2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文科数学
2013年天津高考数学文科试卷带详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学（文史类）一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}2,1A x x B x x =∈=∈R R 剟, 则B A = （ ）A. (],2-∞-B.[]1,2C.[]2,2-D. []2,1-【测量目标】集合间的关系，集合的基本运算. 【考查方式】考查了集合的表示法（描述法）、集合的交集运算. 【参考答案】D【试题解析】先化简集合A ，再利用数轴进行集合的交集运算. 由已知得{22}A x x=∈-R 剟,于是{21}A B x x =∈-R 剟2．设变量,x y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-⎧⎪--⎨⎪-⎩………则目标函数2z y x =-的最小值为 （ ）A. 7-B.4-C. 1D. 2 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出约束条件，作出可行域，通过平移目标函数，求可行域的最值. 【参考答案】A【试题解析】作出可行域，平移直线x y 2=，当直线过可行域内的点)3,5(A 时，Z 有最小值, min 3257Z =-⨯=-.3．阅读程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为 （ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】执行程序框图中的循环语句，求值. 【参考答案】D【试题解析】结合循环结构逐步执行求解. .0,1==s n第一次：()211,21,11101=+=<--=⨯-+=n s ，第二次：()312,21,12112=+=<=⨯-+-=n s ，第三次：()31132,22,314s n =+-⨯=--<=+=，第四次：()22,24124==⨯-+-=s ，满足2s …，跳出循环，输出4=n .4．设,a b ∈R 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 （ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【测量目标】不等式的性质及运算，充分、必要条件.【考查方式】给出关于,a b 的两个不等式，由,a b 关系判断充分、必要条件. 【参考答案】A【试题解析】分别判断由2()0a b a -<是否能得出b a <成立和由b a <是否能得出2()0a b a -<成立.由2()0a b a -<可得b a <，当0=a ,b a <成立；而当0=a ，b a <成立时，2()0a b a -<不成立，所以2()0a b a -<是b a <的充分而不必要条件.5．已知过点()2,2p 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ） A. 12-B. 1C. 2D.12【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】由线线垂直判断切线方程，根据切线过固定点，圆心到切线的距离等于圆的半径，用点到直线的距离公式列出等式进而求未知数. 【参考答案】C【试题解析】圆的切线与直线10ax y -+=垂直，设切线方程为0=++c ay x ，再代入点(2,2)P 结合圆心到切线的距离等于圆的半径，求出a 的值.由题得圆心()1,0，切线与直线01=+-y ax 垂直，切线方程为0=++c ay x .（步骤1）0=++c ay x 过点p )2,2(22,c a ∴=--=2=a .（步骤2）6．函数π()sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是 （ ）A.1-B.C. D. 0【测量目标】三角函数的最值.【考查方式】给出正弦函数()f x 及其定义域，由正弦函数的单调性判断最小值.【参考答案】B 【试题解析】确定π24x -的范围，根据正弦函数的单调性求出最小值. πππ3π0,,22444x x ⎡⎤∈∴--⎢⎥⎣⎦剟,（步骤1） 当ππ244x -=-时，π()sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有最小值22-.（步骤2） 7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足()()212log log 21f a f a f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭…, 则a 的取值范围是 （ ）A. [1,2]B. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. (0,2]【测量目标】利用函数的奇偶性、单调性求参数范围.【考查方式】已知复合函数()f x 的不等式，先转化再由函数的单调性和奇偶性，求解不等式中的参数范围. 【参考答案】C【试题解析】根据函数的单调性和奇偶性得出关于a 的不等式的求解..12log f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭()2log f a -=()2log f a ,∴原不等式可化为()2log f a ()1f ….（步骤1）又 ()x f 在区间[)0+∞，上单调递增，0∴…2log a …1，即1…2a ….（步骤2）()x f 是偶函数，∴()2log f a ()1f -….（步骤3）又()x f 在区间(]0,∞-上单调递减，1∴-…2log a 0…，112a 剟.（步骤3）综上所知122a 剟.（步骤4）8．设函数2()e 2,()ln 3x x g x x x x f +-=+-=. 若实数,a b 满足()0,()0f a g b ==, 则 （ ） A. ()0()g a f b << B. ()0()f b g a <<C. 0()()g a f b <<D. ()()0f b g a <<【测量目标】利用导数解决不等式问题.【考查方式】已知两个函数，通过导数判断函数的单调性，比较值的大小. 【试题解析】首先确定b a ,的取值范围，再根据函数的单调性求解.()e 10x f x '=+> ，∴()x f 是增函数. （步骤1）∵()x g 的定义域是()0,+∞，∴()120,g x x x'=+>∴()x g 是()0,+∞上的增函数. （步骤2）∵()010,(1)e 10,0 1.f f a =-<=->∴<<（步骤3）(1)20,g =-< (2)ln 210,12,()0,()0.g b f b g a =+>∴<<∴><（步骤4）二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 9．i 是虚数单位. 复数()()3i 12i +- = . 【测量目标】复数的四则运算.【考查方式】给出两个复数的乘积形式，直接求答案. 【参考答案】55i -【试题解析】()()23i 12i 35i 2i 55i +-=--=-.10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为9π2, 则正方体的棱长为 .【测量目标】空间几何体的结构特征及运算.【考查方式】已知球的体积，利用球内接于正方体的特殊性质，求棱长. 【参考答案】3【试题解析】先求球的半径，再根据正方体的体对角线等于球的直径求棱长.设正方体棱长为a ，求半径为R ，则3493ππ,3,322R R a =∴==∴=11．已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .【测量目标】圆锥曲线的方程及性质.【考查方式】已知抛物线方程，双曲线的离心率，两曲线有一个共同焦点，利用抛物线、双曲线的性质求方程.【参考答案】1322=-y x 【试题解析】首先由题设求出双曲线的半焦距，再求出b a ,的值.由题可知抛物线的准线方程为2-=x ，∴双曲线的半焦距2=c .（步骤1） 又双曲线的离心率为2 ，∴3,1==b a ，（步骤2）∴双曲线的方程为1322=-y x .（步骤3） 12．在平行四边形ABCD 中, 1AD =， 60BAD ︒∠=,E 为CD 的中点. 若1AC BE =, 则AB 的长为 .【测量目标】平面向量的应用.【考查方式】已知平行四边形及向量，用向量表示，运用平面向量简单的四则运算求值. 【参考答案】21 【试题解析】用,AB AD表示AC 与BE ，然后进行向量的数量积运算.