高一数学上期中考试试题
2023-2024学年河南省郑州市高一上册期中考试数学试题(含解析)
2023-2024学年河南省郑州市高一上册期中考试数学试题一、单选题1．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【正确答案】D【分析】根据集合元素的互异性即可判断.【详解】由题可知，集合{},,M a b c =中的元素是ABC 的三边长，则a b c ≠≠，所以ABC 一定不是等腰三角形．故选：D ．2．已知集合{}1,2A =，{}2,B a a =，若{1}A B ⋂=，则实数a 的值为A ．1B ．-1C ．1±D．【正确答案】B【分析】根据集合元素的互异性和交集的定义，可得方程组2212,1,a a a =⎧⎪≠⎨⎪≠⎩，或212,1,a a a ⎧=⎪≠⎨⎪≠⎩，即可得答案；【详解】由题意可得2212,1,a a a =⎧⎪≠⎨⎪≠⎩，或212,1,a a a ⎧=⎪≠⎨⎪≠⎩，∴1a =-，故选：B.本题考查根据交集的结果求参数，考查运算求解能力，求解时注意集合元素的互异性.3．已知集合{}|5U x x =∈≤N ，{}1,2,4A =，{}0,3,4B =，则()U A B = ð（）A ．{}2,4B ．{}2,5C ．{}1,2D ．{}0,2,4【正确答案】C【分析】根据交集与补集的定义求解.【详解】{}{}|50,1,2,3,4,5U x x =∈≤=N ，{}1,2,5U B ∴=ð，(){}1,2U A B ∴= ð，故选：C.4．已知0a b >>,下列不等式中正确的是A ．c c a b>B ．2ab b <C ．2a ab -<-D ．1111a b <--【正确答案】C利用作差法证明，或举出反例推翻选项.【详解】A 选项：当0c =时，选项不成立；B 选项：()20ab b b a b -=->，所以选项不正确；C 选项：()()20a ab a a b ---=--<，所以2a ab -<-，该选项正确；D 选项：当12,2a b ==时，111,211a b ==---，选项不正确.故选：C此题考查不等式的性质的应用，常用作差法比较大小，或举出反例推翻命题.5．已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数()f x 在[]0,1上单调递增，则()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，若()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，比如()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，但()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，故()f x 在[]0,1上的最大值为()1f 推不出()f x 在[]0,1上单调递增，故“函数()f x 在[]0,1上单调递增”是“()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ”的充分不必要条件，故选：A.6．若关于x 的不等式2320x ax -+>的解集为(,1)(,)m -∞⋃+∞，则a m +等于（）A ．1-B ．1C ．2D ．3【正确答案】D【分析】由题可得1和m 是方程2320x ax -+=的两个根，利用根与系数关系解出,a m ，进而得答案．【详解】解：由题意知，1和m 是方程2320x ax -+=的两个根，则由根与系数的关系，得1312m am +=⎧⎨⨯=⎩，解得12a m =⎧⎨=⎩，所以3a m +=．故选D ．本题考查不等式以及根与系数关系，属于简单题．7．已知命题:p x ∃∈R ，210x x -+≥；命题:q 若22a b <，则a b <．则对命题p ，q 的真假判断正确的是A ．p 真q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假【正确答案】B【分析】利用配方法可知p 为真命题，利用反例可知题q 为假命题，从而可得正确的选项.【详解】∵22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，∴命题p 为真命题．当22a b <时，不一定有a b <，如()2235<-，但35>-，故命题q 为假命题，故选B ．本题考查命题真假的判断，说明一个命题为真，需给出证明，而说明一个命题为假，只需给出一个反例即可.8．下列各组函数中表示同一个函数的是（）A ．()()21,1x f x x g x x=-=B ．()()42,f x x g x ==C ．()()2,x f x g x xx==D ．()()()222,1x x f x g x x x-==-【正确答案】D分别判断四个答案中()f x 与()g x 的定义域是否相同，并比较化简后的解析式是否一致，即【详解】对于选项A ：()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为{}0x x ≠，两个函数的定义域不同，不是同一个函数；对于选项B ：()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为{}0x x ≥，两个函数的定义域不同，不是同一个函数；对于选项C ：()f x 的定义域为{}0x x ≠，()g x 的定义域为R ，两个函数的定义域不同，不是同一个函数；对于选项D ：()f x ，()g x 的定义域均为{}0x x ≠，对应法则相同，故两个函数是同一个函数；故选：D.本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数.属于容易题.二、多选题9．已知一次函数1()(0)3f x x b b =-+≠满足2((0))f f b =，且点()Q m n ,在()f x 的图象上，其中0m >，0n >，则下列各式正确的是（）A ．43b =B ．32m n +=C ．13mn ≤D ．1123m n+≥【正确答案】BCD 【分析】根据2((0))f f b =求出b 判断A,根据点在函数图象上判断B ，由均值不等式判断CD.【详解】21((0))()3f f f b b b b ==-+= ，23b ∴=，即12()33f x x =-+，故A 不正确；由()Q m n ,在函数图象上可得23m n -+=，即32m n +=，故B 正确；由均值不等式可得32m n +=≥13mn ≤，故C 正确；因为11111131(3)(2)22323232n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 正确.10．若,(0,)a b ∈+∞，则下列选项成立的是（）A ．(6)9a a -≤B ．若3ab a b =++，则9ab ≥C ．2243a a ++的最小值为1D ．若2a b +=，则1232a b +≥+【正确答案】ABDA.利用怍差法判断；B.由33ab a b =++≥+判断；C.利用对勾函数的性质判断；D.由2a b +=，利用“1”的代换结合基本不等式判断.【详解】A.因为()229(6)6930a a a a a --=-+=-≥，故正确；B.因为33ab a b =++≥+，所以230-≥3≥，所以9ab ≥，当且仅当3a b ==取等号，故正确；C.因为2222443333a a a a +=++-++，233a +>，则由对勾函数的性质得224333t a a =++-+在()3,+∞上递增，所以其最小值为43，故错误；D.因为2a b +=，则()121122333221122b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝+=，当且仅当22a b b a ab +=⎧⎪⎨=⎪⎩，即)(21,22a b ==-时，取等号，故正确；故选：ABD11．已知x ∈R ，函数()2f x x x =-，下列表述正确的（）A ．()y f x =为奇函数B ．()y f x =在()1∞-，单调递增C ．()y f x =的单调递减区间为()12，D ．()y f x =最大值为1【正确答案】BC【分析】分类讨论，写出()f x 解析式，画出()f x 图像，分析选项可得答案.【详解】由题可得()222222x x x f x x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，，，画出()f x 图像如下.对于A 选项，由图可知()f x 为非奇非偶函数.，故A 错误.对于B 选项，由图可知，()f x 在()1∞-，上单调递增.故B 正确.对于C 选项，由图可知，()f x 的单调递减区间为()12，.故C 正确.对于D 选项，由图可知，()f x 无最大值.故D 错误.故选：BC12．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.张阿姨和李阿姨是邻居，经常结伴去买菜.张阿姨喜欢用第一种方式买猪肉，李阿姨喜欢用第二种方式买猪肉，已知两次买猪肉的单价分别为每斤X 元和Y 元()X Y ≠，则下列选项正确的是（）A ．张阿姨两次买猪肉的平均单价为每斤2X Y+元；B ．李阿姨两次买猪肉的平均单价为每斤211X Y +元；C ．张阿姨的购买方式更实惠；D ．李阿姨的购买方式更实惠．【正确答案】ABD【分析】设第一种方式购买物品为a ，第二种所花的钱为b .求出两次的单价即可判断A 、B ；两式作差可判断C 、D.【详解】设用第一种方式买猪肉时，每次购买这种物品的数量为a ()0a >，用第二种方式买猪肉时，每次购买这种物品所花的钱数为b ()0b >.对于A 项，张阿姨两次买猪肉的平均单价为每斤为2aX aY X Ya a ++=+，故A 项正确；对于B 项，李阿姨两次买猪肉的平均单价为每斤2211b b XY b b X Y X Y X Y+==+++，故B 项正确；对于C 项，因为()()24222X Y XY X Y XYX Y X Y +-+-=++()()22X Y X Y -=+，又0X >，0Y >，X Y ≠，所以有202X Y XY X Y +->+，所以22X Y XYX Y+>+，故C 项错误；对于D 项，由C 解析知，22X Y XYX Y+>+，故D 项正确.故选：ABD.三、填空题13．命题“x ∃∈R ，1x <或2x ≥”的否定是____________．【正确答案】x ∀∈R ，12x ≤<【分析】由特称命题的否定形式可直接得到结果.【详解】由特称命题的否定知：原命题的否定为x ∀∈R ，12x ≤<.故x ∀∈R ，12x ≤<.14．函数y x x=-的定义域是___________.【正确答案】[2,0)-【分析】利用根式、分式的性质求函数定义域即可.【详解】由解析式知：240||0x x x ⎧-≥⎨-≠⎩，则220x x -≤≤⎧⎨<⎩，可得20x -≤<，∴函数的定义域为[2,0)-.