2013届新课标一轮文科基础复习第18课时 三角函数的概念
2013届高考数学(文科)大纲版一轮总复习课件4.1三角函数的概念(第1课时)
(k Z ).
•
得
•
当k是奇数时，α是第三象限角;
•
当k是偶数时，α是第一象限角，
故选C.
•
点评：角所在的位置与角集
的对应关系是解决有关象限角问题
• 拓展练习 已知角α为第一象限
的角2 ，确定角 所在的象限.
•
解：首先写出角α的一般形式
是2kπ＜α＜2 2kπ+ (k∈Z)，两边同
时除以2，得4 kπ＜α2＜kπ+ (k∈Z).
其终边上一点C，则cosα的值为( )
A. 4
B. - 3
5
5
C. - 4
•
5
D. 3 5
•
解：r=co5s，
x r
-
4 5
.
故选C.
•
若θ是第二象限角，则能确定
为正C 值的是( )
• A. sin
2
B. cos
2
C. tan
D. cos 2
2
•
解：因为θ是第二象限角2，所
k∈Z.
•
因为α∈［0°，360°)，
•
所以k=1，且α=95°.
•
所以在0°~360°之间，与-
•
(2)设β=3900°+k·360°，
k∈Z.
•
因为β∈［0°，360°)，
•
所以k=-10，且β=300°.
•
所以在0°~360°之间，
与3900°角终边相同的角是
300°.
•
1. 在写出与α角终边相同的角的
tanα,cotα + - + -
•
初识三角函数的概念
初识三角函数的概念三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的概念以及其常见的性质，以帮助读者初步了解和理解三角函数。
一、三角函数的基本概念三角函数是用角的弧度或度数关系来描述的一类函数。
在直角三角形中，有三个重要的角度，分别为直角角度90度和两个锐角，分别记作α和β。
在三角函数中，最常见的三个函数分别为正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
1. 正弦函数（sin）：对于给定的一个角度θ，其正弦值（sinθ）定义为直角三角形的对边与斜边的比值。
2. 余弦函数（cos）：对于给定的一个角度θ，其余弦值（cosθ）定义为直角三角形的邻边与斜边的比值。
3. 正切函数（tan）：对于给定的一个角度θ，其正切值（tanθ）定义为直角三角形的对边与邻边的比值。
二、三角函数的重要性质三角函数具有许多重要的性质，下面将介绍几个常见的性质。
1. 周期性：三角函数都是周期函数，周期长度不同。
正弦函数和余弦函数的周期都是360度或2π弧度，而正切函数的周期是180度或π弧度。
2. 基本关系：在直角三角形中，正弦函数和余弦函数有着重要的关系，即sinθ = cos(90° - θ)，cosθ = sin(90° - θ)。
这个关系被称为正弦-余弦关系。
3. 互余关系：正弦函数和余弦函数也有互余关系，即sinθ = cos(90° + θ)，cosθ = sin(90° + θ)。
4. 三角恒等式：三角函数之间还存在许多恒等式，如sin²θ + cos²θ = 1，tanθ = sinθ / cosθ。
这些恒等式为解决三角函数的复杂问题提供了便利。
5. 三角函数的图像：三角函数的图像具有一定的规律性，正弦函数和余弦函数的图像都是波形，而正切函数的图像则呈现周期性的震荡。
三、三角函数的应用三角函数在数学以及其他领域中有着广泛的应用。
初中数学易考知识点三角函数的定义和性质
初中数学易考知识点三角函数的定义和性质初中数学易考知识点：三角函数的定义和性质简介：初中数学中，三角函数是一个重要的知识点。
它是研究三角形及其相关问题的基础。
本文将介绍三角函数的定义和性质，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
一、三角函数的定义三角函数是用来描述角度和线段之间的关系的数学函数。
常见的三角函数有正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)。
1. 正弦函数sin(x)正弦函数是一个周期函数，用来描述角度与其对应的直角三角形中，对边与斜边之间的关系。
在单位圆中，给定角度θ和半径r，正弦函数的定义如下：sinθ = 对边/斜边 = y/r。
2. 余弦函数cos(x)余弦函数也是一个周期函数，用来描述角度与其对应的直角三角形中，邻边与斜边之间的关系。
在单位圆中，给定角度θ和半径r，余弦函数的定义如下：cosθ = 邻边/斜边 = x/r。
3. 正切函数tan(x)正切函数是一个周期函数，用来描述角度与其对应的直角三角形中，对边与邻边之间的关系。
在单位圆中，给定角度θ和半径r，正切函数的定义如下：tanθ = 对边/邻边 = y/x。
二、三角函数的性质除了定义，三角函数还有一些重要的性质需要我们掌握。
