2011年湖南高考理科数学试题及答案
2011年高考数学湖南文(word版含答案)
【选择题】【1】．设全集{}{}1,2,3,4,5,2,4,U U M N M N ==∪∩=ð则N =（ ）. （A ）{}1,2,3 （B ）{}1,3,5 （C ）{}1,4,5（D ）{}2,3,4【2】．若,a b ∈R ，i 为虚数单位，且(i)i i a b +=+，则（ ）. （A ）1,1a b == （B ）1,1a b =-= （C ）1,1a b ==-（D ）1,1a b =-=-【3】．“1x >”是“1x >”的（ ）.（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分又不必要条件 【4】．设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）.（A ）942π+ （B ）3618π+（C ）9122π+ （D ）9182π+【5】．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 算得，22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）. （A ）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” （B ）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”（C ）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”（D ）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【6】．设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）.（A ）4（B ）3（C ）2（D ）1【7】．曲线sin 1sin cos 2x y x x=-+在点M （4π，0）处的切线的斜率为（ ）.（A ） 12-（B ） 12 （C ） 2- （D ）2【8】．已知函数2()e 1,()43x f x g x x x=-=-+-，若有()()f a g b =，则b 的取值范围为（ ）.（A ） 2⎡⎣（B ） (22+（C ）[]1,3 （D ）()1,3【填空题】【9】．（选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为 .【10】．（选做题）已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是 .【11】．（必做题）若执行如下图所示的框图，输入11x =，2342,4,8x x x ===，则输出的数等于 .【12】．（必做题）已知()f x 为奇函数，()()9g x f x =+，(2)3g -=，则(2)f =_________． 【13】．（必做题）设向量，a b 满足|ab =（2，1），且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． 【14】．（必做题）设1,m >在约束条件,,1y x y mx x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≤≤下，目标函数5z x y =+的最大值为4，则m 的值为 ．【15】．（必做题）已知圆2212C xy +=：，直线4325.l x y +=： （1）圆C 的圆心到直线l 的距离为 ．（2）圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为 ． 【16】．（必做题）给定*k ∈N ，设函数**f →N N ：满足：对于任意大于k 的正整数n ，().f n n k =-（1）设1k =，则其中一个函数f 在1n =处的函数值为 ；（2）设4k =，且当n ≤4时，2≤()f n ≤3，则不同的函数f 的个数为 . 【解答题】【17】．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =． （1）求角C 的大小； （2）求cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小.【18】．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y （单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X （单位：毫米）有关，据统计，当X =70时，Y =460；X 每增加10，Y 增加5．已知近20年X 的值为：140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160,220, 140, 160.（1）完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表：（2）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．【19】．如图1，在圆锥PO 中，已知PO O =的直径2AB =，点C 在AB 上，且∠CAB =30°，D 为AC 的中点.（1）证明：AC ⊥平面POD ;（2）求直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值.【20】．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%． （1）求第n 年初M 的价值n a 的表达式；（2）设12···nn a a a A n+++=，若n A 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新.证明：须在第9年初对M 更新．【21】．已知平面内一动点P 到点(1,0)F 的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ，设1l 与轨迹C 相交于点,A B ，2l 与轨迹C 相图1交于点,D E ，求,AD EB 的最小值.【22】．设函数1()ln ()f x x a x a x=--∈R . （1）讨论()f x 的单调性.（2）若()f x 有两个极值点1x 和2x ，记过点11(,()),A x f x 22(,())B x f x 的直线斜率为k .问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【参考答案】 【1】．B 提示：由{}1,2,3,4,5U MN ==,{}2,4U MN =ð,得N ={}135，，.故选（B ）. 【2】．C提示：由(i)i i a b +=+得1i i a b -+=+，则1,1a b ==-.故选（C ）. 【3】．A提示：由1x ＞可推出1x ＞，而由1x ＞推不出1x ＞.故选（A ）.【4】．D提示：由已知可得该空间几何体为一球和一四棱柱组成，四棱柱的底面为边长为3的正方形，高为2，体积为23318⨯⨯=，球的体积为3439()322⨯π⨯=π，所以该几何体的体积为9182π+.故选（D ）. 【5】．A提示：26.635K ＞，所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选（A ）. 【6】．C提示：令22209x y a -=，则有30x ay ±=，所以2a =.故选（C ）. 【7】．B 提示：：''sin 11()sin cos 21sin 2x y x x x=-=++，所以1121sin(2)4k ==π+⨯.故选（B ）. 【8】．B 提示：()e 11x fx =--＞，若()()f a g b =，则()2431g b b b =-+--＞，解得22b ＜.故选（B ）. 【9】．2提示：将参数方程2cos ,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩化为普通方程为22143x y +=，将(cos sin )10ρθθ-+=化为直角坐标方程为10x y -+=，联立方程组221,4310,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩消去y 得27880x x +-=，因为0＞Δ，故交点有2个.【10】．40或60提示：区间长度为80，可以将其等分8段，利用分数法选取试点：则试点可选为1310(9010)408x =+-=或2510(9010)608x =+-=，由对称性可知，第二次试点可以是40或60.故填40或60. 【11】．154提示：先求和123415x x x x x =+++=，然后再求平均数，输出154x =.【12】．6 提示：()()(2)2929g f f -=-+=-+，所以()26f =.【13】．(4,2)--提示：设(,)x y =a ，由a 与b 的方向相反可设(0)λλ=＜a b ，所以2,,x y λλ=⎧⎨=⎩代入2220x y +=，解得2λ=-，则a 的坐标为(4,2)--.【14】．3提示：画出可行域，利用图解法求解；或,,y x y mx =⎧⎨=⎩1,,x y y mx +=⎧⎨=⎩1,,x y y x +=⎧⎨=⎩求出三个区域端点111(0,0),(,),(,)1122m m m ++，当且仅当直线5z x y =+过点1(,)11mm m ++时有最大值5141m z m +==+，解得3m =.【15】．（1）5；（2）16. 