由已知得AC =AD AB + ，12BE AD AB =- ，∴AC BE =221122AD AB AD AB AD AB -+-211122AB AD AB =+- 2111cos 60122AB AD AB ︒=+-= ，（步骤1）∴12AB = .（步骤2）13．如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB DC , 过点A 作的切线与CB 的延长线交于点E . 若5AB AD ==, 4BE =, 则弦BD 的长为 .【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】已知圆、内接多边形及切线，利用圆的内接四边形的性质、切割线定理、三角形的相似，求弦长. 【参考答案】215【试题解析】根据圆的内接四边形的性质，切割线定理及三角形的相似的性质列出比例式求解.因为AB DC ，所以四边形ABCD 是等腰梯形，所以5===AB AD BC .（步骤1）又AE 是切线，所以AE BD ，()244536AE BE EC ==+= ，所以6=AE .（步骤2）因为CDB ∠=BAE ∠， BCD ∠=ABE ∠，所以ABE DCB △∽△，所以BCBEDB AE =，于是215465=⨯=BD .（步骤3） 14．设2a b +=，0b > ，则1||2||a a b+的最小值为 . 【测量目标】含绝对值的不等式求最值.【考查方式】根据已知条件，去掉绝对值符号，利用均值不等式判断最小值. 【参考答案】43 【试题解析】分0,0<>a a ，去掉绝对值符号，用均值不等式求解.当0>a 时，1115224444a a ab a b a a b a b a b a b +⎛⎫+=+=+=++ ⎪⎝⎭…； 当0<a 时，1111312244444a a ab a b a a b a b a b a b -+--⎛⎫+=+=+=-++-+= ⎪---⎝⎭… 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.15．(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为,,x y z 用综合指标S x y z =++评价该产品的等级. 若4S …, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:((Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,(1) 用产品编号列出所有可能的结果;(2) 设事件B 为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S 都等于4”, 求事件B 发生的概率.【测量目标】随机事件及概率，抽样调查，古典概型.【考查方式】列举法，样本估计总体，古典概型及其概率计算公式等基础知识.【试题解析】用列举法计算随机事件所含的基本事件数,用古典概型及其概率计算公式求出概率. 解：（1）计算10件产品的综合指标S ，如下表：（步骤1）其中4S …的有1A ，2A ，4A ，5A ，7A ，9A ，共六件， 故该样本的一等品率为6.0106=，从而可估计该产品的一等品率为0.6. （步骤2） （2）①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{}12,A A ,{}14,A A ,{}15,A A ,{}17,A A ,{}19,A A ,{}24,A A ,{}25,A A ,{}27,A A ，{}29,A A ,{}45,A A ,{}47,A A {}49,A A ,{}57,A A ,{}59,A A {}79,A A ,共15种. （步骤3）②在该样本的一等品中,综合指标S 等于4的产品编号分别为1A ，2A ，5A ，7A ，则事件B 发生的所有可能结果为{}12,A A ，{}15,A A ,{}17,A A ,{}25,A A ,{}27,A A ，{}57,A A ，共6种. （步骤4） 所以()52156==B P . （步骤5） 16．(本小题满分13分)在ABC △中, 内角C B A ,,所对的边分别是,,a b c .已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3B =. (Ⅰ) 求b 的值; (Ⅱ) 求πsin 23B ⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 【测量目标】正、余弦定理，两角和与差的正弦及二倍角公式.【考查方式】给出关于边角的等式，利用公式和定理求边长和正弦值.【试题解析】⑴先用正弦定理求出c ，再用余弦定理求出b ;⑵用二倍角公式和两角差公式求值.解：⑴在ABC △中，由sin sin a b A B=，可得sin sin b A a B =.（步骤1） 又由sin 3sin b A c B =，可得c a 3=.又3=a ，故1=c .（步骤2）由B ac c a b cos 2222-+=，32cos =B ，可得6=b .（步骤3）⑵由32cos =B ，得35sin =B ，进而得1cos 22cos 2-=B B 91-=， 954cos sin 22sin ==B B B （步骤4） ∴πππsin 2sin 2cos sin cos 2333B B B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=18354+.（步骤5） 17． (本小题满分13分)如图, 三棱柱111C B A ABC -中, 侧棱A A 1⊥底面ABC ,且各棱长均相等.F E D ,,分别为棱11,,C A BC AB 的中点. (Ⅰ) 证明EF 平面CD A 1;(Ⅱ) 证明平面CD A 1⊥平面11ABB A ； (Ⅲ) 求直线BC 与平面CD A 1所成角的正弦值.【测量目标】立体几何的结构，线面平行，面面垂直的判定，线面夹角的正弦值.【考查方式】(1)由线线关系⇒线面平行(2)线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直 (3)利用三棱柱中线段关系求出线面角的正弦值. 【试题解析】(1)证明：如图，在三棱柱中111C B A ABC -，11ACAC ，且11AC AC ＝，连接ED ， 在ABC △中，因为D E ，分别为AB BC ，的中点，所以AC DE 21=且DE AC （步骤1）又因为F 为11AC 的中点，可得1A F DE ＝，且1A F D E ，即四边形1A DEF 为平行四边形，所以1EFDA .（步骤2）又EF ⊄平面1ACD ，1DA ⊂平面1ACD ， 所以EF 平面1ACD .（步骤3） (2)证明：由于底面ABC △是正三角形，D AB 为的中点，故CD AB ⊥，（步骤4） 又由于侧棱1A A ⊥底面ABC CD ⊂，平面ABC ， 所以1A A CD ⊥.（步骤5）又1A A AB A ＝，因此CD ⊥平面11A ABB CD ⊂，而平面1ACD ， 所以平面111ACD A ABB ⊥平面.（步骤6） (3)解：在平面11A ABB 内，过点1B BG A D ⊥作交直线1A D 的延长线于点G ，连接CG . 由于平面1ACD ⊥平面11A ABB ，而直线11A D ACD 是平面与平面11A ABB 的交线， 故BG ⊥平面1ACD .由此得BCG ∠为直线BC 与平面1ACD 所成的角．（步骤7）设棱长为a ，可得1A D =由1A AD BGD △∽△，易得BG （步骤8）在Rt BGC △中，sin BCG ∠＝5BG BC =.所以直线BC 与平面1ACD 所成角的正弦值为5.（步骤9） 18．(本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设,A B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为K 的直线与椭圆交于,C D 两点. 若8AC DB AD CB += , 求K 的值.【测量目标】椭圆的定义与几何性质，直线与椭圆的位置关系.【考查方式】利用直线的定义和直线的位置关系求解椭圆的标准方程，利用直线的方程、向量的坐标运算、代数方法研究圆锥曲线的性质，运用方程求直线的斜率. 【试题解析】 ⑴设(),F c o -，用33=a c ，知c a 3=.（步骤1） 过点F 且与x 轴垂直的直线为c x -=，代入椭圆的方程有()12222=+-by a c ， 解得36±=y ，于是334362=b ，解得2=b .（步骤2） 又222b c a =-，从而1,3==c a ，所以椭圆的方程为22=132x y +.（步骤3） (2)设点()11,C x y ，()22,y x D ，由()0,1-F 得直线CD 的方程为()1y k x =+，由方程组221,132y k x x y =(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()0636322222=-+++k x k x k求解可得21x x +＝22623k k -+，21x x ＝223623k k -+.