新版【冀教版】初一数学上册《专训1 巧用线段中点的有关计算》

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冀教版数学七年级上册专训1 线段或角的计数问题

专训1 线段或角的计数问题名师点金：1.几何计数问题应用广泛，解决方法是“有序数数法”，数数时要做到不重复、不遗漏.2.解决这类问题要用到分类讨论思想及从特殊到一般的思想.3.回顾前面线段、直线的计数公式，比较这些计数公式的区别与联系.线段条数的计数问题1.先阅读文字，再解答问题.（第1题）如图①，在一条直线上取两点，可以得到1条线段，如图②，在一条直线上取三点可得到3条线段，其中以A1为端点的向右的线段有2条，以A2为端点的向右的线段有1条，所以共有2＋1＝3（条）.（1）如图③，在一条直线上取四个点，以A1为端点的向右的线段有条，以A2为端点的向右的线段有条，以A3为端点的向右的线段有条，共有＋＋＝（条）；（2）如图④，在一条直线上取五个点，以A1为端点的向右的线段有条，以A2为端点的向右的线段有条，以A3为端点的向右的线段有条，以A4为端点的向右的线段有条，共有＋＋＋＝（条）；（3）如图⑤，在一条直线上取n个点（n≥2），共有条线段；（4）某学校七年级共有6个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两个班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？平面内直线相交所得交点与平面的计数问题2.为了探究同一平面内的几条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手，如图所示.（第2题）列表如下：直线条数最多交点个数把平面最多分成的部分数1 0 22 1 43 3 7………（1）当直线条数为5时，最多有个交点，可写成和的形式为；把平面最多分成部分，可写成和的形式为；（2）当直线条数为10时，最多有个交点，把平面最多分成部分；（3）当直线条数为n时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？【导学号：53482038】关于角的个数的计数问题3.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，如图，如果过角的顶点A：（1）在角的内部作一条射线，那么图中一共有几个角？（2）在角的内部作两条射线，那么图中一共有几个角？（3）在角的内部作三条射线，那么图中一共有几个角？（4）在角的内部作n条射线，那么图中一共有几个角？（第3题）答案1．解：(1)3；2；1；3；2；1；6(2)4；3；2；1；4；3；2；1；10(3)n （n －1）2(4)七年级有6个班，类似于一条直线上有6个点，每两个班赛一场，类似于两点之间有一条线段，那么七年级的辩论赛共要进行6×（6－1）2＝15(场)． 2．解：(1)10；1＋2＋3＋4；16；1＋1＋2＋3＋4＋5(2)45；56(3)当直线条数为n 时，最多有1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n （n －1）2(个)交点；把平面最多分成1＋1＋2＋3＋…＋n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）2＋1部分． 3．解：(1)如题图①，已知∠BAC ，如果在其内部作一条射线，显然这条射线就会和∠BAC 的两条边都组成一个角，这样一共就有1＋2＝3(个)角．(2)题图①中有1＋2＝3(个)角，如果再在题图①的角的内部增加一条射线，即为题图②，显然这条射线就会和图中原来的三条射线再组成三个角，即题图②中共有1＋2＋3＝6(个)角．(3)如题图③，在角的内部作三条射线，即在题图②中再增加一条射线，同样这条射线就会和图中原来的四条射线再组成四个角，即题图③中共有1＋2＋3＋4＝10(个)角．(4)如果在一个角的内部作n 条射线，则图中共有1＋2＋3＋…＋n ＋(n ＋1)＝（n ＋1）（n ＋2）2(个)角．初中数学试卷。