故答案为.[2,0)-15．已知0m >，0n >，且满足1m n +=，则1211m n ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为___________．【正确答案】8【分析】根据“1”的代换可得1221123n m m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，进而展开根据基本不等式即可求得最小值.【详解】因为1m n +=，所以有1112m n n m m m ++=+=+，()222113m n m n n n++=+=，又0m >，0n >，所以1221123n m m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭348n m m n =++8≥+8=，当且仅当34n m m n=，且0m >，0n >，1m n +=，即3m =，4n =-.所以，1211m n ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为8.故答案为.816．若关于x 的不等式()2220x a x a -++->恰有1个正整数解，则a 的取值范围是___________.【正确答案】()(],13,4-∞ 【分析】先解带有参数的一元二次不等式，再对a 进行分类讨论，使得恰有1个正整数解，最后求出a 的取值范围【详解】不等式()2220x a x a -++->等价于()2220x a x a -++<.令()2220x a x a -++=，解得2x =或x a =.当2a >时，不等式()2220x a x a -++<的解集为()2,a ，要想恰有1个正整数解，则34a <；当2a =时，不等式()2220x a x a -++<无解，所以2a =不符合题意；当2a <时，不等式()2220x a x a -++<的解集为(),2a ，则1a <.综上，a 的取值范围是()(],13,4-∞ .故()(],13,4-∞ 四、解答题17．已知集合{}()(){}1,2,|10A B x x x a =-=+-=．(1)若3a =，求A B ⋂；(2)若A B A ⋃=，求实数a 的取值集合．【正确答案】(1){}1-(2){}1,2-【分析】（1）根据交集的知识求得正确答案.（2）根据A B A ⋃=对a 进行分类讨论，从而求得a 的取值范围.【详解】（1）依题意{}1,2A =-，当3a =时，()(){}{}|1301,3B x x x =+-==-，所以{}1A B ⋂=-.（2）由()()10x x a +-=解得11x =-，2x a =，若1a =-，则{}1B =-，A B A ⋃=，符合题意.若1a ≠-，由于A B A ⋃=，所以2a =.综上所述，实数a 的取值集合为{}1,2-.18．已知集合611A xx ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}220B x x x m =--<．(1)当3m =时，求()R A B ð；(2)若{}14A B x x ⋂=-<<，求实数m 的值．【正确答案】(1){|35}x x ≤≤(2)8m =【分析】（1）化简集合,A B ，根据补集和交集的概念运算可得结果；（2）由B ≠∅求出1m >-，再求出B ，然后根据{}14A B x x ⋂=-<<列式可求出结果.【详解】（1）由611≥+x 得016x <+≤，得15x -<≤，所以{|15}A x x =-<≤，当3m =时，由2230x x --<，得13x -<<，所以{|13}B x x =-<<，所以{|1B x x =≤-R ð或3}x ≥，所以()R A B ð{|35}x x =≤≤.（2）因为{}14A B x x ⋂=-<<，所以B ≠∅，所以440m ∆=+>，即1m >-，由220x x m --<得2(1)1x m -<+，得11x <<，所以{|11B x x =<<，因为{}14A B x x ⋂=-<<，所以14=，11≤-，解得8m =.19．已知0x >，0y >，a ，b 为正常数，且1a bx y+=．(1)若1a =，9b =，求x y +的最小值；(2)若10a b +=，x y +的最小值为18.求a ，b 的值.【正确答案】(1)16；(2)答案见解析.【分析】（1）由题意可知，()19x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后根据基本不等式即可求出最小值；（2）由题意可知，()a b x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后根据基本不等式即可求出最小值为10，根据题意可得16ab =.又10a b +=，联立即可解出a，b 的值.【详解】（1）解：由已知可得，191x y+=，又0x >，0y >，所以()19x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭091y x x y=++1016≥=，当且仅当9y x x y =，0x >，0y >，191x y+=，即4x =，12y =时等号成立.所以，x y +的最小值为16.（2）解：由已知1a bx y+=，又0x >，0y >，a ，b 为正常数，10a b +=所以()a b x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ay bxa b x y =+++10ay bxx y =++10≥+10=.当且仅当ay bx x y =且1a b x y +=时，等号成立，此时x y +的最小值为10，又x y +的最小值为18，所以1018+=，16ab =.联立1016a b ab +=⎧⎨=⎩，解得28a b =⎧⎨=⎩或82a b =⎧⎨=⎩.20．自2020新冠疫情爆发以来，直播电商迅猛发展，以信息流为代表的各大社交平台也相继入场，平台用短视频和直播的形式，激发起用户情感与场景的共鸣，让用户在大脑中不知不觉间自我说服，然后引起消费行动.某厂家往年不与直播平台合作时，每年都举行多次大型线下促销活动，经测算，只进行线下促销活动时总促销费用为24万元.为响应当地政府防疫政策，决定采用线上（直播促销）线下同时进行的促销模式，与某直播平台达成一个为期4年的合作协议，直播费用（单位：万元）只与4年的总直播时长x （单位：小时）成正比，比例系数为0.12.已知与直播平台合作后该厂家每年所需的线下促销费C （单位：万元）与总直播时长x （单位：小时）之间的关系为50k C x =+（0x ，k 为常数）.记该厂家线上促销费用与4年线下促销费用之和为y （单位：万元）.(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)该厂家直播时长x 为多少时，可使y 最小？并求出y 的最小值.【正确答案】(1)48003(0)5025x y x x =++(2)线上直播x=150小时可使y 最小为42万元【分析】（1）通过0x =求出系数k ，即可得结果；（2）直接根据基本不等式即可得结果.【详解】（1）由题得，当0x =时，2450k C ==，则1200k =，故该厂家4年促销费用与线上直播费用之和为12004800340.12(0)505025x y x x x x =⨯+=+++（2）由（1）知48003(50)66425025y x x =++-≥=+，当且仅当48003(50)5025x x =++，即150x =时等号成立，即线上直播150小时可使y 最小为42万元.21．已知函数()()()11f x x ax =-+，其中R a ∈.(1)若不等式()0f x >的解集为{}12x x <<，求a 的值；(2)求解关于x 的不等式()0f x <.【正确答案】(1)12-(2)答案见解析【分析】（1）分析可知()0f x =的两根分别为1、2，可求得a 的值；（2）对实数a 的取值进行分类讨论，利用一次不等式与二次不等式的解法解原不等式，即可得解.【详解】（1）解：由题意可知，方程()0f x =的两根分别为1、2且a<0，则()2210f a =+=，解得12a =-，合乎题意.（2）解：当0a =时，由()10f x x =-<可得1x <；当0a >时，由()()()110f x ax x =+-<可得11x a -<<；当10a -<<时，11a ->，由()()()110f x ax x =+-<可得1x <或1x a>-；当1a =-时，由()()210f x x =--<可得1x ≠；当1a <-时，101a <-<，由()()()110f x ax x =+-<可得1x a<-或1x >.综上所述，当1a <-时，原不等式的解集为1x x a ⎧<-⎨⎩或}1x >；当1a =-时，原不等式的解集为{}1x x ≠；当10a -<<时，原不等式的解集为{1x x <或1x a ⎫>-⎬⎭；当0a =时，原不等式的解集为{}1x x <；当0a >时，原不等式的解集为11x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.22．已知函数()21ax b f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)求()f x 的解析式(2)用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数(3)解不等式()()10f t f t -+<【正确答案】(1)()21x f x x =+(2)证明见解析(3)102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据奇函数的性质和所给的条件，代入函数解析式即可；（2）不妨假设()1212,1,1,x x x x ∈-＜，判断()()12f x f x -的符号即可；（3）根据()f x 是奇函数，并是增函数的特点，根据函数定义域即可求出t 的范围.【详解】（1）由函数()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，得()00f =，即0b =，又∵2112225112a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得1a =，∴()21x f x x =+；（2）设1x ∀，()21,1x ∈-，且12x x <，则()()()()()()()()()()22122121121212222222121212111111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++，∵210x x ->，1210x x -<，2110x +>，2210x +>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴()f x 在()1,1-上是增函数；（3）由()f x 为()1,1-上的奇函数，如()()10f t f t -+<等价于()()1f t f t -<-．则由()f x 在()1,1-上是增函数，可得111111t t t t -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，解得102t <<，即不等式()()10f t f t -+<的解集为102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；综上，()21x f x x =+，()()10f t f t -+<的解集为102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.。
