2019版一轮优化探究理数练习：第十一章第十一节事件的独立性及二项分布含解析
高考数学一轮复习 第11章《独立性及二项分布》名师首选学案 新人教A版
学案64 独立性及二项分布导学目标： 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布.3.能解决一些简单的实际问题．自主梳理 1．条件概率对于两个事件A 和B ，在已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，称为事件B 发生的条件下事件A 的条件概率，记为P (A |B )．2．相互独立事件(1)设A ，B 为两个事件，若P (A |B )＝P (A )，则称____________． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝________， P (AB )＝________________＝____________.(3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．3．二项分布(1)由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种________的状态，即A 与A ，每次试验中P (A )＝p >0.我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为____________．(2)在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n .此时称随机变量X 服从二项分布．记作____________．自我检测1．两人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为15，14，则密码被译出的概率为________．2．一学生通过一种英语听力测试的概率是12，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是________．3．已知随机变量X 服从二项分布X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，则P (X ＝2)＝________. 4．已知P (AB )＝310，P (A )＝35，则P (B |A )＝________.5．一次测量中出现正误差和负误差的概率都是12，在5次测量中至少3次出现正误差的概率是________.探究点一 条件概率例1 在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件．试求：(1)第一次取到不合格品的概率；(2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率．变式迁移1 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？探究点二 相互独立事件例2 甲、乙两名射击运动员，分别对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求(1)两人都射中的概率；(2)两人中恰有一人射中的概率； (3)两人中至少一人射中的概率； (4)两人中至多一人射中的概率．变式迁移2 甲、乙、丙三人分别独立做一道题，甲做对的概率是12，三人都做对的概率是124，三人全做错的概率是14.(1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题的概率．探究点三 独立重复试验与二项分布例3 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是12.(1)求小球落入A 袋中的概率P (A )； (2)在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A 袋中小球的个数，试求ξ＝3的概率．变式迁移3 粒子A 位于数轴x ＝0处，粒子B 位于数轴x ＝2处，这两颗粒子每隔1秒钟向左或向右移动一个单位，设向右移动的概率为23，向左移动的概率为13.(1)求4秒后，粒子A 在点x ＝2处的概率；(2)求2秒后，粒子A 、B 同时在x ＝2处的概率．探究点四 综合应用例4 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每次射击是否击中目标相互之间没有影响．(1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则停止射击．问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？变式迁移4 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约；乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响．求：(1)至少有1人面试合格的概率； (2)签约人数ξ的分布列．1．一般地，每一个随机试验都在一定的条件下进行，而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的基础上，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率．求条件概率，必须理解条件概率的定义及公式，公式中的P (AB )是指事件A 、B 同时发生的概率．2．一般地，事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即P (B |A )＝P (B )，这时，我们称两个事件A 、B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．事件的独立是一种对等的性质．如果事件A 对事件B 独立，那么就可以说事件A 与B 相互独立．显然，必然事件与任何事件是相互独立的．3．独立重复试验概率公式的特点：关于P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k，它是n 次独立重复试验中某事件A 恰好发生k 次的概率．其中，n 是重复试验次数，p 是一次试验中某事件A 发生的概率，k 是在n 次独立试验中事件A 恰好发生的次数，需要弄清公式中n 、p 、k 的意义，才能正确运用公式．课后练习(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是________．2．位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是________．3．设每门高射炮击中飞机的概率为0.6，今有一架飞机来犯，需要________门高射炮射击，才能至少以99%的概率击中它．4． 一个电路如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为6个开关，其闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是________．5．同时抛掷三颗骰子：设A ＝“三个点数都不相同”，B ＝“至少有一个6点”，则P (B |A )＝________.6．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．7．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．8．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于______．二、解答题(共42分)9．(14分)一名学生骑车从家到学校的途中有6个路口，假设他在每个路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都为13.求：(1)这名学生在途中遇到红灯次数ξ的概率分布；(2)这名学生首次遇到红灯或到达目的地而停车时所经过了的路口数η的概率分布； (3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．10．(14分)设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2＋bx＋c＝0实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率；(2)求ξ的概率分布；(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．11．(14分)甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们的水平相当，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，求：(1)乙取胜的概率；(2)比赛打满七局的概率；(3)设比赛局数为ξ，求ξ的概率分布．学案64 独立性及二项分布答案自主梳理2．(1)事件A、B独立(2)P(B) P(B|A)P(A)P(A)P(B) 3.(1)对立伯努利试验(2)X～B(n，p)自我检测1．0.4解析 P ＝15×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15×14＋15×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝0.4或P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝1－45×34＝0.4.2．12解析 P (X ＝1)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫121⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12.3．80243解析 P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134＝80243.4．12解析 P (B |A )＝P AB P A ＝310×53＝12.5．12解析 P ＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125＋C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫125＋C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝132×()C 35＋C 45＋C 55＝12. 课堂活动区例 1 解题导引 求条件概率的通常方法是利用条件概率公式P (B |A )＝P ABP A.这就需要求P (AB )和P (A )．如果事件具有等可能特点，还可以看作是基本事件空间改变后的古典概型，利用P (B |A )＝n ABn A来计算．解 设A ＝{第一次取到不合格品}，B ＝{第二次取到不合格品}．(1)P (A )＝5100＝120.(2)方法一 根据条件概率的定义计算，需要先求出事件AB 的概率：P (AB )＝5100×499，所以有P (B |A )＝P ABP A ＝5100×4995100＝499.方法二 事件A 发生的条件下，事件空间包含的基本事件个数为n A ＝100－1＝99个． 事件A 发生的条件下，事件B 包含4个基本事件．∴P (B |A )＝n AB n A ＝499.变式迁移1 解 记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球； 事件B ：从1号箱中取出的是红球．则P (B )＝42＋4＝23，P (B )＝1－P (B )＝13，(1)P (A |B )＝3＋18＋1＝49.(2)∵P (A |B )＝38＋1＝13，∴P (A )＝P (AB )＋P (A B )＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B )＝49×23＋13×13＝1127.例2 解题导引 (1)审题应注意关键的词句，例如“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰好有一个发生”等．(2)复杂事件的概率拆分为几个互斥事件的和事件，然后利用互斥事件的概率加法公式进行求解．(3)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有： ①利用相互独立事件的概率乘法公式；②正面计数较繁或难以入手时，可以从对立事件入手计算． 解 (1)记事件A ：甲射中目标； 事件B ：乙射中目标． 两人都射中的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝0.8×0.9＝0.72.(2)两人中恰有一人射中包括“甲中乙不中”、“甲不中乙中”两种情况，其对应事件为互斥事件，则P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9 ＝0.08＋0.18＝0.26.(3)方法一 两人至少有一人射中包括“两人都射中”和“两人有一人射中”两种情况，其概率为P (AB )＋P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.72＋0.26＝0.98.方法二 因为“两人至少有一人射中”与“两人都未射中”互为对立事件． 所以“两人至少有一人射中”的概率为：1－P (A B )＝1－P (A )P (B )＝1－0.2×0.1＝0.98.(4)方法一 至多有一人射中包括“有一人射中”和“两人都未射中”，故所求概率为P (A B )＋P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.02＋0.08＋0. 18＝0.28.