对高中数学的数列函数的应用研究

Ｋ≤（ １ ＋ １ ／ ａ ， ） （ １ ＋ １ ， ａ ） …（ １ ＋ １ ， ａ ） ／ 、 ｖ ／ ２ ｎ ＋ １ 对于任 何的 自然
数ｎ 都是 恒 成 立 的 ．
必须满足ｋ ≤［ （ １ ＋ ｌ ／ ａ ） （ １ ＋ ｌ ／ ａ ３ ） …（ １ ＋ ｌ ／ ａ ） ／ ＶＹ ２ ￣
用进 行 研 究．
关键词 ： 高 中数 学
一
数列 函数 思 想
然数 集 或 其 子 集 ， 所 以它的定义域是离散 的， 故 它 的 单调 性 与 决定其对应关 系的函数 的单调性 之 间不是充 分必要 的关 系． 在本例巾 ， 如 果 要 求 相 应 的二 次 函数 在 ｘ ＞ ｌ 时单调 增 ， 则 必 须 有一 ｋ ／ ２ ＜ ｌ ， 而要求数列单调 增加 ， 那么一 ｋ ／ ２ 可以大于 ｌ ， 只 要 小 于等 于３ ／ ２ 就行． 例３ ： 已知 数列 ｛ ａ｝ ， 且 其通 项 ａ ２ｎ一 １ ， 问 是 否 存 在 正数 ｋ使 得 对 于 任 何 的 自然数ｎ 不等式 （ ｎ ｌ ＋ｌ ／ ａ ） （ １ ＋１ ， ａ ， ） （ １ ＋ １ ／ ａ ） …（ １ ＋
Ｘ ／ ＇ ２ ｎ＋１
］
…
，
我 们 可 以 构建 一 个 函数 ｆ （ ｎ ） ＝ （ １ ＋ ｌ ／ ａ ２ ） （ １ ＋ ｉ ／ ａ ） …（ １ ＋ ｌ ／ ａ ） ／
．
运 用 函 数 的单 调 性 求 解 最 小 值 问题 ，
解： 设ｆ （ ｎ ） ＝ （ １ 十 １ ， ａ ， ） （ １ ＋ ｌ ／ ａ ） …（ １ ＋ １ ／ ａ ） ／ Ｘ ／ ２ ｎ ＋ ｌ， 由于ｆ （ ｎ ＋ １ ） ／ ｆ （ ｎ ） ＝ ［ （ １ ＋ ｌ ／ ａ ， ） （ １ ＋ １ ， ａ ） …（ １ ＋ １ ， ａ ． ） （ １ ＋ １ ， ａ Ｉ ） ／
如 果我 们运 用 函数思 想 ， 就 可 以很 便捷 地 求 二、 运用 函数 的 单调 性 解 决 数 列 问 题 例２ ： 已知 数 列 ｛ ａ ｝ 的通 项 公 式 是 ａ ＝ ｎ ‘ ＋ ｋ ｎ ＋ ２ ， 若 对 于 任 何 一（ ｍ＋ ｎ ） ．
所以此函数的最小值是ｆ （ １ ） ＝ 、 ／ ３／ ３ ， 因此只要满足ｋ ≤２ Ｖ３ ／ ３ ，那么不等式 （ １ ＋ ｌ ／ ａ ） （ １ ＋ ｌ ／ ａ ， ）
对 高 中 数 学 的 数 列 函 数 的 应 用 研 究
陈 梅
（ 安顺市第二高级巾学， 贵州 安顺 ５ ６ １ ０ ０ ０ ）
摘 要： 在 高 中数 学 中 ． 最 重 要 的 知 识 是 函数 ． 函数 思 想 的 建 立使 得 我 们 之 前 学 习 的 常 量数 学 变 为 变量 数 学 ，考 查 函 数 思 想 的运 用是 每 年 数 学 考试 的 热 点 ，基 于 历 年 高考 都 把 数 列 问题 与 函数 运 用相 结 合 ，本 文针 对 函 数 思 想 在 数 列 中的 运