高一年级第一学期期中考试数学试卷及其参考答案
高一年级第一学期期中考试数学试卷（基础模块第一章、第二章）一、选择题（每小题5分，共60分）1.下列表示正确的是（）．A.{ 0 }＝∅B.｛全体实数｝＝ＲＣ.{ a }∈{ａ,ｂ,c } D.{ x∈R∣x2+1＝0 }＝∅2.已知全集U={ 0,1,2,3,4,5}，集合A={1,2,5}，B={2,3,4}，则（U C A）B＝（）．A.{2}B.{0,2,3,4}C.{3,4}D.{1,2,3,4,5}3.已知A={ (x,y) | 2x-y=0 }，B={ (x,y) | 3x+2y=7 }，则A B＝（）．A.{(2,1)}B.{1,2}C.{(1,2)}D.{x=1,y=2}4．设A={ x | 0< x < 1 }，B={ x | x < a } ，若A⊆B，则a的取值范围是（）．A.[1,＋∞) B.(－∞,0]C.[0,＋∞)D.(－∞,1]5.已知集合A={ x | x2＋14= 0 }，若A∩R =∅，则实数ｍ的取值范围是（）．A.m<1B.m≥1C.0<m<1D.0≤m<16.“A⊆B”是“A B＝A”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.不等式21-+xx≤0的解集为（）．A.{ x | x≥2}B.{ x | x≥2或x<－1 }C.{ x|－1<x≤2 }D.{x| x≥2或x≤－1 }8.已知a<b<0，c>0，那么（）．A.a2<b2B.a b<1C.ca<cb D.ca>cb9.绝对值不等式| 2x－3 |<5的解集是（）．A.{ x | x<－1或x>4 }B.{ x |－1<x<4 }C.{ x | x<－1 }D.{ x | x>4 }10.与不等式－x2－2x＋3>0同解的不等式(组)是（）．A. x2＋2x－3>0B. (x＋3)(x－1)<0C.x+3>0x-1D.x+3<0x-1>0⎧⎨⎩a 、b 、c 的大小顺序是（ ）． A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.a>c>b12.若实数0<a <1，则)0>1(a-x)(x-a的解集为（ ）． A.{ x |1<x<a a } B.{ x | 1<<a x a} C.{ x | 1< >x a 或x a } D.{ x | 1<a >x 或x a}二、填空题（每小题4分，共16分）13.设全集U={ 1,2,3,4,5 },A={ 2,5 }，则U C A 的所有子集的个数为 _________． 14.符合条件｛ａ｝⊆Ｍ ｛ａ，ｃ，ｄ｝的集合Ｍ的个数是 _________．15.设ａ，ｂ为实数，则“ａ2＝ｂ2”是“ａ＝ｂ”的 _________条件．(填充分或必要)16.不等式2+2m x x+n>0的解集是(11,32-)，则不等式2-nx +2x-m >0的解集是 _________．三、解答题（共74分，解答应写出文字说明及演算步骤） 17.已知U={ x |－2<x<7 ,x ∈N }，A={ 1,2,4 }，B={ 2,3,5}．求: ⑴ A U B ；⑵ A B ；⑶ B C C U U A；⑷ B C C U U A ．(12分)18.若集合A={ x | mx 2＋2x －1 = 0 , m ∈R , x ∈R }中有且仅有一个元素，那么m 的值是多少？(12分)19.设集合A={ x | x 2－3x ＋2 = 0 }，B = { x | x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5) = 0 }，若A B = { 2 }，求实数ａ的值．(12分) 20.解不等式x+23-x≤1．(12分) 21.设全集为R ，A={ x | |x-1|<3 }，B={ x | x 2－x －2≥0 },求A B ，A U B ，A CB ．(12分)22.已知集合A={ x | x 2－x －12 ≤0 }，集合B={ x | m －1≤x ≤2m ＋3 }，若A U B=A ，求实数m 的取值范围．(14分)高一年级第一学期期中考试数学试卷参考答案二、填空题（每小题4分，共16分）13、 8 14、 3 15、 必要 16、 （－2,3）三、解答题：（22题14分，17~21题每题12分，共计74分）17.解：U={ 0,1,2,3,4,5,6 }. ⑴A U B={1,2,3,4,5}.⑵A B={2}.⑶B C C U U A ={ 0,3,5,6 }U { 0,1,4,6 }={ 0,1,3,4,5,6, }. ⑷ B C C U U A={ 0,3,5,6 } { 0,1,4,6 }={ 0,6 }.18. 解：当m=0时, A=12⎧⎫⎨⎬⎩⎭,符合题意.当m ≠0时,要使集合A 中有且仅有一个元素,必须 方程mx 2＋2x －1 = 0有两个相等实数根, ∴ 2∆=2+4m =0, 即m=－1,综上所述,m=0或m=－1. 19. 解：A={ 1,2 }∵ A B={ 2 }, ∴ 2 B, ∴ 2是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5) = 0的根,把x=2代入此方程得2a +4a+3=0, ∴ a=-1或a=-3, 当a=-1时,B={ -2,2 }, A B={ 2 },符合题意. 当a=-3时,B={ 2 }, A B={ 2 },符合题意. 综上所述,a 的值为-1或3. 20. 解：原不等式⇔x+2-13-x ≤0⇔x+2-(3-x)3-x ≤0⇔2x-13-x≤0 ⇔2x-1x-3≥00≠⎧⇔⎨⎩x-3(2x-1)(x-3)≥012⇔x ≤或x>3, ∴ 解集为12{x |x ≤或x>3}. 21. 解：解|x-1|<3得-2<x<4, 故A=(-2,4).解x 2－x －2≥0得x ≤－1或x ≥2, 故B=(-∞,-1]∪[2,+∞).∴ A B=(-2,-1]∪[2,4),A U B=R,A C B=(-2,4) (-1,2)=(-1,2).22.解: 解x2－x－12 ≤0得－3≤x≤4, 故A=[-3,4],由A U B=A，知B A，∴⎧⎪⎨⎪⎩m-1≤2m+3,m-1≥-3,2m+3≤4,即12⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩m≥-4,m≥-2,m≤,∴ -2≤m≤12.。
2023-2024学年雅礼教育高一数学上学期期中考试卷附答案解析
2023-2024学年雅礼教育高一数学上学期期中考试卷2023.11（试卷满分150分，考试用时120分钟.）一、单选题（本大题共8小题，共40分）1．设{}1A x x =>，{}2230B x x x =--<，则()RA B ⋂=ð（）A ．{}11x x -<≤B ．{}31x x -<≤C ．{}11x x -<<D ．{}1x x >-2．下列函数中在定义域上既是奇函数又是增函数的为（）A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x2C ．y ＝x3D ．1y x =-3．设,a b R ∈，则下列命题正确的是（）A ．若x y >，a b >，则a x b y ->-B ．若a b >，则11a b<C ．若x y >，a b >则ax by>D ．若||a b >，则22a b>4．对于函数(),y f x x R =∈,“()y f x =的图象关于轴对称”是“=()f x 是奇函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要5．若0.22023a =，0.2log 2023b =，20230.2c =，则（）A ．a b c>>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b>>6．函数()11((142x x f x =-+在[]1,2-的最小值是（）A ．1B ．1316C ．34D ．37．已知函数32()2,()log ,()x f x x g x x x h x x x =+=+=+的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A ．a b c>>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c>>8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若对任意120x x <<，均有211212()()x f x x f x x x ->-．且(2)2f =，则不等式()0f x x ->的解集为（）A ．(,2)(2,)-∞-+∞B ．(2,2)-C ．(2,0)(0,2)- D ．(2,0)(2,)-+∞ 二、多选题（本大题共4小题，每小题全对5分，选对不全对得2分，共20分）9．函数2()23x f x x =-的零点所在的区间是（）A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(7,8)10．下列说法正确的是（）A ．若函数()2f x 的定义域为[02]，，则函数()f x 的定义域为[]01，B ．若函数()y f x =过定点()01，，则函数()11y f x =-+经过定点()12，C ．幂函数23y x -=在()0-∞，是减函数D ．()212x f x x -=+图象关于点()22-，成中心对称11．符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3.143=，[]1.62-=-，定义函数:[]()f x x x =-，则下列命题正确的是（）A ．(0.8)0.2f -=B ．当12x ≤<时，()1f x x =-C ．函数()f x 的定义域为R ，值域为[)0,1D ．函数()f x 是增函数､奇函数12．函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则称区间[],m n 为函数()f x 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（）A ．