提示：（1）圆C 的圆心到直线l 的距离为2555d==；（2）由（1）知圆心到直线l 的距离为5，要使圆上的点到直线l 的距离小于2，即1:4315l x y +=与圆相交所得的劣弧上，由半径为3可知劣弧所对的圆心角为3π，故所求的概率为1326P π==π.【16】．（1）a （a 为正整数）；（2）16. 提示：（1）由题可知()f n ∈*N ，而1k =时，1n >，则()1f n n =-∈*N ，故只须()1f ∈*N ，故(1)f a =（a 为正整数）.（2）由题可知4k =，4n >，则()4f n n =-∈*N ，而n ≤4时，2≤()f n ≤3即(){2,3}f n ∈，即{1,2,3,4}n ∈，(){2,3}f n ∈，则不同的函数f 的个数为4216=.【17】．解：（1）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0A π＜＜，所以s i n 0A ＞.从而s i n cos .C C =又cos 0C ≠，所以tan 1C =，则4C π=. （2）由（1）知，34B A π=-cos()cos()4A B A A π-+=-π-=πcos 2sin()6A A A +=+.因为304A π＜＜，所以11.6612A πππ+＜＜从而当62A ππ+=，即3A π=时，2sin()6A π+取最大值2.cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ==【18】．解：（1）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为（2）P （“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”）(490530)(130210)(70)(110)(220)1323.20202010P Y Y P X X P X P X P X =<>=<>==+=+==++=或或故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为310． 【19】．解：（1）如图2，因为OA OC =,D 是AC 的中点，所以AC OD ⊥. 又⊥PO 底面O ，AC ⊂底面O ,所以AC PO ⊥,而OD ，PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面POD .（2）由（1）知，AC ⊥平面POD ，又AC ⊂平面PAC ，所以平面POD ⊥平面PAC ，在平面POD 中，过O 作OH PD ⊥于H ，则OH ⊥平面PAC .连结CH ， 则CH 是OC 在平面PAC 上的射影，所以OCH ∠是直线OC 和平面PAC 所成的角．在Rt △ODA 中，1sin 30.2OD OA =⋅=在Rt △POD中，3OH==在Rt △OHC中，sin 3OH OCHOC ∠== 故直线OC 和平面PAC所成角的正弦值为3【20】．解：（1）当n ≤6时，数列{}n a 是首项为120，公差为10-的等差数列，12010(1)13010;n a n n =--=-当n ≥6时，数列{}n a 是以6a 为首项，公比为34的等比数列， 又670a =，所以6370()4n n a -=⨯.因此，第n 年初，M 的价值n a 的表达式为613010,6,370(),7.4n n n n a n --≤⎧⎪=⎨⨯≥⎪⎩ (2)设n S 表示数列{}n a 的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得, 当6n 1≤≤时，1205(1),1205(1)1255;nn S n n n A n n =--=--=-当n ≥7时，由于6S =570,故667833()570704[1()]44n n n S S a a a -=++++=+⨯⨯⨯-63780210(),4n -=-⨯ 63780210()4n n A n--⨯=.因为{}n a 是递减数列，所以{}n A 是递减数列，又283780210()4748280,864A -⨯==>393780210()7947680,996A -⨯==< 所以须在第9年初对M 更新．【21】．解：（1）如图，设动点P 的坐标为(,)x y|| 1.x = 化简得222.y x x =+当x ≥0时，24y x =，当0x ＜时，0.y =图2所以，动点P 的轨迹C 的方程为24(0)y x x =≥和0(0).y x =<（2）由题意知，直线1l 的斜率存在且不为0，设为k ，则1l 的方程为(1)y k x =-．由2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩得2222(24)0.k x k x k -++= 设1122(,),(,),A x y B x y 则12,x x 是上述方程的两个实根，于是1212242,1x x x x k +=+=． 因为12l l ⊥，所以2l 的斜率为1k-．设3344(,),(,),D x y E x y 则同理可得2343424,1x x k x x +=+=.故()()AD EB AF FD EF FB ⋅=+⋅+AF EF AF FB FD EF FD FB =⋅+⋅+⋅+⋅AF FB FD EF =⋅+⋅1234(1)(1)(1)(1)x x x x =+++++ 12123434()+1++()+1x x x x x x x x =+++2241(2)11(24)1k k=+++++++22184()8416k k =+++⨯=≥. 当且仅当221k k =,即1k =±时，AD EB ⋅取最小值16． 【22】．解：（1）()f x 的定义域为(0,),+∞22211'()1a x ax f x x x x-+=+-=． 令2()1,g x x ax =-+其判别式2 4.a -Δ=当0()0.a f x '2≤时，≤，≥Δ故()(0,)f x +∞在内单调递增．当0()0a g x <-2>=时，，Δ的两根都小于0.在(0,)+∞上，'()0f x >，故()(0,)f x +∞在内单调递增．当0()0a g x >2>=时，，Δ的两根为12x x ==.当10x x <<时， '()0f x >；当12x x x <<时，'()0f x <；当2x x >时，'()0f x >，故()f x 分别在12(0,),(,)x x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减．（2）由（1）知，2a >． 因为1212121212()()()(ln ln )x x f x f x x x a x x x x --=-+--， 所以1212121212()()ln ln 11f x f x x x k a x x x x x x --==+-⋅--. 又由(1)知，121x x =．于是1212ln ln 2x x k a x x -=-⋅-. 若存在a ，使得2,k a =-则1212ln ln 1x x x x -=-.即1212ln ln x x x x -=-．亦即222212ln 0(1).x x x x --=> (*)再由（1）知，函数1()2ln h t t t t =--在(0,)+∞上单调递增，而21x >，所以 222112ln 12ln10.1x x x -->--=这与(*)式矛盾． 故不存在a ，使得2.k a =-【End 】。
2011年高考试题——数学文(湖南卷)解析版
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文史类本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分． 参考公式（1）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高． （2）球的体积公式343V R π=，其中R 为球的半径． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N ===U I 则N =（ ） A ．{1,2,3} B ．{1,3,5} Ｃ．{1,4,5} Ｄ．{2,3,4} 答案：B解析：画出韦恩图，可知N ={1,3,5}。
２．若,,a b R i ∈为虚数单位，且()a i i b i +=+，则Ａ．1,1a b == Ｂ．1,1a b =-= Ｃ．1,1a b ==- Ｄ．1,1a b =-=- 答案：C解析：因()1a i i ai b i +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,1a b ==-。
３．"1""||1"x x >>是的A ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 答案：A解析：因"1""||1"x x >⇒>，反之"||1""11"x x x >⇒><-或，不一定有"1"x >。
４．设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．942π+ Ｂ．3618π+ Ｃ．9122π+ Ｄ．9182π+ 答案：D解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积3439+332=18322V ππ=⨯⨯+（）。