因为A ()0,3-，B ()0,3所以AC DB ＋AD CB())())11222211,,x y x y x y x y =+-+-1212622x x y y =--()()2121262211x x k x x =--++()()222121262222k x x k x x k =-+-+-22212623k k+=++. （步骤5） 由已知得222126823k k++=+，解得=k （步骤6） 19． (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为n S (n *∈N )且234,2,4S S S -成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 证明1361n n S S +…(n *∈N ).【测量目标】等差、等比数列的通项公式及前n 项和，不等式的证明.【考查方式】(1)利用数列的定义及性质由等差数列转化求出等比数列的通项公式.(2)将等比数列的前n 项和建立不等式关系，分类讨论. 【试题解析】解：(1)设等比数列{}n a 的公比为q ，因为4324,,2S S S -成等差数列， 所以342342S S S S -=+，即4234S S S S -=-， 可得342a a -=，于是4312a q a ==-.（步骤1） 又=1a 32，所以等比数列{}n a 的通项公式为11313(1)222n n n n a --⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭.（步骤2）(2)证明：由(1)得：112nn S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，11112112n n nn S S ⎛⎫+=--+ ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭1122212.221n n n nn n +⎧+⎪()⎪=⎨⎪+⎪(-)⎩，为奇数，，为偶数 当n 为奇数时，1n nS S +随n 的增大而减小，所以111113=6n n S S S S ++….当n 为偶数时，1n nS S +随n 的增大而减小，所以221125=12n n S S S S ++…. （步骤3）故对于n *∈N ，有1136n n S S +….（步骤4） 20．(本小题满分14分)设[2,0]a ∈-, 已知函数332(5),0,3,0().2x f x a x x a x x ax x -++-⎧>=⎪+⎪⎨⎩…(Ⅰ) 证明()f x 在区间()1,1-内单调递减, 在区间()1,+∞内单调递增;(Ⅱ) 设曲线()y f x =在点(,())(1,2,3)i i i x f x i P =处的切线相互平行, 且1230,x x x ≠ 证明1213x x x ++-….【测量目标】函数与方程，函数与导数，不等式的性质.【考查方式】给定直线与函数的位置关系，利用导数研究函数的单调性，通过定义域判断值域，由基本不等式判断最小值等知识. 【试题解析】证明：(1)设函数()()()3150f x x a x x =-+…，()=x f 2 3232a x x ax +-+()0x …， ①()213(5)f x x a '+＝－，由[2,0]a ∈－，从而当10x －＜…时，()213(5)350f x x a a '＝－＋＜－－…，所以函数()1f x 在区间(1,0]－内单调递减．（步骤1） ②()223(3)(3)(1)f x x a x a x a x '＝－＋＋＝－－，由于[2,0]a ∈-，所以当01x ＜＜时，()20f x '＜； 当1x ＞时，()20f x '＞.即函数()2f x 在区间(]0,1内单调递减，在区间()1,+∞内单调递增．（步骤2）综合①，②及()()1200f f ＝，可知函数()f x 在区间(1,1)－内单调递减，在区间()1,+∞内单调递增．（步骤3）(2)由(1)知()f x '在区间(0)-∞，内单调递减，在区间306a +⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递减，在区间36a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭，内单调递增．（步骤1） 因为曲线()y f x ＝在点()()(1,2,3)i i i P x f x i ，＝处的切线相互平行， 从而123x x x ，，互不相等，且()()()123f x f x f x '''＝＝．（步骤2）不妨设1230x x x ＜＜＜，由22212233(5)(3)(3)x a x a x a x a x a 3-＋=3-＋＋=3-＋＋， 解得222323(3)()0x x a x x ---33＋＝23x x ＋＝33a +，从而20x ＜＜36a +3x ＜.（步骤3） 设()23(3)g x x a x a ＝-＋＋，则36a g +⎛⎫⎪⎝⎭()()20g x g a ＜＜＝.由()2123(5)x a g x a -＋=＜，解得 10x ＜，所以123x x x ＋＋＞33a +.（步骤4）设t =a =2352t -，因为[2,0]a ∈－，所以t ∈⎣⎦，（步骤4） 故123x x x ＋＋＞，2231111(1)6233t t t +-+=---…即123x x x ＋＋…13-.（步骤5）。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标1卷)数学文科
绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n2，n∈A｝,则A∩B= ( ) （A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1} （D）｛-1，,0，1}（2） = ( )（A）-1 - i（B）-1 + i（C）1 + i（D）1 - i（3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A）（B）（C）（D）（4）已知双曲线C： = 1（a>0,b>0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）（A）y=±x （B）y=±x （C）y=±x （D）y=±x（5）已知命题p：，则下列命题中为真命题的是：（）（A） p∧q （B）￢p∧q （C）p∧￢q （D）￢p∧￢q（6）设首项为1，公比为的等比数列｛an ｝的前n项和为Sn，则（）（A）Sn =2an-1 （B）Sn=3an-2 （C）Sn=4-3an（D）Sn=3-2an（7）执行右面的程序框图，如果输入的t∈[-1，3]，则输出的s属于（A）[-3,4]（B）[-5,2]（C）[-4,3]（D）[-2,5]（8）O为坐标原点，F为抛物线C：y²=4x的焦点，P为C上一点，若丨PF丨=4，则△POF的面积为（A）2 （B）2（C）2（D）4（9）函数f（x）=（1-cosx）sinx在[-π，π]的图像大致为（10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（A）10 （B）9 （C）8 （D）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（A）18+8π（B）8+8π（C）16+16π（D）8+16π（12）已知函数f（x）= 若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（A）（-∞] （B）（-∞] (C)[-2,1] (D)[-2,0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2013年天津市高考数学试卷(文科)教师版