方法二 “至多有一人射中”的对立事件为“两人都射中”， 故所求概率为1－P (AB )＝1－P (A )P (B ) ＝1－0.72＝0.28.变式迁移2 解 (1)设甲、乙、丙三人各自做对这道题分别为事件A 、B 、C ，则P (A )＝12，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧12·P B PC ＝124⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12[1－PB－P C＝14，解得P (B )＝13，P (C )＝14或P (B )＝14，P (C )＝13，所以乙、丙两人各自做对这道题的概率为13和14或14和13.(2)设“甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题”为事件D ，则P (D )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋ P (A )P (B )P (C )＝14＋18＋112＝1124，所以甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题的概率是1124.例3 解题导引 因为小球每次遇到黑色障碍物相互独立，且每次向左(或向右)的概率都是12，因此该试验属n 次独立重复试验．注意n ＝3，P ＝12.独立重复试验，是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．解 (1)方法一 记小球落入B 袋中的概率P (B )，则P (A )＋P (B )＝1，由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B 袋，所以P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，∴P (A )＝1－14＝34.方法二 由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入A 袋．∴P (A )＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝34.(2)由题意，ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，34. ∴P (ξ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫343⎝ ⎛⎭⎪⎫141＝2764.变式迁移3 解 (1)要求4秒后，粒子A 在x ＝2处的概率，即求粒子A 四次移动中恰有三次向右移动发生的概率：C 34(23)3(13)＝3281. (2)要使粒子A 、B 在2秒后同时在点x ＝2处，粒子A 一定要往右移动2次，而粒子B往右和左各一次，所求概率为：⎝ ⎛⎭⎪⎫232·C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1681.例4 解题导引 判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点： ①是否为n 次独立重复试验．②随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数．解 (1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击4次，相当于作4次独立重复试验．故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝6581，所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为6581.(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－234－2＝827；P (B 2)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫343×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－344－3＝2764.由于甲、乙射击相互独立，故P (A 2B 2)＝P (A 2)·P (B 2)＝827×2764＝18.所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为18.(3)记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击未击中”为事件D i (i ＝1,2,3,4,5)，则A 3＝D 5D 4D 3(D 2D 1)，且P (D i )＝14，由于各事件相互独立，故P (A 3)＝P (D 5)P (D 4)P (D 3)P (D 2D 1) ＝14×14×34×⎝⎛⎭⎪⎫1－14×14＝451 024.故乙恰好射击5次后被中止射击的概率为451 024.变式迁移4 解 用A 、B 、C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A 、B 、C 相互独立，且P (A )＝P (B )＝P (C )＝12.(1)至少有1人面试合格的概率是1－P (A B C )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝78.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38， P (ξ＝1)＝P (A B C )＋P (AB C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38， P (ξ＝2)＝P (A BC )＝P (A )P (B )P (C )＝18， P (ξ＝3)＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝18.所以，ξ的分布列是课后练习区1．712解析 ∵P (A )＝12，P (B )＝16，∴P (A )＝12，P (B )＝56.又A 、B 为相互独立的事件，∴P (A B )＝P (A )·P (B )＝12×56＝512.∴A ，B 中至少有一件发生的概率为1－P (A B )＝1－512＝712.2．516解析 质点P 从原点到点(2,3)，需向右移动两次，向上移动三次．故P ＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝516. 3．6解析 设需要n 门高射炮才可达到目的，用A 表示“击中飞机”这一事件，用A i 表示“第i 门高射炮击中飞机”，则A 1，A 2，…，A n 相互独立，且有A ＝A 1＋A 2＋…＋A n ，P (A )＝1－P (A )＝1－P (A 1)·P (A 2)…P (A n )＝1－(1－0.6)n .依题意P (A )≥0.99，∴1－0.4n≥0.99，∴n ≥5.03. 4．5564解析 设A 与B 中至少有一个不闭合的事件为T ，E 与F 至少有一个不闭合的事件为R ，则P (T )＝P (R )＝1－12×12＝34，所以灯亮的概率P ＝1－P (T )P (R )P (C )P (D )＝5564.5．12解析 掷三颗骰子在三个点数都不相同的条件下共有：A 36＝6×5×4＝120(个)基本事件，其中事件“至少有一个6点”包含：3A 25＝3×5×4＝60(个)基本事件．∴P ＝12.6．0.947 7解析 由独立重复试验的概率计算公式得P ＝C 34·0.93·(1－0.9)1＋C 44·0.94＝0.947 7.7．370解析 加工出来的零件的正品率为(1－170)×(1－169)×(1－168)＝6770，所以次品率为1－6770＝370. 8．0.128解析 由题设，分两类情况：(1)第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，由乘法公式得P 1＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.102 4；(2)第1、2个错误，第3、4个正确，此时概率P 2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.025 6.由互斥事件概率公式得P ＝P 1＋P 2＝0.102 4＋0.025 6＝0.128.9．解 (1)由已知ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13， 分布列为P (ξ＝k )＝C k 6⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫236－k，k ＝0,1,2,3，…，6. (2分) 所以(4分(2)η＝k 表示这名学生首次停车时经过的路口数，即在前k 个路口没有遇上红灯，但在第k ＋1个路口遇上红灯，则η的取值可能为0,1,2,3,4,5,6，其中η＝6表示路上没有遇上红灯．当0≤k ≤5时，P (η＝k )＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫23k；当k ＝6时，P (η＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫236. (9分)所以η(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件概率为P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0)＝1－(23)6＝665729. (14分)10．解 (1)基本事件总数为6×6＝36，若使方程有实根，则Δ＝b 2－4c ≥0，即b ≥2c .当c ＝1时，b ＝2,3,4,5,6； 当c ＝2时，b ＝3,4,5,6； 当c ＝3时，b ＝4,5,6； 当c ＝4时，b ＝4,5,6； 当c ＝5时，b ＝5,6； 当c ＝6时，b ＝5,6，所求事件个数为5＋4＋3＋3＋2＋2＝19，因此方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率为1936.(4分)(2)由题意知，ξ＝0,1,2，则P (ξ＝0)＝1736，P (ξ＝1)＝236＝118，P (ξ＝2)＝1736，故ξ的概率分布为(8分)(3)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M ，“方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根”为事件N ，则P (M )＝1136，P (MN )＝736，P (N |M )＝P MN P M ＝711.(14分)11．解 (1)当甲先赢了前两局时，乙取胜的情况有两种：第一种是乙连胜四局；第二种是在第三局到第六局，乙赢了三局，第七局乙赢．在第一种情况下，乙取胜的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116，在第二种情况下，乙取胜的概率为C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫12412＝18，所以当甲先赢了前两局时，乙取胜的概率为 116＋18＝316.(5分) (2)比赛打满七局有两种结果：甲胜或乙胜，记“比赛打满七局甲胜”为事件A ，记“比赛打满七局乙胜”为事件B .则P (A )＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18，P (B )＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18，又A ，B 互斥，所以比赛打满七局的概率为P (A )＋P (B )＝14.(9分)(3)P (ξ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，P (ξ＝5)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14，P (ξ＝6)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14，P (ξ＝7)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫124·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14，(13分)所以ξ的概率分布为(14分)。
【志鸿优化设计】(湖南专用)高考数学一轮复习 第十一章概率与统计11.5二项分布及其应用课时作业 理