正视图 侧视图俯视图图1由2222()110(40302030)7.8()()()()60506050n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得, 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A ． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 答案：A解析：由27.8 6.635K ≈>，而2( 6.635)0.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选A.6．设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320,x y ±=则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =。
2011湖南高考数学试题分析
2011年湖南高考数学试题分析给2012年高考数学备考的几点建议长沙侯家塘校区贺小飞2011年是湖南省采取新课标的第二年，试卷在整体上紧扣考纲，紧密结合教材，体现了新课程的思想和理念。
突出对创新意识和作为数学核心的思维能力的考查；注重对数学应用意识的考查；充分区别文、理科考生不同的学习要求”的基本风格和特色。
试卷做到了总体保持稳定，题型清新，难度比2010年略高。
从试卷的考察内容来看，仍然突出考查支撑高中数学知识体系的主干知识和核心内容，如函数与导数，三角函数与解三角形，概率统计，立体几何，解析几何，数列等。
突出了对高中数学重点知识的考查，这些知识点需要考生达到必要的深度。
这些高中数学主干知识，其重要地位在新课程改革中一直没有改变，只是融入了一些新的背景，注重应用意识和创新意识的结合，强调了试题背景，注重了数学思维的考查。
另外，2011年湖南高考数学值得注意的是，选修部分的知识点考查较去年有所增加，但是难度较低，考生只要掌握了相关的基本知识就能轻松解答。
下面就来具体分析一下2011年湖南高考数学试题。
一、从题型上来看，充分体现新课标理念，发挥试题导向作用。
试卷采取“8+8+6”的三种题型结构。
与2010年相比，所不同的是在填空题方面，由7道增加到8道但是分值不变，采取“3选2”加必做5道的形式。
这样给考生就有更多的拿分机会，降低了试题难度。
二、从难易程度来看，难度适中，区分度较明显。
坚持“多考一点想，少考一点算”的新课标考查理念。
一些简单题“一捅就破”，如文、理科的第一题。
试题基本按照从易到难排列，考生一路解答障碍较少会比较顺畅。
难题出现在选择题的第8题，填空题的第14、16题，解答题的第21、22题。
三、从考查内容来看，全面考查双基知识，突出主干知识和数学思想的考查。
1.选择题部分。
理科试题考查了复数的概念、集合的关系、逻辑关系、三视图、独立性检验、双曲线的渐近线、定积分、线性规划、函数与导数、单调性与最值问题。
2011年全国高考理科数学试题及答案-全国1
2011年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷)理科数学 第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 每小题有且只有一个选项是符合题目要求的. 1. 复数212ii+-的共轭复数是 ( )A. 35i -B.35iC. i -D. i2. 下列函数中，既是偶函数又在(0，+∞)单调递增的函数是()A. 3y x =B. ||1y x =+C. 21y x =-+D. ||2x y -=3. 执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 ()A. 120B. 720C. 1440D. 50404. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( )A.13B.12C.23D.345. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=( )A. 45-B. 35-C.35D.456. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为 (7.设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A、B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 ( )A.B.C. 2D. 38. 51()(2)a x x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A. －40B. －20C. 20D. 40（A ） （B ） （C ） （D ）9. 由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为 ( )A.103B. 4C.163D. 610. 已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：1p ：2||1[0,)3a b πθ+>⇔∈； 2p ：2||1(,]3a b πθπ+>⇔∈； 3p ：||1[0,)3a b πθ->⇔∈；4p ：||1(,]3a b πθπ->⇔∈.其中的真命题是( )A. 1p ，4pB. 1p ，3pC. 2p ，3pD. 2p ，4p11. 设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0ω>，||2πϕ<)的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则()A. ()f x 在(0，2π)单调递减 B. ()f x 在(4π，34π)单调递减 C. ()f x 在(0，2π)单调递增D. ()f x 在(4π，34π)单调递增 12. 函数11y x=-的图像与函数2sin y x π=(24x -≤≤)的图像所有交点的横坐标之和等于 ()A. 2B. 4C. 6D. 8第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答. 第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值为.14. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 在x 轴上，. 过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，且△2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 .15. 已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6AB =，BC =O ABCD -的体积为 .16. 在△ABC 中，60B =︒，AC =2AB BC +的最大值为.三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269a a a =. (I)求数列{}n a 的通项公式；(II)设3132log log n b a a =++…3log n a +，求数列1{}nb 的前n 项和.18. (本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， ∠60D AB =︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD . (I)证明：PA ⊥BD ；(II)若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值.CD P某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品. 现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表B配方的频数分布表(I)分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；(II)已知用B配方生产的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t的关系式为2,942,941024,102ty tt-<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩. 从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望. (以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)20. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点(0,1)A-，B点在直线3y=-上，M点满足MB∥OA，MA·AB=MB·BA，M点的轨迹为曲线C.(I)求C的方程；(II)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值.已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1，(1)f )处的切线方程为230x y +-=. (I)求a ，b 的值；(II)如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围.22. (本小题满分10分) 选修4—1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合. 已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根.