2014·新课标高考总复习·数学3-6简单的三角恒等变换
三角恒等变换高考数学中的关键知识点总结
三角恒等变换高考数学中的关键知识点总结三角恒等变换是高考数学中的重要内容，涉及到三角函数的性质和等价关系。
在解决三角函数相关题目时，熟练掌握三角恒等变换可帮助我们简化计算和推导过程，提高解题效率。
本文将对三角恒等变换中的关键知识点进行总结。
一、基本恒等式1. 余弦、正弦和正切的平方和恒等式：$cos^2(x) + sin^2(x) = 1$$1 - tan^2(x) = sec^2(x)$$1 - cot^2(x) = csc^2(x)$这些恒等式是三角函数中最为基础的恒等式，也是其他恒等式的基础。
通过这些基本恒等式，我们可以推导出其他更复杂的恒等式。
2. 三角函数的互余关系：$sin(\frac{\pi}{2} - x) = cos(x)$$cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin(x)$$tan(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{cot(x)}$$cot(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{tan(x)}$互余关系表明，角度x和其余角之间的三角函数之间存在特定的关系。
3. 三角函数的倒数关系：$sin(-x) = -sin(x)$$cos(-x) = cos(x)$$tan(-x) = -tan(x)$$cot(-x) = -cot(x)$三角函数的倒数关系表明，对于同一角度的正负，其正弦、余弦、正切和余切的值也是相反的。
二、和差恒等式和差恒等式是三角恒等变换中的重要内容，它们可用于将角度的和或差转化为其他三角函数表示，从而简化解题过程。
1. 正弦和差恒等式：$sin(x \pm y) = sin(x)cos(y) \pm cos(x)sin(y)$2. 余弦和差恒等式：$cos(x \pm y) = cos(x)cos(y) \mp sin(x)sin(y)$3. 正切和差恒等式：$tan(x \pm y) = \frac{tan(x) \pm tan(y)}{1 \mp tan(x)tan(y)}$这些和差恒等式在解决角度和为特定值时的三角函数计算中起到了重要的作用。
高三数学一轮复习 3.6简单的三角恒等变换课件
其中正确的是( )
A.①② B.③④ C.③ D.④⑤
【解析】选C.①错误.α在第一象限时， 在第一或第三象限.
2
当 在第一象限时，sin 1 cos ,当 在第三象限时，
2
2
2
2
sin 1 cos .
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2
②错误.此式子必须使tan 有意义且1+cos α≠0.即 ≠kπ
2
2
1 cos 2 1 cos 2 1 .
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2
2
方法三(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)
原式= 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 cos 2
2
2
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2
1 (1 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2) 1 (1 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2)
2
cos 2β＝_________.
【解题视点】(1)利用倍角公式化简. (2)从角、名、形、次数统一等几个方面入手进行化简.
【规范解答】(1)选A.原式＝ 1 1 1 cos 2
22
2
＝ 1 1 cos ＝|sin |.
22
2
因为450°<α<540°，所以225°< <270°.
=sin 2α·sin 2β-cos 2α·cos 2β+cos 2α+cos 2β- 1
2
=sin 2α·sin 2β+cos 2α·sin 2β+cos 2β- 1
2
=sin 2β+cos 2β- 1 =1- 1 = 1 .
