. 405. 椭圆22:11612x y C +=的焦点为1F ，2F ，若点M 在C 上且满足122MF MF -=，则12F MF ∆中最大角为（ ）A. 90︒B. 105︒C. 120︒D. 150︒ 6. “0m <”是“方程22x my m +=表示双曲线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件12244俯视图C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7. 已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，下面说法正确的是（ ）A. m m n n αβαβ⊥⎫⎪⊂⇒⊥⎬⎪⊂⎭B. m m n n αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊂⎭C.m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭D. mm αββα⎫⇒⎬⊂⎭8． 在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为BC 中点，点Q 为线段1AD （与1,A D 不重合）上一动点. 给出如下四个推断： ① 对任意的Q ，1A Q 平面11B BCC② 存在点Q ，使得11AQ B P③ 对任意的Q ，11B Q AC ⊥ 则上面推断中所有正确．．的为（ ） A. ① ② B. ② ③ C. ① ③ D. ① ② ③ 二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．直线:10l x y +-=的倾斜角为____, 经过点(1,1)且与直线l 平行的直线方程为_____． 10. 抛物线24y x =的焦点坐标为____，点(4,4)到其准线的距离为____. 11．请从正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点 可以是_________. (只需写出一组)12. 直线10x y +-= 被圆221x y += 截得的弦长为_______. 13. 已知椭圆和双曲线的中心均为原点，且焦点均 在轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于右表中, 则双曲线的离心率为_______.14．曲线W3=.① 请写出曲线W 的一条对称轴方程______________； ② 请写出曲线W 上的两个点的坐标______________； ③ 曲线W 上的点的纵坐标的取值范围是____________.1C 2C x1A 1D 1C 1A 1B 1DA BC三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的半径为1，其圆心在射线(0)y x x ≥上，且OC （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 过点(1,0)P 且与圆C 相切，求直线l 的方程.如图，在三棱锥P ABC -中，PB PC =，AB AC =，且点D ，E 分别是BC ，PB 的中点． （Ⅰ）求证：//DE 平面PAC ； （Ⅱ）求证：BC ⊥PA ．EDCBAPC如图，平面ABCF ⊥平面FCDE ，四边形ABCF 和FCDE 是 全等的等腰梯形，其中ABFC ED ，且122AB BC FC ===，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点. （Ⅰ）求证：直线OG ⊥平面FCDE ；（Ⅱ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在直线与平面EGO 垂直，并给出证明．．； （Ⅲ）在线段CD 上是否存在点H ，使得BH 平面EGO ？如果存在，求出DH 的长度，如果不存在，请说明理由.18．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左，右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，12AF F ∆是斜边长为 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线y x m =+与椭圆C 交于不同两点,P Q .(i)当1m =时，求线段PQ 的长度；(ii)是否存在m ，使得43OPQ S ∆=？ 若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．海淀区高二年级第一学期期末练习数 学（文科）参考答案及评分标准2019.1一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分, 共24分.9.3π4，20x y +-= 10. (1,0),5 11. 1,,,A A B C （此答案不唯一）12. 13.14. ① 0x =（或0y =） ② (0,2),(0,2)- 此答案不唯一 ③ [2,2]-说明：9，10题每空2分， 14题中 ① ②空 各给1分，③给2分 三. 