高一数学 函数与方程教案
【教案】二次函数与一元二次方程、不等式+教学设计高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
二次函数与一元二次方程、不等式教学设计课题名称二次函数与一元二次方程、不等式姓名学校年级教材版本人教版A版一、教学目标1.使学生能够运用一元二次方程以及二次函数图像、性质解决实际问题。
2.渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图像探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法。
3.激发学生学习数学的热情，培养学生勇于探索的精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
二、教学重难点重点：一元二次不等式的应用。
难点：一元二次方程的根的情况与二次函数图像与x轴的位置关系的联系，数形结合的运用。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程一、导入（复习导入）师生活动复习解一元二次不等式步骤：1、a变正，（二次项系数化为正数）2、判别式。
（利用一元二次方程，求出判别式的值）3、求根。
（根据判别式情况求出一元二次方程的根）4、画草图。
（利用二次函数绘制图像）5、求解集。
（根据数形结合的思想求不等式解集）复习上节课所学内容，检测学生学习情况。
二、新指探究利用一元二次不等式求解实际问题。
【例1】一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下关系：y=−2y2+220y若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用整条流水线生产x辆摩托车，根据题意得：−2y2+220y>6000移项整理，得：y2−110y+3000<0对于方程y2−110y+3000=0，∆=100>0，方程有两个实数根y1=50，y2=60画出二次函数y=y2−110y+3000的图像（图2.3-6），结合图象得不等式y2−110y+3000<0的解集为{y|50<y<60}，从而原不等式的解集为：{y|50<y<60}。
高中数学老教材教案
高中数学老教材教案
第一课：函数与方程
1.1 学习目标：了解函数的概念，掌握基本的函数图像与性质，能够解决简单的函数方程。
1.2 教学内容：
（1）函数的定义与符号表示
（2）函数的图像与性质
（3）函数方程的解法
1.3 教学重点与难点：
重点：函数的定义、函数图像与性质、函数方程的解法
难点：函数的概念理解、函数方程的解法
1.4 教学过程：
（1）引入：通过举例引入函数的概念，让学生了解什么是函数。
（2）讲解：介绍函数的定义和符号表示，然后讲解函数的图像与性质。
（3）练习：让学生进行简单的函数图像绘制和性质分析。
（4）总结：对函数的概念和性质进行总结，并让学生进行相关练习。
1.5 作业布置：
（1）课后完成相关练习题目
（2）预习下节课的内容
1.6 教学反思：
通过本节课的教学，学生理解了函数的概念和性质，掌握了相关的解题方法。
但在教学过
程中，应该注意让学生更加深入地理解函数的概念，加强与实际问题的联系，提高学生的
学习兴趣和主动性。
以上是一份高中数学教案范本，希望对您有所帮助。
高一数学教学计划(共4篇)
高一数学教学方案〔共4篇〕第1篇：高一数学教学方案一设计思想：函数与方程是中学数学的重要内容，是衔接初等数学与高等数学的纽带，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，是详细事例与抽象思想相结合的表达，在教学过程中，我采用了自主探究教学法。
通过教学情境的设置，让学生由特殊到一般，有熟悉到生疏，让学生从现象中发现本质，以此激发学生的成就感，激发学生的学习兴趣和学习热情。
在现实生活中函数与方程都有着非常重要的应用，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。
二教学内容分析^p ：本节课是《普通高中课程标准》的新增内容之一，选自《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本(A版)》第94-95页的第三章第一课时3.1.1方程的根与函数的的零点。
本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联络，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形.它既提醒了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联络，也引出对函数知识的总结拓展。
之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中(3.1.2)加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解(3.2)更全面地表达函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联络.浸透“方程与函数”思想。
总之，本节课浸透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想”“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好根底，因此教好本节是至关重要的。
三教学目的分析^p ：知识与技能：1.结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义;2.结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系;3.结合几类根本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法情感、态度与价值观：1.让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值;2.培养学生锲而不舍的探究精神和严密考虑的良好学习习惯;3.使学生感受学习、探究发现的乐趣与成功感教学重点：函数零点与方程根之间的关系;连续函数在某区间上存在零点的断定方法。
高一数学必修一 教案 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
2．3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时二次函数与一元二次方程、不等式学习目标 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．知识点一一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数知识点二一元二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c 的零点．知识点三二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪x≠－b2aRax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅预习小测自我检验1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有________．(填序号) 答案 ②④解析 一定是一元二次不等式的为②④. 2．不等式x (2－x )>0的解集为________． 答案 {x |0<x <2}解析 原不等式可化为x (x －2)<0，∴0<x <2. 3．不等式4x 2－9<0的解集是________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x <32 解析 原不等式可化为x 2<94，即－32<x <32.4．已知一元二次不等式ax 2＋2x －1<0的解集为R ，则a 的取值范围是________． 答案 {a |a <－1} 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，4＋4a <0，∴a <－1.一、解不含参数的一元二次不等式 例1 解下列不等式： (1)－x 2＋5x －6>0； (2)3x 2＋5x －2≥0； (3)x 2－4x ＋5>0.解 (1)不等式可化为x 2－5x ＋6<0.因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x 2－5x ＋6＝0有两个实数根：x 1＝2，x 2＝3. 由二次函数y ＝x 2－5x ＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x |2<x <3}．(2)因为Δ＝25－4×3×(－2)＝49>0，所以方程3x 2＋5x －2＝0的两实根为x 1＝－2，x 2＝13.由二次函数y ＝3x 2＋5x －2的图象(图②)，得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－2或x ≥13. (3)方程x 2－4x ＋5＝0无实数解，函数y ＝x 2－4x ＋5的图象是开口向上的抛物线，与x 轴无交点(如图③)．观察图象可得，不等式的解集为R .反思感悟 解一元二次不等式的一般步骤第一步：把一元二次不等式化为标准形式(二次项系数为正，右边为0的形式)；第二步：求Δ＝b 2－4ac ；第三步：若Δ<0，根据二次函数图象直接写出解集；若Δ≥0，求出对应方程的根写出解集． 跟踪训练1 解下列不等式： (1)4x 2－4x ＋1>0； (2)－x 2＋6x －10>0.解 (1)∵方程4x 2－4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝12.作出函数y ＝4x 2－4x ＋1的图象如图．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠12.(2)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0， ∵Δ＝36－40＝－4<0， ∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为∅.二、三个“二次”间的关系及应用例2 已知二次函数y ＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，且y >0的解集为{x |－3<x <2}． (1)求二次函数的解析式；(2)当关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R 时，求c 的取值范围． 解 (1)因为y >0的解集为{x |－3<x <2}，所以－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝－b －8a，－3×2＝－a －aba，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝5，所以y ＝－3x 2－3x ＋18.(2)因为a ＝－3<0，所以二次函数y ＝－3x 2＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512.所以当c ≤－2512时，－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R .反思感悟 三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式． 跟踪训练2 已知关于x 的不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12. (1)求a ，c 的值；(2)解关于x 的不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0.