课时作业58 二项分布及其应用一、选择题1．某道路的A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒．某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是( )．A.35192B.25192C.35576D.651922．某人射击一次击中目标的概率为35，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )．A.81125B.54125C.36125D.271253．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )．A.12B.512C.14D.164．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测，方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚，国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p 1和p 2，则( )．A ．p 1＝p 2B ．p 1＜p 2C ．p 1＞p 2D ．以上三种情况都有可能5．电灯泡使用时数在1 000小时以上的概率为0.2，则3只灯泡在使用1 000小时后最多有1只坏了的概率是( )．A ．0.401B ．0.410C ．0.014D ．0.1046．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败，第二次成功的概率是( )．A.110B.210C.810D.9107．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )．A.16625B.96625C.624625D.4625二、填空题8．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为__________． 9．如图，EFGH 是一个以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内，”则(1)P (A )＝__________；(2)P (B |A )＝__________. 10．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率为34和45，且各次射击相互独立．按甲、乙、甲……的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时甲射击了两次的概率是__________．三、解答题11．(2012天津高考)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X， Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ)．参考答案一、选择题1．A 解析：三处都不停车的概率是P (ABC )＝2560×3560×4560＝35192. 2．A3．B 解析：记两个零件中恰有一个一等品的事件为A ，则P (A )＝23×14＋13×34＝512. 4．B 解析：p 1＝1－0.9910＝1－0.980 15，p 2＝1－2992100C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭5＝1－0.985，∴p 1＜p 2.5．D 解析：3只灯泡在1 000小时后最多有1只坏了这个事件，也就是3只灯泡中至少有2只灯泡的使用时数在1 000小时以上，相当于3次独立重复试验有2次或3次发生的概率，故P ＝23C ×0.22×(1－0.2)＋33C ×0.23＝0.104. 6．A 解析：设A 为“第一次失败”，B 为“第二次成功”，则P (A )＝910， P (B |A )＝19， ∴P (AB )＝P (A )P (B |A )＝110. 7．B 解析：据题意取出两球号码之积是4的倍数的情况为(1,4)，(2,4)，(3,4)，(2,6)，(4,6)，(4,5)共6种情况，故中奖的概率为266C ＝25，故4人中有3人中奖的概率为34C ⎝ ⎛⎭⎪⎫253×35＝96625. 二、填空题8.35 解析：设该队员每次罚球的命中率为p ，则1－p 2＝1625，解得p ＝35. 9.2π 14解析：该题为几何概型，圆的半径为1，正方形的边长为2， ∴圆的面积为π，正方形面积为2，扇形面积为π4. 故P (A )＝2π， P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝12π2π＝14. 10.19400解析：停止射击时甲射击了两次，分两种情况：①甲未中、乙未中、甲命中的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×34＝380； ②甲未中、乙未中、甲未中、乙命中的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×45＝1100.停止射击时甲射击了两次的概率是380＋1100＝19400. 三、解答题11．解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23. 设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)，则P (A i )＝4C i⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i . (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P (A 2)＝24C ⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝34C ⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋44C ⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19. 所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19. (3)ξ的所有可能取值为0,2,4.由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827， P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081， P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781. 所以ξ的分布列是随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝0×27＋2×81＋4×81＝14881.。
苏教版高中数学选修高考一轮理独立性、二项分布及其应用一轮复习限时提分训练基础到提升含精细解析含答案
独立性、二项分布及其应用分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2010·辽宁卷)两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为________． 解析 记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ，则P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝23×14＋13×34＝512. 答案5122．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为________．解析 由题意知，甲、乙都不被录取的概率为(1－0.6)(1－0.7)＝0.12.∴至少有一人被录取的概率为1－0.12＝0.88. 答案 0.883．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是________．解析 设事件A 发生的概率为p ，则C 14p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2，解得p ≥0.4. 答案 [0.4,1]4．(2010·江西卷)一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p 1和p 2.则p 1和p 2的大小关系是________．解析 p 1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110010＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫9910010＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫9 80110 0005， p 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫C 299C 21005＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫981005，则p 1<p 2. 答案 p 1<p 25．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是________．解析 由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P 必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝516. 答案5166．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．解析 设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件B (发芽，又成活为幼苗)出芽后的幼苗成活率为：P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9.根据条件概率公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. 答案 0.72二、解答题(每小题15分，共30分)7．某次乒乓球比赛的决赛在甲、乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为23.(1)求比赛三局甲获胜的概率； (2)求甲获胜的概率．解 记甲n 局获胜的概率为P n ，n ＝3,4,5， (1)比赛三局甲获胜的概率是：P 3＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827.(2)比赛四局甲获胜的概率是：P 4＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝827；比赛五局甲获胜的概率是：P 5＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1681.∴甲获胜的概率是：P 3＋P 4＋P 5＝6481.8．某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)： (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．解 设“5次预报中恰有2次准确”为事件A ，“5次预报中至少有2次准确”为事件B ，“5次预报恰有2次准确，且其中第3次预报准确”为事件C . (1)P (A )＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫1－453＝10×1625×1125≈0.05；(2)P (B )＝1－C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫450⎝ ⎛⎭⎪⎫1－455－C 15×45⎝ ⎛⎭⎪⎫1－454≈0.99；(3)P (C )＝C 14×45⎝ ⎛⎭⎪⎫1－453×45≈0.02.分层训练B 级 创新能力提升1．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是________．解析 在第一次取到白球的条件下，在第二次取球时，袋中有2个白球和2个黑球共4个球，所以取到白球的概率P ＝24＝12.答案 122.一个电路如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为6个开关，其闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是________．解析 设A 与B 中至少有一个不闭合的事件为T ，E 与F 至少有一个不闭合的事件为R ， 则P (T )＝P (R )＝1－12×12＝34，所以灯亮的概率P ＝1－P (T )P (R )P (C )P (D )＝5564. 答案55643．(2011·重庆卷)将一枚硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．解析 由题意知，正面可以出现6次，5次，4次，所求概率P ＝C 66⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝1＋6＋1564＝1132. 答案11324．(2010·福建卷)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续．．正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．解析 记“该选手回答对第i 个问题”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)，且P (A i )＝0.8.选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮则该选手第二个问题必回答错，第三、第四个问题必回答对，∴所求事件概率P ＝P (A 2·A 3·A 4)＝P (A 2)·P (A 3)·P (A 4)＝(1－0.8)×0.8×0.8＝0.128. 答案 0.1285．某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，他们的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资． (1)求该公司决定对该项目投资的概率；(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率． 