(I)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(II)若∠90A =︒，且4m =，6n =，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径.23. (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)，M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，P点的轨迹为曲线2C . (I)当求2C 的方程；(II)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求||AB .AC .E.24. (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设函数()||3a>.f x x a x=-+，其中0(I)当1a=时，求不等式()32≥+的解集；f x x(II)若不等式()0x x≤-，求a的值.f x≤的解集为{|1}2011年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷)理科数学参考答案一．选择题 （1）C （2）B （3）B （4）A （5）B （6）D （7）B （8）D（9）C（10）A（11）A（12）D二．填空题 （13）6-（14）221168x y +=（15） （16）三．解答题 （17）解：（I ）设数列{}n a 的公比为q . 由23269a a a =得22349a a =，所以219q =.由条件可知0q >，故13q =.由12231a a +=得11231a a q +=，所以113a =.故数列{}n a 的通项公式为13n na =. （II ） 31323log log log n nb a a a =+++()()1122n n n +=-+++=-.故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭， 121111111122122311n n b b b n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn -+. （18）解：（I ）因为60D AB ∠=︒，2AB AD =，由余弦定理得BD =. 从而222BD AD AB +=，故BD AD ⊥.又PD ⊥底面ABCD ，可得BD PD ⊥. 所以BD ⊥平面PAD. 故PA BD ⊥.（II ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -，则 ()1,0,0A ，()B ，()0C -，()0,0,1P()AB =-，()1PB=-，()1,0,0BC =-设平面PAB 的法向量为(),,x y z =n ，则0AB PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即00x z ⎧-=⎪-=.因此可取=n .设平面PBC 的法向量为m ，则00PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，可取(0,1,m =-.cos ,〈〉==m n .故二面角A PB C --的余弦值为. （19）解：（I ）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为2280.3100+=，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+=，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.（II ）用B 配方生产的100件产品中，其质量指标落入区间[)90,94，[)94,102，[]102,110的频率分别为0.04，0.54，0.42，因此()20.04P X =-=，()20.54P X ==,()40.42P X ==.即X 的分布列为则X 的数学期望20.0420.5440.42 2.68EX =-⨯+⨯+⨯=. （20）解：（I ）设(),M x y ，由已知得(),3B x -，()0,1A -. 所以(),1,MA x y =---，()0,3,MB y =--，(),2AB x =-. 再由题意可知()0MA MB AB +⋅=，即()(),4,2,20x y x ---⋅=. 所以曲线C 的方程为2124y x =-. （II ）设()00,P x y 为曲线21:24C y x =-上一点，因为12y x '=，所以l 的斜率为012x .因此直线l 的方程为()00012y y x x x -=-，即2000220x x y y x -+-=.则O 点到l的距离d . 又200124y x =-，所以2014122x d +⎫=≥ 当00x =时取等号，所以O 点到l 的距离的最小值为2. （21）解：（I ）()()221ln 1x a x b x f x x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点()1,1，故()()11112f f =⎧⎪⎨'=-⎪⎩即 1122b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得1a =，1b =. （II ）由（I ）知()ln 11x f x x x=++，所以 ()()()2211ln 12ln 11k x x k f x x x x x x⎛⎫--⎛⎫⎪-+=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭考虑函数()()()()2112ln 0k x h x x x x--=+>，则()()()22112k x xh x x -++'=（i ）设0k ≤，由()()()22211k x x h x x +--'=知，当1x ≠时，()0h x '<. 而()10h =，故当()0,1x ∈时，()0h x <，可得()2101h x x >-； 当()1,x ∈+∞时，()0h x <，可得()2101h x x >- 从而当0x >，且1x ≠时，()ln 01x k f x x x ⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭，即()ln 1x k f x x x ⎛⎫>+ ⎪-⎝⎭.（ii ）设01k <<，由于当11,1x k ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()()21120k x x -++>，故()0h x '>，而()10h =，故当11,1x k ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()0h x >，可得()2101h x x<-，与题设矛盾. （iii ）设1k ≥，此时()0h x '>，而()10h =，故当()1,x ∈+∞时，()0h x >，得()2101h x x <-，与题设矛盾. 综合得，k 的取值范围为(],0-∞. （22）解：（I ）连结DE ，根据题意在ADE ∆和ACB ∆中，AD AB m n AE AC ⨯==⨯， 即AD AEAC AB=. 又DAE CAB ∠=∠，从而ADE ∆∽ACB ∆. C因此ADE ACB ∠=∠. 所以C ，B ，D ，E 四点共圆.（II ）4m =，6n =时，方程2140x x mn -+=的两根为12x =，212x =. 故2AD =，12AB =.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH . 因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于90A ∠=︒，故//GH AB ，//HF AC ，从而5HF AG ==，()112252DF =-=. 故C ，B ，D ，E四点所在圆的半径为 （23）解：（I ）设(),P x y ，则由条件知,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，由于M 点在1C 上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩. 从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数).(II)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=， 射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin3πρ=，所以12AB ρρ=-=. （24）解：（I ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为12x -≥由此可得3x ≥或1x ≤-，故不等式()32f x x ≥+的解集为{3x x ≥或}1x ≤-. （II ）由()0f x ≤得30x a x -+≤ 此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩即4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或2x aa x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩.由于0a >，所以不等式组的解集为2a x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎭⎩.由题设可得12a-=-，故2a =.。