2013年天津市高考数学试卷（文科）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.1．（5分）（2013•天津）已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2]D．[﹣2，1]【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选：D．2．（5分）（2013•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（）A．﹣7B．﹣4C．1D．2【分析】先根据条件画出可行域，设z=y﹣2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最小，只需求出直线z=y﹣2x，过可行域内的点B（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线y﹣2x=0经过点A（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7，则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7．故选：A．3．（5分）（2013•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为（）A．7B．6C．5D．4【分析】利用循环结构可知道需要循环4次方可得到S←2，因此输出的n←4．【解答】解：由程序框图可知：S=2=0+（﹣1）1×1+（﹣1）2×2+（﹣1）3×3+（﹣1）4×4，因此当n=4时，S←2，满足判断框的条件，故跳出循环程序．故输出的n的值为4．故选：D．4．（5分）（2013•天津）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解．【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）（2013•天津）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1C．2D．【分析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1=0的斜率，然后求出a的值即可．【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．故选：C．6．（5分）（2013•天津）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是（）A．﹣1B．﹣C．D．0【分析】由题意，可先求出2x取值范围，再由正弦函数的性质即可求出所求的最小值．【解答】解：由题意x∈，，得2x∈[﹣，]，∴∈[，1]∴函数在区间，的最小值为．故选：B．7．（5分）（2013•天津）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．，B．[1，2]C．，D．（0，2]【分析】由偶函数的性质将f（log2a）+f（）≤2f（1）化为：f（log2a）≤f（1），再由f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围．【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（）=f（﹣log2a）=f（log2a），则f（log2a）+f（）≤2f（1）为：f（log2a）≤f（1），因为函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|log2a|≤1，解得≤a≤2，则a的取值范围是[，2]，故选：A．8．（5分）（2013•天津）设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可．【解答】解：①由于y=e x及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x ﹣2在R上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a＜1．同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=＞，g（b）=0，∴＜＜．∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选：A．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2013•天津）i是虚数单位．复数（3+i）（1﹣2i）=5﹣5i．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：（3+i）（1﹣2i）=3﹣6i+i﹣2i2=5﹣5i．故答案为5﹣5i．10．（5分）（2013•天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．【分析】设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正方体的棱长．【解答】解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，设正方体的棱长为a，所以正方体的体对角线长为：a，正方体的外接球的半径为：，球的体积为：，解得a=．故答案为：．11．（5分）（2013•天津）已知抛物线y2=8x的准线过双曲线＞，＞的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为．【分析】利用抛物线的标准方程y2=8x，可得，故其准线方程为x=﹣2．由题意可得双曲线＞，＞的一个焦点为（﹣2，0），即可得到c=2．再利用双曲线的离心率的计算公式可得=2，得到a=1，再利用b2=c2﹣a2可得b2．进而得到双曲线的方程．【解答】解：由抛物线y2=8x，可得，故其准线方程为x=﹣2．由题意可得双曲线＞，＞的一个焦点为（﹣2，0），∴c=2．又双曲线的离心率为2，∴=2，得到a=1，∴b2=c2﹣a2=3．∴双曲线的方程为．故答案为．12．（5分）（2013•天津）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD 的中点．若，则AB的长为．【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算即可得出．【解答】解：∵，．∴===+﹣==1，化为，∵，∴．故答案为．13．（5分）（2013•天津）如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为．【分析】连结圆心O与A，说明OA⊥AE，利用切割线定理求出AE，通过余弦定理求出∠BAE的余弦值，然后求解BD即可．【解答】解：如图连结圆心O与A，因为过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．所以OA⊥AE，因为AB=AD=5，BE=4，梯形ABCD中，AB∥DC，BC=5，由切割线定理可知：AE2=E B•EC，所以AE==6，在△ABE中，BE2=AE2+AB2﹣2AB•AEcosα，即16=25+36﹣60cosα，所以cosα=，AB=AD=5，所以BD=2×ABcosα=．故答案为：．14．（5分）（2013•天津）设a+b=2，b＞0，则的最小值为．【分析】由题意得代入所求的式子，进行化简后，再对部分式子利用基本不等式求出范围，再由a的范围求出式子的最小值．【解答】解：∵a+b=2，∴，∴=，∵b＞0，|a|＞0，∴≥1（当且仅当b2=4a2时取等），∴≥1，故当a＜0时，的最小值为．故答案为：．三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）（2013•天津）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表：（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，（i）用产品编列出所有可能的结果；（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．【分析】（Ⅰ）用综合指标S=x+y+z计算出10件产品的综合指标并列表表示，则样本的一等品率可求；（Ⅱ）（i）直接用列举法列出在该样品的一等品中，随机抽取2件产品的所有等可能结果；（ii）列出在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4的所有情况，然后利用古典概型概率计算公式求解．【解答】解：（Ⅰ）计算10件产品的综合指标S，如下表：其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9共6件，故样本的一等品率为．从而可估计该批产品的一等品率为0.6；（Ⅱ）（i）在该样本的一等品种，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}共15种．（ii）在该样本的一等品种，综合指标S等于4的产品编分别为A1，A2，A5，A7．则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．所以p（B）=．16．（13分）（2013•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsin A=3csin B，a=3，cos B=．