专训巧用线段中点的有关计算优质公开课精品课件

习题课阶段方法技巧训练（二）
专训1
巧用线段中点的有关计算
利用线段的中点可以得到线段相等或有倍数关系的等式来辅助计算，由相等的线段去判
断中点时，点必须在线段上才能成立．
训练角度
类型1
1
线段中点问题
与线段中点有关的计算
1．如图，点C在线段AB上，AC＝8 cm，CB＝6 cm，
点M，N分别是AC，BC的中点．
(1)求线段MN的长．
解：因为点M，N分别是AC，BC的中点，
1 1 所以CM＝ AC＝ ×8＝4(cm)， 2 2 1 1 CN＝ BC＝ ×6＝3(cm)， 2 2 所以MN＝CM＋CN＝4＋3＝7(cm)；
(2)若C为线段AB上任一点，满足AC＋CB＝a cm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说
类型2
线段分点与方程的结合
4．A，B两点在数轴上的位置如图所示，O为原点，现A，B两点分别以1个单位长度/秒、4个单位长度/秒的速度同时向左运动．
(1)几秒后，原点恰好在A，B两点正中间？
解：设x秒后，原点恰好在A，B两点正中间．依题意得x＋3＝12－4x，解得x＝1.8. 答：1.8秒后，原点恰好在A，B两点正中间．
明理 2 1 1 同(1)可得CM＝ AC，CN＝ BC， 2 2 1 1 所以MN＝CM＋CN＝ AC＋ BC 2 2 1 1 ＝ (AC＋BC)＝ a cm. 2 2
(1)根据“点M，N分别是AC，BC的中点”，点拨：
先求出MC、CN的长度，再利用MN＝CM＋ CN即可求出MN的长度；(2)与(1)同理，先用 AC、BC表示出MC、CN，MN的长度就等于 AC与BC长度和的一半．
(2)几秒后，恰好有OA∶OB＝1∶2? 解：设t秒后，恰好有OA∶OB＝1∶2. ①B与A相遇前：12－4t＝2(t＋3)，即t＝1； ②B与A相遇后：4t－12＝2(t＋3)，即t＝9. 答：1秒或9秒后，恰好有OA∶OB＝1∶2．

冀教版数学七年级上册专训1 巧用整式的相关概念求值.docx

专训1 巧用整式的相关概念求值名师点金：根据整式的概念求某些字母的值时，一般需要列出关于这个字母的方程．解此类问题经常利用的是：单项式或多项式的次数概念；单项式的系数不等于0；多项式某项的系数等于0或不等于0等．巧用单项式的次数、系数求字母的值1．若－m 3x 3y |n －2|是关于x ，y 的单项式，且系数是56，次数是7，则m ＝________，n ＝________． 2．已知(a －2)x 2y |a|＋1是关于x ，y 的五次单项式，求(a ＋1)2的值．巧用多项式的项、次数求字母的值3．多项式－m2n2＋m3－12n－23的各项是______________________，是____次______项式．4．若(m－3)x2－2x－(m＋2)是关于x的一次多项式，则m＝________；若它是关于x的二次三项式，则m应满足的条件是__________________．5．若化简关于x，y的整式x3＋2a(x2＋xy)－bx2－xy＋y2，得到的结果是一个三次二项式，求a3＋b2的值．巧用与多项式的某些项无关求字母的值6．已知关于x 的多项式3x 4－(m ＋5)x 3＋(n －1)x 2－5x ＋3不含x 3项和x 2项，求m ＋2n 的值．7．当k 为何值时，关于x ，y 的多项式x 2＋2kxy －3y 2－6xy －y 中不含xy 项？【导学号：53482050】8．已知关于字母x 的多项式2x 5＋(m ＋1)x 4＋3x 3－(n －2)x 2＋3不含x 的偶次方，试确定m 2＋n 2的值．答案1．－52；6或－2 点拨：单项式－m 3x 3y |n －2|的系数是－m 3，则－m 3＝56，即m ＝－52.次数是7，则|n －2|＝7－3＝4，即n －2＝±4，解得n ＝6或－2.2．解：因为(a －2)x 2y |a|＋1是关于x ，y 的五次单项式，所以a －2≠0，2＋|a|＋1＝5，所以a ＝－2，则(a ＋1)2＝(－2＋1)2＝1.3．－m 2n 2，m 3，－12n ，－23；四；四 4．3；m ≠3且m ≠－25．解：原式＝x 3＋2ax 2＋2axy －bx 2－xy ＋y 2＝x 3＋(2a －b)x 2＋(2a －1)xy ＋y 2，因为这个关于x ，y 的整式是一个三次二项式，所以2a －b ＝0，2a －1＝0.所以a ＝12，b ＝1. 则a 3＋b 2＝⎝⎛⎭⎫123＋12＝98. 点拨：“原式的化简结果为三次二项式”等同于“x 2项与xy 项的系数都等于0”．首先将原式去括号，然后逆用分配律分别将含x 2项和xy 项合并，令含x 2项和xy 项的系数分别为0，由此可得到关于a ，b 的方程，进而可求出a ，b 的值及a 3＋b 2的值．6．解：依题意可知，－(m ＋5)＝0，n －1＝0，则m ＝－5，n ＝1，所以m ＋2n ＝－5＋2×1＝－3.点拨：不含某一项，说明这一项的系数为0.7．解：原式＝x 2＋(2k －6)xy －3y 2－y ，因为此多项式中不含xy 项，所以xy 项的系数为0，即2k －6＝0.所以k ＝3.所以当k ＝3时，关于x ，y 的多项式x 2＋2kxy －3y 2－6xy －y 中不含xy 项．点拨：解题关键是正确理解不含xy 项的实质，就是将含有xy 的项合并到一起，再令xy 项的系数为0，然后解关于k 的方程即可求出k 的值．8．解：因为此多项式不含x 的偶次方，所以m ＋1＝0，n －2＝0，解得m ＝－1，n ＝2.所以m 2＋n 2＝(－1)2＋22＝5.初中数学试卷桑水出品。