解 (1)由题意知，不等式对应的方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两个实数根为13和12，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＝13＋12，c a ＝12×13，解得a ＝－6，c ＝－1.(2)由a ＝－6，c ＝－1知不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0可化为－6x 2＋8x －2≥0，即3x 2－4x ＋1≤0，解得13≤x ≤1，所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13≤x ≤1. 三、含参数的一元二次不等式的解法例3 设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.解 (1)当a ＝0时，不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}． (2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a.①当a <－12时，解不等式得－1a<x <2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1a <x <2；②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a或x >2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1a 或x >2. 反思感悟 解含参数的一元二次不等式的步骤特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算． 跟踪训练3 (1)当a ＝12时，求关于x 的不等式x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集；(2)若a >0，求关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集．解 (1)当a ＝12时，有x 2－52x ＋1≤0，即2x 2－5x ＋2≤0，解得12≤x ≤2，故不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤2. (2)x 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1≤0⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －a )≤0，①当0<a <1时，a <1a ，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ≤x ≤1a； ②当a ＝1时，a ＝1a＝1，不等式的解集为{1}；③当a >1时，a >1a，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1a≤x ≤a. 综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ≤x ≤1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为{1}；当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a≤x ≤a.1．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－13 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤13 C ．∅ D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝－13 答案 D解析 原不等式可化为(3x ＋1)2≤0， ∴3x ＋1＝0，∴x ＝－13.2．如果关于x 的不等式x 2<ax ＋b 的解集是{x |1<x <3}，那么b a等于( ) A ．－81 B ．81 C ．－64 D ．64 答案 B解析 不等式x 2<ax ＋b 可化为x 2－ax －b <0， 其解集是{x |1<x <3}，那么，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3＝a ，1×3＝－b ，解得a ＝4，b ＝－3；所以b a＝(－3)4＝81.故选B. 3．不等式x 2－2x >0的解集是( ) A ．{x |x ≥2或x ≤0} B ．{x |x >2或x <0} C ．{x |0≤x ≤2} D ．{x |0<x <2}答案 B解析 解x 2－2x >0，即x (x －2)>0， 得x >2或x <0，故选B.4．不等式x 2－3x －10<0的解集是________． 答案 {x |－2<x <5}解析 由于x 2－3x －10＝0的两根为－2,5，故x 2－3x －10<0的解集为{x |－2<x <5}．5．若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数解，则m 的取值范围是________________． 答案 {m |m ≥9或m ≤1}解析 由方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数解， ∴Δ＝(m －3)2－4m ≥0， 即m 2－10m ＋9≥0， ∴(m －9)(m －1)≥0， ∴m ≥9或m ≤1.1．知识清单：解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法：①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；②求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，并画出对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的简图； ③由图象得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 2．方法归纳：数形结合，分类讨论．3．常见误区：当二次项系数小于0时，需两边同乘－1，化为正的．1．(2019·全国Ⅰ)已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |－4<x <3} B ．{x |－4<x <－2} C ．{x |－2<x <2} D ．{x |2<x <3}答案 C解析 ∵N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}， ∴M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C.2．若0<m <1，则不等式(x －m )⎝⎛⎭⎪⎫x －1m <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m <x <m B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >1m 或x <m C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >m 或x <1m D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m <x <1m 答案 D解析 ∵0<m <1，∴1m>1>m ，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m <x <1m ，故选D. 3．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，如果a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3} D ．{x |－3<x <2}答案 C解析 由题意知－2＋3＝－ba ，－2×3＝c a， ∴b ＝－a ，c ＝－6a ，∴不等式ax 2＋bx ＋c >0可化为ax 2－ax －6a >0， 又a <0，∴x 2－x －6<0，∴(x －3)(x ＋2)<0， ∴－2<x <3，故选C.4．若不等式5x 2－bx ＋c <0的解集为{x |－1<x <3}，则b ＋c 的值是( ) A ．5 B ．－5 C ．－25 D ．10 答案 B解析 由题意知－1,3为方程5x 2－bx ＋c ＝0的两根， ∴－1＋3＝b 5，－3＝c5，∴b ＝10，c ＝－15，∴b ＋c ＝－5.故选B.5．若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．{m |m ≤－2或m ≥2} B ．{m |－2≤m ≤2} C ．{m |m <－2或m >2} D ．{m |－2<m <2}答案 B解析 ∵x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ， ∴Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2，故选B. 6．不等式x 2－4x ＋4≤0的解集是________． 答案 {2}解析 原不等式可化为(x －2)2≤0，∴x ＝2. 7．不等式x 2＋3x －4<0的解集为________． 答案 {x |－4<x <1}解析 易得方程x 2＋3x －4＝0的两根为－4,1，所以不等式x 2＋3x －4<0的解集为{x |－4<x <1}．8．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m<x <2，则m 的取值范围是________． 答案 {m |m <0}解析 ∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m <x <2，∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m和2，且⎩⎪⎨⎪⎧m <0，1m<2，解得m <0，∴m 的取值范围是m <0.9．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B . (1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，求不等式ax 2＋x ＋b <0的解集． 解 (1)由x 2－2x －3<0，得－1<x <3， ∴A ＝{x |－1<x <3}． 由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，∴B ＝{x |－3<x <2}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}．(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴－x 2＋x －2<0，∴x 2－x ＋2>0， ∵Δ＝1－8＝－7<0，∴不等式x 2－x ＋2>0的解集为R .10．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0； (2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R?解 (1)由题意知1－a <0，且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a <0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0，即为2x 2－x －3>0， 解得x <－1或x >32.