（1）求b的值；（2）求sin（2B﹣）的值．【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理推出bsinA=asinB，结合已知条件求出c，利用余弦定理直接求b的值；（Ⅱ）利用（Ⅰ）求出B的正弦函数值，然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值，利用两角差的正弦函数直接求解的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，有正弦定理，可得bsinA=asinB，又bsinA=3csinB，可得a=3c，又a=3，所以c=1．由余弦定理可知：b2=a2+c2﹣2accosB，，即b2=32+12﹣2×3×cosB，可得b=．（Ⅱ）由，可得sinB=，所以cos2B=2cos2B﹣1=﹣，sin2B=2sinBcosB=，所以===．17．（13分）（2013•天津）如图，三棱锥ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线B1C1与平面A1CD所成角的正弦值．【分析】（I）连接ED，要证明EF∥平面平面A1CD，只需证明EF∥DA1即可；（II）欲证平面平面A1CD⊥平面A1ABB1，即证平面内一直线与另一平面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理证得CD⊥面A1ABB1，再根据面面垂直的判定定理得证；（III）先过B作BG⊥AD交A1D于G，利用（II）中结论得出BG⊥面A1CD，从而∠BCG为所求的角，最后在直角△BGC中，求出sin∠BCG即可得出直线BC 与平面A1CD所成角的正弦值．【解答】证明：（I）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC∥A1C1，AC=A1C1，连接ED，可得DE∥AC，DE=AC，又F为棱A1C1的中点．∴A1F=DE，A1F∥DE，所以A1DEF是平行四边形，所以EF∥DA1，DA1⊂平面A1CD，EF⊄平面A1CD，∴EF∥平面A1CD（II）∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD，又AA1∩AB=A，∴CD⊥面A1ABB1，又CD⊂面A1CD，∴平面A1CD⊥平面A1ABB1；（III）过B作BG⊥A1D交A1D于G，∵平面A1CD⊥平面A1ABB1，且平面A1CD∩平面A1ABB1=A1D，BG⊥A1D，∴BG⊥面A1CD，则∠BCG为所求的角，设棱长为a，可得A1D=，由△A1AD∽△BGD，得BG=，在直角△BGC中，sin∠BCG==，∴直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．18．（13分）（2013•天津）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．【分析】（Ⅰ）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程．（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y 得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，再由韦达定理进行求解．求得，利用=8，即可求得k的值．【解答】解：（Ⅰ）根据椭圆方程为＞＞．∵过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为，∴当x=﹣c时，，得y=±，∴=，∵离心率为，∴=，解得b=，c=1，a=．∴椭圆的方程为；（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，又A（﹣，0），B（，0），∴=（x1+，y1）•（﹣x2．﹣y2）+（x2+，y2）•（﹣x1．﹣y1），=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，=6+=8，解得k=．19．（14分）（2013•天津）已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明．【分析】（Ⅰ）由题意得2S3=﹣2S2+4S4，变形为S4﹣S3=S2﹣S4，进而求出公比q 的值，代入通项公式进行化简；（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出，代入再对n分类进行化简，判断出S n随n的变化情况，再分别求出最大值，再求出的最大值．【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，∵﹣2S2，S3，4S4等差数列，∴2S3=﹣2S2+4S4，即S4﹣S3=S2﹣S4，得2a4=﹣a3，∴q=，∵，∴=；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，S n==1﹣，∴，当n为奇数时，==，当n为偶数时，=，∴随着n的增大而减小，即，且，综上，有成立．20．（14分）（2013•天津）设a∈[﹣2，0]，已知函数，，＞（Ⅰ）证明f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证明＞．【分析】（Ⅰ）令，＞．分别求导即可得到其单调性；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f′（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减，在区间，内单调递减，在区间，内单调递增．已知曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，可知x1，x2，x3互不相等，利用导数的几何意义可得．不妨x1＜0＜x2＜x3，根据以上等式可得，从而＜＜＜．设g（x）=3x2﹣（a+3）x+a，利用二次函数的单调性可得＜＜．由＜，解得＜＜，于是可得＞，通过换元设t=，已知a∈[﹣2，0]，可得，，故＞，即可证明．【解答】解：（Ⅰ）令，＞．①，由于a∈[﹣2，0]，从而当﹣1＜x＜0时，＜，所以函数f1（x）在区间（﹣1，0）内单调递减，②=（3x﹣a）（x﹣1），由于a∈[﹣2，0]，所以0＜x＜1时，＜；当x＞1时，＞，即函数f2（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．综合①②及f1（0）=f2（0），可知：f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知：f′（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减，在区间，内单调递减，在区间，内单调递增．因为曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，从而x1，x2，x3互不相等，且．不妨x1＜0＜x2＜x3，由+a=．可得，解得，从而＜＜＜．设g（x）=3x2﹣（a+3）x+a，则＜＜．由＜，解得＜＜，所以＞，设t=，则，∵a∈[﹣2，0]，∴，，故＞，故＞．。
2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(新课标I卷)Word版无答案
绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n2，n∈A｝,则A∩B= ( ) （A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1} （D）｛-1，,0，1}（2） = ( )（A）-1 - i（B）-1 + i（C）1 + i（D）1 - i（3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A）（B）（C）（D）（4）已知双曲线C： = 1（a>0,b>0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）（A）y=±x （B）y=±x （C）y=±x （D）y=±x（5）已知命题p：，则下列命题中为真命题的是：（）（A） p∧q （B）￢p∧q （C）p∧￢q （D）￢p∧￢q（6）设首项为1，公比为的等比数列｛an ｝的前n项和为Sn，则（）（A）Sn =2an-1 （B）Sn=3an-2 （C）Sn=4-3an（D）Sn=3-2an（7）执行右面的程序框图，如果输入的t∈[-1，3]，则输出的s属于（A）[-3,4]（B）[-5,2]（C）[-4,3]（D）[-2,5]（8）O为坐标原点，F为抛物线C：y²=4x的焦点，P为C上一点，若丨PF丨=4，则△POF的面积为（A）2 （B）2（C）2（D）4（9）函数f（x）=（1-cosx）sinx在[-π，π]的图像大致为（10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b= （A）10 （B）9 （C）8 （D）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（A）18+8π（B）8+8π（C）16+16π（D）8+16π（12）已知函数f（x）= 若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（A）（-∞] （B）（-∞] (C)[-2,1] (D)[-2,0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2013年高考文科数学天津卷(含详细答案)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选凃其他答案标号.2.