2011年高考试题解析数学理科分项版之专题04数列
2011年高考试题解析数学（理科）分项版04 数列一、选择题:1. (2011年高考天津卷理科4)已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和, *n N ∈,则10S 的值为A ．-110B ．-90C ．90D ．1103. (2011年高考四川卷理科8)数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈ .若则32b =-，1012b =，则8a =( )（A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）11 答案：B解析：由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=⇒==.4.(2011年高考全国卷理科4)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224A n S S +-=，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 【答案】D【解析】22111(21)(11)k k k k S S a a a k d a k d +++-=+=++-+++-12(21)a k d =++21(21)244245k k k =⨯++⨯=+=⇒=故选D 。
2. (2011年高考广东卷理科11)等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若141,0k a a a =+=，则k = .【答案】10【解析】由题得1061031)1(123442899=-=∴⎪⎩⎪⎨⎧=++-+∙+=∙+k d d d k d d3. (2011年高考湖北卷理科13)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升答案：6766解析：设从上往下的9节竹子的容积依次为a 1,a 2,，……，a 9，公差为d ，则有a 1+a 2+a 3+a 4=3, a 7+a 8+a 9=4,即4a 5-10d =3,3a 5+9d =4,联立解得：56766a =.即第5节竹子的容积6766. 4.(2011年高考陕西卷理科14)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。
数学_2011年湖南省六校高考数学模拟试卷(理科)(含答案)
2011年湖南省六校高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设复数z 满足z(1−2i)=4+2i （i 为虚数单位），则|z|为（ ） A 1 B 2 C 32D 852. 已知命题：p:∃x ∈R ，x 2+1<2x ；命题q ：若mx 2−mx −1<0恒成立，则−4<m <0，那么（ ）A ￢p 是假命题B q 是真命题C “p 或q”为假命题D “p 且q”为真命题3. 将三棱锥P −ABC 的六条棱涂上三种不同的颜色，要求共端点的棱不能涂相同颜色，则不同的涂色方案有（ ）A 1种B 3种C 6种D 9种4. 若一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为45，则该几何体的俯视图可以是（ ）A B C D5. 设x 1，x 2是方程ln|x −2|=m （m 为实常数）的两根，则x 1+x 2的值为（ ） A 4 B 2 C −4 D 与m 有关6. 已知正项等比数列{a n }，a 1=2，又b n =log 2a n ，且{b n }的前n 项和为T n ，当且仅当n =7时T n 最大，则数列{a n }的公比q 的取值范围是（ ）A 217<p <216 B 2−16<q <2−17 C q <2−16或q >2−17 D q >216或q <217 7. 已知F 1，F 2分别是椭圆x 24+y 23=1的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与F 1A 的延长线、F 1F 2的延长线以及线段AF 2相切，若M(t, 0)为一个切点，则( ) A t =2 B t >2 C t <2 D t 与2的大小关系不确定8. 设函数f(x)的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x ∈D ，都有x +k ∈D ，且f(x +k)>f(x)恒成立，则称函数f(x)在D 上的“k 阶增函数”．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，x >0时，f(x)=|x −a|−a ，其中a 为正常数，若f(x)为R 上的“2阶增函数”，则实数a 的取值范围是（ ）A (0, 2)B (0, 1)C (0, 12) D (0, 14)二、填空题：本大题共8个小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．9. 已知在(2x −x)n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则这个展开式中x 8的系数是________．10. 如图是边长为2的正方形，以正方形中心为顶点，且分别过正方形的相邻两顶点的四条抛物线围成了图中阴影区域，随机地向正方形内投入一点，则该点落入阴影区域的概率为________．11. 已知点(x, y)是不等式组{x≥1 x+y≤4ax+by+c≥0表示的平面区域内的一个动点，且目标函数z=2x+y的最大值为7，最小值为1，则a+b+ca=________．12. 若函数f(x)=asinωx+bcosωx(0<ω<5, ab≠0)的图象的一条对称轴方程是x=π4ω，函数f′(x)的图象的一个对称中心是(π8, 0)，则f(x)的最小正周期是________．13. 设集合S={(x, y)|x2(k+1)2+y2k2=1, k∈N∗}，Q={(x, y)||x|+|y|≤5}，则满足S⊆Q的常数k的个数为________．14. （几何证明选讲）如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB=5，BC=3，CD=6，则线段AC的长为________．15. （坐标系与参数方程选讲）在极坐标系中，已知点A(2, 0)，点P在曲线C:ρ=2+2cosθsin2θ上运动，则P、A两点间的距离的最小值是________．16. （不等式选讲）用max{x, y, z}表示x，y，z三个实数中的最大数，对于任意实数a，b，设max{|a|, |a+b+1|, |a−b+1|}=M，则M的最小值是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算过程．17. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足asinA−csinC=(a−b)sinB （1）求角C的大小；（2）求cosA+cosB的取值范围．18. 从{1, 2, 3, ..., n}中随机地抽出一个数x，按右边程序框图所给算法输出y．（1）设n =10，求y <0的概率；（2）若P(y >0)=16，记输出的y 值为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19.如图，三棱锥P −ABC 的顶点P 在圆柱曲线O 1O 上，底面△ABC 内接于⊙O 的直径，且∠ABC =60∘，O 1O =AB =4，⊙O 1上一点D 在平面ABC 上的射影E 恰为劣弧AC 的中点．（1）设三棱锥P −ABC 的体积为√33，求证：DO ⊥平面PAC ；（2）若⊙O 上恰有一点F 满足DF ⊥平面PAC ，求二面角D −AC −P 的余弦值．20. 如图，在一条东西方向的海岸线上的点C 处有一个原子能研究所，海岸线北侧有一个小岛，岛上建有一个核电站，该岛的一个端点A 位于点C 的正北方向4√3km 处，另一个端点B 位于点A 北偏东30∘方向，且与点A 相距4.5km ，研究所拟在点C 正东方向海岸线上的P 处建立一个核辐射监测站．（1）设CP =x ，∠APB =θ，试将tanθ表示成x 的函数；（2）若要求在监测站P 处观察全岛所张的视角最大，问点P 应选址何处？21.过直线y =−m （m 为大于0的常数）上一动点Q 作x 轴的垂线，与抛物线C:y =x 2相交于点P ，抛物线上两点A 、B 满足PA →+PB →=2QP →（1）求证：直线AB 与抛物线C 在点P 处的切线平行，且直线AB 恒过定点；（2）是否存在实数m ，使得点Q 在直线y =−m 上运动时，恒有QA ⊥QB ，若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由． 22. 已知数列{a n }满足：，且对任意a 1=1，n ∈N ∗，有a n +a n+1+(−1)n+1a n ⋅a n+1=0． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）证明：当n >1时，12≤a 1+a 2+...+a n <1；（3）设b n ={a 1a 2...a n }，函数f n (x)=1+b 1x +b 2x 2+...+b n x 2n ，n ∈N ∗，证明你对任意的n ∈N ∗，函数f n (x)无零点．2011年湖南省六校高考数学模拟试卷（理科）答案1. B2. C3. C4. D5. A6. B7. A8. C9. −2010. 1311. −212. π13. 314. 