新冀教版七年级数学上册第2章几何图形的初步认识专训1 巧用线段中点的有关计算

专训1 巧用线段中点的有关计算名师点金：利用线段的中点可以得到线段相等或有倍数关系的等式来辅助计算，由相等的线段去判断中点时，点必须在线段上才能成立.线段中点问题类型1 与线段中点有关的计算1.如图所示，延长线段AB 到C ，使BC ＝2AB ，取AC 的中点D ，已知BD ＝2，求线段AC 的长.（第1题）类型2 与线段中点有关的说明题2.画线段MN ＝3 cm ，在线段MN 上取一点Q ，使MQ ＝NQ ；延长线段MN 到点A ，使AN ＝12MN ；延长线段NM 到点B ，使BN ＝3BM. （1）求线段BM 的长；（2）求线段AN 的长；（3）试说明点Q 是哪些线段的中点.线段分点问题类型1与线段分点有关的计算（设参法）3.如图，B，C两点把线段AD分成2∶4∶3三部分，M是AD的中点，CD＝6 cm，求线段MC的长.（第3题）类型2线段分点与方程的结合4.A，B两点在数轴上的位置如图所示，O为原点，现A，B两点分别以1个单位长度/秒、4个单位长度/秒的速度同时向左运动.【导学号：53482029】（1）几秒后，原点恰好在两点正中间？（2）几秒后，恰好有OA∶OB＝1∶2？（第4题）答案1．解：由已知得AC ＝AB ＋BC ＝AB ＋2AB ＝3AB ，因为D 是线段AC 的中点，所以2AD ＝AC.所以2AD ＝3AB ，又AD ＝AB ＋BD ，所以2AB ＋2BD ＝3AB ，所以AB ＝2DB ＝4，所以AC ＝3AB ＝12.2．解：如图：(第2题)(1)因为BN ＝3BM ，所以BM ＝12MN. 因为MN ＝3 cm ，所以BM ＝12×3＝1.5(cm )． (2)因为AN ＝12MN ，MN ＝3 cm ，所以AN ＝1.5 cm . (3)因为MN ＝3 cm ，MQ ＝NQ ，所以MQ ＝NQ ＝1.5 cm .所以BQ ＝BM ＋MQ ＝1.5＋1.5＝3(cm )，AQ ＝AN ＋NQ ＝1.5＋1.5＝3(cm )．所以BQ ＝QA.所以Q 是MN 的中点，也是AB 的中点．3．解：设AB ＝2k cm ，则BC ＝4k cm ，CD ＝3k cm ，AD ＝2k ＋4k ＋3k ＝9k(cm )．因为CD ＝6 cm ，即3k ＝6，所以k ＝2，则AD ＝18 cm .又因为M 是AD 的中点，所以MD ＝12AD ＝12×18＝9(cm )．所以MC ＝MD －CD ＝9－6＝3(cm )． 4．解：(1)设x 秒后，原点恰好在两点正中间．依题意得x ＋3＝12－4x ，解得x ＝1.8. 答：1.8秒后，原点恰好在两点正中间．(2)设t 秒后，恰好有OA ∶OB ＝1∶2.①B 与A 相遇前：12－4t ＝2(t ＋3)，即t ＝1；②B 与A 相遇后：4t －12＝2(t ＋3)，即t ＝9.答：1秒或9秒后，恰好有OA ∶OB ＝1∶2.。