1. 基本性质（1）定义域和值域：正弦函数和余弦函数的定义域是全体实数，值域是[-1,1]；正切函数的定义域是{x | x ≠ (2k + 1)π/2,k∈Z}，值域是全体实数。
（2）奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)；正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。
（3）周期性：正弦函数、余弦函数和正切函数都是周期函数。
2. 三角函数的特殊角值和函数值掌握一些三角函数在特殊角上的函数值对于解题非常有用。
例如：（1）sin(0) = 0, sin(π/6) = 1/2, sin(π/4) = √2/2, sin(π/3) = √3/2, sin(π/2) = 1（2）cos(0) = 1, cos(π/6) = √3/2, cos(π/4) = √2/2, cos(π/3) = 1/2,cos(π/2) = 0（3）tan(0) = 0, tan(π/6) =√3/3, tan(π/4) = 1, tan(π/3) = √3, tan(π/2) = 无穷大3. 三角函数的变化规律三角函数图像的变化规律是解题的关键。
三角函数的初步认识
三角函数的初步认识三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
通过研究三角函数，我们可以了解角度、三角关系、周期性等概念，并掌握一些基本的计算方法和性质。
本文将对三角函数的定义及其初步应用进行探讨。
一、正弦函数正弦函数是三角函数中最基本的一种，常用符号为sin。
它将一个角映射到一个比值上，其定义为：对于任意角θ（单位可以是弧度或角度），正弦函数的值等于对边与斜边的比值。
数学表达式为：sin(θ) = 对边/斜边在直角三角形中，对边指的是与角度θ相对的边，斜边指的是直角三角形的斜边。
正弦函数的值域是[-1, 1]，当角度为0度时，sin(0°) = 0；当角度为90度时，sin(90°) = 1；当角度为180度时，sin(180°) = 0。
正弦函数具有周期性，即sin(θ) = sin(θ + 2πk)，其中k为整数。
这意味着，在一个周期内，正弦函数的取值会不断重复。
二、余弦函数余弦函数是另一个常用的三角函数，常用符号为cos。
余弦函数将一个角映射到一个比值上，其定义为：对于任意角θ（单位可以是弧度或角度），余弦函数的值等于邻边与斜边的比值。
数学表达式为：cos(θ) = 邻边/斜边在直角三角形中，邻边指的是与角度θ相邻的边，斜边指的是直角三角形的斜边。
余弦函数的值域也是[-1, 1]，当角度为0度时，cos(0°)= 1；当角度为90度时，cos(90°) = 0；当角度为180度时，cos(180°) = -1。
与正弦函数类似，余弦函数也具有周期性，即cos(θ) = cos(θ + 2πk)。
在一个周期内，余弦函数的取值也会不断重复。
三、切线函数切线函数是三角函数中最复杂的一种，常用符号为tan。
切线函数将一个角映射到一个比值上，其定义为：对于任意角θ（单位可以是弧度或角度），切线函数的值等于对边与邻边的比值。
高中数学教案：三角函数的定义和性质介绍
高中数学教案：三角函数的定义和性质介绍一级标题：引言三角函数是高中数学中重要的内容之一，它是研究三角形和周期现象的基础。
了解三角函数的定义和性质对于学生深入理解三角函数的概念至关重要。
本文将介绍三角函数的定义和性质，帮助学生掌握相关知识。
二级标题：三角函数的定义三角函数包括正弦、余弦和正切，它们都可以由直角三角形中某个特定角度的边长比例来表示。
1. 正弦（sin）是指一个锐角的对边与斜边之间的比值。
用公式表示为sinθ = 对边/斜边。
2. 余弦（cos）是指一个锐角的邻边与斜边之间的比值。
用公式表示为cosθ = 邻边/斜边。
3. 正切（tan）是指一个锐角的对边与邻边之间的比值。
用公式表示为tanθ = 对边/邻边。
二级标题：常用性质除了上述基本定义外，三角函数还有许多重要性质，我们来逐个介绍。
1. 有界性：根据定义可知，对于任意给定的θ值，正弦、余弦和正切都是有界的，其取值范围在-1和1之间。
2. 周期性：三角函数都具有周期性，也就是说当θ增大整个单位圆周长度（360°或2π）时，对应的三角函数值将再次回到初始值。
其中正弦和余弦的周期为360°（或2π），而正切的周期为180°（或π）。
3. 正交关系：正弦与余弦具有正交关系，在单位圆上，两条坐标轴的夹角θ处，正弦等于y轴坐标sinθ，余弦等于x轴坐标cosθ。
4. 基本恒等式：基本恒等式指的是sin²θ + cos²θ = 1这个不变式。
根据勾股定理可以得到这个结果。
二级标题：图形展示三角函数还可以通过图形展示来更加直观地理解其定义和性质。
1. 正弦曲线：从0到360度的区间内，以角度为自变量、正弦值为因变量绘制出来的曲线称为正弦曲线。
在整个区间内，曲线随着角度增大而震荡，并呈现出周期性变化。