评 注 ：利 用 等差 数 列 的 前ｎ 项 和 是 特 殊 的 二 次 函数 求 解 ， 避 免 了求 解 首项 和公 差 时 的繁 琐 运 算 ，同 时运 川 了 整 体 处 理 的思 想 ， 使 得 解 题 过 程 简捷 明 了．
Ｖ２ ｎ ＋ ３］ ， （ １ ＋ １ ／ ａ ， ） （ １ １ ， ａ ） …（ １ ＋ ｌ ／ ａ ） ／ Ｖ２ ｎ ＋ １
＝
，
．
运用 函数 思 想 求解 等 差 、 等 比数 列的 相 关 问题 当公 差ｄ 不 等 于０ 时． 等差数列的通项公式是关于ｎ 的一 次 函数 ， 前ｎ 项 和公 式 是 关 于ｎ 的 二 次 函 数 且 没 有 常数 项 ． 当公 比
、
１ ／ ａ） ≥ｋ Ｖ
¨ ｒ 恒成立 ？
分析 ： 假 设 存 在 这 样 的正 数 ｋ ， 使 得 对 于 一 切 的 自然 数 ｎ ，
＝
、 ／ ２ ｎ ＋ １ ／ ￣ ， ／ ２ Ｇ３ Ｘ （ １ ＋ ｌ ， ａ ＋ １ ） ＝ （ ２ ｎ ＋ ２ ） ／ 、 ／ ２ ｎ ＋ １ 、 ／ ２ ｎ ＋ ３＞ １ ，
因此 ， ｆ （ ｎ ） 是单凋增加的函数 ，
这道题还可以引申为， 已知等差数列｛ ａ ¨ ｝ ＲＳ， ＝ Ｉ １ ， Ｓ－ － ｍ． 求ｓ 一，
ｑ ＞ ０且ｑ 不 等于ｌ 时， 等 比数 列 的 通 项 公 式 的 形 式 为 ｋ ｑ “ ， 前ｎ 项
和 公 式 的 形 式 为Ａ — Ａ ｑ “ ， （ ｋ ， Ａ为非 零 常 数 ） ． 例１ ： 在 等 差 数列 ｛ ａ ｌ 巾， Ｓ ． ． 是 其 前ｎ 项和 ， 已知 Ｓ 。 ＝ １ ０ ０ ， Ｓ 。 。 ＝ １ ０ ， 求Ｓ …的值 ． 解： 由于 ｆ ａ ｌ 是等差数列 ， 因 此 数 列 的 前ｎ 项和Ｓ ＝ Ａ ｎ ＋ Ｂ ｎ （ Ａ。 Ｂ 是常 数 ） ． 根 据 条件 可 以 得 知 ， Ｓ ， ｏ ＝ １ ０ ‘ Ａ ＋ １ ０ Ｂ ＝ １ ０ ０ ， Ｓ ＝ １ ０ ０ ‘ ＋ Ｉ Ｏ Ｏ Ｂ ＝ ｌ Ｏ ． 由后 面 的式 子 减 去第 一 个 式 子 得 １ １ ０ Ａ ＋ Ｂ ＝ 一 １ ．
（ １ ＋ １ ／ ａ ） …（ １ ＋ ｌ ， ａ） ≥ｋ ｘ ／ ２ Ｙ ｆ ￣一 恒成立． 三、 运用 函数 的 图 像 解 决 数 列 问 题 例４ ： 某 厂２ ０ ０ ６ 年 的生产利润逐 月增加 ． 鼠 每 月 增 加 的 利 润相 同．但 由于 厂 房 在 改 造 建 设 ， １ 月 份 投 入 的 建 设 资 金 恰 好 与１ 月份 的生产利润相 等． 投 入 的资金逐 月增加 ， 且 每 月 投 入 的资 金 增 加 的 百 分 率 相 同 ．又 １ ２ 月 份 投 人 的 建 设 资 金恰 好 与 ｌ ２ 月 份 的 生产 利润 相 同．问全 年 总 利 润 Ｍ与 全 年 总 投 人 Ｎ的大 小关系是什么？
而Ｓ …＝ １ ｌ Ｏ＋１ Ｉ Ｏ Ｂ＝ Ｉ １ ０（ １ ｌ ０ Ａ＋Ｂ） ＝ 一ｌ ｌ ０ ．
不 等式 （ １ ＋ ｌ ／ ａ ） （ １ ＋ ｌ ／ ａ ， ） （ １ ＋ ｌ ／ ａ ） …（ １ ＋ ｌ ／ ａ 、 ． ） ≥ｋ 、 ／ ２ ｎ ＋ １ 恒 成
立， 那 么也 就 是 说