∴所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0， 若此不等式解集为R ，则Δ＝b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6.11．下列四个不等式：①－x 2＋x ＋1≥0；②x 2－25x ＋5>0；③x 2＋6x ＋10>0；④2x 2－3x ＋4<1. 其中解集为R 的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 C解析 ①显然不可能；②中Δ＝(－25)2－4×5>0，解集不为R ； ③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；④中不等式可化为2x 2－3x ＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C.12．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( ) A ．{x |0<x <2} B ．{x |－2<x <1} C ．{x |x <－2或x >1} D ．{x |－1<x <2}答案 B解析 根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)， 又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0， 故不等式的解集是{x |－2<x <1}．13．若关于x 的方程(a －2)x 2－2(a －2)x ＋1＝0无实数解，则a 的取值范围是________． 答案 2≤a <3解析 若a －2＝0，即a ＝2时，原方程为1＝0不合题意， ∴a ＝2满足条件，若a －2≠0，则Δ＝4(a －2)2－4(a －2)<0， 解得2<a <3，综上有a 的取值范围是2≤a <3.14．已知不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对∀x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 {a |－1≤a ≤4}解析 x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4≥a 2－3a 恒成立， ∴a 2－3a ≤4，即a 2－3a －4≤0， ∴(a －4)(a ＋1)≤0，∴－1≤a ≤4.15．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a －1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________． 答案 32解析 原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，因为x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54， 所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32. 16．已知不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立，解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0.解 ∵ax 2＋2ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立．当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上，0≤a ≤1.由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[x －(1－a )]<0.∵0≤a ≤1，∴①当1－a >a ，即0≤a <12时，a <x <1－a ； ②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解； ③当1－a <a ，即12<a ≤1时，1－a <x <a . 综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为{x |a <x <1－a }；当a ＝12时，原不等式的解集为∅；当12<a ≤1时，原不等式的解集为{x |1－a <x <a }．。
高中优秀教案高一数学教案：《函数与方程》
高一数学教案：《函数与方程》高一数学教案：《函数与方程》一、教材分析本节是一般高中课程规范试验教科书数学必修1的第三章第一节，是在同学学习函数的基本性质和指、对、幂三种基本初等函数基础上的后续，呈现函数图象和性质的应用。
本节重点是通过"二分法'求方程的近似解，使同学体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识。
本课是本章节的第一节课，结合函数图象和性质向同学介绍零点概念及其存在性，为后面"二分法'的学习打下伏笔，也为后来的算法学习作好基础。
二、学情分析通过学校的学习，同学已经娴熟把握了一次方程、二次方程求根的方法、描点作图法和一次函数、二次函数、反比例函数的图象;通过高中前两章的学习，强化了描点作图法，初步把握了对勾函数、指数函数、对数函数、幂函数的图象及基本性质，具备肯定的看图识图力量,这为本节课利用函数图象，推断方程根的存在性供应了肯定的学问基础。
但是，同学对函数与方程之间的联系缺乏了解，因此我们有必要点明函数的核心地位。
三、教学目标的确定1.学问与技能：(1)能够结合详细方程(如二次方程)，说明方程的根、相应函数图象与x轴的交点横坐标以及相应函数零点的关系;(2)正确理解函数零点存在性定理：了解图象连绵不断的意义及作用;知道定理只是函数存在零点的一个充分条件;(3)能利用函数图象和性质推断某些函数的零点个数;(4)能顺当将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题，写出与方程对应的函数;并会推断存在零点的区间(可使用计算器)。
2.过程与方法：通过同学活动、商量与探究，体验函数零点概念的形成过程，引导同学学会用转化与数形结合思想方法讨论问题，提高数学学问的综合应用力量。
3.情感看法价值观：让同学初步体会事物间相互转化以及由特别到一般的辨证思想，充分体验数学语言的严谨性，数学思想方法的科学性，让同学进一步受到数学思想方法的熏陶，激发同学的学习热忱。
高一数学 方程的根与函数的零点精华教案
芯衣州星海市涌泉学校课题3.1.1方程的根与函数的零点三维教学目标知识与才能1.理解函数〔结合二次函数〕零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的断定条件；〔ABC〕2.培养学生的观察才能；〔ABC〕3.培养学生的抽象概括才能。
〔AB〕过程与方法1.通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法；〔ABC〕2.让学生归纳整理本节所学知识．〔AB〕情感、态度、价值观在函数与方程的联络中体验数学中的转化思想的意义和价值。
〔ABC〕教学内容分析教学重点零点的概念及存在性的断定。
教学难点零点确实定。
教学流程与教学内容一、创设情景，提醒课题1、提出问题：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？2．先来观察几个详细的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：〔用投影仪给出〕①方程与函数②方程与函数③方程与函数1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，引出零点的概念．生：独立考虑完成解答，观察、考虑、总结、概括得出结论，并进展交流．师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？二、互动交流研讨新知函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．函数零点的求法：求函数的零点：①〔代数法〕求方程的实数根；②〔几何法〕对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联络起来，并利用函数的性质找出零点．1．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探究其求法：①代数法；②几何法．2．根据函数零点的意义探究研究二次函数的零点情况，并进展交流，总结概括形成结论．二次函数的零点：二次函数．〔１〕△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．〔２〕△＝０，方程有两相等实根〔二重根〕，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或者者二阶零点．〔３〕△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．3．零点存在性的探究：〔Ⅰ〕观察二次函数的图象：①在区间上有零点______；_______，_______,·_____0〔＜或者者＞＝〕．②在区间上有零点______；·____0〔＜或者者＞＝〕．〔Ⅱ〕观察下面函数的图象①在区间上______(有/无)零点；·_____0〔＜或者者＞＝〕．②在区间上______(有/无)零点；·_____0〔＜或者者＞＝〕．③在区间上______(有/无)零点；·_____0〔＜或者者＞＝〕．由以上两步探究，你可以得出什么样的结论？怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？4．生：分析函数，按提示探究，完成解答，并认真考虑．〔AB〕师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．生：结合函数图象，考虑、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进展交流、评析．师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．三、稳固深化，开展思维1．学生在教师指导下完成以下例题〔AB〕例1．求函数f(x)=㏑x＋2x－6的零点个数。
高一【数学(人教B版)】函数与方程、不等式之间的关系(1)-教学设计
课例编号
学科
数学
年级
10
学期
秋季
课题
3.2函数与方程,不等式之间的关系(第一课时)
教科书
书名：数学必修第一册
出版社：人民教育出版社出版日期：2019年7月
学生信息
姓名
学校
班级
学号
学习目标
1.理解函数零点的概念.
2.会求一次函数、二次函数的零点.
3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系.
例2.下列说法中,正确的有________⑤_________
①每个函数都有零点;
②函数零点的纵坐标均为0;
③函数f(x)有几个零点,方程f(x)= 0就有几个实根;
④偶函数的零点的个数必为偶数
⑤一个奇函数若有零点,则其零点之和必为0
【学习任务三】
例3,0]上至少有一个零点
(2)求证:f(x) = − 4x2+2在[−1,1]上至少有两个零点
【学习任务四】
例3.判断下列函数的零点个数
(1)若函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x)在(0,+∞)上有一个零点.则f(x)的零点个数为.
(2)f(x)=x2−
(3)已知函数f(x)＝ 则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是()
A．0B．1 C．2D．3
4.初步掌握零点存在定理
课前学习任务
1.复习一元二次不等式的解法
2.复习函数的性质
3.预习课本本节内容
课上学习任务
【学习任务一】例1求下列函数的零点：
(1)f(x)＝－ －2x＋3；
(2)求函数y＝(ax－1)(x＋2)的零点.
(3)求函数 的零点,并作出函数的示意图,写出不等式 和 的解集.