()f x xB ．()222f x x x =-+C ．()1f x x x=+D ．()1f x x=三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．函数ln(4)()3x f x x -=-的定义域为．14．设{}28150A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 组成的集合C =．15．设f(x)是奇函数，当x ＞0时，f(x)＝log2x ，则当x ＜0时，f(x)的表达式为．16．古希腊数学家希波克拉底曾研究过如下图的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .若以斜边BC 为直径的半圆面积为π，则以AB ，AC 为直径的两个半圆的弧长之和的最大值为.四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．计算下列各式：(1)1020.5231(22(2)(0.01)54--+⨯-；(2)515521log 352log 2log log 1450+--.18．求下列式子的最值．(1)已知32x >，求2123y x x =-+-的最小值；(2)已知0x >，0y >，且141x y +=，求x y +的最小值．19．已知函数()()22log 23f x x ax =-+．(1)当1a =-时，求函数()f x 的值域；(2)当2a =-时，求函数()f x 的单调区间．20．已知0a >且满足不等式215222a a +->．(1)求实数a 的取值范围，并解不等式log (31)log (75)a a x x +<-．(2)若函数log (21)a y x =-在区间[1,3]有最小值为2-，求实数a 的值．21．已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且满足()()12xf xg x --=．(1)求()f x ，()g x ；(2)若()()()112h x f x g x =+-⎡⎤⎣⎦，且方程()()21204h x k h x k -⋅+-=⎡⎤⎣⎦有三个解，求实数k 的取值范围．22．为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由子此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元，设屋子的左右两面墙的长度均为x 米()15x ≤≤.（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价.（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为()18001a x x +元()0a >，苦无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围.1．A【分析】解不等式可得集合B ，再根据集合间的运算可得解.【详解】由{}{}223013B x x x x x =--<=-<<，又{}1A x x =>，所以{}R 1A x x =≤ð，所以(){}R11A B x x ⋂=-<≤ð，故选：A.2．C【分析】依据奇偶性和单调性依次判断每个选项即可.【详解】y ＝x ＋1是非奇非偶函数，y ＝－x2是偶函数，y ＝x3由幂函数的性质，是定义在R 上的奇函数，且为单调递增，1y x =-在定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，不是定义域上的单调增函数，故选：C【点睛】此题考查函数奇偶性单调性的判断，要求对奇偶性和单调性的判断方式熟练掌握，是简单题目.3．D【解析】利用特殊值排除判断ABC ，由不等式的性质判断D 即可.【详解】当1,0x a y b ====时，a x b y ->-不成立，故A 错误；当1,1a b ==-时，11a b <不成立，故B 错误；当2,1,0,2x y a b ==-==-时，ax by >不成立，故C 错误；||0a b >≥ ，由不等式性质知222||a b b >=，故D 正确.故选：D 4．B【详解】由奇函数，偶函数的定义,容易得选项B 正确.5．C【分析】根据指数函数、对数函数的性质比较大小.【详解】因为0.20120232023a >==，所以1a >，因为0.20.2log 2023log 10b =<=，所以0b <，因为2023010.20.2c <==，且202300.2c =>，所以01c <<，所以a c b >>，故选：C.6．C【分析】设1()2x t =，得到11([,2]24=∈x t ，进而得到()213()24f t t =-+，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数()21111((1()(14222x x x x f x =-+=-+，设1(2x t =，因为[]1,2x ∈-，则11()[,2]24=∈x t ，则函数()22131()24f t t t t =-+=-+，当12t =时，取得最小值()min 34f t =.故选：C.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，以及结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.7．B【分析】首先可求出0c =，再由()0f x =得2x x =-，由()0g x =得2log x x=-，将其转化为2x y =、2log y x=与y x =-的交点，数形结合即可判断.【详解】解：由3()0h x x x =+=得0x =，0c ∴=，由()0f x =得2x x =-，由()0g x =得2log x x=-.在同一平面直角坐标系中画出2xy =、2log y x=、y x =-的图象，由图象知a<0，0b >，a c b ∴<<.故选：B【点睛】本题考查函数的零点，函数方程思想，对数函数、指数函数的图象的应用，属于中档题.8．D【分析】利用函数单调性的定义以及函数的单调性和奇偶性综合解抽象函数不等式.【详解】因为120x x <<，所以2112()()0x f x x f x -<，所以1212()()f x f x x x <，设函数()()f x g x x =，则函数()()f x g x x =在(0,)+∞单调递增，且(2)(2)12f g ==，当0x >时，不等式()0f x x ->等价于()f x x >，即()1f x x >，即()(2)g x g >，解得2x >，又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，所以当0x =时，不等式()0f x x ->无解，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x g x x =为偶函数，且在(,0)-∞单调递减，当0x <时，不等式()0f x x ->等价于()f x x >，即()1f x x <，即()(2)g x g <-，解得20x -<<，综上不等式()0f x x ->的解集为(2,0)(2,)-+∞ ，故选：D.9．BC【分析】把函数2()23x f x x =-的零点问题转化为函数2x y =和23y x =的图象的交点问题，数形结合即可得解.【详解】如图，作出函数2x y =和23y x =的图象，观察交点可得交点在(1,0)-和(0,1)区间上，故选：BC.10．BD【分析】根据复合函数定义域判断A ；根据函数图像平移判断BD ；根据幂函数的性质判断C.【详解】解：对于A ，若函数()2f x 的定义域为[02]，，则函数()f x 的定义域为[]04，，故错误；对于B ，函数()y f x =向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数()11y f x =-+图像，由于()y f x =过定点()01，，故函数()11y f x =-+经过定点()12，，正确；对于C ，幂函数23y x-=在()0,∞+是减函数，由于()2332g x xx -==，定义域为()(),00,∞-+∞U ，()()()322311g x g x xx -=-，23y x -=为偶函数，故幂函数23y x-=在()0-∞，是增函数，故错误；对于D ，()()2252152222x x f x x x x +--===-+++，其图像由5y x =-向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，且5y x =-图像关于原点对称，故()212x f x x -=+图像关于点()22-，成中心对称，正确.故选：BD 11．ABC【分析】将0.8x =-代入解析式，即可判断A 项；当12x ≤<时，[]1x =，得出()1f x x =-，从而判断B 项；由[]x 表示不超过x 的最大整数，得出0[]1x x -< ，从而判断C 项；取特殊值，判断D 项.【详解】对于A 项，(0.8)0.8[0.8]0.8(1)0.2f -=---=---=，则A 正确；对于B 项，当12x ≤<时，[]1x =，得出()1f x x =-，则B 正确；对于C 项，函数()f x 的定义域为R ，因为[]x表示不超过x 的最大整数，所以0[]1x x -< ，则C 正确；对于D 项，(1)1[1]1(1)0f -=---=---=，(1.5) 1.5[1.5] 1.5(2)0.5f -=---=---=(1.5) 1.5[1.5] 1.510.5f =-=-=(1.5)(1)f f ->- ，(1.5)(1.5)0.5f f -==∴函数()f x 既不是增函数也不是奇函数，则D 错误；故选：ABC【点睛】本题主要考查了求函数值，解析式，定义域，值域，判断函数的单调性以及奇偶性，属于中档题.12．ABD【分析】根据题意，可知若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，且m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m n f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，再对各个选项进行运算求解,m n ，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.