简单的三角恒等变换复习课(
三角恒等变换小结与复习一、复习要点：1.熟记以下公式：常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简、求值、证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变换如：①2α是 的二倍；4α是 的二倍；α是 的二倍；2α是 二倍； 3α是 的二倍；3α是 的二倍；22πα±是 的二倍.②()ααββ=+-； ③()424πππαα+=--；④2()()()()44ππααβαβαα=++-=+--等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
如在三角函数中正余弦是基础，通常切化弦，变异名为同名. （3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：221sin cos sin90tan 45αα=+=︒=︒. （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。
常用降幂公式有： ， .降幂并非绝对，有时 常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ， . （5）sin cos a b αα+= = ； （其中sin ϕ= ；c o s ϕ= .） （6）三角函数式的化简运算通常从“角、名、形、幂”四方面入手： 特殊值与特殊角的三角函数互化. 二、应用：（一）求值：（I ）两角和与差的正弦、余弦公式的应用：1.已知,αβ都是锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，求sin β的值.2.已知35123cos(),sin(),(,(0,)45413444πππππαβαβ-=+=-∈∈，求sin()αβ+的值. （II ）两角和与差的正弦、余弦公式及方程思想的应用：3.已知13cos(),cos()55αβαβ+=-=，求tan tan αβ的值.4.已知11cos cos ,sin sin 23αβαβ+=+=，求cos()αβ-的值.（III ）两角和与差的正切公式的应用：5.已知,αβ都是锐角，1tan ,sin 710αβ==，求tan(2)αβ+的值.6.（1）若34παβ+=，求(1tan )(1tan )αβ--的值；（2）求值：tan 20tan 40tan120tan 20tan 40︒+︒+︒︒︒（3）tan 20tan 4020tan 40︒+︒︒︒的值是 .（IV ）二倍角公式的应用;7.（1）已知33cos ,52πθπθ=-<<，求2(sin cos )22θθ-的值；（2）已知445sin cos 9θθ+=，求sin 2θ的值.（二）化简： 8.（1）1sin10cos10-︒︒ （2）tan 70cos10201)︒︒︒-。
高考数学复习考点知识归类讲解专题06简单的三角恒等变换
高考数学复习考点知识归类讲解专题06简单的三角恒等变换一、考点归类：1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).二、知识点梳理：1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式S(α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.C(α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.T(α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎪⎫α，β，α±β≠π2＋kπ，k∈Z.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C(α±β)同名相乘，符号反；S(α±β)异名相乘，符号同；T(α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4，k ∈Z .二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角． 二、常用结论汇总——规律多一点 (1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2三、例题： 例1.（2020年北京卷，14）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数φ的一个取值为_________.【答案】π2（符合π2π+,2k k ∈Z 都可以，答案不唯一）【解析】易知当sin()y x ϕ=+，cos y x =同时取得最大值1时，函数()sin()cos f x x x ϕ=++取得最大值2，故sin()cos x x ϕ+=，则π2π,2k k ϕ=+∈Z ，故常数ϕ的一个取值为π2.例2.（2020年江苏卷，8）已知2π2sin +=43α⎛⎫⎪⎝⎭，则sin 2α的值是 .【答案】13【解析】因为2π2sin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π1cos 22223α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，1sin 2223α+=，得1sin 23α=. 例3.（2019全国Ⅱ理10）已知α∈(0，2π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=A ．15B5C3D5【答案】B【解析】由2sin 2cos21αα=+，得24sin cos 2cos ααα=.因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 2sin αα=.由22cos 2sin sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩，得sin α=.故选B. 例4.（2018江苏）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．(1)求cos2α的值； (2)求tan()αβ-的值．【解析】(1)因为，，所以． 因为，所以， 因此，． (2)因为为锐角，所以． 又因为，所以， 因此． 因为，所以，因此，．例 5.（2016年全国Ⅰ卷）已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-= .【答案】43-【解析】因为3sin()45πθ+=，所以cos()sin[()]424πππθθ-=+-sin()4πθ=+35=，因为θ为第四象限角，所以22,2k k k Z ππθπ-+<<∈， 所以322,444k k k Z ππππθπ-+<-<-∈，所以4sin()45πθ-==-，4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈cos()αβ+=sin()αβ+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+所以sin()44tan()43cos()4πθπθπθ--==--． 例6.（2015广东）已知tan 2α=．（Ⅰ）求tan()4πα+的值；（Ⅱ）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．【解析】（Ⅰ）tan tantan 1214tan 341tan 121tan tan 4παπααπαα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭-． （Ⅱ）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+--- 222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+-22tan tan tan 2ααα=+-222222⨯=+-1=． 四、巩固练习：1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B.12C.32 D ．－12【答案】B【解析】sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．(2019·贵阳高三监测考试)sin 415°－cos 415°＝( ) A.12B ．－12C.32D ．－32【答案】D【解析】 sin 415°－cos 415°＝(sin 215°－cos 215°)(sin 215°＋cos 215°)＝sin 215°－cos 215°＝－cos 30°＝－32.故选D. 3．