巧用线段中点(或分点)的有关计算

设运动时间为x s，依题意得x＋3＝12－4x，解得x＝1.8. 答：1.8 s后，原点恰好在两点正中间．
(2)几秒后，恰好有OA:OB＝1:2? 设运动时间为t s. ①B与A相遇前：12－4t＝2(t＋3)，即t＝1； ②B与A相遇后：4t－12＝2(t＋3)，即t＝9. 答：1 s或9 s后，恰好有OA:OB＝1:2.
度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
如图所示．
MN＝
1 2
b
cm.理由如下：
因为点M，N分别是AC，BC的中点，
所以MC＝
1 2
AC，NC＝
1 2
BC，
所以MN＝MC－NC＝ 1 AC－ 1 BC
2
2
＝
1 2
(AC－BC)＝
1 2
b
cm.
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题型3 与线段中点有关的操作题
3． (1)如图，已知点C在线段AB上，线段AB＝12，点M，
因为M为AB的中点，
所以MB＝
1 2
AB＝
1 2
×20＝10(cm)．
因为N为BC的中点，
所以BN＝
1 2
BC＝
12×8＝4(cm)．
所以MN＝MB－BN＝10－4＝6(cm)．
②当点C在线段AB的延长线上时，如图②所示．
因为M为AB的中点，
所以MB＝
1 2
AB＝
1 2
×20＝10(cm)．
因为N为BC的中点，
返回
题型1 与线段分点有关的计算(设参法)
4．如图，B，C两点把线段AD分成2:4:3三部分，M是 AD的中点，CD＝6 cm，求线段MC的长．
解：设AB＝2k cm，
则BC＝4k cm，CD＝3k cm，AD＝2k＋4k＋3k＝9k(cm)．

冀教版数学七年级上册专训1巧用运算的特殊规律进行有理数计算.docx

专训1 巧用运算的特殊规律进行有理数计算名师点金：进行有理数的运算时，我们可以根据题目的特征，采用相应的运算技巧，这样不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致.归类——将同类数（如正负数、整数、分数）归类计算1.计算：（－100）＋70＋（－23）＋50＋（－6）.2.计算：－23－35＋5－13－25＋4.凑整——将和为整数的数结合计算3.计算：278＋⎝⎛⎭⎫－2712＋535＋⎝⎛⎭⎫－178＋225＋ ⎝⎛⎭⎫－3512.对消——将相加得零的数结合计算4.计算：350＋（－26）＋700＋26＋（－1 050）.变序——运用运算律改变运算顺序5.计算：⎝⎛⎭⎫23－56＋112－78×（－24）.换位——将被除数与除数颠倒位置6.计算：⎝⎛⎭⎫－130÷⎝⎛⎭⎫13＋16－25－12.分解——将一个数拆分成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式7.计算：－214＋512－413＋316.8.计算：12＋16＋112＋120＋130＋142＋156＋172.答案1．解：原式＝[(－100)＋(－23)＋(－6)]＋(70＋50)＝－129＋120＝－9.2．解：原式＝⎝⎛⎭⎫－23－13－35－25＋(5＋4) ＝－2＋9＝7.3．解：原式＝[278＋⎝⎛⎭⎫－178]＋[⎝⎛⎭⎫－2712＋⎝⎛⎭⎫－3512]＋⎝⎛⎭⎫535＋225 ＝1＋(－6)＋8＝3.4．解：原式＝[350＋700＋(－1 050)]＋[(－26)＋26]＝0.5．解：原式＝23×(－24)－56×(－24)＋112×(－24)－78×(－24) ＝－16＋20－2＋21＝23.6．解：因为(13＋16－25－12)÷(－130) ＝⎝⎛⎭⎫13＋16－25－12×(－30)＝－10＋(－5)＋12＋15＝12，所以⎝⎛⎭⎫－130÷(13＋16－25－12)＝112.7．解：原式＝(－2＋5－4＋3)＋(－14＋12－13＋16) ＝2＋⎝⎛⎭⎫－312＋612－412＋212 ＝2＋112＝2112. 8．解：原式＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋18×9＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋18－19＝1－19＝89.初中数学试卷桑水出品。

七上数学中点问题解题技巧和方法

七上数学中点问题解题技巧和方法一、认识中点1、什么是中点在平面几何中，中点指的是线段的中心点，也就是将一条直线段平均分成两段的点。

在坐标系中，中点的坐标可以通过相应线段的两个端点的坐标来求得。

2、中点的特点中点具有以下特点：- 与两端点距离相等- 与两端点连线构成的线段长度是全线段长度的一半- 坐标为两端点坐标的算术平均值二、中点问题解题技巧和方法1、求直线段中点的坐标求直线段中点的坐标，可以通过端点坐标的平均值来求得。

假设直线段的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则中点的坐标为：\[M(\frac{x1+x2}{2},\frac{y1+y2}{2} )\]2、中点问题解题步骤求解中点问题一般需要经过以下步骤：- 确定问题：明确问题中需要求解的中点的具体内容，确定问题中所给条件以及未知数。