【详解】解：由题得，若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，可知，m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，A ：())0f x x x =≥，若()()f m m m f n n n ⎧=⎪⎨==⎪⎩，解得：01m n =⎧⎨=⎩，所以()f x x=“和谐区间”[]0,1；B ：()()222f x x x x R =-+∈，若存在和谐区间[],m n ，则m 1≥，故()f x 在[],m n 为增函数，故()()222222f m m m m f n n n n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩，所以()222f x x x =-+存在“和谐区间”[]1,2；C ：()()10f x x x x =+≠，若存在和谐区间[],m n ，则0mn >，若0,0m n >>，则2m ≥，故()1f x x x =+在[],m n 上为增函数，故()()11f m m m m f n n n n ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，得1010m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故无解；若0,0m n <<，则2n ≤-，故()1f x x x =+在[],m n 上为增函数，同上，无解.所以()1f x x x =+不存在“和谐区间”；D ：()()10f x x x =≠，函数在()()0+-0∞∞，，，单调递减，则()()11f m n m f n mn ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，不妨令122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以()1f x x =存在“和谐区间”1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；综上得：存在“和谐区间”的是ABD.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.13．()(),33,4∞-⋃【分析】根据对数的真数大于0、分母不为0可得答案.【详解】要使函数ln(4)()3x f x x -=-有意义，只需4030x x ->⎧⎨-≠⎩，解得4x <且3x ≠，所以函数的定义域为()(),33,4∞-⋃.故答案为：()(),33,4∞-⋃.14．110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】先求出A 的元素，再由B ⊆A ，分B φ=和B≠φ求出a 值即可.【详解】∵A ＝{x|x2﹣8x+15＝0}，∴A ＝{3，5}又∵B ＝{x|ax ﹣1＝0}，∴①B φ=时，a ＝0，显然B ⊆A ②B φ≠时，B ＝{1a }，由于B ⊆A ∴135a =或∴1135a =或故答案为{11035，，}【点睛】本题主要考查由集合间基本关系求参数值或范围的问题，属于基础题．15．f(x)＝－log2(－x)【分析】由题意结合奇函数的性质确定函数的表达式即可.【详解】设0x <，则0x ->，结合奇函数的定义可知：()()()2log f x f x x =--=--.【点睛】本题主要考查由函数的奇偶性求解函数的解析式的方法，属于基础题.16．2π【分析】设AB a =，AC b =，所以222BC a b =+，由以斜边BC 为直径的半圆面积为π可求得228a b +=，再由基本不等式即可求得a b +的最大值，即可求得弧长之和的最大值.【详解】设AB a =，AC b =，所以222BC a b =+，即22BC a b =+因为以斜边BC 为直径的半圆面积为π，所以21ππ22BC ⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭，所以228a b +=，因为()()222222216a b a b ab a b +=++≤+=，所以4a b +≤，当且仅当2a b ==时等号成立，所以以AB ，AC 为直径的两个半圆的弧长之和为()111πππ2π222a b a b ⨯+⨯=⨯⨯+≤，即以AB ，AC 为直径的两个半圆的弧长之和的最大值为2π.故答案为：2π.17．(1)1615(2)2【分析】（1）根据题意，由指数幂的运算，即可得到结果；（2）根据题意，由对数的运算，即可得到结果.【详解】（1）原式1411116114910061015=+=+-=.（2）原式()1251521log 3550142log log 12513122-⎛⎫=⨯÷+=-=-= ⎪⎝⎭.18．(1)52(2)9【分析】（1）利用基本不等式求解；（2）利用基本不等式“1”的妙用求解.【详解】（1）因为32x >，所以230x ->，()()2121121512322323223222322y x x x x x x =-+=-++≥-⋅+=---，当且仅当()1223223x x -=-，即52x =时取得等号，所以函数2123y x x =-+-的最小值为52.（2）()14445259y x x y xx y x y x x y y y ++=⎛⎫=++≥⋅= ⎪⎝⎭+,当且仅当4y xx y =，即2y x =，即3,6x y ==时取得等号，所以x y +的最小值为9.19．(1)[)1,+∞(2)增区间为()1,-+∞，减区间为(),3-∞-【分析】（1）当1a =-时，可得出()()22log 23f x x x =++，求出223x x ++的取值范围，再结合对数函数的单调性可得出函数()f x 的值域；（2）当2a =-时，求出函数()f x 的定义域，再利用复合函数法可得出函数()f x 的增区间和减区间.【详解】（1）解：当1a =-时，()()22log 23f x x x =++，则()2223122x x x ++=++≥，所以，()()222log 23log 21f x x x =++≥=，即函数()f x 的值域为[)1,+∞.（2）解：当2a =-时，()()22log 43f x x x =++，由2430x x ++>可得3x <-或1x >-，所以，函数()f x 的定义域为()(),31,-∞--+∞ ，因为内层函数243u x x =++在区间(),3-∞-上为减函数，在()1,-+∞上为增函数，外层函数2log y u =在()0,∞+上为增函数，所以，函数()f x 的增区间为()1,-+∞，减区间为(),3-∞-.20．(1)01a <<,解集为37,45⎛⎫⎪⎝⎭.(2)55a =【分析】（1）根据指数函数的性质解不等式求得01a <<，再根据对数函数的性质解不等式；（2）利用对数函数的单调性与最值的关系求参数a 的值.【详解】（1）由0a >且满足不等式215222a a +->可得，21520a a a +>-⎧⎨>⎩，解得01a <<，由log (31)log (75)a a x x +<-可得，31750x x +>->，解得3745x <<，所以原不等式的解集为37,45⎛⎫⎪⎝⎭.（2）因为01a <<,所以函数log (21)a y x =-在定义域1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减,所以函数log (21)a y x =-在区间[1,3]有最小值为min log 52a y ==-,解得5a =.21．(1)()22x x f x -=+，()22x x g x -=-(2)34k ≥或14k =【分析】（1）结合函数奇偶性将x -代入条件中可得答案；（2）转化为1212x -=、12124x k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭共有三个解求k 的取值范围，结合图象可得答案.【详解】（1）因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x -=-，由()()12xf xg x --=①，得()()12x f x g x +---=即()()12x f x g x ++=②，①+②可得()22x x f x -=+，①-②可得()22x x g x -=-；（2）由（1）()()()11212x h x f x g x =+-=-⎡⎤⎣⎦，方程()()()()2111220424h x k h x k h x h x k ⎡⎤⎡⎤⎛⎫-⋅+-=---=⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦，可得()12h x =或()124h x k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1212x -=或12124x k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，当1212x -=时，由下图可得21x y =-与12y =的图象有两个交点，所以要使方程()()21204h x k h x k -⋅+-=⎡⎤⎣⎦有三个解，只需12124x k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭有一解即可，即21x y =-与124y k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象只有一个交点即可，由图象可得1214y k ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭或1204y k ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得34k ≥或14k =.综上，实数k 的取值范围为34k ≥或14k =．【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键点是转化为1212x -=，12124x k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭有三个解求k 的取值范围，结合图象求答案.22．（1）当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元；（2）012a <<.【分析】（1）甲工程队的总造价为y 元，求出()1618001440015y x x x ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求解；（2）由题意可得()1800116180014400a x x x x +⎛⎫++> ⎪⎝⎭对任意的[]1,5x ∈恒成立，化简得()241x a x +>+恒成立，利用基本不等式求函数()241x y x +=+的最小值得解.【详解】（1）甲工程队的总造价为y 元，则()2416330024001440018001440015y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+=++≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1616180014400180021440028800x x x x ⎛⎫++≥⨯⨯⋅+= ⎪⎝⎭.当且仅当16x x =，即4x =时等号成立.即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元.（2）由题意可得，()1800116180014400a x x x x +⎛⎫++> ⎪⎝⎭对任意的[]1,5x ∈恒成立.即()()241x a x x x ++>，从而()241x a x +>+恒成立，令[]12,6x t +=∈，()()224399626121x t t t x t t t ++==++≥⋅=+，故min 12y =.所以012a <<.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查不等式的恒成立问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