函数与方程、不等式之间的关系教案-高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册
函数与方程、不等式之间的关系【第1课时】【教学目标】【核心素养】1．理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系．（难点）2．会求函数的零点．（重点）3．掌握函数与方程、不等式之间的关系，并会用函数零点法求不等式的解集．（重点、难点）1．借助函数零点概念的理解，培养数学抽象的素养．2．通过函数与方程、不等式之间的关系的学习，提升逻辑推理的素养．3．利用零点法求不等式的解集，培养数学运算的素养．【教学过程】一、新知初探1．函数的零点（1）函数零点的概念：一般地，如果函数y＝f（x）在实数α处的函数值等于零，即f（α）＝0，则称实数α为函数y＝f（x）的零点．（2）三者之间的关系：函数f（x）的零点⇔函数f（x）的图像与x轴有交点⇔方程f（x）＝0有实数根．2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系（1）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是函数f（x）＝ax2＋bx＋c的零点．（2）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c 的函数值为负数的自变量x的取值集合．3．图像法解一元二次不等式的步骤（1）解一元二次不等式对应的一元二次方程；（2）求出其对应的二次函数的零点；（3）画出二次函数的图像；（4）结合图像写出一元二次不等式的解集．二、初试身手1．函数y＝1＋1x的零点是（）A．（－1，0）B．x＝－1 C．x＝1 D．x＝0 答案：B解析：令1＋1x＝0解得x＝－1，故选B．2．根据表格中的数据，可以断定方程e x－（x＋2）＝0（e≈2．72）的一个x －1012 3e x0．3712．727．4020．12x＋21234 5A．（－1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）答案：C解析：令f（x）＝e x－（x＋2），则f（－1）＝0．37－1<0，f（0）＝1－2<0，f（1）＝2．72－3<0，f（2）＝7．40－4＝3．40>0．由于f（1）·f（2）<0，∴方程e x－（x＋2）＝0的一个根在（1，2）内．3．若f（x）＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是（）A．m＜－2或m＞2 B．－2＜m＜2C．m≠±2D．1＜m＜3答案：A解析：∵f（x）＝－x2＋mx－1有正值，∴Δ＝m2－4＞0，∴m＞2或m＜－2．4．不等式1＋x1－x≥0的解集为________．答案：[－1，1）解析：原不等式等价于（x＋1）（x－1）≤0，且x－1≠0，∴－1≤x＜1．三、合作探究类型1：函数的零点及求法例1：求函数f（x）＝x3－7x＋6的零点．解：令f（x）＝0，即x3－7x＋6＝0，∴（x3－x）－（6x－6）＝0，∴x（x－1）（x＋1）－6（x－1）＝（x－1）·（x2＋x－6）＝（x－1）（x－2）（x＋3）＝0，解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，∴函数f（x）＝x3－7x＋6的零点是1，2，－3．规律方法求函数y＝f（x）的零点通常有两种方法：一是令y＝0，根据解方程f（x）＝0的根求得函数的零点；二是画出函数y＝f（x）的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．跟踪训练1．如图所示是一个二次函数y＝f（x）的图像．（1）写出这个二次函数的零点；（2）试比较f（－4）·f（－1），f（0）·f（2）与0的大小关系．解：（1）由图像可知，函数f（x）的两个零点分别是－3，1．（2）根据图像可知，f（－4）·f（－1）＜0，f（0）·f（2）＜0．类型2：二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系例2：利用函数求下列不等式的解集：（1）x2－5x－6＞0；（2）（2－x）（x＋3）＜0；（3）4（2x2－2x＋1）＞x（4－x）．解：（1）方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6．结合二次函数y＝x2－5x－6的图像知，原不等式的解集为（－∞，－1）∪（6，＋∞）．（2）原不等式可化为（x－2）（x＋3）＞0．方程（x－2）（x＋3）＝0的两根为x1＝2，x2＝－3．结合二次函数y＝（x－2）（x＋3）的图像知，原不等式的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）．（3）由原不等式得8x 2－8x ＋4＞4x －x 2，即9x 2－12x ＋4＞0．解方程9x 2－12x ＋4＝0，解得x 1＝x 2＝23．结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图像知，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞． 规律方法利用函数求不等式解集的基本步骤1．把一元二次不等式化成一般形式，并把a 的符号化为正；2．计算其对应一元二次方程的根的判别式Δ；3．求其对应一元二次方程的根；4．写出解集大于取两边，小于取中间． 跟踪训练2．利用函数求下列不等式的解集：（1）2x 2＋7x ＋3＞0；（2）－x 2＋8x －3＞0；（3）x 2－4x －5＜0；（4）－4x 2＋18x －814＞0．解：（1）对于方程2x 2＋7x ＋3＝0，因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不相等的实数根，x 1＝－3，x 2＝－12．又因为二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为（－∞，－3）∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞． （2）对于方程－x 2＋8x －3＝0，因为Δ＝82－4×（－1）×（－3）＝52＞0， 所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实数根，x 1＝4－13，x 2＝4＋13． 又因为二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图像开口向下，所以原不等式的解集为（4－13，4＋13）．（3）原不等式可化为（x －5）（x ＋1）＜0，所以原不等式的解集为（－1，5）．（4）原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922＜0， 所以原不等式的解集为∅．类型3：用函数零点法求一元高次不等式的解集例3：求函数f（x）＝（x－1）（x－2）（x＋3）的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f（x）≥0和f（x）＜0的解集．解：函数的零点为－3，1，2．x （－∞，－3）（－3，1）（1，2）（2，＋∞）f（x）－＋－＋由此可以画出此函数的示意图如图．由图可知，f（x）≥0的解集为[－3，1]∪[2，＋∞），f（x）＜0的解集为（－∞，－3）∪（1，2）．规律方法解题步骤：1．求出零点；2．拆分定义域；3．判断符号；4．写出解集．注意判断符号的方法，将最高项的系数化为正数，最右边的区间内为正，然后往左依次负正相间．跟踪训练3．求函数f（x）＝（1－x）（x－2）（x＋2）的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f（x）≥0和f（x）＜0的解集．解：函数的零点为－2，1，2．x （－∞，－2）（－2，1）（1，2）（2，＋∞）f（x）＋－＋－由此可以画出此函数的示意图如图．由图可知，f（x）≥0的解集为（－∞，－2]∪[1，2]，f（x）＜0的解集为（－2，1）∪（2，＋∞）．四、课堂小结1．方程f（x）＝g（x）的根是函数f（x）与g（x）的图像交点的横坐标，也是函数y＝f（x）－g（x）的图像与x轴交点的横坐标．2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系（1）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是函数f（x）＝ax2＋bx＋c的零点．（2）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集是f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合．3．图像法解一元二次不等式的步骤（1）解一元二次不等式对应的一元二次方程；（2）求出其对应的二次函数的零点；（3）画出二次函数的图像；（4）结合图像写出一元二次不等式的解集．五、当堂达标1．下列图像表示的函数中没有零点的是（）答案：A解析：B，C，D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x 轴没有交点，故函数没有零点．2．方程5x2－7x－1＝0的根所在的区间是（）A．（－1，0）B．（1，2）C．一个根在（－1，0）上，另一个根在（1，2）上D．一个根在（0，1）上，另一个根在（－2，－1）上答案：C解析：∵f（－1）·f（0）＜0，f（1）·f（2）＜0，∴选C．3．