解答题:本大题共4小题,共44分. 15.（本小题满分10分）解: （I ）设圆心(,)C a a ，则 OC = …………………1分解得2a =，2a =-（舍掉） …………………2分 所以圆22:(2)(2)1C x y -+-= …………………4分 （Ⅱ）① 若直线l 的斜率不存在，直线l ：1x =，符合题意 …………………5分 ② 若直线l 的斜率存在，设直线l 为(1)y k x =-，即 0kx y k --= …………………6分由题意,圆心到直线的距离1d ==， …………………8分解得34k =…………………9分 所以直线l 的方程为3430x y --= …………………10分综上所述，所求直线l 的方程为1x =或3430x y --=．16．（本小题满分10分）解: （Ⅰ）证明：在PBC ∆中，因为D ，E 分别是BC ，PB 的中点 ,所以 //DE PC …………………1分 因为 DE ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC …………………3分说明：上面两个必须有，少一个扣1分.所以 //DE 平面PAC ． …………………4分 （Ⅱ）证明：因为 PB PC =，AB AC =，D 是BC 的中点,C因为 PDAD D =，,PD AD ⊂平面PAD …………………8分所以 BC ⊥平面PAD …………………9分 因为 BC ⊂平面ABC所以 平面ABC ⊥平面PAD …………………10分17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ） 因为四边形ABCF 是等腰梯形，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点所以OG FC ⊥ …………………1分 又平面ABCF ⊥平面FCDE ，平面ABCF平面FCDE FC =………………3分所以OG ⊥平面FCDE …………………4分 （II ） ,F D 点为所求的点因为FD ⊂平面FCDE , 所以OG ⊥FD …………………5分又EDFO ，且EF ED =，所以EFOD 为菱形 …………………6分所以FD EO ⊥ …………………7分 因为EO OG O =，所以FD ⊥平面EGO …………………8分 （Ⅲ）假设存在点H ，使得BH 平面EOG …………………9分由EDOC ，所以EOCD 为平行四边形，所以EO DC …………………10分因为EO ⊂平面EOG又BH DC H =，所以平面EOG平面BCD ，所以BC平面EOG ，所以BCOG ，所以GBCO 为平行四边形，所以 GB CO = ，矛盾， 所以不存在点H ，使得BH平面EOG …………………12分18．（本小题满分12分）解: （I）由题意，12F F =b c = …………………1分所以2b c a === …………………3分椭圆C 的标准方程为22142x y += …………………4分 （II ）把直线1l 和椭圆的方程联立22142x y y x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩ 2234240x mx m ++-= …………………5分当1m =时，有23420x x +-=，1243x x +=-， 1223x x =-…………………6分 所以12|||PQ x x -=…………………8分 （Ⅲ）假设存在m ，使得43OPQ S ∆=.因为12|||PQ x x -= …………………9分 点O 到直线y x m =+的距离为d = …………………10分所以114||223OPQ S PQ d ∆=⋅== 所以42680m m -+=，解得2,m =± …………………11分 代入221612(24)0,m m ∆=-->m=±均符合题意…………………12分说明：所以2,解答题有其它正确解法的请酌情给分.。
2018~2019学年北京海淀区北京一零一中学高二上学期期中数学试卷
A.
B.
，它的一个焦点在抛物线
C.
D.
8. 正方体 A.
中，平面 B.
与平面 C.
所成角的正切值为（ ）． D.
9. 若存在直线 与曲线 和曲线 都相切，则称曲线 和曲线 为“相关曲线”，有下列四个命
题：
①有且只有两条直线 使得曲线
和曲线
为“相关曲
线”．
②曲线
和曲线
是“相关曲线”．
③当
时，曲线
和曲线
焦点为 ， ， 为椭圆上一点，则
的周长为
．
，
，且 ， 夹角的余弦值为 ，则
．
的离心率是 ，则
．
15. 如图，正方形
和正方形
的边长分别为 ，
经过 ， 两点，则
．
，原点 为 的中点，抛物线
三、解答题:共4小题，共40分
16. 已知抛物线
的焦点为 ，直线
（ 1 ） 求 弦长．
（ 2 ）求
的面积．
与抛物线 交于 ， 两点．
明理由．
，若存在，求线段 的长度．若不存在，说
19. 在平面直角坐标系 中，已知点 上．
和点
都在椭圆
（ 1 ） 求椭圆 的方程及其离心率 ． （ 2 ） 已知 是坐标系原点，一条直线 与椭圆 交于 ， 两点，与 轴正半轴交于点 ，令
． 试问：是否存在定点 ，使得 为定值．若存在，求出点 的坐标和 的值．若不存在，请说 明理由．
B.
C.
相内切，那么 等于（ D.