河南省郑州市第一中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题
郑州一中2022～2023学年上学期期中考试高一（数学）试题说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分。
2．考试时间：120分钟。
3．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上。
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合，，则（ ）A ．B ． C ．D ．2．已知非空数集A ，B ，命题p ：对于，都有，则p 的否定是（ ）A ．对于，都有B ．对于，都有C ．，使得D ．，使得3．函数f (x )＝2x ＋13－x－(x ＋3)0的定义域是（ ）A ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) B. (－∞，－3)∪(－3，3)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，3)4.祖暅原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题．内容为：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个等高的几何体，如果在等高处的截面积相等，则体积相等．设A ，B 为两个等高的几何体，p ：A ，B 的体积相等，q ：A ，B 在同一高处的截面积相等．根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ）A.充分必要条件 B ．充分不必要条件C.必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件5.关于的不等式的解集为，则关于的不等式 的解集为 （ ）A ．B ．C ．D ．6.定义在上的偶函数满足：对任意的，有{}0,1,2,3,4,5A ={}15B x x =∈-<<N A B = {}2,3,4{}1,2,3,4{}0,1,2,3,4{}0,1,2,3,4,5x A ∀∈x B ∈x A ∀∈x B ∉x A ∀∉x B ∉0x A ∃∈0x B ∈0x A ∃∈0x B∉x 220ax bx ++>(1,2)-x 220bx ax -->(2,1)-(,2)(1,)-∞-+∞ (,1)(2,)-∞-+∞ (1,2)-R ()f x [)()12120,,x x x x ∈+∞≠，则，，的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．7.函数的图象大致为（ ）A ． B ． C ． D ．8．中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为的三角形，其面积可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的三边长满足，则此三角形面积的最大值为（ ）A ．6B ．610C ．12D ．1210二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)．9．下列叙述正确的是( )A.若P ＝{(1，2)}，则B.{x |x >1}⊆{y |y ≥1}C.M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}，则M ＝ND.{2，4}有3个非空子集10．若 则( )A ．B ．C ．D．11．若，则下列关系正确的是( )A ．B ．CD ．12．已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，是()()21210f x f x x x -<-()2f -()2.7f()3f -()()()2.732f f f <-<-()()()2 2.73f f f -<<-()()()32 2.7f f f -<-<()()()3 2.72f f f -<<-()112x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b c ，，S S =1=)2p a b c ++（146a b c +==，P ∅∈0a b >>22ac bc >a c b c ->-22a b>11a b <4455x y x y ---<-x y <33y x -->>133y x-⎛⎫< ⎪⎝⎭()f x ()g x R ()f x ()g x偶函数，且，则下列说法正确的是( )A ．为偶函数B ．C ．为定值D ．第Ⅱ卷 （ 非选择题，共90分）三、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分．）13．已知集合A ＝{﹣1，0，1}，B ＝{a 2，1}，若B ⊆A，则实数a 的值是 ．14．若,则的取值范围是 ．15．已知函数(且)在区间上是减函数，则实数的取值范围是________．16．高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为，其中表示不超过x 的最大整数.例如：，.已知函数，，若，则________；不等式的解集为________．四、解答题（本题共6小题，17题10分其它题均为12分，共70分．） 17．（本小题10分）（1）求值：；（2）已知，求值：.18．（本小题12分）设集合，集合．(1)若，求和(2)设命题，命题，若是成立的必要条件，求实数的取值范围．19．（本小题12分）在①，②这两个条件中任选一个，补()()2x f x g x +=()()f g x ()00g =()()22g x f x -()()2,02,0x x x f x g x x -⎧≥+=⎨<⎩33(1)(32)a a +<-a y =0a >1a ≠[1,2]a []y x =[]x [ 2.1]3-=-[3.1]3=()()|1|3[]f x x x =--[)0,2x ∈5()2f x =x =()f x x ≤()31211203320.2521624------⨯⨯+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11223(0)a a a -+=>22111a a a a --++++{|13}A x x =-<<{|22}B x a x a =-<<+2a =A B A B:p x A ∈:q x B ∈p q a []2,2x ∀∈-[]1,3x ∃∈充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数．(1)当时，求函数在区间上的值域；(2)若______，，求实数a 的取值范围．20.（本小题12分）某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，设月产量为台，当不超过400台时总收入为元，当超过400台时总收入为80000元.(1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）21．（本小题12分）已知不等式的解集为.(1)求的值，(2)若，，，求的最大值.22．（本小题12分）已知函数，．(1)证明：函数在上单调递增；(2)若存在且，使得的定义域和值域都是，求的取值范围．0m n <<()24f x x ax =++2a =-()f x []22-,()0f x ≥x x 214002x x -x P x 5111133x +≤≤（（）[],a b a b ，0m >0n >0bm n a ++=mn m n+()2211a f x a a x+=-0a >()f x ()0,+∞,m n ()f x [,]m n a。
人教版高一数学上学期期中考试试题及详细答案解析全文
人教版高一数学上学期期中考试数学试题（满分150分时间120分钟）一、单选题（12小题，每题5分）。
1.已知集合(){}{}0222>==-==x ,y x B ,x x lg y x A x,是实数集，则（）A.B.C.D.以上都不对2.下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（）A.2xy = B.xy -=2C.2-=x y D.3xy -=3.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.2xy =和()2x y =B.()12-=x lg y 和()()11-++=x lg x lg y C.2x log y a =和xlog y a 2= D.x y =和xa alog y =4.已知3110220230...c ,b ,.log a ===，则c ,b ,a 的大小关系是（）A.cb a << B.b ac << C.bc a << D.ac b <<5.在同一直角坐标系中，函数()()()x log x g ,x x x f a a=≥=0的图像可能是（）A. B. C. D.6.若132=log x ，则x x 93+的值为（）A.3B.C.6D.7.函数()x x x f 31+-=的单调递增区间是（）A.B.C.D.8.某同学求函数()62-+=x x ln x f 零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示：则方程062=-+x x ln 的近似解（精确度0.1）可取为（）A.2.52B.2.625C.2.66D.2.759.函数()xx lg x f 1-=的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,10)C.(10,100)D.(100，＋∞)10.已知函数()2211xxx f -+=，则有()A.