函数f（x）＝x－1x零点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3答案：C解析：令x－1x＝0，即x2－1＝0，∴x＝±1．∴f（x）＝x－1x的零点有两个．4．函数f（x）＝（x2－1）（x＋2）2（x2－2x－3）的零点个数是________．答案：4解析：f（x）＝（x＋1）（x－1）（x＋2）2（x－3）（x＋1）＝（x＋1）2（x－1）（x＋2）2（x－3）．可知零点为±1，－2，3，共4个．【第2课时】【教学目标】【核心素养】1．掌握函数零点的存在性定理，并会判断函数零点的个数．（重点）2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握二分法是求函数零点近似解的步骤．（难点）3．理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题．（重点、难点）1．通过存在性定理的学习，培养逻辑推理的素养．2．通过二分法的学习，提升数据分析，数学建模的学科素养．3．理解函数与方程之间的联系，提升数学抽象的学科素养．【教学过程】一、新知初探1．函数零点的存在性定理如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f（a）f（b）＜0（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数y＝f（x）在区间[a，b]中至少有一个零点，即∃x0∈[a，b]，f（x0）＝0．2．二分法的定义（1）二分法的条件：函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续不断且f（a）f（b）＜0．（2）二分法的过程：通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法，称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，也可以用二分法求方程的近似解．3．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f （x ）在[a ，b ]上的零点近似值的步骤是：第一步：检查|b －a |＜2ε是否成立，如果成立，取x 1＝a ＋b 2，计算结束；如果不成立，转到第二步．第二步：计算区间[a ，b ]的中点a ＋b 2对应的函数值，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝0，取x 1＝a ＋b 2，计算结束；若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≠0，转到第三步． 第三步 若f （a ）f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＜0，将a ＋b 2的值赋给b ⎝ ⎛⎭⎪⎫用a ＋b 2→b 表示，下同，回到第一步；若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2f （b ）＜0，将a ＋b 2的值赋给a ，回到第一步． 二、初试身手1．下列函数不宜用二分法求零点的是（ ）A ．f （x ）＝x 3－1B ．f （x ）＝ln x ＋3C ．f （x ）＝x 2＋22x ＋2D ．f （x ）＝－x 2＋4x －1 答案：C解析：因为f （x ）＝x 2＋22x ＋2＝（x ＋2）2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．2．若函数f （x ）在区间[a ，b ]上为单调函数，且图像是连续不断的曲线，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数f （x ）在区间[a ，b ]上不可能有零点B ．函数f （x ）在区间[a ，b ]上一定有零点C ．若函数f （x ）在区间[a ，b ]上有零点，则必有f （a ）·f （b ）＜0D ．若函数f （x ）在区间[a ，b ]上没有零点，则必有f （a ）·f （b ）＞0 答案：D解析：函数f （x ）在区间[a ，b ]上为单调函数，如果f （a ）·f （b ）＜0，可知函数在（a ，b ）上有一个零点，如果f （a ）·f （b ）＞0，可知函数在[a ，b ]上没有零点，所以函数f （x ）在区间[a ，b ]上可能没有零点，也可能有零点，所以A 不正确；函数f （x ）在区间[a ，b ]上可能有零点，也可能没有零点；所以B 不正确； 若函数f （x ）在区间[a ，b ]上有零点，则可能f （a ）·f （b ）＜0，也可能f （a ）·f （b ）＝0所以C 不正确；若函数f（x）在区间[a，b]上没有零点，则必有f（a）·f（b）＞0，正确；故选D．]3．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是（）A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关答案：B解析：依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．4．若函数f（x）的图像是连续不断的，且f（0）>0，f（1）·f（2）·f（4）<0，则下列命题正确的是________．①函数f（x）在区间（0，1）内有零点；②函数f（x）在区间（1，2）内有零点；③函数f（x）在区间（0，2）内有零点；④函数f（x）在区间（0，4）内有零点．答案：④解析：∵f（0）>0，而由f（1）·f（2）·f（4）<0，知f（1），f（2），f（4）中至少有一个小于0．∴（0，4）上有零点．三、合作探究类型1：判断函数零点所在的区间例1：求证：方程x4－4x－2＝0在区间[－1，2]内至少有两个实数解．证明：设f（x）＝x4－4x－2，其图像是连续曲线．因为f（－1）＝3＞0，f（0）＝－2＜0，f（2）＝6＞0，所以方程在（－1，0），（0，2）内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．规律方法一般而言，判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．跟踪训练1．若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A．若f（a）f（b）＞0，则不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0B．若f（a）f（b）＜0，则存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）＝0C．若f（a）f（b）＞0，则有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0D．若f（a）f（b）＜0，则有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0 答案：C解析：对于A选项，可能存在，如y＝x2；对于B选项，必存在但不一定唯一，选项D一定存在．类型2：对二分法概念的理解例2：下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是（）答案：B解析：利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B 中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点．由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．规律方法二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是：函数零点的存在性．对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图像是连续的即可．跟踪训练2．如图是函数f（x）的图像，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f（x）的零点近似值的是（）A．（－2．1，－1）B．（1．9，2．3）C．（4．1，5）D．（5，6．1）答案：B解析：只有B 中的区间所含零点是不变号零点． 类型3：用二分法求函数零点例3：求函数f （x ）＝x 2－5的负零点．（精确度为0．1） 解：由于f （－2）＝－1<0，f （－3）＝4>0， 故取区间（－3，－2）作为计算的初始区间， 区间 中点的值 中点函数近似值 （－3，－2） －2．5 1．25 （－2．5，－2） －2．25 0．0625 （－2．25，－2） －2．125 －0．4844 （－2．25，－2．125） －2．1875－0．2148 （－2．25，－2．1875）－2．21875－0．0771由于|－2．25－（－2．1875）|＝0．0625<0．1， 所以函数的一个近似负零点可取－2．25． 规律方法利用二分法求函数零点应关注三点1．要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小．2．用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间．3．根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算．跟踪训练3．证明函数f （x ）＝2x ＋3x －6在区间[1，2]内有唯一零点，并求出这个零点（精确度为0．1）．解：由于f （1）＝－1<0，f （2）＝4>0，又函数f （x ）在[1，2]内是增函数，所以函数在区间[1，2]内有唯一零点，不妨设为x 0，则x 0∈[1，2]．