2011高考湖南卷理科数学+(精校版)

1 5 3 = . 20 20 10
（Ⅱ）由题意知,X 的可能取值为 2，3. P(X＝2)＝P(“当天商品销售量为 1 件”)＝
5 1 = ； 20 4
P(X＝3)＝P(“当天商品销售量为 0 件”)＋P(“当天商品销售量为 2 件”)＋P(“当 天商品销售量为 3 件”)＝ 故 X 的分布列为 X P 2 3
A．
9 +12 2 C． 9 42
B．
9 18 2 D． 36 18
解：B（提示：几何体为由一个底面边长为 3，高为 2 的正四棱柱和一个半径为 1.5 的球构 成的组合体，容易求得其体积为 V 3 3 2
9 4 3 ） +18 ． 2 3 2
范围为 A． (1,1 2) B． (1 2, ) C． （1，3） D． （3，＋∞）
解 ： A （ 提 示 ： 可 行 域 为 三 角 形 区 域 ， 其 三 个 顶 点 坐 标 为 O(0,0) 、 A , 、
1 1 2 2
x z m m 1 1 B , , ， 不 难 知 道 y 经 过 点 B 时，截距最大，由 m m m 1 m 1 m 1 m 1
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（1）P(A)＝ ___________； 解：
（2）P(B|A)＝ ___________.
S S 2 1 2 1 ， （提示： P( A) EFGH ， P( B | A) OHE ． ） S圆o S圆o 4 4
16．对于 n∈N*，将 n 表示为 n a0 2k a1 2k 1 a2 2k 2
2011 高考湖南卷理科数学
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1．若 a，b R，i 为虚数单位，且（a＋i）i＝b＋i，则 A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－1 解：D（提示：由条件（a＋i）i＝b＋i，得 1 ai b i ，故 a＝1，b＝－1． ） 2．设集合 M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N M”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 解：A（提示：若“a＝1”则“N M” ；反之若“N M”则不一定有“a＝1” ，故“a＝1” 是“N M”的充分不必要条件． ） 3．设图 1 是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
） x y 1 0 ，显然曲线 C2 上的点 (0,1) 在椭圆 C1 的内部，故 C1 与 C2 的交点个数为 2． 10．设 x，y R，且 xy≠0，则 ( x
2
1 1 )( 2 4 y 2 ) 的最小值为_________. 2 y x
解：9（提示： x
2

3
4．通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 爱好 不爱好 总计 由K
2
女 20 30 50
总计 60 50 110
40 20 60
n(ad bc)2 110 (40 30 20 20)2 2 7.8 . 算得， K 60 50 60 50 (a b)(c d )(a c)(b d )
附表：
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P（K2≥k） k
0.050 3.841
0.010 6.635
0.001 10.828
参照附表，得到的正确结论是 A．在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B．在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C．有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D．有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 解：C（提示：由提供的数据和附表可直接作出判断． ）
， x ， y 0 与曲线 y cos x 所围成的封闭图形的面积为 3 3
B．1 C．

A．
1 2
3 2
D． 3

解：D（提示：封闭图形的面积为
cos xdx sin x | 3 2 sin
3 3 3

3
3． ）
yx 7．设 m＞1，在约束条件 y mx 下，目标函数 z x my 的最大值小于 2，则 m 的取值 x y 1
1 2
有 m 个 0 的有 Ck 1 个，……有 k－1 个 0 的有 Ck 1 1 个．故对所有 2 进制为 k 位数的数 n，
m
k 1
在所求式中的 2
I (n)
的 和 为 ： 1 2 Ck 1 2 Ck 1 2
0 1 1 2 2
1 k 1 Ckk 3k 1 ． 又 1 2
3 sin A cos( B ) 的最大值，并求取得最大值时角 A，B 的大小. 4
解： （Ⅰ）由正弦定理得 sinCsinA＝sinAcosC. 因为 0＜A＜π，所以 sinA＞0.从而 sinC＝cosC.又 cosC≠0，所以 tanC＝1，则 C＝
. 4
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（Ⅱ）由（Ⅰ）知， B
3 sin A cos( B ) 3 sin A cos( A) 4
3 A .于是 4
3 sin A c o As
2sin( A ) 6 11 3 因为 0 A ， 所 以 A . 从 而 当 A ， 即 A 时 ， 6 6 12 4 3 2. 2 sin A( 取最大值 ) 6 5 综上所述， 3 sin A cos( B ) 的最大值为 2，此时 A ， B . 12 4 3



1 1 1 1 AB BC BC BC AB CA BC CA . ） 2 3 6 4
15．如图 4，EFGH 是以 O 为圆心、半径为 1 的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该 圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内” ，B 表示事件“豆子落在扇形 OHE （阴影部分）内”则
x cos a （a 为参数） ，在极坐标系（与 y 1 sin a
直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，曲 线 C2 的方程为 ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则 C1 与 C2 的交点个数为_________.
x2 y2 解： 2 （提示：曲线 C1 的直角坐标方程为 1 ，曲线 C2 的直角坐标方程为 4 3
18． （本小题满分 12 分） 某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据： 日销售量（件） 频数 0 1 1 5 2 9 3 5
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变）,设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不 进货.将频率视为概率. （Ⅰ）求当天商店不进货的概率； （Ⅱ）记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列和数学期望. 解： （Ⅰ）P(“当天商店不进货”)＝P(“当天商品销售量为 0 件”)＋P(“当天商品销 售量为 1 件”)＝
7 1 1 ） 2 ，故 S 5 5 1 5 4 2 25 ． 2 3

13． 若执行如图 3 所示的框图， 输入 x1 1 ， 则输出的数等于_______. x2 2 ，x3 3 ，x 2 ， Nhomakorabea解：
2 1 2 2 2 2 （提示：实际上就是求方差 1 2 2 2 3 2 ． ） 3 3 3

1 1 1 1 4 y 2 5 2 2 4x 2 y 2 5 2 2 2 4x 2 y 2 9 ． ） 2 2 y x x y x y
11．如图 2，A，E 是半圆周上的两个三等分点，直径 BC＝4，AD⊥BC，垂足为 D，BE 与 AD 相交于点 F，则 AF 的长为_________.
5．设双曲线 A．4
x2 y 2 1 a 0 的渐近线方程为 3x±2y＝0，则 a 的值为 a2 9
B．3 C．2 D．1
x2 y 2 解：C（提示：由双曲线方程 2 1 a 0 可知渐近线方程为 3x ay 0 ，比较系 9 a
数得 a 2 ． ） 6．由直线 x
解：
AF AB 2 3 2， （提示：连结 AB，容易求得 AB＝2，BD＝1， AD 3 ，由 FD BD 3
得
AF 3 AF
2 ，由此解得 AF
2 3 ． ） 3
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（二）必做题（12~16 题） 12．设 Sn 是等差数列{an}(n∈N*)的前 n 项和，且 a1 1 ， a4 7 ，则 S5 ＝____________. 解：25（提示：该等差数列的公差 d
） 127 27 1 恰为 2 进制的最大 7 位数，所以 2I ( n ) 20 3k 1 1093 ．
n 1 k 2
127
7
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17． （本小题满分 12 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 csinA＝acosC. （Ⅰ）求角 C 的大小； （Ⅱ）求
ak 1 21 ak 20 ，
当 i＝0 时，ai＝1，当 1≤i≤k 时，ai 为 0 或 1.记 I(n)为上述表示中 ai 为 0 的个数（例 如： 1 1 2 ， 4 1 22 0 21 0 20 ，故 I(1)＝0，I(4)＝2）则