2014年四川高考数学理工类试卷
2014年四川高考真题(选择题部分)
更恋秋风提供2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题1.已知集合A={x ∣022≤--x x }，集合B 为整数集，则=B A（A ） {-1,0,1,2} （B ） {-2，-1,0,1}（C ） {0,1} （D ） {-1,0} 2.在x6x 1）（+的展开式中，含3x 项的系数为 （A ） 30 （B ） 20（C ） 15 （D ） 103.为了得到函数y=sin(2x+1)的图像，只需把函数y=sin2x 的图像上所有的点（A ） 向左平行移动21个单位长度 （B ） 向右平行移动21个单位长度 （C ） 向左平行移动1个单位长度（D ） 向右平行移动1个单位长度4.若a>b>0,c<d<0,则一定有（A ）d b c >a （B ）db c <a （C ）c b d >a （D ）cb d <a 5.执行如图的程序框图，x,y ∈R ，那么输出的S 的最大值（A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）3 6.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲 则不同的排法共有（A ）192种 （B ）216种 （C ）240种 （D ）288种7.平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m ∈R),且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m= 开始 输入x,y，0,0x ≥≥y 1x ≤+y ？是否 S=2x+y S=1 输出s更恋秋风提供 (A) -2 (B)-1(C) 1 (D) 21A 1B 8.如图，在正方体中，点O 是线段BD 的中点，设点P 在线段CC 1上，直线OP 与平面A 1BDD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（A ）[33,1] (B)[36,1] （C ）[36,322] (D)[322,1] 9.已知f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x ∈(-1,1),现有下列命题： ①f(-x)=-f(x); ②f(2x 1x 2+)=2f(x); ③∣f(x)∣≥2∣x ∣; 其中的所有正确的命题的序号是(A)①②③ (B)②③(C)①③ (D)①②10.已知Ｆ为抛物线ｙ2＝ｘ的焦点，点Ａ，Ｂ在抛物线上且位于ｘ轴的两侧，ＯＡ·ＯＢ＝２（其中Ｏ点为坐标原点），则△ＡＢＯ与△ＡＦＯ的面积之和的最小值是（Ａ）２ （Ｂ）３ （Ｃ）8217 （D ）10A B C D 1D 1C。
2014四川高考真题数学理(含解析)
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A ={x | x2 -x - 2 ，集合B 为整数集，则A （）．A．{-1, 0,1, 2} B．{-2,-1, 0,1} C．{0, 1} D．{-1, 0}2．在x(1+x)6 的展开式中，含x3 项的系数为（）．A．30 B．20 C．15 D．103．为了得到函数y = sin(2x +1) 的图象，只需把函数y = sin 2x 的图象上所有的点（）．A．向左平行移动12个单位长度B．向右平行移动12个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度4．若a >b > 0，c <d < 0，则一定有（）．A．a b>B．a <b C．a b>D．c d c d d ca b<d c5．执行如图 1 所示的程序框图，如果输入的x, y ∈R ，则输出的S的最大值为（）．A．0 B．1 C．2 D．36．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）．A．192种B．216 种C．240 种D．288 种7．平面向量a = (1, 2)，b = (4, 2)，c =m a +b（m∈R ），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（）．A．-2 B．-1 C．1 D．28．如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1 中，点O 为线段BD的中点．设点P 在线段CC 上，直线OP1与平面A1BD 所成的角为α，则sinα的取值范围是（）．A．[ 3 ,1]3 B．[ 6 ,1]3C．[ 6 , 2 2 ]3 3D．[2 2 ,1]39．已知f (x) = ln(1+x) - ln(1-x) ，x∈(-1, 1) ．现有下列命题：（）．①f (-x) =-f (x) ；②2xf ( ) = 2 f (x)x 1；③| f (x) |≥ 2 | x | ．其中的所2有正确命题的序号是A．①②③B．②③C．①③D．①②1/ 1510．已知F 是抛物线y =x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA⋅OB = 2（其中2O 为坐标原点），则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是（）．17 28A．2 B．3 C．D．10二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分．11．复数2 2i-=1+i．12．设f (x) 是定义在R 上的周期为2 的函数，当x∈[-1, 1) 时，f (x)⎧- 2 +-≤<4x 2, 1 x 0, =⎨x, 0 ≤x <1,⎩，则3f ( ) =．213．如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为67 ，30 ，此时气球的高是46m ，则河流的宽度 BC 约等于m ．（用46m30°67°四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：s i n 6 7≈0 . ，cos 67 ≈ 0.39，sin 37 ≈ 0.60 ，cos 37 ≈ 0.80 ， 3 ≈1.73）B C14．设m∈R，过定点A的动直线x +my = 0 和过定点B的动直线mx -y -m + 3 = 0交于点P(x, y) ，则| PA|⋅| PB |的最大值是．15．以A 表示值域为 R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数ϕ(x) 组成的集合：对于函数ϕ，存在一个正数M ，使得函数ϕ(x) 的值域包含于区间[-M,M ] ．例如，当ϕ=，(x) 1(x) x3 ϕ=时，ϕ1(x)∈A， 2 (x) B2(x) sin xϕ∈．