(2018·成都七中一模)已知tan α＝m3，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2m ，则m ＝( )A ．－6或1B ．－1或6C ．6D ．1【答案】A【解析】 ∵tan α＝m3，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝3＋m 3－m .∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2m ，∴2m ＝3＋m3－m.解得m ＝－6或m ＝1.故选A. 4．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．7B.17 C ．－7D ．－17【答案】B【解析】∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，即－cos(α－β＋β)＝－cos α＝45，∴cos α＝－45.又∵α为第二象限角，∴tan α＝－34，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17.5．下列各式中，值为32的是( ) A ．sin 15°cos 15° B ．cos 2π12－sin 2π12C.1＋tan 15°1－tan 15° D.1＋cos 30°2【答案】B【解析】 A ．sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14.B.cos 2 π12－sin 2π12＝cos π6＝32.C.1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 60°＝ 3.D. 1＋cos 30°2＝cos 15°＝6＋24.故选B.6．对于锐角α，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝( )A.2425B.38C.28D ．－2425【答案】D【解析】由α为锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝35，可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π12＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12cos π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12sin π4＝45×22－35×22＝210，于是cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2102－1＝－2425，故选D.7．(2019·吉林百校联盟高三联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝( )A ．4－2 3B ．23－4C ．4－4 3D ．43－4【答案】B【解析】由题意可得－sin α＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12－π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π12，sin ( α＋π12 )·cos π12－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π12＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cosπ12＋3cos⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12sinπ12，整理可得tan⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－2tanπ12＝－2tan⎝⎛⎭⎪⎫π4－π6= －2×tanπ4－tanπ61＋tanπ4tanπ6＝23－4.故选B.8．已知角α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且cos 2α＋cos2α＝0，则tan⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A．－3－2 2 B．－1C．3－2 2 D．3＋22【答案】A【解析】由题意结合二倍角公式可得2cos2α－1＋cos2α＝0，∴cos2α＝13.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝33，∴sin α＝1－cos2α＝63，∴tan α＝sin αcos α＝2，tan⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2＝－3－22，故选A.9．(2019·沧州教学质量监测)若cos α＋2cos β＝2，sin α＝2sin β－3，则sin2(α＋β)＝( )A．1 B.1 2C.14D ．0【答案】A【解析】由题意得(cos α＋2cos β)2＝cos 2α＋4cos 2β＋4cos αcos β＝2，(sin α－2sin β)2＝sin 2α＋4sin 2β－4sin αsin β＝3.两式相加，得1＋4＋4(cosαcos β－sin αsin β)＝5，∴cos(α＋β)＝0，∴sin 2(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝1. 10．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝34，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )A.725 B.925 C.1625 D.2425【答案】B【解析】∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝34，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4tan 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＋1＝916916＋1＝925.故选B.11．设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则 cos θ＝( )A.255B.55C ．－255D ．－55【答案】C【解析】利用辅助角公式可得f (x )＝sin x －2cos x ＝5sin(x －φ)，其中cosφ＝55，sin φ＝255.当函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值时，θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，∴θ＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z)，则cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2＋φ＝－sin φ＝－255(k ∈Z)，故选C. 12．设0°<α<90°，若sin(75°＋2α)＝－35，则sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝( )A.110B.220C ．－110D ．－220【答案】B【解析】因为0°<α<90°，所以75°<75°＋2α<255°.又因为sin(75°＋2α)＝－35<0，所以180°<75°＋2α<255°，角75°＋2α为第三象限角，所以cos(75°＋2α)＝－45.所以sin(15°＋α)sin(75°－α)＝sin(15°＋α)cos(15°＋α)＝12sin(30°＋2α)＝12sin[(75°＋2α)－45°]＝12[sin(75°＋2α)·cos 45°－cos(75°＋2α)sin 45°]＝12×( －35×22＋45×22 )＝220，故选B.13．(2019·沈阳四校协作体联考)化简：1cos 80°－3sin 80°＝________.【答案】4【解析】1cos 80°－3sin 80°＝sin 80°－3cos 80°sin 80°cos 80°＝2sin 80°－60°12sin 160°＝2sin 20°12sin 20°＝4.14．已知sin(2α－β)＝35，sin β＝－1213，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin α的值为________．【答案】3130130【解析】∵π2<α<π，∴π<2α<2π.