2. 余弦曲线：与正弦曲线类似，余弦曲线以角度为自变量、余弦值为因变量绘制出来。
它与正弦曲线的形状相似，只是水平方向上整体平移了90度。
2013高考数学一轮复习--三角函数的概念_ppt
二、任意角的三角函数
1.定义
y . P(x, y)
r
o
xห้องสมุดไป่ตู้
y y x sin= r ; cos= r ; tan= x ; x r r cot= y ; sec= x ; csc= y ;
3 2.角 终边经过点 P(x, - 2 )(x0), 且 cos = 6 x, 求 sin+ tan 的值. 解: 设 |OP|=r, 则 r = x2+2 , 又 cos = 3 x, 则 6 x 3 2+2 = 6 x, 解得 x= 10. x 6 sin=- 6 , tan=- 5 , 当 x= 10 时, ∴ sin+tan=- 6 5 + 6 ; 6 6 sin=- 6 , tan= 5 , 当 x=- 10 时, ∴ sin+tan= 6 5 - 6 . 6
A．－
)
3 4
2
3 B． 4
3 C．－ 4
D．
3 4
（
4
5．若 sin(
) cos( ) ，则
的取值集合为
B． { | 2k
）
k Z}
A． { | 2k C． { | k
4
k Z}
k Z}
D． { | k
)(kZ); =k360º (2k- 2 -90º
y 轴: =k180º (k+ )(kZ); +90º 2 坐标轴: =k90º k )(kZ). ( 2
典型例题
1.写出与 -1035º 终边相同的角, 并指出其中属于 [-4, 4] 的角. 解: ∵-1035º - 3360º , = +45º ∴与 -1035º 终边相同的角为 k360º (kZ). +45º 用弧度制表示上面的角为 2k+ (kZ), 4
高考数学(文)一轮课件【第18讲】三角函数的图像与性质
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第18讲
三角函数的图像与性质
• 双 向 固 基 础
2．判断奇偶性的易错点 3π (1)函数y＝sinx＋ 2 是奇函数．( ) π π (2)函数y＝cos x－2 和y＝cos x－3 都是非奇非偶函 数．( )
[答案] (1)× (2)×
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第18讲
三角函数的图像与性质
• 双 向 固 基 础
5．三角函数图像的对称中心和对称轴 (1)正弦曲线y＝sin x的对称轴方程是________；对称中 心是________． (2)余弦曲线y＝cos x的对称轴方程是________；对称中 心是________． (3)正切曲线y＝tan x的对称中心是________．
• 双 向 固 基 础
最值
时，ymin＝－1； π 当 x＝2kπ＋2(k∈Z) 时，ymax ＝1 ________ 2π ______ 奇 函数
周期 奇偶 性
π ________ 奇 函数 ______
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第18讲
三角函数的图像与性质
π 在[2kπ－2，2kπ＋ π 增 函数； ] 上是 ______ 2 在[2kπ－π， π 在（kπ－2， 增 ________ 函 数； π kπ＋2）上是 ______ 增 函数 (k∈Z) 2kπ]上是
[答案] (1)×
(2)√
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第18讲
三角函数的图像与性质
• 双 向 固 基 础
[解析] (1)例如f(x)＝C(C为常数)是周期函数，但f(x)没 有最小正周期． (2)由函数y＝f(x)的周期是T，得f(x＋T)＝f(x)，则 T f ω （x＋ω） ＝f(ω x＋T)＝f(ωx)，故函数y＝f(ωx)的周期是 T . ω
高三数学一轮复习课件第18讲三角函数的图像与性质
平移 个单位长度,则平移后图像的对称轴为 (
12
π π
A.x= 2 - 6 (k∈Z)
π π
C.x= 2 -12 (k∈Z)
π
π
B.x= 2 + 6 (k∈Z)
π
π
D.x= 2 +12 (k∈Z)
[答案]
B
)
[解析] 平移后的图像对应的解析式为
π
π
π
y=2sin 2 x+12 ,令 2 + 12 =kπ+ 2 (k∈
π
T= .
||
2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称
1
中心与对称轴之间的距离是 周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.
4
3.三角函数中奇函数一般可化为 y=Asin ωx 或 y=Atan ωx 的形式,偶函数一般可化为 y=Acos
ωx+b 的形式.