解 (1)该公司决定对该项目投资的概率为P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝727. (2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票，有以下四种情形：“同意”票张数“中立”票张数“反对”票张数事件A 0 0 3 事件B 1 0 2 事件C 1 1 1 事件D12P (A )＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫33＝27， P (B )＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝19，P (C )＝C 13C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝29，P (D )＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝19.∵A 、B 、C 、D 互斥，∴P (A ＋B ＋C ＋D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝1327.6．(2011·全国卷)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立． (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率． 解 记A 表示事件：“该地的1位车主购买甲种保险”；B表示事件：“该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险”；C表示事件：“该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”；D表示事件：“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”；E表示事件：“该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买”，则(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B.P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.(2)D＝C，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，P(E)＝C23×0.2×0.82＝0.384.。
2019版一轮优化探究理数练习：第十一章 第四节 随机事件的概率含解析
一、填空题 1．给出关于满足AB 的非空集合A 、B 的四个命题：①若任取x ∈A ，则x ∈B 是必然事件； ②若任取x ∉A ，则x ∈B 是不可能事件； ③若任取x ∈B ，则x ∈A 是随机事件； ④若任取x ∉B ，则x ∉A 是必然事件．其中正确的命题是________．(把你认为正确的命题序号都填上) 解析：∵A B ，∴A 中的任一元素都是B 中的元素， 而B 中至少有一个元素不在A 中． 因此①正确，②错误，③正确，④正确． 答案：①③④2．抛掷一颗骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率之和为________． 解析：出现奇数点或2点的事件为A ∪B . P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝46＝23. 答案：233．在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数12345人以上解析：P ＝1－(0.1＋0.16)＝0.74. 答案：0.744．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为______和________．解析：P 1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.P 2＝1－P 1＝1－0.97＝0.03. 答案：0.97 0.035．三张卡片上分别写有字母E ，E ，B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．解析：记写有字母E 的两张卡片分别为E 1，E 2，则三张卡片随机排成一行的所有可能情况为BE 1E 2E 2E 1，E 1BE 2E 2B ，E 2BE 1E 1B ，共6种，其中三张卡片恰好排成英文单词BEE 的事件个数为2，故所求的概率P ＝26＝13. 答案：136．有编号为A 1，A 2，…，A 10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：(1)从上述10个零件中，随机抽取1个，则这个零件为一等品的概率为________． (2)从一等品零件中，随机抽取2个，则这2个零件直径相等的概率为________． 解析：(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个．设“从10个零件中，随机抽取1个为一等品”为事件A ，则P (A )＝610＝35.(2)“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B )的所有可能结果有：{A 1，A 4}，{A 1，A 6}，{A 4，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 5}，{A 3，A 5}，共有6种，所以P (B )＝615＝25. 答案：35 257．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查，抽得正品的概率为________．解析：1－0.03－0.01＝0.96. 答案：0.968．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则上述方程有实根的概率为________．解析：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值． 事件A 中包括9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34. 答案：349．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，从中取出2粒都是白子的概率是1235，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．解析：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与取2粒黑子的概率的和，即为17＋1235＝1735. 答案：1735 二、解答题10．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：(1)(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y 、z 的值． 解析：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0．1＋0.16＋x＝0.56，∴x＝0.3.(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0．96＋z＝1，∴z＝0.04.由派出医生最少3人的概率为0.44，得y＋0.2＋z＝0.44，∴y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.11．某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不只参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率．解析：(1)设“该队员只属于一支球队”为事件A，则事件A的概率P(A)＝1220＝35.(2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B，则事件B的概率P(B)＝1－220＝9 10.12．某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况．已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分．第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的．从所有试卷中随机抽取1 000份，其中该题的得分组成容量为1 000的样本，统计结果如下表：(1) (2)这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，对于该填空题，以样本中各种得分情况的频率(精确到0.1)作为该同学相应的各种得分情况的概率．试求该同学第一空得分不低于第二空得分的概率． 解析：(1)设样本试卷中该题的平均得分为x ，则由表中数据可得： x ＝0×198＋3×802＋0×698＋2×3021 000＝3.01，据此可估计整个地区中该题的平均得分为3.01分．(2)依题意，第一空答对的概率为8021 000≈0.8，第二空答对的概率为3021 000≈0.3， 记“第一空答对”为事件A ，“第二空答对”为事件B ，则“第一空答错”为事件A ，“第二空答错”为事件B .若要使第一空得分不低于第二空得分，则A 发生或A 与B 同时发生，故有：P (A )＋P (A ·B )＝0.8＋(1－0.8)×(1－0.3)＝0.94. 故该同学第一空得分不低于第二空得分的概率为0.94.。
2025年高考数学一轮复习课时作业-事件的独立性、条件概率与全概率公式【含解析】
2025年高考数学一轮复习课时作业-事件的独立性、条件概率与全概率公式【原卷版】(时间:45分钟分值:90分)【基础落实练】1.(5分)若P(AB)=19,P( )=23,P(B)=13,则事件A与B的关系是()A.互斥B.对立C.相互独立D.既互斥又相互独立2.(5分)(2024·泉州模拟)某运动员每次射击击中目标的概率均相等,若三次射击中,至少有一次击中目标的概率为6364,则射击一次,击中目标的概率为()A.78B.34C.14D.183.(5分)小王每天在6:30至6:50出发去上班,其中在6:30至6:40出发的概率为0.3,在该时间段出发上班迟到的概率为0.1;在6:40至6:50出发的概率为0.7,在该时间段出发上班迟到的概率为0.2,则小王某天在6:30至6:50出发上班迟到的概率为()A.0.13B.0.17C.0.21D.0.34.(5分)设甲乘汽车、动车前往目的地的概率分别为0.4,0.6,汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9,则甲正点到达目的地的概率为()A.0.78B.0.8C.0.82D.0.845.(5分)(多选题)甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是()A.P(B)=25B.P(B|A1)=511C.事件B与事件A1相互独立D.A1,A2,A3是两两互斥的事件6.(5分)(多选题)(2024·湖南师大附中模拟)已知某数据库有视频a个、图片b张 , ∈N*, > >1,从中随机选出一个视频和一张图片,记“视频甲和图片乙入选”为事件A,“视频甲入选”为事件B,“图片乙入选”为事件C,则下列判断中正确的是()A.P(A)=P(B)+P(C)B.P(A)=P(B)·P(C)C.P( )>P( C)+P(B )D.P( C)<P(B )7.(5分)某医生一周(7天)晚上值2次班,在已知他周二晚上一定值班的条件下,他在周三晚上值班的概率为________.每次击中目标的概率为45,现连续射击两次.(1)已知第一次击中,则第二次击中的概率是________;(2)在仅击中一次的条件下,第二次击中的概率是________.9.(10分)(2024·苏州模拟)苏州某公司有甲、乙两个研发小组,开发芯片需要两道工序,第一道工序成功的概率分别为15和35.第二道工序成功的概率分别为12和23.根据生产需要现安排甲小组研发芯片A,乙小组研发芯片B,假设甲、乙两个小组的研发相互独立.(1)求两种芯片都研发成功的概率;(2)政府为了提高该公司研发的积极性,决定只要有芯片研发成功就奖励该公司500万元,求该公司获得政府奖励的概率.【能力提升练】10.(5分)(2024·南京模拟)在一段时间内,若甲去参观市博物馆的概率为0.6,乙去参观市博物馆的概率为0.5,且甲乙两人各自行动,则在这段时间内,甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是()A.0.3B.0.32C.0.8D.0.8411.(5分)(2024·苏州模拟)杭州亚运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往黄龙体育中心、杭州奥体中心、浙江大学紫金港校区三座体育馆工作,每座体育馆至少派1名志愿者,A表示事件“志愿者甲派往黄龙体育中心”;B表示事件“志愿者乙派往黄龙体育中心”;C表示事件“志愿者乙派往杭州奥体中心”,则()A.事件A与B相互独立B.事件A与C为互斥事件C.P =13D.P =1612.(5分)(2024·泉州模拟)某中学为丰富学生的业余生活,举行“汉字听写大会”,老师要求参赛学生从星期一到星期四每天学习2个汉字及正确注释,每周五对一周内所学汉字随机抽取4个进行检测(一周所学的汉字每个被抽到的可能性相同),若已知抽取4个进行检测的字中至少有一个字是最后一天学习的,则所抽取的4个进行检测的字中恰有3个是后两天学习过的汉字的概率为________. 13.(5分)(2024·长春模拟)设A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(A)=13,P(B)=34, P(A+ )=12,则P(A )=________,P(B|A)=__________.14.(10分)某企业使用新技术对某款芯片进行试生产.