5. 直线 ：
与圆 ：
的（ ）．
A. 充分而不必要条件
C. 充分必要条件
相要而不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
6. 抛物线
北京101中学2018-2019学年高二数学上册期末测试题
北京101中学2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）一、 选择题：本大题共8小题，共40分。
1. 对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ）A. 123p p p ==B. 123p p p =<C. 132p p p =<D. 321p p p =<2. 某公司10位员工的月工资（单位:元）为10321,,,,x x x x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）A. x ，22100+sB. 100+x ，22100+sC. x ， 2sD. 100+x ，2s3. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出i 的值是（ ）A. 27B. 31C. 63D. 154. 某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人。
则这三个社团共有（ ）A. 130人 B . 140人 C . 150人 D. 160人 5. 下列结论中正确的个数是（ ）①命题“2,0x R x x ∃∈->”的否定是“0,2≤-∈∀x x R x ”； ②若p ⌝是q 的必要条件，则p 是q ⌝的充分条件； ③命题“若22,am bm a b <<则”的逆命题是真命题； ④,R x ∈∀不等式2243x x x +>-均成立.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 若区间)1,0(上任取一实数b ，则方程20x x b ++=有实根的概率为（ ） A.14 B. 13C.12 D. 347. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） A.34B.38 C. 2D. 48. 已知点M （－3，2）是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是（ ）A. 72B. 52C. 3D. 2二、填空题：本大题共6小题，共30分。
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30 秒，黄灯的时间为 5 秒，绿灯的时间为 40 秒，
则这五个接收器不能同时接收到信号的概率是
故选： B 【点睛】本题考查等可能事件的概率，对立事件概率，注意本题中分组为平均分组，其次要结合电学知识分析电路．
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11.编号为 1， 2，3， 4， 5 的五个人，分别坐在编号为 1， 2， 3，4， 5 的座位上，则恰有两个人的编号与其座位号分 别相同的坐法种数为 __________。（用数字作答） 【答案】 20 【解析】
）
A. 24 种 B. 48 种 【答案】 B
C. 96 种
D. 120 种
【解析】
【分析】
5 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，对于相邻的问题，一般用捆绑法，首先把甲和乙看做一个元素， 与另外 3 个元素全排列，再者甲和乙之间还有一个排列，根据分步计数原理得到结果．
【详解】 解：∵ 5 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，
∴首先把甲和乙看做一个元素，使得它与另外
3 个元素排列，
再者甲和乙之间还有一个排列， 共有 A44A22＝ 48， 故选： B．
【点睛】 本题考查排列、组合及简单计数问题，考查相邻问题，是一个比较简单的题目，这种题目一般有限制条件，
首先排列有限制条件的元素．
5.某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，
成的长度即为线段 CD，构成事件 M 的长度为线段 CD 的 ，
设 AB＝ 3x， AD＝ y，则
根据对称性，当 PD CD 时， AB＝ PB，
由勾股定理可得（ 3x）2＝y2+（2x） 2，
∴
，
∴
．
故选： D．
【点睛】 本题主要考查几何概型，基本方法是：分别求得构成事件
A 的区域长度和试验的全部结果所构成的区域长
．
故答案为： 9．
【点睛】 本题考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质以及根据一些性质求面积，用到数形结合思想，这是高中数 学的一种重要思想． 14.正方体 ABCD－ A1B1C1D1 中，二面角 A－BD1－ B1 的大小是 __________。
【答案】
【解析】 【分析】 设正方体 ABCD ﹣A1B1C1D1 的棱长为 1，以 D 为原点建立空间直角坐标系 D﹣ xyz，利用向量法能求出二面角 A﹣ BD 1
9.已知事件“在矩形 ABCD的边 CD上随机取一点 P，使△ APB的最大边是 AB”发生的概率为 ，则
（）
A. B.
C.
D.
【答案】 D 【解析】 【分析】
根据概率，确定构成事件 M 的长度为线段 CD 的 ，根据对称性，当 PD CD 时， AB＝ PB，利用勾股定理，即可得
出结论． 【详解】 解：记“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P，使△ APB 的最大边是 AB”为事件 M ，试验的全部结果构
8.某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是
，构造数列 { } ，使得
记
+a 2+…ａn （ n∈Ｎ+），则
的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 C 【解析】 【分析】 S4＝ 2 说明掷 4 次硬币，出现了 3 次正面和一次反面，共有
4 种情况，而所有的情况共有 24＝ 16 种，由此求得
S4＝ 2 的概率．
司共有员工 200 人，则收到 125 条以上的大约有（
）
得到了如图所示的频率分布直方图。 如果该公
A. 6 人 B. 7 人 C. 8 人 D. 9 人 【答案】 C 【解析】 【分析】
设 125 条以上的频率为 x，根据所求频率和为 1 建立等式，求出 x，最后根据频数＝样本容量×频率求出所求．
【详解】 解：由 S4＝ 2 可得，掷 4 次硬币，出现了 3 次正面和一次反面，共有 而所有的情况共有 24＝ 16 种，
4 种情况，
故 S4＝2 的概率为
，
故选： C． 【点睛】 本题主要考查 n 次独立重复实验中恰好发生 k 次的概率，等可能事件的概率，体现了等价转化的数学思想， 属于中档题．
【详解】 解：设 125 条以上的频率为 x， 根据所求频率和为 1 可知 20×（ 0.003+0.006+0.0075+0.009+0.0105+0.012 ） +x＝ 1，
解得 x＝ 0.04．
该公司共有员工 200 人，则收到 125 条以上的大约有 200× 0.004＝ 8． 故选： C．
设平面 ABD 1 的法向量
，
则
，取 x＝ 1，得 （ 1， 0， 1），
设平面 B1BD 1 的法向量
（ a， b， c），
则
，取 a＝ 1，得 （ 1，﹣ 1， 0），
设二面角 A﹣ BD 1﹣ B1的平面角为 θ，
cosθ＝﹣ |cos
|
，
∴二面角 A﹣ BD 1﹣ B1的大小为 ．
故答案为： ．
北京 101 中学 2018－2019 学年上学期高二年级期末考试数学试卷
本试卷满分 120 分，考试时间 100 分钟
一、选择题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项。
1.已知 z 轴上一点 N到点 A（ 1， 0， 3）与点 B（－ l ， 1，－ 2）的距离相等，则点 N 的坐标为（
【点睛】 本题考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合
理运用． 15.在一个红绿灯路口，红灯、黄灯和绿灯的时间分别为 _________ 。
30 秒、 5 秒和 40 秒。当你到达路口时，不是红灯的概率为
【答案】
【解析】 【分析】 利用对立事件概率计算公式求解． 【详解】 解：∵一个路口的红绿灯，红灯的时间为 ∴当你到达路口时，看到的不是红灯的概率是：
）
A. 10 B. － 10 C. 5 D. － 5 【答案】 A
【解析】 【分析】 根据二项展开式的通项公式，即可得到结果 .