下面用二分（a ，b ） （a ，b ）的中点f （a ） f （b ） f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 （1，2）1．5f （1）<0f （2）>0f （1．5）>0（1，1．5） 1．25 f （1）<0 f （1．5）>0 f （1．25）>0 （1，1．25） 1．125f （1）<0 f （1．25）>0f （1．125）<0 （1．125，1．25）1．1875 f （1．125）<0f （1．25）>0f （1．1875）<0因为|1．1875－1．25|＝0．0625<0．1，所以函数f （x ）＝2x ＋3x －6的精确度为0．1的近似零点可取为1．25．类型4：用二分法求方程的近似解例4：用二分法求方程2x 3＋3x －3＝0的一个正实数近似解（精确度为0．1）． 解：令f （x ）＝2x 3＋3x －3，经计算，f （0）＝－3<0，f （1）＝2>0，f （0）·f （1）<0， 所以函数f （x ）在（0，1）内存在零点， 即方程2x 3＋3x －3＝0在（0，1）内有解．取（0，1）的中点0．5，经计算f （0．5）<0，又f （1）>0， 所以方程2x 3＋3x －3＝0在（0．5，1）内有解． （a ，b ） 中点c f （a ） f （b ） f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 （0，1） 0．5 f （0）<0 f （1）>0 f （0．5）<0 （0．5，1） 0．75 f （0．5）<0 f （1）>0 f （0．75）>0 （0．5，0．75） 0．625 f （0．5）<0 f （0．75）>0 f （0．625）<0 （0．625，0．75） 0．6875f （0．625）<0f （0．75）>0f （0．6875）<0（0．6875，0．75）|0．6875－0．75|＝0．0625<0．1由于|0．6875－0．75|＝0．0625<0．1，所以0．75可作为方程的一个正实数近似解．规律方法用二分法求方程的近似解应明确两点（1）根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f （x ）＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．（2）对于求形如f （x ）＝g （x ）的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F（x）＝f（x）－g（x）＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．跟踪训练4．求方程x2＝2x＋1的一个近似解．（精确度0．1）解：设f（x）＝x2－2x－1．∵f（2）＝－1<0，f（3）＝2>0．∴在区间（2，3）内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0．取2与3的平均数2．5，∵f（2．5）＝0．25>0，∴2<x0<2．5；再取2与2．5的平均数2．25，∵f（2．25）＝－0．4375<0，∴2．25<x0<2．5；如此继续下去，有f（2．375）<0，f（2．5）>0⇒x0∈（2．375，2．5）；f（2．375）<0，f（2．4375）>0⇒x0∈（2．375，2．4375）．∵|2．375－2．4375|＝0．0625<0．1，∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0．1的近似解可取为2．4375．四、课堂小结1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：（1）在区间[a，b]上连续不断；（2）f（a）·f（b）<0，上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．五、当堂达标1．函数y＝－x2＋8x－16在区间[3，5]上（）A．没有零点B．有一个零点C．有两个零点D．有无数个零点答案：B解析：令－x2＋8x－16＝0，得x＝4，故函数y＝－x2＋8x－16在[3，5]上有一个零点．2．用二分法求函数f （x ）＝x 3＋x 2－2x －2的一个正零点的近似值（精确到0．1）时，依次计算得到如下数据：f （1）＝－2，f （1．5）＝0．625，f （1．25）≈－0．984，f （1．375）≈－0．260，关于下一步的说法正确的是（ ）A ．已经达到精确度的要求，可以取1．4作为近似值B ．已经达到精确度的要求，可以取1．375作为近似C ．没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1．4375）D ．没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1．3125） 答案：C解析：由二分法知，方程x 3＋x 2－2x －2＝0的根在区间（1．375，1．5），没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1．4375）．故选C ．3．函数图像与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是（ ）答案：B4．用二分法求函数零点，函数的零点总位于区间[a n ，b n ]上，当|a n －b n |＜ε时，函数的近似零点a n ＋b n2与真正零点的误差不超过A ．εB ．12εC ．2εD ．14ε 答案：B解析：根据用“二分法”求函数近似零点的步骤知，当|a n －b n |＜ε时，区间[a n ，b n ]的中点x n ＝12（a n ＋b n ）就是函数的近似零点，这时计算终止，从而函数的近似零点与真正零点的误差不超过12ε．故选B ．。
二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时)教案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）教材分析本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第3节《二次函数与一元二次方程、不等式》第１课时。
从内容上看它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸，同时它也与一元二次方程、二次函数之间联系紧密，涉及的知识面较多。
从思想层面看，本节课突出体现了数形结合思想。
同时一元二次不等式是解决函数定义域、值域等问题的重要工具，因此本节课在整个中学数学中具有较重要的地位和作用。
学情分析学生在初中已经学习了一元一次不等式、一元二次方程和二次函数的相关知识，对不等式的性质有了初步了解，但因我校学生基础普遍较差，逻辑推理和抽象思维能力仍需提高，还需依赖具体形象的内容理解抽象的逻辑关系。
教学目的1. 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；2. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3.培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
教学重点一元二次不等式的解法教学难点理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系教学过程一、情境导入问题园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？设这个矩形的一条边长为xｍ，则另一条边长为（１２－x）ｍ．由题意，得:（１２－x）x＞２０（０＜x＜１２）整理得x２－１２x＋２０＜０（０＜x＜１２）。
①求得不等式①的解集，就得到了问题的答案。
思考：类比一元一次不等式，这个不等式有什么特点？能否给这类不等式起个名字，并写出它的一般形式？由此导出课题。
一元二次不等式的定义：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0 或ax2+bx+c<0 ，其中a，b，c均为常数，a≠0.思考：为什么要规定a≠0？二、探索新知探究1：回顾一次函数与一元一次方程、不等式的关系请学生画出一次函数y=2x-6的图象，并回答下列问题：1.函数y=2x-6与x轴的交点为；2.方程2x-6=0的根为；3.不等式2x-6>0的解为；4.不等式2x-6<0的解为；师生完成上述问题后小结：三个“一次”的关系。
高一数学函数的教案优秀5篇
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本小节是高中新课程的新增内容，它是求方程近似解的常用方法，体现了函数的思想以及函数与方程的联系。
在内容上衔接了上节函数的零点与方程的根的联系，并为数学3中算法内容的学习做了铺垫。
2.学情分析学生在学习了上小节的内容后，对方程的根的存在性有了一定的了解。
在使用计算器上也不会有任何问题。
主要的困难在于对这种算法的理解以及对教材中归纳的使用二分法求方程近似解一般步骤和精确度的理解。
因此在教学上可设置生动的情境（比如价格竞猜）引入，来帮助学生理解二分法的实质。
同时应放慢教学速度，用3课时把这些内容讲清楚。
具体课时分布如下：中学课堂教学设计表教学手段通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，在函数与方程的联系中体验数形结合思想、转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．教学过程设计（详细过程）【环节一：揭示意义，明确目标】揭示本章意义，指明课节目标教师活动：用屏幕显示第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点教师活动：这节课我们来学习第三章函数的应用。