在试产初期,该款芯片的生产有四道工序,前三道工序的生产互不影响,第四道是检测评估工序,包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中,前三道工序的次品率分别为P1=110,P2=19,P3=18.(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率;(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰,合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽检.在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下,求工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个芯片恰为合格品的概率.15.(10分)两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率是0.03,第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1)求任意取出的零件是合格品的概率;(2)如果任意取出的零件是废品,求它是第二台车床加工的概率.2025年高考数学一轮复习课时作业-事件的独立性、条件概率与全概率公式【解析版】(时间:45分钟分值:90分)【基础落实练】1.(5分)若P(AB)=19,P( )=23,P(B)=13,则事件A与B的关系是()A.互斥B.对立C.相互独立D.既互斥又相互独立【解析】选C.因为P(A)=1-P( )=1-23=13,所以P(A)P(B)=19,所以P(AB)=P(A)P(B)≠0,所以事件A与B相互独立,事件A与B不互斥也不对立.2.(5分)(2024·泉州模拟)某运动员每次射击击中目标的概率均相等,若三次射击中,至少有一次击中目标的概率为6364,则射击一次,击中目标的概率为() A.78B.34C.14D.18【解析】选B.设该运动员射击一次,击中目标的概率为p,若该运动员三次射击中,至少有一次击中目标的概率为1-1- 3=6364,解得p=34.3.(5分)小王每天在6:30至6:50出发去上班,其中在6:30至6:40出发的概率为0.3,在该时间段出发上班迟到的概率为0.1;在6:40至6:50出发的概率为0.7,在该时间段出发上班迟到的概率为0.2,则小王某天在6:30至6:50出发上班迟到的概率为()A.0.13B.0.17C.0.21D.0.3【解析】选B.由题意,在6:30至6:50出发上班迟到的概率为0.3×0.1+0.7×0.2=0.17.4.(5分)设甲乘汽车、动车前往目的地的概率分别为0.4,0.6,汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9,则甲正点到达目的地的概率为()A.0.78B.0.8C.0.82D.0.84【解析】选C.设事件A表示“甲正点到达目的地”,事件B表示“甲乘动车到达目的地”,事件C表示“甲乘汽车到达目的地”,由题意知P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(A|B)=0.9,P(A|C)=0.7.由全概率公式得P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)=0.6×0.9+0.4×0.7=0.54+0.28=0.82.5.(5分)(多选题)甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是()A.P(B)=25B.P(B|A1)=511C.事件B与事件A1相互独立D.A1,A2,A3是两两互斥的事件【解析】选BD.由题意知,A1,A2,A3是两两互斥的事件,故D正确;P(A1)=510=12,P(A2)=210=15,P(A3)=310,P(B|A1)=511,由此知,B正确;P(B|A2)=411,P(B|A3)=411;而P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=12×511+15×411+310×411=922,由此知A,C 不正确.6.(5分)(多选题)(2024·湖南师大附中模拟)已知某数据库有视频a个、图片b张 , ∈N*, > >1,从中随机选出一个视频和一张图片,记“视频甲和图片乙入选”为事件A,“视频甲入选”为事件B,“图片乙入选”为事件C,则下列判断中正确的是()A.P(A)=P(B)+P(C)B.P(A)=P(B)·P(C)C.P( )>P( C)+P(B )D.P( C)<P(B )【解析】选BC.由相互独立事件的概率的乘法计算公式,可得A错误,B正确;事件 包含“视频甲未入选,图片乙入选”“视频甲入选,图片乙未入选”“视频甲、图片乙都未入选”三种情况,所以P( )=P( C)+P(B )+P( ),则P( )>P( C)+P(B ),所以C正确;由题可知,P( C)=1-·1 = -1 ,P(B )=1 ·1-= -1 ,因为a,b∈N*,a>b>1,所以 -1 > -1 ,即P( C)>P(B ),故D错误.7.(5分)某医生一周(7天)晚上值2次班,在已知他周二晚上一定值班的条件下,他在周三晚上值班的概率为________.【解析】设事件A 为“周二晚上值班”,事件B 为“周三晚上值班”,则P (A )=C 61C 72=27,P (AB )=1C 72=121,故P (B |A )= ( ) ( )=16.答案:168.(5分)某射击运动员每次击中目标的概率为45,现连续射击两次.(1)已知第一次击中,则第二次击中的概率是________;(2)在仅击中一次的条件下,第二次击中的概率是________.【解析】(1)设第一次击中为事件A ,第二次击中为事件B ,则P (A )=45,由题意知,第一次击中与否对第二次没有影响,因此已知第一次击中,则第二次击中的概率是45.(2)设仅击中一次为事件C ,则仅击中一次的概率为P (C )=C 21×45×15=825,在仅击中一次的条件下,第二次击中的概率是P (B |C )=15×45825=12.答案:(1)45(2)129.(10分)(2024·苏州模拟)苏州某公司有甲、乙两个研发小组,开发芯片需要两道工序,第一道工序成功的概率分别为15和35.第二道工序成功的概率分别为12和23.根据生产需要现安排甲小组研发芯片A ,乙小组研发芯片B ,假设甲、乙两个小组的研发相互独立.(1)求两种芯片都研发成功的概率;(2)政府为了提高该公司研发的积极性,决定只要有芯片研发成功就奖励该公司500万元,求该公司获得政府奖励的概率.【解析】(1)甲小组研发芯片A 成功的概率为p 1=15×12=110,乙小组研发芯片B 成功的概率为p 2=35×23=25,由于甲、乙两个小组的研发相互独立,所以A ,B 两种芯片都研发成功的概率P=p1·p2=110×25=125.(2)该公司获得政府奖励则需有芯片研发成功,根据对立事件可知获奖的概率: P=1-(1-p1)(1-p2)=1-(1-110)(1-25)=1-910×35=2350.【能力提升练】10.(5分)(2024·南京模拟)在一段时间内,若甲去参观市博物馆的概率为0.6,乙去参观市博物馆的概率为0.5,且甲乙两人各自行动,则在这段时间内,甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是()A.0.3B.0.32C.0.8D.0.84【解析】选C.依题意,在这段时间内,甲乙都不去参观博物馆的概率为P1=1-0.6×1-0.5=0.2,所以在这段时间内,甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是P=1-P1=1-0.2=0.8.11.(5分)(2024·苏州模拟)杭州亚运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往黄龙体育中心、杭州奥体中心、浙江大学紫金港校区三座体育馆工作,每座体育馆至少派1名志愿者,A表示事件“志愿者甲派往黄龙体育中心”;B表示事件“志愿者乙派往黄龙体育中心”;C表示事件“志愿者乙派往杭州奥体中心”,则()A.事件A与B相互独立B.事件A与C为互斥事件C.P =13D.P =16【解析】选D.将4名志愿者分配到三座体育馆,每座体育馆至少派1名志愿者,共有C42C21A22·A33=36种安排方案;志愿者甲派往黄龙体育中心、志愿者乙派往黄龙体育中心、志愿者乙派往杭州奥体中心,各有C32A22+A33=12种方案,所以P =P =P(C)=1236=13;志愿者甲、乙均派往黄龙体育中心,有A22=2种方案,所以P =236=118;志愿者甲派往黄龙体育中心且志愿者乙派往杭州奥体中心,有1+C21C21=5种方案,所以P =536;对于A,因为P ≠P P ,所以事件A与B不相互独立,A错误;对于B,因为P =536≠0,所以事件A与C不是互斥事件,B错误;对于C,P =53613=512,C错误;对于D,P =11813=16,D正确.12.(5分)(2024·泉州模拟)某中学为丰富学生的业余生活,举行“汉字听写大会”,老师要求参赛学生从星期一到星期四每天学习2个汉字及正确注释,每周五对一周内所学汉字随机抽取4个进行检测(一周所学的汉字每个被抽到的可能性相同),若已知抽取4个进行检测的字中至少有一个字是最后一天学习的,则所抽取的4个进行检测的字中恰有3个是后两天学习过的汉字的概率为________.【解析】设进行检测的4个汉字中至少有一个是最后一天学习的为事件A,恰有3个是后两天学习过的汉字为事件B,则事件A所包含的基本事件有n(A)=C21×C63+C62×C22=55,事件B所包含的基本事件有n(B)=C41×C43=16,所以P | = ( ) ( )= ( ) ( )=1655.答案:165513.(5分)(2024·长春模拟)设A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(A)=13,P(B)=34, P(A+ )=12,则P(A )=________,P(B|A)=__________.【解析】由题知,P (A )=13,P (B )=34,P (A + )=P +P -P =12,即13+14-P =12,则P (A )=112.因为P +P P ,所以P =13-112=14,则P (B |A =1413=34.答案:1123414.(10分)某企业使用新技术对某款芯片进行试生产.在试产初期,该款芯片的生产有四道工序,前三道工序的生产互不影响,第四道是检测评估工序,包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中,前三道工序的次品率分别为P 1=110,P 2=19,P 3=18.(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率;(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰,合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽检.在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下,求工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个芯片恰为合格品的概率.【解析】(1)该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率P =1-(1-110)(1-19)(1-18)=310.(2)设“该款芯片智能自动检测合格”为事件A ,“人工抽检合格”为事件B ,则P (A )=910,P (AB )=1-310=710,则工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个芯片恰为合格品的概率P (B |A )= ( )( )=710910=79.15.(10分)两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率是0.03,第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1)求任意取出的零件是合格品的概率;(2)如果任意取出的零件是废品,求它是第二台车床加工的概率.【解析】设A i表示“第i台车床加工的零件(i=1,2)”,B表示“出现废品”,C表示“出现合格品”.(1)P(C)=P(A1C∪A2C)=P(A1C)+P(A2C)=P(A1)P(C|A1)+P(A2)P(C|A2)=23×(1-0.03)+13×(1-0.02)≈0.973. (2)P(A2|B)= ( 2 ) ( )= ( 2) ( | 2)( 1) ( | 1)+ ( 2) ( | 2)=13×0.0223×0.03+13×0.02=0.25.。
高考数学一轮复习讲义 12.5 独立性、二项分布及其应用课件
P(ξ＝2)＝P(A1 A 2A3)＝23×13×23＝247； P(ξ＝3)＝P(A1A2 A 3)＋P( A 1A2A3) ＝232×13＋13×232＝287； P(ξ＝6)＝P(A1A2A3)＝233＝287. 所以 ξ 的概率分布表是
ξ0 1 2 3 6 124 8 8
P 27 9 27 27 27
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(4)设 E＝{至多有 1 人击中目标}， ∵E＝A B ＋B A ＋ A B ， 且 A 与 B 、B 与 A 、 A 与 B 独立， A B 、B A 、 A B 彼此互斥， ∴P(E)＝P(A B ＋B A ＋ A B ) ＝P(A B )＋P(B A )＋P( A B ) ＝P(A)P( B )＋P(B)P( A )＋P( A )P( B ) ＝0.8×0.1＋0.9×0.2＋0.1×0.2＝0.28. 故至多有 1 人击中目标的概率为 0.28.