- 分析问题：通过问题分析，理清思路，确定解题的方法和步骤。

- 求解过程：根据问题需求，使用公式或者坐标的求解方法求得中点坐标。

- 检验答案：求得中点坐标后，通过计算或者图示方法对答案进行检验，确保结果的准确性。

三、实例分析下面通过实例对中点问题的解题技巧和方法进行具体分析。

例题：已知直线段AB的端点坐标分别为A（2，3）和B（6，8），求直线段AB的中点坐标M。

分析解题步骤：1. 确定问题：根据题目要求，需要求解直线段AB的中点坐标M。

2. 分析问题：根据中点的定义和公式，可以通过端点坐标的平均值求得中点坐标。

3. 求解过程：根据公式\[M(\frac{x1+x2}{2},\frac{y1+y2}{2} )\]，带入端点坐标得到：\[M(\frac{2+6}{2},\frac{3+8}{2} )\]，计算得中点坐标M为：\[M(4,5)\]。

4. 检验答案：通过计算得到的中点坐标进行检验，发现满足与端点距离相等的特点，因此得出结论，中点坐标M为(4,5)。

四、总结与思考中点问题是数学中的基础问题，其求解过程涉及到坐标系的运用、平均值的计算等数学知识。

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专训1 巧用线段中点的有关计算
名师点金：利用线段的中点可以得到线段相等或有倍数关系的等式来辅助计算，由相等的线段去判断中点时，点必须在线段上才能成立.
线段中点问题
类型1 与线段中点有关的计算
1.如图所示，延长线段AB 到C ，使BC ＝2AB ，取AC 的中点D ，已知BD ＝2，求线段AC 的长.
（第1题）
类型2 与线段中点有关的说明题
2.画线段MN ＝3 cm ，在线段MN 上取一点Q ，使MQ ＝NQ ；延长线段MN 到点A ，使AN ＝12
MN ；延长线段NM 到点B ，使BN ＝3BM. （1）求线段BM 的长；
（2）求线段AN 的长；
（3）试说明点Q 是哪些线段的中点.
线段分点问题
类型1与线段分点有关的计算（设参法）
3.如图，B，C两点把线段AD分成2∶4∶3三部分，M是AD的中点，CD＝6 cm，求线段MC的长.
（第3题）
类型2线段分点与方程的结合
4.A，B两点在数轴上的位置如图所示，O为原点，现A，B两点分别以1个单位长度/秒、4个单位长度/秒的速度同时向左运动.【导学号：53482029】
（1）几秒后，原点恰好在两点正中间？
（2）几秒后，恰好有OA∶OB＝1∶2？
（第4题）
答案
1．解：由已知得AC ＝AB ＋BC ＝AB ＋2AB ＝3AB ，
因为D 是线段AC 的中点，所以2AD ＝AC.
所以2AD ＝3AB ，又AD ＝AB ＋BD ，所以2AB ＋2BD ＝3AB ，
所以AB ＝2DB ＝4，所以AC ＝3AB ＝12.
2．解：如图：
(第2题)
(1)因为BN ＝3BM ，所以BM ＝12
MN. 因为MN ＝3 cm ，所以BM ＝12
×3＝1.5(cm )． (2)因为AN ＝12
MN ，MN ＝3 cm ，所以AN ＝1.5 cm . (3)因为MN ＝3 cm ，MQ ＝NQ ，所以MQ ＝NQ ＝1.5 cm .
所以BQ ＝BM ＋MQ ＝1.5＋1.5＝3(cm )，
AQ ＝AN ＋NQ ＝1.5＋1.5＝3(cm )．所以BQ ＝QA.
所以Q 是MN 的中点，也是AB 的中点．
3．解：设AB ＝2k cm ，则BC ＝4k cm ，CD ＝3k cm ，AD ＝2k ＋4k ＋3k ＝9k(cm )．因为
CD ＝6 cm ，即3k ＝6，所以k ＝2，则AD ＝18 cm .又因为M 是AD 的中点，所以MD ＝12
AD ＝12
×18＝9(cm )．所以MC ＝MD －CD ＝9－6＝3(cm )． 4．解：(1)设x 秒后，原点恰好在两点正中间．依题意得x ＋3＝12－4x ，解得x ＝1.8. 答：1.8秒后，原点恰好在两点正中间．
(2)设t 秒后，恰好有OA ∶OB ＝1∶2.
①B 与A 相遇前：12－4t ＝2(t ＋3)，即t ＝1；
②B 与A 相遇后：4t －12＝2(t ＋3)，即t ＝9.
答：1秒或9秒后，恰好有OA ∶OB ＝1∶2.。