第五章中值定理的证明技巧
中值定理证明方法总结
设 f (x) , g(x) , h(x) 都在 (a , b) 上连续 , 且在 [a , b] 内可导, 证明至少存在一点 ξ ∈(a , b) , 使
f (a) f (b) f ′(ξ ) g(a) g(b) g′(ξ ) = 0 h(a) h(b) h′(ξ )
说明 若取 h(x) ≡1, g(x) = x , f (a) = f (b) ,即为罗尔定理; 若取 h(x) ≡1, g(x) = x , 即为拉格朗日中值定理; 若取 h(x) ≡1, g′(x) ≠ 0, 即为柯西中值定理; ( 自己验证 )
柯西 目录 上页 下页 返回 结束
f (b) − f (a) F(x) − f (x) 证: 作辅助函数 ϕ(x) = F(b) − F(a) 则 (x) 在[a,b]上 续, 在(a,b)内 导, 且 ϕ 连 可 f (b)F(a) − f (a)F(b) ϕ(a) = = ϕ(b) F(b) − F(a) 使 由罗尔定理知, 至少存在一点 即 f (b) − f (a) f ′(ξ ) = . F(b) − F(a) F′(ξ ) 思考: 思考 柯西定理的下述证法对吗 ? ∵ f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a), ξ ∈(a, b) 两个 ξ 不 F(b) − F(a) = F′(ξ )(b − a), ξ ∈(a, b) 一定相同 上面两式相比即得结论. 错!
1 f (n) (x )(x − x )n +⋯+ 0 0 n!
f (b) − f (a) f ′(ξ ) = F(b) − F(a) F′(ξ )
证明中值定理的方法
直观分析 辅助函数法 逆向分析 例如, 证明拉格朗日定理 : f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a) 要构造满足罗尔定理条件的辅助函数 . y = f (x) 方法1. 方法 直观分析 由图可知 , 设辅助函数
05 中值定理证明技巧(2)
-4-
e b f (b) − e a f ( a ) = eη [ f (η ) + f ' (η )] b−a
所以在(a, b)内存在ξ, 使得
eξ =
e b − e a e b f ( b) − e a f ( a ) = = eη [ f (η ) + f ' (η )] b−a b−a
十五. 设 f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且 f ' ( x ) ≠ 0 , 试证: 存在ξ、η ∈ (a, b), 使得
十. 设 f(x), g(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且 f(a) = f(b) = 0, g(x) ≠ 0, 试证: 至少存在一 个ξ ∈ (a, b), 使 证明: 令 F ( x ) =
f ' (ξ ) g (ξ ) = g ' (ξ ) f (ξ )
f ( x) , 所以 F(a) = F(b) = 0. 由罗尔定理至少存在一个ξ ∈ (a, b), 使 g ( x)
f (a ) g (a ) f (a ) g (a ) . = (b − a ) f ( b) g ( b ) f ' (ξ ) g ' (ξ )
十二. 设 f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内有二阶连续导数, 试证: 至少存在一个 ξ ∈ (a, b), 使
-3-
(b − a ) 2 a +b f ( b) − 2 f + f ( a ) = f ' ' (ξ ) 4 2
η 2 f ' (η )
ab
十四. 设 f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且 f(a) = f(b) = 1, 证明: 存在ξ、η ∈ (a, b), 使 得
中值定理证明方法总结
中值定理证明方法总结中值定理（Intermediate Value Theorem）是微积分中的一项重要定理，它表明如果一个连续函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上取两个不同的值$f(a)$和$f(b)$，那么在开区间$(a,b)$内，函数$f(x)$必然取到介于$f(a)$和$f(b)$之间的所有值。
中值定理的证明是通过构造一个辅助函数$g(x)$，它将闭区间$[a,b]$映射到实数区间$[f(a),f(b)]$上，并利用连续函数的性质来证明中值定理。
证明过程如下：1.首先，我们定义辅助函数$g(x)=f(x)-k$，其中$k$是一个常数。
我们的目标是证明如果$g(a)$和$g(b)$异号，那么在开区间$(a,b)$内，$g(x)$必然等于$0$。
2.根据函数$g(x)$的定义，我们可以得到$g(a)=(f(a)-k)$和$g(b)=(f(b)-k)$。
由于$g(a)$和$g(b)$异号，即$(f(a)-k)$和$(f(b)-k)$异号，所以$g(x)$在$[a,b]$上一定有一个根。
3. 接下来，我们要证明在开区间$(a,b)$内，$g(x)$没有其他根。
假设在$(a,b)$内存在一个根$x=c$，即$g(c)=0$。
根据连续函数的性质，我们有$\lim_{x \to c} g(x) = g(c) = 0$。
又因为$f(x)$是连续函数，所以$\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$。
4. 根据极限的性质，我们有$\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} [f(x)-k] = f(c)-k$。
由于$\lim_{x \to c} g(x) = 0$，所以$f(c)-k=0$，即$f(c)=k$。