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(1)击中目标次数 X～B5，23；(2)用 Ai(i＝1,2,3,4,5)表示事件 “第 i 次射击击中目标”，则 Ai 相互独立，再用 Ai 表示出所 求事件后，由概率加法公式和概率乘法公式求解；(3)确定出 总得分数 ξ 的所有可能取值及相应的概率值后列表． 解 (1)设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数，则 X～ B5，23.在 5 次射击中，恰有 2 次击中目标的概率为 P(X＝2)＝C52×232×1－233＝24403.
发生的次数是一个随机变量 X，其分布列为 P(X＝k)＝Cknpk qn－k，其中 0<p<1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称 X 服
从参数为 n，p 的 二项分布 ，记为 X～B(n，p) ．
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[难点正本 疑点清源] 1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系
2019版高考数学(理)一轮总复习作业85n次独立重复试验与二项分布+含解析.doc
题组层级快练（八十五）1. 下列表中能成为随机变量X 的分布列的是（）2. 袋中有大小相同的红球6个、白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是 白球时为止，所需要的収球次数为随机变量g,则§的可能值为（）A. 1, 2,…，6B. 1, 2,…，7C. 1, 2,…，11D. 1, 2, 3,…答案B解析 除白球外，其他的还有6个球，因此取到白球时取球次数最少为1次，最多为7次.故 选B.3. 若某一随机变量X 的概率分布如下表，且m+2n=1.2,则m —号的值为（ ）A.-0.2 C. 0」答案B解析 由 m+n+0.2=l, m+2n= 1.2,可得 m=n=0.4, m —号=024. 己知随机变量X 的分布列为P(X=k)=p k=l, 2,…，则P(2<XW4)等于( )A 寻 B* C 丄 D 丄°16"16答案A解析 P(2<XW4) = P(X=3) + P(X=4)=*+芥寻.5. 若随机变量X 的分布列为X-2-1123X 0 1 23P0.1mn 0.1 X1 2 3 P 0.4 0.7 -0. 1X0. 1 0. 1 0.7 P0.30.40.5D. -0.1则当P(X<a) = 0.8时，实数a 的取值范围是()A. (一8, 2]答案C 解析 由随机变量 X 的分布列知：P(X<-l)=0.1, P(X<0)=0.3, P(X<l)=0.5, P(X<2) = 0.8, 则当P(X<a) = 0.8时，实数a 的取值范围是(1, 2].6. 袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1, 2, 3, 4, 5五个号码，任意抽取2个球，设 2个球号码Z 和为X,则X 的所有可能取值个数为()A. 25 C. 7答案C解析 X 的可能取值为 1+2 = 3, 1+3 = 4, 1+4=5=24-3, 1+5 = 6=4 + 2, 2 + 5=7 = 3 +4, 3 + 5 = 8, 4 +5 = 9.7. 甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答止确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得一1分).若 X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是 ___________ . 答案 一1, 0, 1, 2, 3解析x=-l,甲抢到一题但答错了； X=0,甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一 错；X=1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对；X = 2时，甲抢到2题均答对;X = 3时，甲抢到3题均答对.B. [1, 2]C. (1, 2]D. (1, 2)B. 10 D. 68. 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑 球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球.设£为取出的4个球中红球的个数，则P(g=2) = 答案(1)| (2)y 解析(1)设"取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A, 小 C^C^+C^Cf 6 则P(A)=- &厂=〒所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为号.随机变量的所有可能取值为X 1 2 3 41 4 2P135 35 71 42 4 17故随机变量X 的数学期望E(X)= 1 X3^+2X5^+3X^+4X^=—10. 在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有 二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽 2张，求：(1) 该顾客中奖的概率；(2) 该顾客获得的奖品总价值X 元的概率分布列. 2答案(l)j ⑵略解析(1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了 1张或2张，由于是等可能地抽 取，所以该顾客中奖的概率C 41C 61 + C 42 30 2 P--亍(或用间接法，即P= 1 —^4= 1—45 = ・(2)依题意可知，X 的所有可能取值为0, 10, 20, 50, 60(元)，且P (X = 0尸惡M ，P(X=10)=^=|, P(X = 20)=g=^, P(X = 50)=^=^, P (X = 60)=弯詁.所以X 的分布列为：X0 10 2050605'P(X=1) = 3594 T则随机变量X 的分布列是11.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品.从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；(2)取出的3件产品屮一等品件数多于二等品件数的概率.答案⑴略(2島解析(1)白于从10件产品中任取3件的结果数为C103,从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C3k C73_k,那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的C?C73_k概率为P(X=k)=乙。
2019届高考大一轮复习备考资料之数学人教A版全国用讲
§11.3 变量间的相关关系、统计案例1．两个变量的线性相关 (1)正相关在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． (2)负相关在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关． (3)线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． 2．回归方程 (1)最小二乘法求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． (2)回归方程方程y ^＝b ^x ＋a ^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中a ^，b ^是待定参数．⎩⎨⎧b ^＝∑ni ＝1(x i－x )(y i－y )∑ni ＝1(x i－x )2＝∑ni ＝1x i y i－n x y ∑n i ＝1x 2i－n x2，a ^＝y －b ^x .3．回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中(x ，y )称为样本点的中心． (3)相关系数当r >0时，表明两个变量正相关； 当r <0时，表明两个变量负相关．r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 4．独立性检验(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量． (2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2×2列联表构造一个随机变量K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量．(3)独立性检验利用随机变量K 2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．( × ) (2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．( √ )(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．( √ )(4)某同学研究卖出的热饮杯数y 与气温x (℃)之间的关系，得线性回归方程y ^＝－2.352x ＋147.767，则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮．( × )(5)事件X ，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的K 2的观测值越大．( √ )题组二 教材改编2．[P97A 组T2]为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力( )A ．回归分析B ．均值与方差C ．独立性检验D ．概率答案 C解析 “近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断． 3．[P97练习]下面是2×2列联表：则表中a ，b 的值分别为( ) A ．94,72 B ．52,50 C ．52,74 D ．74,52答案 C解析 ∵a ＋21＝73，∴a ＝52. 又a ＋22＝b ，∴b ＝74.4．[P81例1]某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ^＝0.67x ＋54.9.现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________． 答案 68解析 由x ＝30，得y ＝0.67×30＋54.9＝75. 设表中的“模糊数字”为a ，则62＋a ＋75＋81＋89＝75×5，∴a ＝68.题组三 易错自纠5．某医疗机构通过抽样调查(样本容量n ＝1 000)，利用2×2列联表和K 2统计量研究患肺病是否与吸烟有关．计算得K 2＝4.453，经查阅临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05，现给出四个结论，其中正确的是( )A ．在100个吸烟的人中约有95个人患肺病B ．若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病C ．有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”D ．只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关” 答案 C解析 由已知数据可得，有1－0.05＝95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”．6．在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表：(已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系)现已知其线性回归方程为y ^＝0.36x ＋a ^，则根据此线性回归方程估计数学得90分的同学的物理成绩为______．(四舍五入到整数) 答案 73解析 x ＝60＋65＋70＋75＋805＝70，y ＝62＋64＋66＋68＋705＝66，所以66＝0.36×70＋a ^，a ^＝40.8，即线性回归方程为y ^＝0.36x ＋40.8.当x ＝90时，y ^＝0.36×90＋40.8＝73.2≈73.题型一相关关系的判断1．观察下列各图形，其中两个变量x，y具有相关关系的图是()A．①②B．①④C．③④D．②③答案 C解析由散点图知③中的点都分布在一条直线附近．④中的点都分布在一条曲线附近，所以③④中的两个变量具有相关关系．2．(2018·广州质检)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)的柱形图．以下结论不正确的是()A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案 D解析从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A选项正确；2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，C选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D选项错误，故选D.3．x 和y 的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为________．①x ，y 是负相关关系； ②在该相关关系中，若用y ＝21ec xc 拟合时的相关指数为R 21，用y ^＝b ^x ＋a ^拟合时的相关指数为R 22，则R 21>R 22；③x ，y 之间不能建立线性回归方程． 答案 ①②解析 在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此x ，y 是负相关关系，故①正确；由散点图知用y ＝21ec xc 拟合比用y ^＝b ^x ＋a ^拟合效果要好，则R 21>R 22，故②正确；x ，y 之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故③错误． 