()x f 是奇函数，且()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1 B.()x f 是奇函数，且()x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛1C.()x f 是偶函数，且()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1 D.()x f 是偶函数，且()x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛111.如图，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系，大致是（）A. B. C. D.12.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=0621100x ,x x x ,x lg x f ，若a ，b ，c 均不相等，且()()()c f b f a f ==，则abc的取值范围是A.（1，10）B.(5，6)C.(10，12)D.(20，24)二、填空题（4小题，每题5分）13.若对数函数()x f 与幂函数()x g 的图象相交于一点（2，4）,则()()=+44g f ________.14.对于函数f (x )的定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；③()()02121>--x x x f x f .当f (x )＝e x 时，上述结论中正确结论的序号是______.15.已知3102==b,lg a ，用a,b 表示=306log _____________.16.设全集{}654321,,,,,U =,用U 的子集可表示由10,组成的6位字符串,如：{}42表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000．（1）若，则M C U 表示6位字符串为_____________．（2）若,集合表示的字符串为101001，则满足条件的集合的个数为____个．三、解答题。
2023-2024学年四川省绵阳市高一上学期期中数学试题+答案解析(附后)
2023-2024学年四川省绵阳市高一上学期期中数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )A. B. C. D.2.若，则下列选项正确的是( )A. B. C. D.3.命题：“”为真命题，则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.4.下列幂函数中，在定义域内是偶函数且在上是单调递减的是( )A. B. C. D.5.已知集合，若，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.6.函数的图象大致形状是( )A. B.C. D.7.红星幼儿园要建一个长方形露天活动区，活动区的一面利用房屋边墙墙长，其它三面用某种环保材料围建，但要开一扇宽的进出口不需材料，共用该种环保材料12m，则可围成该活动区的最大面积为( )A. B. C. D.8.若对任意恒成立，其中是整数，则的可能取值为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数，则( )A. B. 若，则或C. 函数在上单调递减D. 函数在上的值域为10.下列叙述中正确的是( )A.设，则“且”是“”的必要不充分条件B. “”是“关于x的一元二次方程有两个不等实数根”的充分不必要条件C. 命题“”的否定是：“”D. 函数的定义域A为R的子集，值域，则满足条件的有3个11.关于函数的相关性质，下列正确的是( )A. 函数的图象关于y轴对称B. 函数在上单调递减C. 函数在上单调递减D. 函数的最小值为0，无最大值12.已知函数，若存在实数m，使得对于任意的，都有，则称函数有下界，m为其一个下界；类似的，若存在实数M，使得对于任意的，都有，则称函数有上界，M为其一个上界.若函数既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.以下四个选项中正确的是( )A. “函数有下界”是“函数有最小值”的必要不充分条件B. 若定义在R上的奇函数有上界，则该函数是有界函数C. 若函数的定义域为闭区间，则该函数是有界函数D. 若函数且在区间上为有界函数，且一个上界为2，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高一数学期中考试题及答案
高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，不是一次函数的是（）A. y = 2x + 1B. y = 3x^2 + 5C. y = 1/xD. y = -4x2. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∪B等于（）A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}3. 若sinα=0.6，则cosα的值是（）A. 0.8B. -0.8C. -0.4D. 0.44. 函数f(x) = |x - 2| + |x + 3|的最小值是（）A. 5B. 2C. 1D. 45. 不等式x^2 - 4x + 3 ≤ 0的解集是（）A. (1, 3)B. (-∞, 3]C. [1, 3]D. (-∞, 1] ∪ [3, +∞)6. 已知数列1, 3, 5, 7, ...，其第n项an等于（）A. 2n - 1B. 2n + 1C. 2nD. n + 17. 若a + b + c = 0，则a^2 + b^2 + c^2 =（）A. 0B. 2abC. 2bcD. 2ac8. 函数y = x^3 - 6x^2 + 12x - 4的极大值点是（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 49. 已知tanθ = 2，求sin^2θ + cos^2θ的值是（）A. 1B. 5C. 3D. 410. 下列哪个选项是二元一次方程（）A. x^2 + y = 7B. 3x + 2y = 10C. x^2 - y = 0D. 2x/3 + y/4 = 1二、填空题（每题4分，共20分）11. 等差数列的首项是5，公差是3，则其第10项是_________。
12. 若函数f(x) = x^2 - 2x在区间[1, 4]上是增函数，则f(1) = ________。
13. 已知三角形ABC中，∠A = 90°，a = 3，b = 4，则c=_________。
高一数学期中考试题及答案
高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B的值。
A. {1,2,3}B. {1,2,3,4}C. {2,3}D. {1,4}2. 函数f(x)=2x^2-3x+1在区间[-1,2]上的最大值是多少？A. 1B. 5C. 7D. 93. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求第10项的值。
A. 23B. 25C. 27D. 294. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π5. 已知直线y=-3x+5与x轴的交点坐标是什么？A. (0, 5)B. (1, 2)C. (5/3, 0)D. (0, 0)6. 已知sin(α)=3/5，α∈(0,π)，求cos(α)的值。
A. 4/5B. -4/5C. √(1-(3/5)^2)D. -√(1-(3/5)^2)7. 一个函数f(x)是奇函数，且f(1)=2，求f(-1)的值。
A. 2B. -2C. 0D. 18. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
A. 5B. 7C. 8D. 99. 已知一个函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f(2)的值。
A. -2B. 0C. 2D. 410. 已知一个等比数列的首项a1=2，公比q=3，求第5项的值。
A. 162B. 243C. 486D. 729二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求对称轴的方程。
___________________________12. 已知等比数列的前n项和为S_n=3^n-1，求首项a1。
___________________________13. 已知正弦定理公式为a/sinA=b/sinB=c/sinC，求三角形ABC的面积，已知a=5，sinA=3/5。
___________________________14. 已知某函数的导数f'(x)=6x^2-4x+1，求f'(1)的值。
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高一数学上期中考试试题（时间90分钟，分值120分，所有答案均写在答题纸上）一、 选择题（每题分5，共60分） 1、已知函数()xx f -=11的定义域为M ，不等式11+>+x x 的解集为N ，则N M 等于A ． {}1->x xB ． {}1-<x xC ．{}11<<-x xD ．Φ2、设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈32111，，，α，则使函数()x x f α=的定义域为R 且满足()()值为的所有αx f x f -=-A ． 1,3B ． -1,1C ．-1,3 D-1,1,3． 3、命题“对任意的0,45≤-∈x x R x ”的否定是A ．存在045≤-∈x xR x ，B ．存在045>-∈x xR x ，C ．不存在0,45≤-∈x x R x D ．对任意的045>-∈x x R x4、在下列个题中，p 是q 的充要条件的是 ○1()()()()x f x f q x f x f p -==-：；：1○232+++=m mx x y p ：有两个不同的零点；.62>-<m m q 或：○3 ：：q A B A p ;= ＡＣＢＣＵＵ⊆A ． ○1○2B ． ○2C ． ○3D ． ○2○3 5、函数24++=x y()0>x 的反函数是A ．()422--=x y ()4->xB ．()422--=x y ()2>xC ．()422--=x y ()4>xD ． ()422+-=x y()4>x6、函数()322++-=x x x f的单调减区间是A ． (]1,∞-B ． []1,1-C ． []3,1D ．[)+∞,1 7、函数12+=x y 关于x y =对称的函数解析式为 A ．212+=x y B ．212-=x y C ．