通过第二章的学习，我们已经认识了指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质，而这一章我们就要运用函数思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题。
为此，我们还要做一些基本的知识储备。
方程的根，我们在初中已经学习过了，而我们在初中研究的“方程的根”只是侧重“数”的一面来研究，那么，我们这节课就主要从“形”的角度去研究“方程的根与函数零点的关系”。
教师活动：板书标题（方程的根与函数的零点）。
【环节二：巧设疑云，轻松渗透】设置问题情境，渗透数学思想教师活动：请同学们思考这个问题。
用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？（1）；（2）.学生活动：回答，思考解法。
教师活动：第二个方程我们不会解怎么办？你是如何思考的？有什么想法？我们可以考虑将复杂问题简单化，将未知问题已知化，通过对第一个问题的研究，进而来解决第二个问题。
对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决，我们应该打破思维定势，走出自己给自己画定的牢笼！这样我们先把所依赖的拐杖丢掉，假如第一个方程你不会解，也不会应用判别式，你要怎样判断其实根个数呢？学生活动：思考作答。
教师活动：用屏幕显示函数的图象。
学生活动：观察图像，思考作答。
教师活动：我们来认真地对比一下。
用屏幕显示表格，让学生填写的实数根和函数图象与x轴的交点。
学生活动：得到方程的实数根应该是函数图象与x轴交点的横坐标的结论。
教师活动：我们就把使方程成立的实数x称做函数的零点．【环节三：形成概念，升华认知】引入零点定义，确认等价关系教师活动：这是我们本节课的第一个知识点。
板书（一、函数零点的定义：对于函数y=f(x),使方程f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点）。
教师活动：我可不可以这样认为，零点就是使函数值为0的点？学生活动：对比定义，思考作答。
教师活动：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟是什么关系？学生活动：思考作答。
教师活动：这是我们本节课的第二个知识点。
板书（方程的根与函数零点的等价关系）。
教师活动：检验一下看大家是否真正理解了这种关系。
如果已知函数y=f(x)有零点，你怎样理解它？学生活动：思考作答。
教师活动：对于函数y=f(x)有零点，从“数”的角度理解，就是方程f(x)=0有实根，从“形”的角度理解，就是图象与x轴有交点。
从我们刚才的探究过程中，我们知道，方程f(x)=0有实根和图象与x轴有交点也是等价的关系。
所以函数零点实际上是方程f(x)=0有实根和图象与x轴有交点的一个统一体。
在屏幕上显示：函数y=f(x)有零点方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点教师活动：下面就检验一下大家的实际应用能力。
【环节四：应用思想，小试牛刀】数学思想应用，基础知识强化教师活动：用屏幕显示求下列函数的零点.学生活动：由四位同学分别回答他们确定零点的方法。
画图象时要求用语言描述4个图象的画法；教师活动：根据学生的描述，在黑板上作出图象（在接下来探究零点存在性定理时，图象会成为同学们思考问题的很好的参考）。
教师活动：我们已经学习了函数零点的定义，还学习了方程的根与函数零点的等价关系，在这些知识的探究发现中，我们也有了一些收获，那我们回过头来看看能不能解决的根的存在性问题？学生活动：可受到化归思想的启发应用数形结合进行求解。
教师活动：用屏幕显示学生所论述的解题过程。
这种解法充分运用了我们前面的解题思想，将未知问题转化成已知问题，将一个图象不会画的函数转化成了两个图象都会画的函数，利用两个函数图象的交点解决实根存在性问题。
看来我们的探究过程是非常有价值的。
教师活动：如果不转化，这个问题就真的解决不了么？现在最棘手的问题是y=的图象不会画，那我们能不能不画图象就判断出零点的存在呢？【环节五：探究新知，思形想数】探究图象本质，数形转化解疑教师活动：我们看到，当函数图象穿过x轴时，图象就与x轴产生了交点，图象穿过x轴这是一种几何现象，那么如何用代数形式来描述呢？用屏幕显示的函数图象，多次播放抛物线穿过x轴的画面。
学生活动：通过观察图象，得出函数零点的左右两侧函数值异号的结论.教师活动：好！我们明确一下这个结论，函数y=f(x)具备什么条件时，能在区间（a,b）上存在零点？学生活动：得出f(a)·f(b)<0的结论。
教师活动：若f(a)·f(b)<0,函数y＝f(x)在区间(a,b)上就存在零点吗？学生活动：可从黑板上的图象中受到启发，得出只有在[a,b]上连续不断的函数，在满足f(a)·f(b)<0的条件时，才会存在零点的结论。
【环节六：归纳定理，深刻理解】初识定理表象，深入理解实质教师活动：其实同学们无形之中已经说出了我们数学中的一个重要定理，那就是零点存在性定理。
这是我们本节课的第三个知识点。
板书（三、零点存在性定理）。
教师活动：用屏幕显示函数零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点．即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根．教师活动：这个定理比较长，找个同学给大家读一下，让大家更好地体会定理的内容。
学生活动：读出定理。
教师活动：大家注意到了么，定理中，开始时是在闭区间[a,b]上连续，结果推出时却是在开区间（a,b）上存在零点。
你怎样理解这种差异？学生活动：思考作答。
教师活动：虽然我们已经得到了零点存在性定理，但同学们真的那么坦然么？结合黑板上的图象，再结合定理的叙述形式，你对定理的内容可有疑问？学生活动：通过观察黑板上的板书图象，大致说出以下问题：1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内会是只有一个零点么?2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内就一定没有零点么？3.在什么条件下，函数y＝f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点？教师活动：那我们就来解决一下这些问题。
学生活动：通过黑板上的图象举出反例，得出结论。
1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则只能确定f(x)在区间(a,b)内有零点，有几个不一定。
2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内也可能有零点。
3.在零点存在性定理的条件下，如果函数再具有单调性,函数y＝f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点。
【环节七：应用所学，答疑解惑】把握理论实质，解决初始问题教师活动：现在我们不用画出图象也能判断函数零点是否存在，存在几个了。
那解决的根的存在性问题应该是游刃有余了。
用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？（2）学生活动：通过对零点存在性的探究和理解，表述该问题的解法。
【环节八：归纳总结，梳理提升】总结基础知识，提升解题意识教师活动：本节课的知识点已经在黑板上呈现出来了，但最重要的，也是贯穿本节课始终，起到灵魂作用的却是三大数学思想，即化归与转化的数学思想,数形结合的数学思想,函数与方程的数学思想.数学思想才是数学的灵魂所在，也是数学的魅力所在，对我们解决问题起着绝对的指导作用。
愿我们每个同学在今后的学习中体味、感悟、应用、升华！【环节九：理论内化，巩固升华】整理思想方法，灵活应用解题1.函数f(x)=x(x2-16)的零点为( )Ａ. (0,0),(4,0) Ｂ.0,4 Ｃ. (–4,0),(0,0),(4,0) Ｄ.–4,0,42.已知函数f(x)是定义域为Ｒ的奇函数，且f(x)在上有一个零点，则f(x)的零点个数为( )Ａ.３Ｂ.２Ｃ.１Ｄ.不确定3.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：x1 2 3 4 567f(x)23 9–7 11–5–12–26那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（）个A.5个B.4个C.3个D.2个4.函数f(x)= – x3– 3x + 5的零点所在的大致区间为（）A.( – 2 ，0)B. (1，2)C. (0，1)D. (0，0.5)【环节十：布置作业，举一反三】延伸课堂思维，增强应用意识①有2个零点;②3个零点;③4个零点.板书设计课题：1.提出问题：2.问题探索3.例题分析：4.抽象概括：5.练习：投影：巩固练习题组1 1.函数的零点是（）A．（-1，0） B.（3，0） C.x=3 D -1和32.函数的零点是（）A 1B 2C 3D 不确定题组2 已知函数(1)m为何值时，函数有两个零点？(2)若函数恰有一个再远点右侧，求m的值教学反思方程的根与函数的零点是高中课程标准新增的内容，表面上看，这一内容的教学并不困难，但要让学生能够真正理解，教学还需要妥善处理其中的一些问题。