∵－π2<β<0，∴0<－β<π2，π<2α－β<5π2. ∵sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，cos(2α－β)＝45.∵－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513.∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)·sin β＝45×513－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝5665. ∵cos 2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝3130130.15．已知锐角α，β满足(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的值为________．【答案】3π4【解析】因为(tan α－1)(tan β－1)＝2，所以tan α＋tan β＝tan αtan β－1，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝3π4. 16． A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝－45，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π3＝________.【答案】117125【解析】因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝－45，所以π2<A ＋B <π，π2<B＋π3<π，所以sin(A ＋B )＝1－cos2A ＋B＝725，sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝35.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤A ＋B －⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝－2425×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋725×35＝117125. 17．(2019·六安第一中学月考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.求：(1)sin 2α；(2)tan α－1tan α.【解析】(1)由题知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ( π6＋α )·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32，∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.(2)由(1)得cos 2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝cos ( 2α＋π3 )·cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝－32，∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.18．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．【解析】(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝ －14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.。
三角恒等变换所有公式
三角恒等变换所有公式三角恒等变换，又称三角恒等式，是指数学中关于三角函数的一类等式。
它们具有很重要的作用，可以用来化简、证明以及推导其他数学公式。
本文将从基本的三角恒等变换开始，逐步展开，总结了一些常用的三角恒等变换公式。
1.余弦函数的基本恒等变换：(1)余弦函数的定义：cosθ = x / r(2)余弦函数的平方：cos^2θ + sin^2θ = 1(3)余弦函数的倒数：1 + tan^2θ = sec^2θ(4)余弦函数的和差化积：cos(α + β) = cosα cosβ - sinα sinβcos(α - β) = cosα cosβ + sinα sinβ(5)余弦函数的倍角化积：cos2θ = 2cos^2θ - 1cos2θ = 1 - 2sin^2θ(6)余弦函数的半角化和：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]2.正弦函数的基本恒等变换：(1)正弦函数的定义：sinθ = y / r(2)正弦函数的平方：sin^2θ + cos^2θ = 1(3)正弦函数的倒数：1 + cot^2θ = csc^2θ(4)正弦函数的和差化积：sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβsin(α - β) = sinα cosβ - cosα sinβ(5)正弦函数的倍角化积：sin2θ = 2sinθ cosθ(6)正弦函数的半角化和：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]3.正切函数的基本恒等变换：(1)正切函数的定义：tanθ = sinθ / cosθ(2)正切函数的平方：tan^2θ + 1 = sec^2θ(3)正切函数的倒数：1 + tan^2θ = csc^2θ(4)正切函数的和差化积：tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanα tanβ) tan(α - β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanα tanβ)(5)正切函数的倍角化积：tan2θ = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)(6)正切函数的半角化和：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]4.余割、正割和余切函数的基本恒等变换：(1)余割函数的定义：cscθ = 1 / sinθ(2)倍角化积：csc2θ = cscθ cotθcsc2θ = 1 + 2 cot^2θ(3)非倍角化积：csc^2θ - cot^2θ = 1(4)正割函数的定义：secθ = 1 / cosθ(5)倍角化积：sec2θ = secθ tanθsec2θ = 1 + 2 tan^2θ(6)非倍角化积：sec^2θ - tan^2θ = 1(7)余切函数的定义：cotθ = 1 / tanθ(8)正割与余切的乘积：cotθ = 1 / tanθcotθ = cosθ / sinθ这些三角恒等变换公式是数学中非常基础且常用的，掌握它们可以更加灵活地运用三角函数进行计算操作。
3-6 简单的三角恒等变换
基础知识整合
典例重点突破
试题深度研析
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高考总复习 数学
2 1 tan α (2)已知 sin(α＋β)＝ ，sin(α－β)＝－ ，则 的值为________． 3 5 tan β 2 解析：sin αcos β＋cos αsin β＝3，① 1 sin αcos β－cos αsin β＝－ ，② 5 ①＋② ①－② ③ ④ 7 2sin αcos β＝15，③ 13 2cos αsin β＝15，④
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题型二 三角函数式的证明 1 求证： 1 α＝4sin 2α. α－tan 2 tan 2 cos2α
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cos2α cos2α 【证明】 ∵左边＝ α α＝ 2 α 2α cos sin cos －sin 2 2 2 2 α－ α α α sin 2 cos 2 sin 2cos 2 α α α α 2 cos αsin cos cos αsin cos 2 2 2 2 ＝ ＝ α α cos α 2 2 cos 2－sin 2
3．三角化简的主要方法：切化弦、异名化同名、异角化同
角．
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题型一 三角函数式的求值 已知
π tan4＋α＝2，tan
1 β＝2.