【详解】在（
） 5 的 展开式的通项公式为 Tr+1
?（﹣ 1） r?x10﹣ 3r，
∴第 4 项的二项式系数为 故选： A 【点睛】 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的二项式系数，属于基础题．
C52＝ 10 种结果，
其余的三个座位与人的编号不同，则第一个人有两种选择，另外两个人的位置确定，共有
2 种结果，
根据分步计数原理得到共有 10× 2＝ 20 种结果，
故答案为： 20
【点睛】 本题考查组合公式以及分步计数原理的运用，易错点为当两个相同的号码确定以后，其余的三个号码不同
的排法共有 2 种结果．
）
A. （ 0，0， ） B. （ 0， 0， ）
C. （ 0， 0， ） D. （ 0，0， ）
【答案】 D 【解析】 【分析】 根据点 N 在 z 轴上，设出点 N 的坐标，再根据 N 到 A 与到 B 的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得 解方程即可求得 N 的坐标． 【详解】 解：设 N（ 0， 0，z） 由点 N 到点 A（ 1，0， 3）与点 B（﹣ 1， 1，﹣ 2）的距离相等，得： 12+0 2+（ z﹣3） 2＝（﹣ 1﹣ 0） 2+（ 1﹣0） 2+（﹣ 2﹣z） 2
，求得 a， b，即可求得椭圆 C 的标准方程 .
【详解】 由题意可知： 2c＝ 2，即 c＝ 1，
由椭圆的离心率 e b2＝ a2﹣ c2＝ 1，
，解得： a ，
∴椭圆 C 的标准方程：
；
故选： B
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆简单的几何性质，属于基础题
.
4.5 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（
【分析】
利用间接法，先求出没有限制条件的选法，再排除只有男生（或女生）的选法，问题得以解决
.
【详解】 解：从 8 个人中选 4 人共 种选法，只有男生（或女生）的选法有
种，
所以既有男生又有女生的选法有
68 种．
故选： A．
【点睛】 本题考查了排列组合题，间接法是常用的一种方法，属于基础题
7.在（
） 5 的展开式中，第 4 项的二项式系数为（
BD 与 CF 成 0°角， BD 与 EF 成
考点：异面直线及其所成的角．
3.若椭圆 + =1（ a>b>0）的焦距为 2，且其离心率为 ，则椭圆的方程为（
）
A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1
【答案】 B 【解析】 【分析】
由题意可知 2c＝ 2， c＝1，根据离心率公式 e
﹣B1 的大小为 ．
【详解】 解：设正方体 ABCD ﹣ A1B1C1D1 的棱长为 1， 以 D 为原点建立空间直角坐标系 D﹣ xyz， A（ 1， 0，0）， B（ 1， 1，0）， D1（ 0， 0， 1）， B1（ 1， 1， 1），
（0， 1， 0），
（﹣ 1，﹣ 1， 1），
（ 0， 0，1），
AN ，BN ，
解得 z ，故 N（ 0， 0， ）
Hale Waihona Puke 故选： D．【点睛】 考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统
化，属基础题．
2.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（
）
A. BD与 CF成 60°角 B. 【答案】 C
BD与 EF 成 60°角 C.
求面积．