4.515. 2√216. 1217. 解：（1）由已知，根据正弦定理，asinA−csinC=(a−b)sinB得，a2−c2=(a−b)b，即a2+b2−c2=ab．由余弦定理得cosC=a 2+b2−c22ab=12．又C∈(0, π)．所以C=π3．（2）由（1）知A+B=2π3，则0<A<2π3．cosA+cosB=cosA+cos(2π3−A)=cosA+cos 2π3cosA+sin2π3sinA=12cosA+√32sinA=sin(A+π6)．由0<A<2π3可知，π6<A+π6<5π6，所以12<sin(A+π6)≤1．所以cosA+cosB的取值范围(12,1]．18. 解：（1）由程序框图所给的算法可知y是关于随机变量x的函数．当x<5时，由不等式2x−8<0可得x<3，故x可取1，2；当5≤x ≤10时，由不等式x 2−14x +45<0可得5<x <9，故x 可取6，7，8； ，从{1, 2, 3, ..., 10}中随机地抽出一个数x ，基本事件的总数为10， 事件y <0包含的基本事件的个数为5，由古典概型的概率公式得n =10时，y <0的概率为510=12； （2）当x <5时，由不等式2x −8>0可得x >3，故x 可取4； 当x ≥5时，由不等式x 2−14x +45>0可得x >9； 所以当n <4时，p(y >0)=0；当4≤n <10时，p(y >0)=1n ，19≤p(y >0)≤14； 当n ≥10时，p(y >0)=1+n−9n =1−8n，15<p(y >0)<1．由P(y >0)=16知4≤n <10，由1n=16得n =6．当x 分别取1，2，3，4，5，6时，输出的y 值依次为−6，−4，0，8，0，−3， 故ξ的分布列为Eξ=−6×16−4×16−3×16+0×16+8×16=−5619. 解：法一：（1）连接DE ，OE ，，设OE 与AC 的交点为G ，连接PG ，因为三角形ABC 内接于圆O ，AB 为圆O 的直径，所以三角形ABC 为直角三角形， 又∠ABC =60∘，AB =4，又BC =2,AC =2√3，S △ABC =2√3，所以V P−ABC =13S △ABC ×PO =2√33PO =√33，故PO =12，因为E 是劣弧AC 的中点，所以OE ⊥AC,OG =12BC =1，又因为DE ⊥平面ABC ，故DE ⊥AC ，所以AC ⊥平面DEOO 1，故DO ⊥AC ． 在矩形DEOO 1中，tan∠PGO =PO OG =12，tan∠DOO 1=DO 1OO 1=12，故∠PGO =∠DOO 1，又∠DOO 1+∠DOG =900，故∠PGO +∠DOG =90∘， 所以DO ⊥PG ，所以DO ⊥平面PAC ．（2）由（1）知，AC ⊥平面DEOO 1， 所以平面DEOO 1⊥平面PAC ， 因为DF ⊥平面PAC ，所以DF ⊂平面DEOO 1，且DF ⊥PG ，又F 在圆O 上，故点F 即为点E 关于点O 的对称点，在轴截面内可求得PO =OG =1， 所以PG =√2，DG =√17，DP =√13．由AC ⊥平面DEOO 1，得∠DGP 即为二面角D −AC −P 的平面角， 在△DGP 中，由余弦定理可求得cos∠DGP =3√3434法二：（1）在平面ABC 中，过点O 作AB 的垂线，交弧EC 于H ，如图建立空间直角坐标系，因为△ABC 内接于圆O ，AB 为圆O 的直径，所以△ABC 为直角三角形，又∠ABC =60∘，AB =4， 故BC =2,AC =2√3，S △ABC =2√3， 所以V P−ABC =13S △ABC ×PO =2√33PO =√33， 故PO =12，故A(0,−2,0),C(√3，1，0)，P(0,0,12)，D(√3,−1,4)所以AC →=(√3,3,0)，AP →=(0,2,12)，OD →=(√3,−1,4)所以AC ⋅→OD →=0，AP →⋅OD →=0 故AC ⊥OD ，AP ⊥OD ， 又AC ∩AP =A ， 所以DO ⊥平面PAC ．（2）设点F 的坐标为(x, y, 0)， 故DF →=(x −√3,y +1,−4)． 因为DF ⊥平面PAC ，故DF ⊥AC ， 所以√3x +3y =0，又因为F 点在圆O 上，所以x 2+y 2=4解得{x =−√3y =1或{x =√3y =−1（即为点E ，舍去），所以DF →=(−2√3,2,−4)，设平面DAC 的法向量n →=(x,y,z)， 则有{AD →⋅n →=0AC →⋅n →=0，，即{√3x +y +4z =0√3x +3y =0， 取x =√3，则n →=(√3,−1,−12)．则cos <n →，DF →>=−3√3434，由图知D −AC −P 的二面角为锐角，所以二面角D −AC −P 的余弦值为3√3434． 20. 点P 应选址在点C 正东方向6km 处．21. （1）证明：设直线AB:y =kx +b ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，∵ Q(x 0, −m)，P(x 0, x 02)，∴ PA →=(x 1−x 0,y 1−x 02)，PB →=(x 2−x 0,y 0−x 02)，QP →=(0,x 02+m)，由PA →+PB →=2QP →，得 {x 1+x 2=2x 0y 1+y 2=4x 02+2m(∗) 联立直线AB 和抛物线C 方程： {y =kx +b y =x2，得x 2−kx −b =0， ∴ x 1+x 2=k ，x 1x 2=−b ，y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2b =k 2+2b ，y 1y 2=(x 1x 2)2=b 2， 代入(∗)式，可得{x 0=k2b =m，∵ y′=2x ，∴ 抛物线C 在点P 处的切线斜率为2x 0=k ， 故直线AB 与抛物线C 在点P 处的切线平行． ∵ 直线AB:y =kx +m ，且m 为常数， ∴ 直线AB 恒过定点(0, m)．（2）解：∵ QA →=(x 1−x 0,y 1+m)=(x 1−k2，y 1+m)，QB →=(x 2−x 0,y 2+m)=(x 2−k2，y 2+m)． ∴ QA →⋅QB →=(m −14)k 2+4m 2−m ， ∴ 当m =14时，恒有QA →⋅QB →=0．故存在实数m =14，使得Q 点在直线y =−m 上运动时，恒有QA ⊥QB ．22. 解：（1）因为a 1=1，又因为a n +a n+1+(−1)n+1a n ⋅a n+1=0．a n ≠0， 且1(−1)n+1a n+1−1(−1)n a n=−1所以1(−1)n a n是以1(−1)1a 1=−1为首项．−1为公差的等差数列．1(−1)n a n=−1−(n −1)=−n ．所以a n =(−1)n+1n．（2）因为k ∈N ∗ 时12k−1−12k >0，12k −12k+1>0， 所以12≤(1−12)+(13−14)+⋯+(12k−1−12k )<(1−12)+(13−14)+⋯+(12k −1−12k )+12k +1=1−(12−13)−(14−15)−⋯−(12k −12k +1)<1即12≤a 1+a 2+...+a 2k <a 1+a 2+...+a 2k+1<1 所以当n >1时，12≤a 1+a 2+...+a n <1．（3）因为b n =|a 1a 2...a n |=1n!，所以f n (x)=1+11！x +12！x 2+...+1(2n)!x 2n ，①当n =1时，函数f 1(x)=1+x +x 22=12(x +1)2+12>0，所以函数无零点，结论成立．②假设n =k 时结论成立，即f k (x)=1+11！x +12！x 2+...+1(2k)!x 2k 无零点．因为x ≥0时，f k (x)>0．而f k (x)的图象是连续不断的曲线，所以对任意x ∈Rf k (x)>0恒成立．当n =k +1时，因为f k+1(x)=1+11！x +12！x 2+...+1(2k+2)!x 2k+2，f′k+1(x)=1+11！x +12！x 2+...+1(2k+1)!x 2k+1，g k (x)=1+11！x +12！x 2+...+1(2k+1)!x 2k+1，∴ g′k (x)=1+11！x +12！x 2+...+1(2k)!x 2k =f k (x)>0，即g k (x)是增函数，注意到x <−(2k +1)时1+xt <0t =1，2，3，…2k +1，所以g k (x)=1+11！x +12！x 2+...+1(2k+1)!x 2k+1=(1+x)+x 22!(1+x3)+x 24!(1+x 5)+...+x 2(2k)!(1+x2k+1)<0当x ≥0时，g k (x)>0而g k (x)是增函数，所以g k (x)有且只有一个零点，记此零点为x 0且x 0≠0，则当x ∈(−∞, x 0)时g k (x)<g k (x 0)=0，即f′k+1(x)<0，当x ∈(x 0, +∞)时g k (x)>g k (x 0)=0，即f′k+1(x)>0，f k+1(x)在x ∈(−∞, x 0)单调递减，在x ∈(x 0, +∞)单调递增，所以对任意的x ∈R ，f k+1(x)>f k+1(x 0)=g k (x 0)+x 02k+2(2k+2)!=x 02k+2(2k+2)!>0，从而f k+1(x)无零点，即当n =k +1时，结论成立．根据①②，可知对任意的n ∈N ∗，函数f n (x)无零点．。
2011年高考试题——数学文(湖南卷)解析版