(1)求 tan α 的值； sinα＋β－2sin αcos β (2)求 的值． 2sin αsin β＋cosα＋β
2
α α 1 1 ＝cos αsin 2cos 2＝2sin αcos α＝4sin 2α＝右边． ∴原式成立．
高考数学总复习第三章三角函数三角恒等变换及解三角形第6课时简单的三角恒等变换
第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第6课时 简单的三角恒等变换第四章(对应学生用书(文)、(理)51～52页)1. (必修4P 115复习题7(2)改编)函数y ＝3cos4x ＋sin4x 的最小正周期为________．答案：π2解析：y ＝3cos4x ＋sin4x ＝2(32cos4x ＋12sin4x)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6cos4x ＋sin π6sin4x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6，故T ＝2π4＝π2.2. 在△ABC 中，若cosA ＝45，cosB ＝513，则cosC ＝________.答案：1665解析：在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，cosA ＝45＞0，cosB＝513＞0，得0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，从而sinA ＝35，sinB ＝1213，所以cosC ＝cos[π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B)＝sinA·sinB －cosA·cosB＝35×1213－45×513＝1665.3. (必修4P 113练习3(2)改编)已知cos θ＝45，且270°＜θ＜360°，则sin θ2＝________，cos θ2＝________．答案：1010 －31010解析：∵ 270°＜θ＜360°，∴ 135°＜θ2＜180°.∴ sin θ2＝1－cos θ2＝1－452＝1010；cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1＋452＝－31010. 4. (必修4P 115复习题5改编)已知sin α＝35，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tan2β＝________．答案：－724解析：由sin α＝35且α是第二象限角，得tan α＝－34，∵ (α＋β)－α＝β，∴ tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝7.∴ tan2β＝2tan β1－tan 2β＝－724.5. (必修4P 115复习题1(1)改编)已知sin2α＝55，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin 4α－cos 4α＝________．答案：－255解析：sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝ －cos2α＝－1－sin 22α＝－255.三角函数的最值问题(1) 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式① y ＝asinx ＋bcosx ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b2 . ② y ＝asin 2x ＋bsinxcosx ＋ccos 2x 可先降次，整理转化为上一种形式．③ y ＝asinx ＋b csinx ＋d ⎝ ⎛⎭⎪⎫或y ＝acosx ＋b ccosx ＋d 可转化为只有分母含sinx 或cosx 的函数式或sinx ＝f(y)(cosx ＝f(y))的形式，由正、余弦函数的有界性求解．(2) 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式 ① y ＝asin 2x ＋bcosx ＋c 可转化为cosx 的二次函数式． ② y ＝asinx ＋cbsinx (a 、b 、c>0)，令sinx ＝t ，则转化为求y＝at ＋cbt(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．[备课札记]题型1 三角形中的恒等变换例1 已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2sin 2C 2＋cos C2＝2，求角C 的大小．解：由2sin 2C 2＋cos C2＝2，得2⎝⎛⎭⎪⎫1－cos 2C 2＋cos C 2＝2，整理得cos C 2⎝⎛⎭⎪⎫2cos C 2－1＝0.因为在△ABC 中，0<C<π，所以0<C 2<π2.所以cos C 2＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫舍去cos C 2＝0，从而C 2＝π4，即C ＝π2.备选变式（教师专享）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB ＝3b .求角A 的大小．解：由已知，得2sinAsinB ＝3sinB ，且B∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴ sinB ≠0，∴ sinA ＝32，且A∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴ A ＝π3.题型2 角的构造技巧与公式的灵活运用例2 求sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°的值．解：(解法1)因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin 210°＋cos 2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin 210°＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫32cos10°－12sin10°2＋sin10°·(32cos10°－12sin10°)＝34(sin 210°＋cos 210°)＝34. (解法2)设x ＝sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°，y ＝cos 210°＋sin 240°＋cos10°sin40°.则x ＋y ＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°，x －y ＝cos80°－cos20°－12＝－sin50°－12＝－cos40°－12.因此2x ＝32，故x ＝34. 变式训练求sin 220°＋cos 280°＋3sin20°cos80°的值．解：sin 220°＋cos 280°＋3sin20°cos80°＝12(1－cos40°)＋12(1＋cos160°)＋3sin20°cos(60°＋20°) ＝1－12cos40°＋12(cos120°cos40°－sin120°sin40°)＋3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)＝1－12cos40°－14cos40°－34sin40°＋34sin40°－32sin 220°＝1－34cos40°－34(1－cos40°)＝14.题型3 三角函数的综合问题 例3 函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋3sinxcosx(x ∈R )．(1) 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值；(2) 在△ABC 中，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，求sinB ＋sinC 的最大值．解：(1) f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋3sinxcosx ＝12cos2x ＋32sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1. (2) 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1.