D.与 b 无关,但与 c 有关
)
[答案]
B
[解析] 若 b=0,则
f(x)=sin2x+c=
1-cos 2
2
1
1
2
2
+c=- cos 2x+ +c 的
最小正周期是 π;若 b≠0,则
f(x)=sin2x+bsin x+c 的最小正周期是 2π.
故选 B.
教学参考
3.[2017·天津卷] 设函数
A
5π
8
=2,f
11π
=0,∴
8
3π
- 8 =4 (2m+1),m∈N,解得 T=2 +1,m∈
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§18 三角函数的概念（1）——任意角和弧度制
一、知识梳理
1．与角α终边相同的角的集合为 ．
2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为 ．
3．轴线角（终边在坐标轴上的角）
终边在x 轴上的角的集合为 终边在y 轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为 ．
4．象限角是指： ．
5．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．
6．弧度与角度互化：180º＝ 弧度
1º＝ 弧度
1弧度＝ ≈ º．
7．弧长公式：l ＝ ； 扇形面积公式：S ＝ .
二、典型例题分析 例1．已知α＝π3
.
(1)写出所有与α终边相同的角；
(2)写出在(－4π，2π)内与α终边相同的角；
(3)若角β与α终边相同，指出β
2所在的象限，并用图形表示其变化范围．
练习：1、已知01998-=α （1） 把α写成[)()πββ
π2,0,2∈∈+Z k k 的形式
（2）求与α终边相同的角
(]0,2,πθθ-∈且
例2．若α是第二象限的角，试分别确定2α,2
α
的终边所在位置
例3．已知圆C ：222r 1)(y 2)-(x =++被直线01y x 3:l =++所截的劣弧的长为
r 3
π
，求圆的半径及圆被直线所截得的弦长。
变式训练：已知圆锥的侧面展开图的面积为π2，圆锥的底面半径为1，求圆锥的体积。
三、课堂练习
1．0
570- = 弧度，是第____象限的角；
=π5
3
度，与它有相同终边的角的集合为__________________，在[－2π，0]上的角是_______。
2．已知α是第三象限角，则α- 180是第_____象限的角.
3.有以下四组角：(1)k π+
π2；(2)k π-π2；(3)2k π±π2；(4)-k π+π
2
(k ∈z)其中终边相同的是（ ） A.(1)和(2) B.(1)、(2)和(3) C.(1)、(2)和(4) D.(1)、(2)、(3)和(4)
4．弧度化角度：
=12π ；=103π ；=5-π ；=3
10-π 。
5．已知角α是第三象限角，则角－α的终边在第________象限．
6．已知sin 21()
12
θ
<，则θ所在象限为第________象限．
7.若
2
π
αβπ<<<,求α－β的范围.
tan α
sin α§18 三角函数的概念（2）——三角函数的定义
一、知识梳理
1.三角函数的定义：
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：
sin _____,cos ______,tan _____ααα===.
设点()00,y x A 为角α终边上任意一点，那么：（设2020y x r +=）
sin ___α=，cos ____α=，tan ______α=.
2.αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号（一全正二正弦，三切四余弦,简记为“全s t c ”）
3.三角函数线（单位圆中）
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.
4.诱导公式一:终边相同的角的同一三角函数值相等。
即：Z)(k tan ) tan(2k ,cos )cos(2k ,sin )sin(2k ∈=+=+=+ααπααπααπ
解读：1）化不在)[0,2
π的角的三角函数为在)[0,2π的角的三角函数； 2）三角函数值有“周而复始”的变化规律，呈现明显的周期性。
二、典型例题分析
例1. 已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +=
变式1. 角α的终边过点P （－8m ，－6cos60°）且cos α=－
5
4
，则m 的值是 。
变式2.已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sinα、cosα、tanα的值．
(3) 若 o<x<
2
,则sinx<x<tanx
16. 几个重要结论:
例2.求下列三角函数值（利用诱导公式一） （1）π49cos （2）)6
11tan(π-
变式：求3
5cos 613cos 37sin 425tan 325cos 625sin
π
πππππ-+++
例3.判断1sin 、1cos 、1tan 的大小关系
例4已知0≤α≤2π，点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则α的取值范围是________．
三、课堂练习 1.若角3
2π
的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是
2.已知角α的终边经过P(4,-3),则2sin α+cos α= .
3.已知0tan cos <⋅θθ，那么角θ是（ ）
A 第一或第二象限角
B 第二或第三象限角
C 第三或第四象限角
D 第一或第四象限角
4.点P(sin2011°，tan2011°)在 ( )
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
5.
tan(3)sin 5cos8-的符号为 ．。