12-=x y D ．12+x8、函数()x f y =的反函数图象过点()51，，函数()1-=x f y 的图象过点 A ． ()11，B ． ()16，C ． ()61，D ．()66， 9、设函数()x f 定义在实数集上，它的图象关于直线1=x 对称，且当1≥x 时()12-=x x f 则有 A ． ⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛322331f f f B ．⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛312332f f fC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛233132f f f D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛313223f f f10、函数y=()[)+∞--,212的定义域是x f ,则⎪⎭⎫⎝⎛+-=21x x f y 函数的定义域是A ．()⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+--∞-，212, B ．()[)∞+--∞-，12, C ()+∞-,2D ．[)∞+-，211、()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和()32-=x x g 的图象交点个数是A ． 4B ． 3C ． 2D ． 1 12、()()()⎩⎨⎧≥--<+-=1,11,4132x x x a x a x f 是()+∞∞-,上的减函数，则a 的取值范围 A ． ()10，B ．⎪⎭⎫⎝⎛310， C ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡3171， D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡171， 二、 填空题（每题4分,共16分）13、设函数()312-+-=x x x f ，若()5≤x f ，则x 的取值范围是_______14、当()21，∈x 时，不等式042<++mx x 恒成立，则m 的取值范围___15、若的最大值是则且xy y x R y x ,14,=+∈+____ 16、已知0651:2>+-x x p ,记A={}⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+-=06512x x xp xB={}=⌝p x ____三、解答题： 17、证明函数()xx x f 12-=在)(+∞,0上是增函数 （8分）证明：18、求下列函数的值域： ()８分 ○11122+-=x x y ,[)+∞∈,0x ○2432+=x xy班级 姓名 考号19、已知函数()()()()[]1,0,0,11在且x f a x aax x f >-+=上的最小值为()()的最大值求a g a g ,()分8,20、已知()x f是定义在)(+∞,0上的函数，且函数具有下列性质：定义上的任意nm,有○1()()()n f=○2()4f+mnfmf3=○3若()0x则f,1>>x解关于a不等式的()()810faf()分+3-a2<-解：21、()()()01,00,0232>>=++++=f f c b a c bx ax x f ，若求证：○1120-<<->ab a 且○2方程()()1,00在=x f 内有两个实根。
()１０分/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 密 封 线 内海拉尔二中２００８级高一期中数学试题答案三、选择题（每题分5，共60分） 2、已知函数()xx f -=11的定义域为M ，不等式11+>+x x 的解集为N ，则NM 等于 （B ）A ． {}1->x xB ． {}1-<x xC ．{}11<<-x xD ． Φ2、设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈32111，，，α，则使函数()x x f α=的定义域为R 且满足()()值为的所有αx f x f -=-（ A ）A ． 1,3B ． -1,1C ．-1,3 D-1,1,3． 3、命题“对任意的0,45≤-∈x x R x ”的否定是 (B)A ．存在045≤-∈x x R x ，B ．存在045>-∈x x R x ，C ．不存在0,45≤-∈x x R xD ．对任意的045>-∈x x R x 4、在下列个题中，p 是q 的充要条件的是（D ）○1()()()()x f x f q x f x f p -==-：；：1○232+++=m mx x y p ：有两个不同的零点；.62>-<m m q 或：○3 ：：q A B A p ;= ＡＣＢＣＵＵ⊆ A ． ○1○2 B ． ○2 C ． ○3 D ． ○2○3 5、函数24++=x y ()0>x 的反函数是 （C ） A ．()422--=x y ()4->x B ．()422--=x y ()2>x C ．()422--=x y ()4>x D ． ()422+-=x y ()4>x6、函数()322++-=x x x f 的单调减区间是 （C ） A ． (]1,∞- B ． []1,1- C ． []3,1 D ．[)+∞,17、函数12+=x y 关于x y =对称的函数解析式为 （B ） A ． 212+=xy B ．212-=x y C ．12-=x y D ．12+x8、若函数()x f y =的反函数图象过点()51，，则函数()1-=x f y 的图象必过点（B ）A ． ()11，B ． ()16，C ． ()61，D ．()66， 9、设函数()x f 定义在实数集上，它的图象关于直线1=x 对称，且当1≥x 时()12-=x x f 则有 （B ）A ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛322331f f f B ．⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛312332f f fC ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛233132f f f D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛313223f f f10、函数y=()[]+∞--,212的定义域是x f ,则⎪⎭⎫⎝⎛+-=21x x f y 函数的定义域是（A ） A ．()⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+--∞-，212, B ．()[)∞+--∞-，12, C ．()+∞-,2 D ．[)∞+-，2 11、函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()32-=x x g 的图象交点个数是（B ）A ． 4B ． 3C ． 2D ． 1 12、()()()⎩⎨⎧≥--<+-=1,11,4132x x x a x a x f 是()+∞∞-,上的减函数，则a 的取值范围是 （C ）A ． ()10，B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛310， C ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡3171， D ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡171， 四、填空题（每题4分,共16分）13、设函数()312-+-=x x x f ，若()5≤x f ，则x 的取值范围是37≤≤-x14、当()21，∈x 时，不等式042<++mx x 恒成立，则m 的取值是5-≤m 15、若的最大值是则且xy y x R y x ,14,=+∈+16116、已知0651:2>+-x x p ,记A={}⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+-=06512x x x p x 则B={}=⌝p x []3,2 三、解答题：17、证明函数()xx x f 12-=在)(+∞,0上是增函数 （8分）证明：设21,x x 是)(+∞,0上任意两个实数，且210x x <<，则()()=-21x f x f --1211x x 2221x x -＝221111x x x x +--=212121x x x x x x -+-=()()212111x x x x +-210x x << 0,02121>>-∴x x x x ,∴()()021>-x f x f ,∴函数()xx x f 12-=在)(+∞,0上是增函数. 18、求下列函数的值域： ()８分 ○11122+-=x x y [)+∞∈,0x ○2432+=x x y○1解：110112≤<-⇔≥+-=y y yx 故函数值域是{}11≤<-y y ○2解：原式变形得0432=+-y x yx ,0,0==x y 只需，故0=y 是值域中的值，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈≥⋅⋅-=∆≠43,43044302y y y y 解得则需，值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈43,43y19、、已知函数()()()()[]1,0,0,11在且x f a x aax x f >-+=上的最小值为()()的最大值求a g a g , ()分8解：()ax a a x f 11+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=○1当()[]()()af ag x f a a a 101,0,011==∴>->上为增函数在时， ○2当()[]()()a f a g x f aa a ==∴<-<<11,0,0110上为减函数，在时， ○3当()()1,11===a g x f a 时 综上()⎪⎩⎪⎨⎧>≤<=1,110,a aa a a g，()(][)上为减函数１，上为增函数，在在∞+1,0a g 当()a g a 时1=取得最大值1.20、已知()x f 是定义在)(+∞,0上的函数，且函数具有下列性质：定义上的任意n m ,有○1()()()n f m f mn f +=○2()43=f ○3若()0,1>>m f m 则 解关于a 不等式的()()832<-+-a f a f ()分10解：()()83293====f f n m 时当，原不等式等价于()()()932f a f a f <-+-○1 ()()9652f a a f <+-⇔。