因为0＜A ＜π，所以A ＋π6＝π2，即A ＝π3.sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝32sinB ＋32cosB ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6.因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6，所以12＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1，所以sinB ＋sinC 的最大值为 3. 备选变式（教师专享）已知a ＝(cosx ＋sinx ，sinx)，b ＝(cosx －sinx ，2cosx)，设f(x)＝a·b .(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f(x)的最大值和最小值．解：(1) f(x)＝a·b＝(cosx ＋sinx)·(cosx －sinx)＋sinx·2cosx ＝cos 2x －sin 2x ＋2sinxcosx ＝cos2x ＋sin2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫22cos2x ＋22sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.∴f(x)的最小正周期T ＝π.(2) ∵0≤x≤π2，∴π4≤2x ＋π4≤5π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f(x)有最大值2；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f(x)有最小值－1. 1. (2013·苏州期末)已知θ为锐角，sin(θ＋15°)＝45，则cos(2θ－15°)＝________．答案：17250解析：因为θ为锐角，且sin(θ＋15°)＝45∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，32，所以θ＋15°∈(45°，60°)，2θ＋30°∈(90°，120°)，所以cos(2θ＋30°)＝1－2sin2(θ＋15°)＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725，从而sin(2θ＋30°)＝1－cos 2（2θ＋30°）＝2425，所以cos(2θ－15°)＝cos[(2θ＋30°)－45°]＝cos(2θ＋30°)cos45°＋sin(2θ＋30°)sin45°＝－725×22＋2425×22＝17250.2. 函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2·cos(x ＋π6)的最小正周期为________．答案：π解析：∵ f(x)＝－sinx ·(32cosx －12sinx)＝14－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴ T ＝π.3. 计算：sin47°－sin17°cos30°cos17°＝________．答案：12解析：sin47°－sin17°cos30°cos17°＝sin （30°＋17°）－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.4. 设α、β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝513，tan α2＝12，则cos β＝________．答案：－1665解析：∵ tan α2＝12，∴ tan α＝2tan α21－tan 2α2＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，而α∈(0，π)，∴ α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.由tan α＝sin αcos α＝43及sin 2α＋cos 2α＝1得sin α＝45，cos α＝35；又sin(α＋β)＝513<22，∴ α＋β∈(3π4，π)，cos(α＋β)＝－1213.∴ cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1213×35＋513×45＝－1665.1. 已知函数f(x)＝sin x 2cos x 2＋cos 2x2－12.(1) 若f(α)＝24，α∈(0，π)，求α的值；(2) 求函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π上最大值和最小值．解：(1) f(x)＝12sinx ＋1＋cosx 2－12＝12(sinx ＋cosx)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.由题意知：f(α)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝24，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12.∵α∈(0，π)，即α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，∴α＋π4＝5π6，即α＝7π12. (2) ∵ －π4≤α≤π， 即0≤α＋π4≤5π4，∴f(x)max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22，f(x)min ＝f(π)＝－12.2. 已知ω＞0，a ＝(2sinωx＋cosωx，2sin ωx －cosωx )，b ＝(sinωx，cos ωx)．f(x)＝a·b .f(x)图象上相邻的两个对称轴的距离是π2.(1) 求ω的值； (2) 求函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解：f(x)＝a ·b＝(2sinωx＋cosωx )sinωx＋(2sinωx－cosωx )cosωx ＝2sin 2ωx ＋3sinωxcosωx－cos 2ωx ＝1－cos2ωx＋32sin2ωx －12(1＋cos2ωx )＝32(sin2ωx －cos2ωx)＋12＝322sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π4＋12.(1) 因为函数f(x)的图象上相邻的两个对称轴间的距离是π2，所以函数f(x)的最小正周期T ＝π，则ω＝1.(2) ω＝1，f(x)＝322sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12.∴ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴ 2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，则当2x －π4＝－π4，即x ＝0时，f(x)取得最小值－1； 当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时，f(x)取得最大值32＋12. 3. 设函数f(x)＝(sinωx＋cosωx )2＋2cos 2ωx(ω＞0)的最小正周期为2π3. (1) 求ω的最小正周期；(2) 若函数y ＝g(x)的图象是由y ＝f(x)的图象向右平移π2个单位长度得到，求y ＝g(x)的单调增区间．解：(1) f(x)＝(sinωx＋cosωx )2＋2cos 2ωx＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋sin2ωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx＋π4＋2， 依题意得2π2ω＝2π3，故ω的最小正周期为32. (2) 依题意得g(x)＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π4 ＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －5π4＋2， 由2kπ－π2≤3x －5π4≤2k π＋π2(k∈Z )， 得23k π＋π4≤x ≤23k π＋7π12(k∈Z )， 故y ＝g(x)的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23kπ＋π4，23k π＋7π12(k∈Z )． 