这意味着$f(c)-k=0$是$g(x)$的唯一根。
5.综上所述，我们可以得出结论，如果$g(a)$和$g(b)$异号，那么在开区间$(a,b)$内，$g(x)$的根只有$f(c)-k=0$。
积分中值定理的证明
积分中值定理的证明
积分中值定理的证明
积分中值定理（又称拉格朗日中值定理）是非常重要的定理。
该定理认为，如果某函数在闭区间[a, b]上连续，则存在c∈(a,b)使得：
∫a^bf(x)dx=f(c)(b-a)
证明：
首先，容易看出，由于f(x)在[a,b]上连续，所以存在c∈[a,b]使得f(c)=m，其中m为函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值或最小值，而这个m又是一个定值。
接下来，我们将证明：
∫a^bf(x)dx=f(c)(b-a)
我们将[a,b]分为n个等量的子区间，即
[x_0,x_1],[x_1,x_2],...,[x_n-1,x_n]，由于f(x)在[a,b]上连续，所以存在c_i∈[x_i-1,x_i]使得
f(c_i)=m_i，其中m_i为f(x)在[x_i-1,x_i]上的最大值或最小值，而这个m_i也是一个定值。
此外，我们也需要将[a,b]分割成n+1个等量的子区间，即[x_0,x_1],[x_1,x_2],...,[x_n-1,x_n]，其中
x_i=(a+i*h)，h=(b-a)/n。
根据梯形公式，我们可以得到：
∫a^bf(x)dx=∑_(i=1)^nf(c_i)(x_i-x_i-1)
=∑_(i=1)^nm_i((a+(i-1)*h+ih)-(a+(i-1)*h)) =∑_(i=1)^nm_i(h)=(b-a)∑_(i=1)^nm_i
=f(c)(b-a)
对于上式，由于f(c)=m，m_i都相等，所以
∑_(i=1)^nm_i=nf(c)，综上所述，我们可以得出：∫a^bf(x)dx=f(c)(b-a)
完成了证明。
中值定理的证题技巧
x
0
,所以可令
F(x)
g2 f x 。
g(x)
(3)要证 f f g 0 即证 eg
x
0
，所以可令
F(x) egx f
x。
(ii)消去导数法
将结论中的 换成 x ，通过变形后积分消去导数
符号，再移项使等式一边为0，则另一边就是辅助
专业: 数学与应用数学 班级: 数学092班 学号 : 0920151224 姓 名: 涂淑瑶 指导老师：徐建平
目录
内容摘要 1 中值定理的内容及联系 2 应用中值定理的基本步骤及建立辅助函数的几点
体 3 微分中值定理证明命题的方法和技巧 3.1 形如“在(a,b)内至少存在一点 ,使得 f k kR”
的相关命题的证明方法
（1）要证至少存在一点 a,b ,使 f k的命题 两边积分得 f x kx 0,建立辅助函数F x f x kx ,则 Fx f xk 0 , 从而有 f k。
（2） 要证至少存在一点 a,b ,使得 f n 0
的命题。
此时，中值定理中的那个函数是 f n1 x ,中值定理
函数 F x 。
如要证至少存在一点 0,1 ，使 f x 1 。
如何建立辅助函数？可把 换成 x ，设f 1， 积分消去导数符号有 f x x c (可令 c 0 )， 移项得辅助函数 F x f x x 。
(iii) 常数 k值法
此法就是将含有区间端点值及端点函数值的式记 为 k ，其中构造辅助函数的基本步骤为：
系式”的相关命题的证明方法
以上所列命题中只含有一个中值，但有些命题 中会出现两个中值，此时一般需要使用两次拉格 朗日中值定理或柯西中值定理，或一次拉格朗日 中值定理、一次柯西中值定理。证明该类型题目 时，一般将含有 ,表达式分离到等式的两边， 对较为明显的一边运用一次中值，可将等式转化 为只含有一个中值的情形。
考研数学：中值定理相关命题的证明方法总结
考研数学：中值定理相关命题的证明方法总结中值定理这一块是考研数学的重点同时也是难点，对于中值定理这一块的相关证明题，很多同学一碰到，多数是束手无措，难以找到解题的突破口，现在跨考教育数学教研室易老师就这一问题做详细的方法介绍。
这一类型的问题，从待证的结论入手，首先看结论中有无导数，若无导数则采用闭区间连续函数的性质来证明（介值或零点定理），若有导数则采用微分中值定理来证明（罗尔、拉格朗日、柯西定理），这个大方向首先要弄准确，接下来就待证结论中有无导数分两块来讲述。
一、结论中无导数的情况结论中无导数，接下来看要证明的结论中所在的区间是闭区间还是开区间，若为闭区间则考虑用介值定理来证明，若为开区间则考虑用零点定理来证明。
例1 ()f x 在[]0,3上连续，且(0)(1)(2)3f f f ++=，证明：至少存在一点[]0,3c ∈，使得() 1.f c =分析：待证结论中无导数，则用闭区间连续函数的性质来证，且待证的结论的中值在闭区间上，故应采用介值定理来证明。
证明：()f x 在[]0,2上连续，,m M ∴∃使3(0)(1)(2)3m f f f M ≤++≤1m M ⇒≤≤,∴由介值定理可得结论。
二、结论中有导数情况① 结论中有导数，无端点信息，则采用罗尔定理来证明。
用罗尔定理来证明的常见题型：● 型一：()()0n f ξ=● 型二：结论中仅有ξ的相关表达式，且导数相差一阶用罗尔定理来证明题时，难点就在找原函数上，找原函数的常用方法分为两种，一为观察法，二为积分法。
观察法：i ）待证结论若为这种形式'()g()()g'()0()()f f f x g x ξξξξ+=⇐原函数为ii ）待证结论若为这种形式()'()()()'()0()f x fg f g g x ξξξξ-=⇐原函数为积分法：i ）待证结论若为这种形式()'()()()0()()g x dx f g f F x e f x ξξξ⎰+=⇐=原函数为ii ）待证结论若为这种形式()"()()'()0()'()g x dxf g f F x e f x ξξξ⎰+=⇐=原函数为 例2 ()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导，(1)0,f =证明：(0,1)ξ∃∈，使得 '()2()0f f ξξξ+=分析：有导数，无端点信息，采用罗尔定理。