本卷共8小题,每小题5分,共40分. 参考公式：•如果事件A ,B 互斥,那么 •球的体积公式34π3V R =. ()()()P AB P A P B =+.•棱柱的体积公式V Sh =. 其中R 表示球的半径. 其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{|||2}A x x =∈≤R ,{|1}B x x =∈R ≤,则A B =( ) A .(,2]∞-B .[1,2]C .[]2,2-D .[12,]--2.设变量x ,y 满足约束条件0,230,306,x x y y y +----⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤则目标函数2z y x =-的最小值为( ) A .－7B .－4C .1D .23.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出n 的值 为( ) A .7 B .6 C .5D .44.设a ,b ∈R ,则“2()0a b a -<”是“a b <”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.已知过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切,且 与直线10ax y -+=垂直,则a = ( ) A .12-B .1C .2D .126.函数π()sin(2)4f x x =-在区间π[0,]上的最小值为( )A .1-B . CD .07.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在区间[)0,+∞上单调递增.若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f a f +≤,则a 的取值范围是( )A .[1,2]B .1(0,]2C .1[,2]2D .(0,2]8.设函数()e 2x f x x =+-,2()ln 3g x x x =+-.若实数a ,b 满足()0f a =,()0g b =, 则( )A .()0()g a f b <<B .()0()f b g a <<C .0()()g a f b <<D .()()0f b g a <<第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.i 是虚数单位,复数(3i)(12i)+-= .10.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为9π2,则正方体的棱长为 .11.已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221x y a b-=（0a >,0b >）的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为 .12.在平行四边形ABCD 中,1AD =,60BAD ∠=,E 为CD 的中点.若1AC BE =,则AB 的长为 .13.如图,在圆内接梯形ABCD 中,AB DC ∥.过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E .若5AB AD ==,4BE =,则弦BD 的长为 .14.设2a b +=,0b >,则1||2||a a b+的最小值为 .--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）某产品的三个质量指标分别为x ,y ,z ,用综合指标S x y z =++评价该产品的等级. 若4S ≤,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； （Ⅱ）在该样本的一等品中,随机抽取2件产品, （i ）用产品编号列出所有可能的结果；（ii ）设事件B 为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S 都等于4”,求事件B 发生的概率.16.（本小题满分13分）在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知sin 3sin b A c B =,3a =,2cos 3B =.（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求πsin(2)3B -的值.17.（本小题满分13分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,侧棱1A A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等,D ,E ,F 分别为棱AB ,BC ,11AC 的中点. （Ⅰ）证明：EF ∥平面1A CD ； （Ⅱ）证明：平面1A CD ⊥平面11A ABB ； （Ⅲ）求直线BC 与平面1A CD 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,,过点F 且与x 轴垂直的直（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A 、B 分别为椭圆的左、右顶点,过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ,D 两点.若8AC DB AD CB +=,求k 的值.19.（本小题满分14分）已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为*()n S n ∈N ,且22S -,3S ,44S 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明1136n n S S +≤（*n ∈N ）. 20.（本小题满分14分）设[2,0]a ∈-,已知函数332(5),0,()3,0.2x a x x f x a x x ax x ⎧-+⎪=⎨+-+>⎪⎩≤（Ⅰ）证明()f x 在区间(1,1)-内单调递减,在区间()1,+∞内单调递增；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())i i i P x f x (1,2,3)i =处的切线相互平行,且1230x x x ≠. 证明12313x x x ++>-.{=∈RA B x，再利用数轴进行集合的交集运算.【解析】π0,2x ⎡∈⎢⎣π4=-时，【解析】12log f a ⎛ ⎝又上单调递增，【解析】()e f x '=是(0,)+∞上的增函数(1)2g =-【提示】先判定出零点【考点】利用导数解决不等式问题【解析】由已知得AC =AD AB +，12BE AD AB =-， ∴AC BE =221122AD AB AD AB AD AB -+-2111||22AB AD AB =+-211cos60||12AB AD AB ︒-=.1AB=.||【提示】用AB与AD用AC与BE表示，然后进行向量的数量积运算【考点】平面向量的应用15BE EC=+4(4，所以ABE△数学试卷第16页（共30页）ac B，cos cos5，进而得3数学试卷 第22页（共30页）所以AC DB ＋AD CB12222113,)(3,)(3,)3,y x y x y x y +--++--（）122y y3 1. 2n数学试卷第28页（共30页）。
2013年天津市高考数学试卷(文科)答案与解析