4. 设函数f(x)＝3sinxcosx ＋cos 2x ＋a.(1) 写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，函数f(x)的最大值与最小值的和为32，求a 的值． 解：(1) f(x)＝32sin2x ＋1＋cos2x 2＋a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋12，∴ T ＝π.由π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，得π6＋kx≤x≤ 2π3＋kπ.故函数f(x)的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z )．(2) ∵ －π6≤x ≤π3，∴ －π6≤2x ＋π6≤5π6.∴ －12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，原函数的最大值与最小值的和为⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a ＋12＝32， ∴ a ＝0.1. (1) 三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名．能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分．(2) 三角函数化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．2. 三角恒等式的证明主要从两方面入手：(1) 看角：分析角的差异，消除差异，向结果中的角转化．(2) 看函数：统一函数，向结果中的函数转化．请使用课时训练(A)第6课时(见活页)．[备课札记]。
3-6简单的三角恒等变换
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第三章
三角函数、解三角形
栏目导引
π π π π (2)∵0<ω< ，0<θ< ，∴－ <θ－ω< . 2 2 2 2 3 ∵sin(θ－ω)＝5， 4 ∴cos(θ－ω)＝ 1－sin （θ－ω）＝5.
2
∴ cos ω ＝ cos[ θ－ (θ－ ω)] ＝ cos θ cos(θ－ ω)＋ sin θ sin(θ－ω) 2 5 ＝ . 5
方数不含三角函数． (3) 三角函数化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异 角化同角，降幂或升幂．
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第三章
三角函数、解三角形
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2．三角函数式的求值
已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路 为： (1)先化简所求式子； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系 (从三角函数名及角 入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值.
π π ＝sinx－ ＋sinx－ 4 4 π ＝2sinx－ . 4
∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.
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第三章
三角函数、解三角形
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4 (2)证明：由已知得 cos βcos α＋sin βsin α＝ ， 5 4 cos βcos α－sin βsin α＝－5， 两式相加得 2cos βcos α＝0. π π ∵0<α<β≤ 2 ，∴β＝ 2 . ∴[f(β)] －2＝4sin
第6课时 简单的三角恒等变换
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第三章
三角函数、解三角形
栏目导引
1．化简三角函数式的基本要求： (1)能求出值的要求出值来； (2)使三角函数式的项数、三角函数的种类及角的种类尽 可能少； (3)使三角函数式的次数尽可能低；
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抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练
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1 α 1．(课本习题改编)已知 cos α＝－ ，α∈(π，2π)，则 cos 等于( 3 2 6 A. 3 6 C．－ 3 3 B. 3 3 D．－ 3
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答案：B
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考向二 三角函数式的求值 [例 2] (2013 年济宁模拟)已知函数 f(x)＝2cos － 3sin x. 2
2x
(1)求函数 f(x)的最小正周期和值域；
)
1 解析：∵cos α＝－ ，α∈(π，2π)， 3 α π ∴ ∈ ，π. 2 2 α ∴cos ＝－ 2
答案：D
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1＋cos α ＝－ 2
1 3 ＝－ . 3 3
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π 1 (2)因为 fα－ ＝ ， 3 3
1 1 所以 1＋2cos α＝ ，即 cos α＝－ . 3 3
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又因为 α 为第二象限角， 2 2 所以 sin α＝ . 3 cos2α－sin2α cos 2α ＝ 1＋cos 2α－sin 2α 2cos2α－2sin αcos α cos α＋sin αcos α－sin α ＝ 2cos αcos α－sin α cos α＋sin α ＝ 2cos α 1 2 2 － ＋ 1－2 2 3 3 ＝ ＝ . 2 2 － 3
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π 0， 的最大值 4．(课本习题改编)函数 f(x)＝sin 2x＋ 3cos 2x，x∈ 2
为________．
π π 2x＋ ，令 u＝2x＋ . 解析：由 f(x)＝2 sin 3 3 π π π 4π 0， ，∴2x＋ ∈ ， . ∵x∈ 2 3 3 3 π 4π π ， 的图象知当 u＝ ， 由 y＝2 sin u，u∈ 2 3 3
π ＝sin 2x＋cos 2x＝ 2sin 2x＋ ， 4
2π 所以 f(x)的最小正周期 T＝ ＝π. 2
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π π π π (2)因为 f(x)在区间－ ， 上是增函数，在区间 ， 上是减函数， 4 8 8 4 π π π π π 又 f－ ＝－1，f ＝ 2，f ＝1，故函数 f(x)在区间－ ， 上的最大 4 8 4 4 4
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[解析]
π ＋α· 2α tan cos 4 π 2cos2 －α 4
π ＋α · 2α sin cos cos 2α 4 ＝ ＝ π π π π 2sin2 ＋αcos ＋α 2sin ＋αcos ＋α 4 4 4 4
π π π 即 2x＋ ＝ ，x＝ 时，ymax＝2. 3 2 12
答案：2
菜 单
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2014 ·新课标高考总复习 ·数学（B ·理）
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练
1 5．(2013 年临沂调研)计算 －4cos 10° ＝________. tan 10°
值为 2，最小值为－1.