思维升华 判定两个变量正，负相关性的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．(2)相关系数：r >0时，正相关；r <0时，负相关．(3)线性回归方程中：b ^>0时，正相关；b ^<0时，负相关． 题型二 线性回归分析典例 (2016·全国Ⅲ)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17,i ＝17(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝i ＝1n (t i －t )(y i －y )i ＝1n (t i －t )2i ＝1n (y i －y )2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝i ＝1n (t i －t )(y i －y )i ＝1n (t i －t )2，a ^＝y －b ^t .解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得 t ＝4，i ＝17(t i －t )2＝28,i ＝17(y i －y )2＝0.55.i ＝17(t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i＝40.17－4×9.32＝2.89， 所以r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系． (2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝i ＝17(t i －t )(y i －y )i ＝17(t i －t )2＝2.8928≈0.103， a ^＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t . 将2016年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨． 思维升华 线性回归分析问题的类型及解题方法 (1)求线性回归方程①利用公式，求出回归系数b ^，a ^.②待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数．(2)利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值．(3)利用回归直线判断正、负相关；决定正相关还是负相关的是系数b ^.(4)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r |越趋近于1时，两变量的线性相关性越强．跟踪训练 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝18w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^＝α^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝i ＝1n (u i －u )(v i －v )i ＝1n (u i －u )2，α^＝v －β^u .解 (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型． (2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于d ^＝i ＝18(w i －w )·(y i －y )i ＝18(w i －w )2＝108.81.6＝68，c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．题型三 独立性检验典例(2017·全国Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg ，新养殖法的箱产量不低于50 kg ”，估计A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)． 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).解 (1)记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg ”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg ”．由题意知，P (A )＝P (BC )＝P (B )P (C )． 旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62， 故P (B )的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg 的频率为 (0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66， 故P (C )的估计值为0.66.因此，事件A 的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表如下：K 2＝200×(62×66－34×38)2100×100×96×104≈15.705.由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，箱产量低于55 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50＋0.5－0.340.068≈52.35 (kg)．思维升华 (1)比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法 ①通过计算K 2的大小判断：K 2越大，两变量有关联的可能性越大．②通过计算|ad －bc |的大小判断：|ad －bc |越大，两变量有关联的可能性越大． (2)独立性检验的一般步骤①根据样本数据制成2×2列联表．②根据公式K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(a ＋c )(b ＋d )(c ＋d )计算K 2的观测值k .③比较k 与临界值的大小关系，作统计推断．跟踪训练 (2017·石家庄质检)微信是现代生活进行信息交流的重要工具，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信的时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人．若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中有23是青年人．(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出2×2列联表：(2)根据2×2列表中的数据利用独立性检验的方法判断是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).解 (1)由已知可得，该公司员工中使用微信的有200×90%＝180(人)． 经常使用微信的有180－60＝120(人)， 其中青年人有120×23＝80(人)，使用微信的人中青年人有180×75%＝135(人)， 故2×2列联表如下：(2)将列联表中数据代入公式可得： K 2＝180×(80×5－55×40)2120×60×135×45≈13.333，由于13.333>10.828，所以有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”．求线性回归方程的方法技巧典例 (12分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)利用(1)中所求出的线性回归方程预测该地2018年的粮食需求量．思想方法指导 回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观测值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程． 规范解答解 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间近似直线上升，下面来求线性回归方程，先将数据处理如下表．对处理的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2，[4分]b ^＝(－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×29－5×0×3.2(－4)2＋(－2)2＋22＋42－5×02＝26040＝6.5，a ^＝y －b ^x ＝3.2.[6分]由上述计算结果，知所求线性回归方程为y ^－257＝6.5(x －2010)＋3.2，即y ^＝6.5(x －2010)＋260.2.[8分](2)利用所求得的线性回归方程，可预测2018年的粮食需求量大约为 6.5×(2018－2010)＋260.2＝6.5×8＋260.2＝312.2(万吨)．[12分]1．根据如下样本数据：得到的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则( )A.a ^>0，b ^>0B.a ^>0，b ^<0C.a ^<0，b ^>0 D.a ^<0，b ^<0答案 B解析 根据给出的数据可发现：整体上y 与x 呈现负相关，所以b ^<0，由样本点(3,4.0)及(4,2.5)可知a ^>0，故选B.2．(2017·江西南城一中、高安中学等九校联考)随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．由K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，得K 2＝100×(45×22－20×13)265×35×58×42≈9.616.参照下表，正确的结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关” 答案 C解析 ∵K 2≈9.616>6.635，∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选C. 3．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其线性回归方程是y ^＝13x ＋a ^，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a ^的值是( )A.116B.18C.14D.12 答案 B解析 依题意可知样本点的中心为⎝⎛⎭⎫34，38，则38＝13×34＋a ^，解得a ^＝18. 4．(2017·山东)为了研究某班学生的脚长x (单位：厘米)和身高y (单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.已知∑10i ＝1x i ＝225，∑10i ＝1y i ＝1 600，b ^＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( )A ．160B ．163C ．166D ．170 答案 C解析 ∵∑10i ＝1x i ＝225，∴x ＝110∑10i ＝1x i ＝22.5.∵∑10i ＝1y i ＝1 600，∴y ＝110∑10i ＝1y i ＝160.又b ^＝4，∴a ^＝y －b ^x ＝160－4×22.5＝70.∴线性回归方程为y ^＝4x ＋70.将x ＝24代入上式，得y ^＝4×24＋70＝166.故选C.5．(2018·湖南永州模拟)已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′B.b ^>b ′，a ^<a ′C.b ^<b ′，a ^>a ′ D.b ^<b ′，a ^<a ′答案 C解析 由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y ＝2x －2，b ′＝2，a ′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b ^＝∑6i ＝1x i y i －6x ·y ∑i ＝16x 2i －6x2＝58－6×72×13691－6×⎝⎛⎭⎫722＝57，a ^＝y －b^x ＝136－57×72＝－13，所以b ^<b ′，a ^>a ′.6．某地2009年至2015年中，每年的人口总数y (单位：万)的数据如下表：若t 与y 之间具有线性相关关系，则其回归直线y ^＝b ^t ＋a ^一定过点( ) A ．(3,9) B ．(9,3) C ．(6,14) D ．(4,11)答案 A解析 t ＝17(0＋1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3，y ＝17(8＋8＋8＋9＋9＋10＋11)＝9，所以回归直线y ^＝b ^t ＋a ^一定过点(3,9)．7．(2017·遵义联考)某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的年广告支出m 与年销售额t (单位：百万元)进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程t ^＝6.5m ＋17.5，则p ＝________. 答案 60解析 由于回归直线过样本点的中心，m ＝5，t ＝190＋p5，代入t ^＝6.5m ＋17.5，解得p ＝60.8．以下四个命题，其中正确的序号是________．①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在线性回归方程y ^＝0.2x ＋12中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ^平均增加0.2个单位；④对分类变量X 与Y 的统计量K 2来说，K 2越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大． 答案 ②③解析 ①是系统抽样；对于④，统计量K 2越小，说明两个相关变量有关系的把握程度越小． 9．