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文史类本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分．参考公式（1）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高． （2）球的体积公式343V R π=，其中R 为球的半径． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U MN MC N ===则N =（ ）A ．{1,2,3}B ．{1,3,5} Ｃ．{1,4,5} Ｄ．{2,3,4} 答案：B解析：画出韦恩图，可知N ={1,3,5}。
２．若,,a b R i ∈为虚数单位，且()a i i b i +=+，则Ａ．1,1a b == Ｂ．1,1a b =-= Ｃ．1,1a b ==- Ｄ．1,1a b =-=- 答案：C解析：因()1a i i ai b i +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,1a b ==-。
３．"1""||1"x x >>是的A ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 答案：A正视图侧视图俯视图图1解析：因"1""||1"x x >⇒>，反之"||1""11"x x x >⇒><-或，不一定有"1"x >。
４．设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．942π+ Ｂ．3618π+ Ｃ．9122π+ Ｄ．9182π+ 答案：D解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积3439+332=18322V ππ=⨯⨯+（）。
5．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由2222()110(40302030)7.8()()()()60506050n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得, 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ） A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 答案：A解析：由27.8 6.635K ≈>，而2( 6.635)0.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选A.6．设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320,x y ±=则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =。
2011年高考数学试卷 湖南文
【选择题】【1】．设全集{}{}1,2,3,4,5,2,4,U U M N M N ==∪∩=ð则N =（ ）. （A ）{}1,2,3 （B ）{}1,3,5 （C ）{}1,4,5（D ）{}2,3,4【2】．若,a b ∈R ，i 为虚数单位，且(i)i i a b +=+，则（ ）. （A ）1,1a b == （B ）1,1a b =-= （C ）1,1a b ==-（D ）1,1a b =-=-【3】．“1x >”是“1x >”的（ ）.（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分又不必要条件 【4】．设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）.（A ）942π+ （B ）3618π+（C ）9122π+ （D ）9182π+【5】．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 算得，22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）. （A ）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” （B ）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”（C ）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”（D ）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【6】．设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）.（A ）4（B ）3（C ）2（D ）1【7】．曲线sin 1sin cos 2x y xx =-+在点M （4π，0）处的切线的斜率为（ ）.（A ） 12-（B ） 12 （C ） 2- （D ）2【8】．已知函数2()e 1,()43x f x g x x x=-=-+-，若有()()f a g b =，则b 的取值范围为（ ）.（A ） 2⎡⎣（B ） (22+（C ）[]1,3 （D ）()1,3【填空题】【9】．（选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为 .【10】．（选做题）已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是 .【11】．（必做题）若执行如下图所示的框图，输入11x =，2342,4,8x x x ===，则输出的数等于 .【12】．（必做题）已知()f x 为奇函数，()()9g x f x =+，(2)3g -=，则(2)f =_________． 【13】．（必做题）设向量，a b 满足|ab =（2，1），且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． 【14】．（必做题）设1,m >在约束条件,,1y x y mx x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≤≤下，目标函数5z x y =+的最大值为4，则m 的值为 ．【15】．（必做题）已知圆2212C xy +=：，直线4325.l x y +=： （1）圆C 的圆心到直线l 的距离为 ．（2）圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为 ． 【16】．（必做题）给定*k ∈N ，设函数**f →N N ：满足：对于任意大于k 的正整数n ，().f n n k =-（1）设1k =，则其中一个函数f 在1n =处的函数值为 ；（2）设4k =，且当n ≤4时，2≤()f n ≤3，则不同的函数f 的个数为 . 【解答题】【17】．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =． （1）求角C 的大小； （2）求cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小.【18】．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y （单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X （单位：毫米）有关，据统计，当X =70时，Y =460；X 每增加10，Y 增加5．已知近20年X 的值为：140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160,220, 140, 160.（1）完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表：（2）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．【19】．如图1，在圆锥PO 中，已知PO O =的直径2AB =，点C 在AB 上，且∠CAB =30°，D 为AC 的中点.（1）证明：AC ⊥平面POD ;（2）求直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值.【20】．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%． （1）求第n 年初M 的价值n a 的表达式；（2）设12···nn a a a A n+++=，若n A 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新.证明：须在第9年初对M 更新．【21】．已知平面内一动点P 到点(1,0)F 的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ，设1l 与轨迹C 相交于点,A B ，2l 与轨迹C 相图1交于点,D E ，求,AD EB 的最小值.【22】．设函数1()ln ()f x x a x a x=--∈R . （1）讨论()f x 的单调性.（2）若()f x 有两个极值点1x 和2x ，记过点11(,()),A x f x 22(,())B x f x 的直线斜率为k .问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.。
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2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）参考公式：（1）()()()P AB P B A P A =，其中,A B 为两个事件，且()0P A >， （2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。