菜 单
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2．(2013 年大同模拟)已知函数 f(x)＝sin2ωx＋ 3sin ωxcos ωx(ω>0) 的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值及函数 f(x)的单调增区间；
cos 2α cos 2α cos 2α ＝ ＝ ＝ ＝1. π π cos 2α sin 2 ＋α sin ＋2α 4 2
[答案] D
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考向一 三角函数式的化简
π tan ＋α· 2α cos 4 [例 1] (2013 年石家庄质检)计算 的值为( π 2cos2 －α 4
)
A．－2 C．－1
B．2 D．1
菜 单
π －α ，则 sin 2α 等于( 2．已知锐角 α 满足 cos 2α＝cos 4
)
1 A. 2 C. 2 2
1 B．－ 2 D．－ 2 2
π π π π 0， ，∴2α∈(0，π)， －α∈ － ， .又 cos 2α＝ 解析：∵α∈ 2 4 4 4 π π π cos －α，∴2α＝ －α 或 2α＋ －α＝0， 4 4 4
＋2cos2x－1，x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期；
π π (2)求函数 f(x)在区间－ ， 上的最大值和最小值． 4 4
π π π [解析] (1)f(x)＝sin 2x· ＋cos 2x· cos sin ＋sin 2x· cos －cos 2x· sin 3 3 3 π ＋cos 2x 3
24 A．－ 25 12 C. 25
解析：利用二倍角公式求解． 3 ∵α 为第二象限角且 sin α＝ ， 5 4 ∴cos α＝－ 1－sin α＝－ ， 5
2
3 4 24 ∴sin 2α＝2sin α· α＝2× ×－ ＝－ . cos 5 5 25
答案：A
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π π 1 ∴α＝ 或 α＝－ (舍)，∴sin 2α＝ ，故选 A. 12 4 2
答案：A
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3 (2012 年高考大纲全国卷)已知 α 为第二象限角，sin α＝ ，则 sin 5 2α＝( ) 12 B．－ 25 D. 24 25
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(3)灵活运用角的变形和公式的变形．如2α＝(α＋β)＋(α－β)，tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)等； (4)重视角的范围对三角函数值的影响，要注意角的范围的讨论； (5)要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角之间关系的特殊性， 化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公式的正用、 逆用、变形用等．
[疑难关注]
三角函数的求值与化简总的技巧为“发现差异，寻找联系，化异 为同”．“发现差异”即为发现条件之间，条件与求解之间“角度、
名称、形式、次数”的差异，特别是角的差异，利用公式找到它们之
间转化的桥梁，进行“化异为同”．具体应注意的问题有： (1)求值常用方法，利用两角和与差、倍角、半角等公式进行变换， 使其出现特殊角、正负抵消或约分的情况； (2)已知某些函数值，求其他三角函数值，一般应先化简所求式子 (或变化已知式)弄清所求再求解，主要方法有：①消元法；②平方法； ③比例性质法；
cos 10° 解析：原式＝ －4cos 10° sin 10° cos 10° －2sin 20° ＝ sin 10° cos 10° －2sin30° －10° ＝ sin 10° 2cos 30° 10° sin ＝ ＝ 3. sin 10°
答案： 3
菜 单
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π 1 cos 2α (2)若 α 为第二象限角，且 fα－ ＝ ，求 的值． 3 3 1＋cos 2α－sin 2α
[解析] (1)因为 f(x)＝1＋cos x－ 3sin x