2013年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.2．（5分）（2013•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的，3．（5分）（2013•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（）25．（5分）（2013•天津）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线axB=26．（5分）（2013•天津）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是（）取值范围，再由正弦函数的性质即可求出所求的最小值．∈，[在区间的最小值为7．（5分）（2013•天津）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增．若实数a满足f（log2a）+f（log a）≤2f（1），则a的取值范围是（），即≤8．（5分）（2013•天津）设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）（，∴二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2013•天津）i是虚数单位．复数（3+i）（1﹣2i）=5﹣5i．10．（5分）（2013•天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．，所以正方体的体对角线长为：a，．故答案为：11．（5分）（2013•天津）已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为．，可得的一个焦点为（﹣曲线的离心率的计算公式可得=2，可得由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣，∴∴双曲线的方程为．故答案为．12．（5分）（2013•天津）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为．，=+﹣，，∴故答案为13．（5分）（2013•天津）如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为．，．故答案为：．14．（5分）（2013•天津）设a+b=2，b＞0，则的最小值为．由题意得，，1的最小值为故答案为：．三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）（2013•天津）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，（i）用产品编号列出所有可能的结果；（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．件，故样本的一等品率为=16．（13分）（2013•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，a=3，．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求的值．中，有正弦定理，b=（Ⅱ）由sinB=﹣=17．（13分）（2013•天津）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．ACD=BG==，所成角的正弦值18．（13分）（2013•天津）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．代入求出弦长使其等于，由，再由韦达定理进行求解．求得（Ⅰ）根据椭圆方程为，得±，=∵离心率为，∴=b=；﹣（﹣（，，（k=19．（14分）（2013•天津）已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明．（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出，代入，，∴；为奇数时，=，=，，且综上，有20．（14分）（2013•天津）设a∈[﹣2，0]，已知函数（Ⅰ）证明f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证明．（Ⅰ）令，）内单调递减，在区间单调递减，在区间利用导数的几何意义可得根据以上等式可得，从而，解得，于是可得t=，已知，①②时，时，，即函数在区间内单调递减，在区间互不相等，且．，解得，从而，则，解得，t=，则，，∴。
2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(无误版)
绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n2，n∈A｝,则A∩B= ( ) （A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1} （D）｛-1，,0，1} （2）错误！未找到引用源。
=( )（A）-1 - 错误！未找到引用源。
i（B）-1 + 错误！未找到引用源。
i （C）1 + 错误！未找到引用源。
i（D）1 - 错误！未找到引用源。
i（3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A）错误！未找到引用源。
（B）错误！未找到引用源。
（C）错误！未找到引用源。
（D）错误！未找到引用源。
（4）已知双曲线C：错误！未找到引用源。
= 1（a>0,b>0）的离心率为错误！未找到引用源。
，则C的渐近线方程为（）（A）y=±错误！未找到引用源。
x （B）y=±错误！未找到引用源。
x （C）y=±错误！未找到引用源。
x （D）y=±x（5）已知命题p：，则下列命题中为真命题的是：（）（A） p∧q （B）￢p∧q （C）p∧￢q （D）￢p∧￢q （6）设首项为1，公比为错误！未找到引用源。
的等比数列｛an｝的前n项和为Sn，则（）（A）Sn =2an-1 （B）Sn=3an-2 （C）Sn=4-3an（D）Sn=3-2an（7）执行右面的程序框图，如果输入的t∈[-1，3]，则输出的s属于（A）[-3,4]（B）[-5,2]（C）[-4,3]（D）[-2,5]（8）O为坐标原点，F为抛物线C：y²=4x的焦点，P为C上一点，若丨PF丨=4，则△POF的面积为（A）2 （B）2（C）2（D）4（9）函数f（x）=（1-cosx）sinx在[-π，π]的图像大致为（10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（A）10 （B）9 （C）8 （D）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（A）18+8π（B）8+8π（C）16+16π（D）8+16π（12）已知函数f（x）= 若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（A）（-∞] （B）（-∞] (C)[-2,1] (D)[-2,0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2013年高考真题——文科数学(天津卷)赵老师解析版
高考学习网－中国最大高考学习网站 | 我们负责传递知识！ 赵老师2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分. 参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么 )()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V = Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么 )()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π=其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] 【答案】D【解析】因为{22}A x x =-≤≤,所以{21}B Ax x =-≤≤，选D.(2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数2z y x =-的最小值为(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2【答案】A【解析】由2z y x =-得2y x z =+。