为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如图所示2×2列联表：已知P (K 2≥3.841)≈0.05，P (K 2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K 2的观测值k ＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，则有________的把握认为选修文科与性别有关．答案 95%解析 由题意，K 2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，因为5.024>4.844>3.841，所以有95%的把握认为选修文科与性别有关．10．(2017·武邑模拟)对具有线性相关关系的变量x ，y 有10组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，其线性回归方程为y ^＝－3＋2x ，若∑10i ＝1x i ＝17，则∑10i ＝1y i ＝________. 答案 4解析 依题意x ＝1710＝1.7，而直线y ^＝－3＋2x 一定经过(x ，y )，∴y ＝－3＋2x ＝－3＋2×1.7＝0.4，∴∑10i ＝1y i ＝0.4×10＝4. 11．某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：(1)求y 关于t 的线性回归方程；(2)利用(1)中的线性回归方程，分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝i ＝1n (t i －t )(y i －y )i ＝1n (t i －t )2，a ^＝y －b ^t .解 (1)由所给数据计算得t ＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y ＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，i ＝17(t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，i ＝17(t i －t )(y i －y )＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b ^＝i ＝17(t i －t )(y i －y )i ＝17(t i －t )2＝1428＝0.5， a ^＝y －b ^t ＝4.3－0.5×4＝2.3，所求线性回归方程为y ^＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，b ^＝0.5>0，故2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2018年的年份代号t ＝10代入(1)中的线性回归方程，得y ^＝0.5×10＋2.3＝7.3， 故预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入为7.3千元．12．(2017·西安质检)某省会城市地铁将于2017年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下：(1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差异是多少(结果保留2位小数)；(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).解 (1)“赞成定价者”的月平均收入为x 1＝20×1＋30×2＋40×3＋50×5＋60×3＋70×41＋2＋3＋5＋3＋4≈50.56.“认为价格偏高者”的月平均收入为x 2＝20×4＋30×8＋40×12＋50×5＋60×2＋70×14＋8＋12＋5＋2＋1＝38.75，∴“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是x 1－x 2＝50.56－38.75＝11.81(百元)．(2)根据条件可得2×2列联表如下：K 2＝50×(3×11－7×29)210×40×18×32≈6.272<6.635，∴没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”．13．(2017·通州一模)对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则下列说法中不正确的是( )A ．由样本数据得到的回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x ，y ) B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2的值越小，说明模型的拟合效果越好D ．若变量y 和x 之间的相关系数r ＝－0.936 2，则变量y 与x 之间具有线性相关关系 答案 C解析 R 2的值越大，说明残差平方和越小，也就是模型的拟合效果越好，故选C.14．(2018·河北保定模拟)中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”．为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15～65的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：(1)由以上统计数据填写2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；(2)若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休年龄政策”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动．现从这8人中随机抽2人，求至少有1人是45岁及45岁以上的概率． 参考数据：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).解 (1)2×2列联表如下：因为K 2＝100×(35×5－45×15)250×50×80×20＝254＝6.25>3.841，所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异．(2)从不支持“延迟退休年龄政策”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁及45岁以上的应抽2人．则8人中随机抽2人共有C 28＝28种抽法，至少有1人是45岁及45岁以上共有C 16C 12＋C 22＝13(种)抽法，故所求概率为1328.15．(2018·青岛模拟)针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和喜欢韩剧是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的16，女生喜欢韩剧的人数占女生人数的23.若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有________人.答案 12解析 设男生人数为x ，由题意可得列联表如下：若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关， 则k >3.841，即k ＝3x 2⎝⎛⎭⎫x 6·x 6－5x 6·x 32x ·x 2·x 2·x ＝3x 8>3.841，解得x >10.243.因为x 6，x2为整数，所以若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有12人．16．(2017·包头一模)如图是某企业2010年至2016年的污水净化量(单位：吨)的折线图． 注：年份代码1～7分别对应年份2010～2016.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 和t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程，预测2017年该企业的污水净化量； (3)请用数据说明回归方程预报的效果．参考数据：y ＝54，∑7i ＝1(t i －t )(y i －y )＝21，14≈3.74， ∑7i ＝1(y i －y ^i)2＝94. 参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1 (t i －t )(y i －y )∑ni ＝1 (t i －t )2∑ni ＝1(y i －y )2，线性回归方程y ^＝a ^＋b ^t ，b ^＝∑ni ＝1(t i －t )(y i －y )∑ni ＝1(t i －t )2，a ^＝y －b ^t .反映回归效果的公式为：R 2＝1－∑ni ＝1 (y i －y ^i )2∑ni ＝1(y i －y )2，其中R 2越接近于1，表示回归的效果越好．解 (1)由折线图中的数据得，t ＝4，∑7i ＝1(t i －t )2＝28，∑7i ＝1(y i －y )2＝18， 所以r ＝2128×18≈0.935. 因为y 与t 的相关系数近似为0.935，说明y 与t 的线性相关程度相当大，所以可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)因为y ＝54，b ^＝∑7i ＝1(t i －t )(y i －y )∑7i ＝1(t i －t )2＝2128＝34， 所以a ^＝y －b ^t ＝54－34×4＝51，所以y 关于t 的线性回归方程为y ^＝b ^t ＋a ^＝34t ＋51.将2017年对应的t ＝8代入得y ^＝34×8＋51＝57，所以预测2017年该企业污水净化量约为57吨． (3)因为R 2＝1－∑7i ＝1(y i －y ^i )2∑7i ＝1(y i －y )2＝1－94×118＝1－18＝78＝0.875，所以“污水净化量的差异”有87.5%是由年份引起的，这说明回归方程预报的效果是良好的．。
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1．抛掷甲、乙两枚骰子，若事件A ：“甲骰子的点数大于2”，事件B ：“甲、乙两枚骰子的点数之和等于7”，求P (B |A )的值．
解析：事件A 包含的基本事件有24个：(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5, 1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，而在事件A 发生的条件下，事件B 包含的基本事件有以下4个：(3,4)，(4,3)，(5,2)，
(6, 1)，故所求概率为P (B |A )＝424＝16.
2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%，求市场上灯泡的合格率．
解析：记事件A 为“甲厂产品”，事件B 为“乙厂产品”，事件C 为“市场上的灯泡为合格品”，事件C 1为“甲厂生产的灯泡为合格品”，事件C 2为“乙厂生产的灯泡为合格品”，则C ＝AC 1＋BC 2，
∴P (C )＝P (AC 1)＋P (BC 2)
＝P (A )·P (C 1|A )＋P (B )·P (C 2|B )
＝70%×95%＋30%×80%＝90.5%.
3．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的
概率都是25，遇到红灯时停留的时间都是1 min.求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是2 min 的概率．
解析：设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是2 min 为事件B ，这名学生上学路上遇到k 次红灯为事件B k (k ＝0,1,2)．
则由题意，得P (B 0)＝(35)4＝81625，
P (B 1)＝C 14(35)3·(25)1＝216625，
P (B 2)＝C 24·(35)2·
(25)2＝216625 由于事件B 等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，
∴事件B 的概率为P (B )＝P (B 0)＋P (B 1)＋P (B 2)＝513625.
4．某公交公司对某线路客源情况统计显示，公交车从每个停靠点出发后，乘客人数及频率如下表：
(1)(2)全线途经10个停靠点，若有2个以上(含2个)停靠点出发后乘客人数超过18人的概率大于0.9，公交公司就考虑在该线路增加一个班次，请问该线路需要增加班次吗？
解析：(1)由表知，乘客人数不超过24人的频率是0.10＋0.15＋0.25＋0.20＝0.70，
则从每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约是0.70.
(2)由表知，从每个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率约为0.5，设途经10个停靠站，乘车人数超过18人的个数为X ，则X ～B (10,0.5)， ∴P (X ≥2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)
＝1－C 010(1－0.5)10－C 110·
0.5×(1－0.5)9 ＝1－(0.5)10－10×(0.5)10＝1 0131 024＞0.9， 故该线路需要增加班次．
5．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5，已知a 1＝1，
a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1 的概率为23.记ξ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，当程序运行一次时，
(1)求ξ＝3的概率；
(2)求ξ的概率分布．
解析：(1)已知a 1＝1，要使ξ＝3，只需后四位中出现2个1和2个0.∴P (ξ＝3)＝C 24(23)2·(13)2＝827.
(2)ξ的可能取值为1,2,3,4,5.
P (ξ＝1)＝C 04(23)0·(13)4＝181；
P (ξ＝2)＝C 14(23)1·(13)3＝881；
P (ξ＝3)＝C 24(23)2·(13)2＝827；
P (ξ＝4)＝C 34(23)3·(13)1＝3281；
P (ξ＝5)＝C 44(23)4＝1681.
∴ξ的概率分布为。