首先要让学生认识到学习函数的零点的必要性其次教学要把握内容结构，突出思想方法像这些中学新增内容的教学，教学就要取得成功的确不易，需要一个不断实践以及实践后的反思的过程，在实践与反思的过程中，不仅要妥善解决上述问题，还要不断地发现和解决新的问题，这样，教学效果才会逐步得到改善。
中学课堂教学设计表学科数学教师姓名授课班级高一（21）（22）授课时间11、12课题3．1.1方程的根与函数的零点（二）计划课时 1课标要求和教学目1.知识与技能：1．能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．理解函数的零点与方程根的关系．3．掌握函数零点的存在性的判定方法．教学过程设计（详细过程）一、求函数的零点例1 求下列函数的零点：(1)f(x)＝－x2－2x＋3；(2)f(x)＝x4－1；(3)f(x)＝x3－4x.解(1)由于f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)．所以方程－x2－2x＋3＝0的两根是－3,1.故函数的零点是－3,1.(2)由于f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，所以方程x4－1＝0的实数根是－1,1，故函数的零点是－1,1.(3)令f(x)＝0，即x3－4x＝0，∴x(x2－4)＝0，即x(x＋2)(x－2)＝0.解得：x1＝0，x2＝－2，x3＝2，所以函数f(x)＝x3－4x有3个零点，分别是：－2,0,2.点评求函数的零点，关键是准确求解方程的根，若是高次方程，要进行因式分解，分解成多个因式积的形式且方程的另一边为零，若是二次方程常用因式分解或求根公式求解．变式迁移1 若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值．解∵2，－4是函数f(x)的零点．∴f(2)＝0，f(－4)＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧2a＋b＝－4－4a＋b＝－16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝2b＝－8.二、判断函数在某个区间内是否有零点例2 (1)函数f(x)＝ln x－2x的零点所在的大致区间是( )A．(1,2) B．(2,3)C.⎝⎛⎭⎪⎫1，1e和(3,4) D．(e，＋∞)(2)f(x)＝ln x－2x在x>0上共有________个零点．分析由题目可获取以下主要信息：本例为判断函数零点所在区间问题，且在选项中给出了待确定的区间．解答本题可从已知区间求f(a)和f(b)，判断是否有f(a)·f(b)<0，且注意该函数在定义域上为增函数．答案(1)B (2) 1解析(1)∵f(1)＝－2<0，f(2)＝ln2－1<0，∴在(1,2)内f(x)无零点，A不对；又f(3)＝ln3－23>0，∴f(2)·f(3)<0，∴f(x)在(2,3)内有一个零点．(2)∵f(x)＝ln x－2x在x>0上是增函数，故f(x)有且只有一个零点．点评这是一类非常基础且常见的问题，考查的是函数零点的判定方法，一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值，进行符号判断即可得出结论，这类问题的难点往往是函数符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断，同时也要注意该函数的单调性．变式迁移2 方程x 2－3x ＋1＝0在区间(2,3)内根的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定 答案 B解析 令f (x )＝x 2－3x ＋1，则f (2)·f (3)<0， ∴(2,3)内仅有一个根．三、已知函数零点的特征，求参数范围 例3 若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，求实数a 的取值范围．分析 由题目可获取以下主要信息：已知函数f (x )零点特征，讨论函数表达式中字母的特征，解答本题可根据该字母对函数零点的影响入手，进行求解．解 ①若a ＝0，则f (x )＝－x －1，为一次函数，易知函数仅有一个零点；②若a ≠0，则函数f (x )为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax 2－x －1＝0仅有一个实数根，故判别式Δ＝1＋4a ＝0，a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．变式迁移3 已知在函数f (x )＝mx 2－3x ＋1的图象上其零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的范围．解 (1)当m ＝0时，f (0)＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意．图(1)(2)当m ≠0时，∵f (0)＝1， ∴抛物线过点(0,1)．若m <0，f (x )的开口向下，如图(1)所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．图(2)若m >0，f (x )的开口向上，如图(2)所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当9－4m ≥0即可，解得0<m ≤94，综上所述，m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94.1．函数f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，但不能将它们完全等同．如函数f (x )＝x 2－4x ＋4只有一个零点，但方程f (x )＝0有两个相等实根．2．并不是所有的函数都有零点，即使在区间[a ，b ]上有f (a )·f (b )<0，也只说明函数y ＝f (x )在(a ，b )上至少有一个零点，但不一定唯一．反之，若f (a )·f (b )>0，也不说明函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上无零点，如二次函数y ＝x 2－3x ＋2在[0,3]上满足f (0)·f (3)>0，但函数f (x )在区间(0,3)上有零点1和2.3．函数的零点是实数而不是坐标轴上的点．中学课堂教学设计表由表可知，f(2)<0,f(3)>0,则f(2)·f(3)<0，这说明f(x)在区间内有零点x0，取区间(2，3)的中点x1=2.5,用计算器算得f(2.5)≈-0.084，因为f(2.5)·f(3)<0，所以x0∈(2.5,3).同理,可得表(下表)与图象(如图3-1-2-1).区间中点的值中点函数的近似值(2，3) 2.5 -0.084(2.5,3) 2.75 0.512(2.5,2.75) 2.625 0.215(2.5,2.625) 2.5625 0.066(2.5,2.5625) 2.53-1-2-5 -0.009(2.53-1-2-5,2.5625) 2.546875 0.029(2.53-1-2-5,2.546875) 2.5390625 0.010(2.53-1-2-5,2.5390625) 2.53515625 0.001图3-1-2-1由于(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75),所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见上表).这样，在一定的精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值.特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值.例如，当精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53-1-2-5|=0.0078125<0.01，所以，我们可以将x=2.53-1-2-5作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值.⑨给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：1°确定区间［a,b］，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε.2°求区间(a,b)的中点c.3°计算f(c):a.若f(c)=0，则c就是函数的零点；b.若f(a)·f(c)<0，则令b=c〔此时零点x0∈(a,c)〕；c.若f(c)·f(b)<0，则令a=c〔此时零点x0∈(c,b)〕.板书设计课题：1.提出问题：2.问题探索3.例题分析：4.抽象概括：5.练习：投影：巩固练习1. 方程4x+2x-11=0的解在下列哪个区间内？你能给出一个满足精确度为0.1的近似解吗？A (0,1)B (1,2)C (2,3）D (3,4)2. 下列函数的图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是（）教学反思以问题为教学出发点注重与现实生活中案例相结合注重学生参与知识的形成过程恰当地利用现代信息技术[课题]：连州中学2013—2014学年第一学期期中考试高一数学试题评讲主备人：高一数学备课组 编写时间：2013年11月11日 使用班级（21）（22）计划上课时间： 2013-2014学年第 一学期 第 11 周 星期 四、五连州中学2013—2014学年第一学期期中考试高一数学试题本试卷共20小题，满分150分，考试用时120分钟【学习目标】1、此份试题难度不大，但是学生第一次接触综合性试题，思路上没有反应过来。