作出可行域如图，平移直线2y x z =+，由图象可知当直线2y x z =+经过点D 时，直线2y x z =+的截距最小，此时z最小，由2030x y y --=-=⎧⎨⎩，得53x y ==⎧⎨⎩，即(5,3)D 代入2z y x =-得3257z =-⨯=-，选A.(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为(A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4【答案】D【解析】第一次循环，1,2S n =-=；第二次循环，21(1)21,3S n =-+-⨯==；第三次循环，31(1)32,4S n =+-⨯=-=；第四次循环，42(1)42S =-+-⨯=，满足条件输出4n =，选D.(4) 设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】若2()0a b a -<，则0a b -<，即a b <。
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2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
文 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.
答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项：
1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.
2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.
参考公式:
·如果事件A , B 互斥, 那么
)()()(B P A P A P B ⋃=+
·棱柱的体积公式V = Sh ，
其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.
·如果事件A , B 相互独立, 那么
)()(()B P A A P P B =
·球的体积公式34.3
V R π= 其中R 表示球的半径.
一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=
(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1]
(2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩
则目标函数z
= y －2x 的最小值为
(A) －7 (B) －4
(C) 1 (D) 2
(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的
值为
(A) 7 (B) 6
(C) 5 (D) 4
(4) 设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的
(A) 充分而不必要条件
(B) 必要而不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分也不必要条件
(5) 已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =
(A) 12
- (B) 1
(C) 2 (D) 12
(6) 函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最小值是
(A) 1- (B)
(C) (D) 0 (7) 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212
(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是
(A) [1,2] (B) 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ (C) 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
(D) (0,2] (8) 设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则
(A) ()0()g a f b << (B) ()0()f b g a <<
(C) 0()()g a f b << (D) ()()0f b g a <<
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
文 科 数 学
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2. 本卷共12小题, 共110分.
二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.
(9) i 是虚数单位. 复数(3 + i )(1－2i ) = .
(10) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为
92
π, 则正方体的棱长为 .
(11) 已知抛物线28y x =的准线过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·
1AC BE = , 则AB 的长为 .
(13) 如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB //DC , 过点A 作圆
的切线与CB 的延长线交于点E . 若AB = AD = 5, BE = 4,
则弦BD 的长为 .
(14) 设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b +的最小值为 .
三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
(15) (本小题满分13分)
某产品的三个质量指标分别为x , y , z , 用综合指标S = x + y + z 评价该产品的等级. 若S ≤4, 则
:
(Ⅰ) (Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,
(⒈) 用产品编号列出所有可能的结果;
(⒉) 设事件B 为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S 都等于4”, 求事件B 发生的概率.
(16) (本小题满分13分)
在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c
. 已知sin 3sin b A c B =, a = 3,
2cos 3
B =. (Ⅰ) 求b 的值;
(Ⅱ) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝
⎭的值.
(17) (本小题满分13分)
如图, 三棱柱ABC －A 1B 1C 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等. D , E , F 分别为棱AB , BC , A 1C 1的中点.
(Ⅰ) 证明EF //平面A 1CD ;
(Ⅱ) 证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1;
(Ⅲ) 求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值.
(18) (本小题满分13分)
设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F , 离心率为, 过点F 且与x (Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A ,
B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于
C ,
D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.
(19) (本小题满分14分)
已知首项为32
的等比数列{}n a 的前n 项和为(*)n S n ∈N , 且234,2,4S S S -成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ) 证明13*)6
1(n n S n S +≤∈N .
(20) (本小题满分14分)
设[2,0]a ∈-, 已知函数332(5),03,0(,).2
x f a x x a x x x x x a -+≤+-+>⎧⎪=⎨⎪⎩
(Ⅰ) 证明()f x 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增; (Ⅱ) 设曲线()y f x =在点(,())(1,2,3)i i i x f x i P =处的切线相互平行, 且1230,x x x ≠ 证明
12313
x x x ++>.。