（3）球的体积公式343V R π=，其中R 为求的半径。
一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1.若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（ ）A ．1,1a b ==B ．1,1a b =-=C ．1,1a b =-=-D ．1,1a b ==- 答案：D2.设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 答案：A解析：因“1a =”，即{1}N =，满足“N M ⊆”，反之“N M ⊆”，则2{}={1}N a =，或2{}={2}N a =，不一定有“1a =”。
3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．9122π+ B ．9182π+ C ．942π+ D ．3618π+答案：B解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积3439+332=18322V ππ=⨯⨯+（）。
由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 附表：A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 答案：C解析：由27.8 6.635K ≈>，而2( 6.635)0.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选C.5.设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =。
6. 由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．12B ．1C ．2D 答案：D解析：由定积分知识可得3333cos sin |(S xdx x ππππ--====⎰D 。
7. 设1m >，在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A ．(1,1+B ．(1)++∞C ．(1,3) D ．(3,)+∞ 答案：A解析：画出可行域，可知5z x y =+在点1(,)11mm m++取最大值，由21211m m m +<++解得11m <<。
8.设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（ ） A ．1 B ．12C ．52D ．22答案：D解析：由题2||ln MN x x =-，(0)x >不妨令2()ln h x x x =-，则1'()2h x x x=-，令'()0h x =解得2x =，因2(0,)x ∈时，'()0h x <，当2(,)x ∈+∞时，'()0h x >，所以当22x =时，||MN 达到最小。
即22t =。
二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。
一、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9.在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为 。
答案：2解析：曲线221:(1)1C x y +-=，2:10C x y -+=，由圆心到直线的距离012d ==<，故1C 与2C 的交点个数为2. 10.设,x y R ∈,则222211()(4)x y y x++的最小值为 。
答案：9解析：由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x++≥+=。
11.如图2，,A E 是半圆周上的两个三等分点，直径4BC =，AD BC ⊥,垂足为D, BE 与AD 相交与点F ，则AF 的长为 。
答案：233解析：由题可知，60AOB EOC ∠=∠=︒，2OA OB ==,得1OD BD ==,33DF =， 又23AD BD CD =⋅=，所以233AF AD DF =-=.二、必做题（12~16题）12、设n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S =答案：25解析：由141,7a a ==可得11,2,21n a d a n ===-，所以5(19)5252S +⨯==。
13、若执行如图3所示的框图，输入1231,2,3,2x x x x ====，则输出的数等于 。
答案：23解析：由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，则222(12)(22)(32)233S -+-+-==。
14、在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE ==，则________AD BE ⋅=。
答案：14-解析：由题12AD CD CA CB CA =-=-，13BE CE CB CA CB =-=-， 所以111171()()232364AD BE CB CA CA CB CB CA ⋅=-⋅-=--+⋅=-。
15、如图4， EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则（1）=______P A （）；（2）=______PA （B|） 答案：（1）2π；（2）1=4P A （B|）解析：（1）由几何概型概率计算公式可得2==S P A S π正圆（）； （2）由条件概率的计算公式可得2114===24P AB P A P A ππ⨯（）（B|）（）。
16、对于*n N ∈，将n 表示为1210012122222k k k k k n a a a a a ---=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯，当0i =时，1i a =，当1i k ≤≤时，i a 为0或1.记()I n 为上述表示中i a 为0的个数，（例如0112=⨯，2104120202=⨯+⨯+⨯：故(1)0,(4)2I I ==）则（1）(12)_____I = （2）127()12______I n n ==∑答案：（1）2；（2）1093解析：（1）因32101212+120202=⨯⨯+⨯+⨯，故(12)2I =；（2）在2进制的(2)k k ≥位数中，没有0的有1个，有1个0的有11k C -个，有2个0的有21k C -个，……有m 个0的有1mk C -个，……有1k -个0的有111k k C --=个。
故对所有2进制为k 位数的数n ，在所求式中的()2I n 的和为：01122111111122223k k k k k k C C C ------⋅+⋅+⋅++⋅=。
又712721=-恰为2进制的最大7位数，所以1277()1122231093I n k n k -===+=∑∑。
三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =. （I ）求角C 的大小；（IIcos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．解析：（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0,A π<<所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4A C C C C C π>=≠==从而又所以则（II ）由（I ）知3.4B A π=-于是cos()cos()4cos 2sin().63110,,,,46612623A B A A A A A A A A A ππππππππππ-+=--=+=+<<∴<+<+==从而当即时2sin()6A π+取最大值2．cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ==18. 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充．．至3件，否则不进货．．．，将频率视为概率。
(Ⅰ）求当天商品不进货．．．的概率； （Ⅱ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望。
解析：（I ）P （“当天商店不进货”）=P （“当天商品销售量为0件”）+P （“当天商品销售量1件”）=153202010+=。
（II ）由题意知，X 的可能取值为2，3.51(2)("")204P x P ====当天商品销售量为1件； (3)("")+("")+("1953")++2020204P x P P P ====当天商品销售量为0件当天商品销售量为2件当天商品销售量为3件X 的数学期望为2+3=444EX =⨯⨯。
19.（本题满分12分）如图5，在圆锥PO 中，已知PO O =的直径2,,AB C AB D AC =是的中点,为的中点．（I ）证明：;POD PAC ⊥平面平面（II ）求二面角B PA C --的余弦值． 解：（I ）连接OC ，因为OA OC =,D 为的AC 中点，所以AC OD ⊥. 又,,.PO O AC O AC PO ⊥⊂⊥底面底面所以因为,OD PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC POD ⊥平面。
而AC PAC ⊂平面，所以POD PAC ⊥平面平面。