中值定理知识点总结
中值定理知识点总结中值定理的表述：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个点c∈(a, b)，满足f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
中值定理的证明比较简单，可以根据函数的连续性和可导性来进行推导。
接下来我们来详细介绍中值定理的知识点。
一、中值定理的条件中值定理的前提是函数在闭区间上连续，在开区间上可导。
这两个条件都是至关重要的，只有同时满足这两个条件，中值定理才成立。
1. 函数在闭区间上连续：闭区间[a, b]是一个包含了a和b的区间，函数在闭区间上连续意味着函数在这个区间内没有间断点，没有跳跃点，图象是一条连续的曲线。
一般来说，函数在有限区间上都是连续的，因此这个条件通常是满足的。
2. 函数在开区间上可导：开区间(a, b)是一个不含a和b的区间，函数在开区间上可导意味着函数在这个区间上具有导数。
可导性是指函数在这个区间内存在切线，即函数在这个区间内是光滑的。
这个条件比较严格，只有在一些特殊的情况下才能满足。
二、中值定理的应用中值定理主要用来描述函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
它可以推导出一些重要的结论和定理，对于理解函数的性质和特点有很大的帮助。
1. 平均变化率和瞬时变化率：中值定理可以用来比较函数在闭区间上的平均变化率和在开区间上的瞬时变化率。
平均变化率指的是函数在某个区间内的整体变化情况，而瞬时变化率指的是函数在某一点的瞬间变化情况。
中值定理表明，这两者之间存在着某种联系，通过中值定理可以求得函数在某个区间内的平均变化率和在某一点的瞬时变化率之间的对应关系。
2. 函数的增减性：中值定理可以用来研究函数的增减性。
通过中值定理可以求得函数在某个区间内的导数值，在这个区间上的函数是增加还是减小。
这对于研究函数的极值和拐点有很大的帮助。
3. 函数的凹凸性：中值定理可以用来研究函数的凹凸性。
通过中值定理可以求得函数在某个区间内的二阶导数值，根据二阶导数的正负性可以判断函数在这个区间上的凹凸性，这对于求解函数的拐点和凹凸区间有很大的帮助。
中值定理证明
中值定理首先我们来看看几大定理：1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及f(b)=B ，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c 是介于A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。
介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M ，最小值m,若m ≤C ≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C 。
（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。
此条推论运用较多）Ps ：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。
2、 零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、 罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b). 那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得f`(x)=0;4、 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得 f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0, 那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得)`()`()()()()(ξξg f a g b g a f b f =--Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
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3. [][]，
上，至少存在一个，证明：在上连续，且在设ξ1,01)(01,0)(≤≤x f x f .)(ξξ=f 使得
4. []()内存在则在，上连续，而且在，设b a b g b f a g a f b a x g x f ,)()()()(,)()(><
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9.[]()()，试证：内可导，且，上连续，在，在设0)0(000)(=>f x x x x f
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内有二阶连续导数，试上连续，在在设b a b a x f ,,)( ()()().4)(22)(,''2
ξξf a b a f b a f b f b a -=+⎪
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20. []()，试证：
内可导，且上连续，在在设0)(,,)('≠x f b a b a x f ().)
()(,''ηηξηξ-∙--=∈∃e a b e e f f b a a b ，使得，。