现有如下命题：①设函数f (x) 的定义域为D ，则“f (x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f (a) =b ”；②函数f (x)∈B 的充要条件是f (x) 有最大值和最小值；③若函数f (x) ，g(x) 的定义域相同，且f (x)∈A，g(x)∈B ，则f (x) +g(x)∉B ；④若函数f (x) =a ln(x + 2) +x（x >-2，a∈R ）有最大值，则f (x)∈B ．x +12其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6 小题，共75 分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知函数πf (x) = sin(3x +) ．4（1）求f (x) 的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，(α ) = 4 cos(α+π) cos 2αf3 5 4，求cosα-sinα的值．2/ 1517．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分（即获得 200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？12，（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．3/ 1518．三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图所示．设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN ⊥NP ．（1）证明：P 为线段BC 的中点；（2）求二面角A-NP-M 的余弦值．4/ 1519．设等差数列{a }的公差为d ，点(a ,b )在函数f (x) = 2x 的图象上（n∈N* ）．n n n（1）若a1 =-2 ，点(a ,4b ) 在函数f (x) 的图象上，求数列{a }的前n 项和8 7 n S ；n(a ,b ) 处的切线在x 轴上的截距为2 1（2）若a1 =1，函数f (x) 的图象在点a-，求数列{ n } 2 2b ln 2n 的前n 项和T ．n5/ 15x y2 2+=（a >b > 0）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正20．已知椭圆C： 2 2 1a b三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x =-3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P，Q．（i）证明：OT 平分线段PQ（其中O 为坐标原点）；（ii）当|TF || PQ |最小时，求点T 的坐标．6/ 1521．已知函数f (x) = e x -ax2 -bx -1，其中a,b∈R ，e = 2.71828 为自然对数的底数．（1）设g(x) 是函数f (x) 的导函数，求函数g(x) 在区间[0,1]上的最小值；（2）若f (1) = 0，函数f (x) 在区间(0,1) 内有零点，求a 的取值范围．7/ 152014 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷理科）答案解析一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．A【解析】A ={x -1 ，所以A , 0,1, 2}2．C【解析】x(1+x)6 =x(1+6x+15x2 +20x3 +15x4 +6x5 +x6)，所以含x 项的系数为 1533．Ay =x +=x +，所以只需把y = sin 2x 的图像上所有的点向左平移1sin(2 1) sin 2( )1【解析】2 2个单位4．D∴->->，又a >b > 0， a b 01 1 ∴->->， a b【解析】0 ，∴-c >-d > 0 ，∴<d c d c d c 5．C⎧x⎪⎨y【解析】该程序执行以下运算，已知⎪+x y⎩，求S=2x y+的最大值，作出⎧x⎪⎨y⎪+x y⎩表示的区域如图所示，由图可知，当⎧x =1⎨=⎩y 0时，S = 2 x+y的取最大值，最大值为S = 26．B【解析】最左端排甲，有A5 =种排法，最左端排乙，有4A4 = 96种排法，共有120+96 = 216 种5 1204排法7．D【解析】由题意得c ⋅a c ⋅b a b +8 8m+ 20=⇒m = 5 2 528．B【解析】设正方体的棱长为 1，AC =，1 12 AC =，1 3A O =OC =+=， 11 OC =，1 31 12 2 2 8/ 153 3+- 2 12 2cos∠AOC ==所以 1 13 32⨯2 ，sin3 1+-3 32 2 2 2cos∠AOC ==-AOC =， 11 13 332⨯2，sin6AOC =，所以sinα的范围为13⎡⎤6⎢,1⎥3⎣⎦9．C【解析】①f (-x) = ln(1-x) - ln(1+x) =-f (x) ，成立②左边的x可以取任意值，而右边的x ∈ (-1,1) ，故不成立③作出图像易知成立10．B【解析】依题意，1F ( ,0) ，设4A(x , y )，1 1B x y ，则 2 1 2 1 2 2( , ) x =y ， 2x =y ，y2 y2 +y y =，得2 2 1 1 2 2y y =-或1 2 2 y y =，因为A ，B 位于x 轴两侧所以，1 2 1y y =-两面积之和为1 2 21 1 12 1 2 9 S =x y -x y +⨯⨯y =+y +⨯y =+y1 2 2 1 1 1 1 12 2 4 y 8 y 81 1二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分．11．-2i【解析】2-2i 2(1-i)2= =-2i 1+i (1+i)(1-i)12． 1【解析】3 1 1f ( ) =f (-) =-4⨯+ 2 =12 2 413．60【解析】AC = 92，14．546AB =，cos 67AB =BC ，AB sin 37 60BC =≈sin 30 sin 37 sin 309/ 15【解析】易得A(0, 0) ，B(1, 3) ，设P(x,y) ，则消去m得：x2 +y2 -x-3y =0，所以点P 在以AB为直径的圆上，PA ⊥PB，所以PA ⨯PB AB22515．①③④【解析】①若对任意的b∈R ，都有∃a∈D，使得f (a) =b ，则f (x) 的值域必为R ；反之f (x) 的值域为，则对任意的R ，b∈R，都有∃a∈D，使得f (a) =b ；②比如函数f (x) =x(-1 <x < 1) 属于B ，但是它既无最大值也无最小值，故错误；③正确；④正确三、解答题：本大题共6 小题，共75 分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．π16．已知函数f (x) = sin(3x +) ．4（1）求f (x) 的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，(α ) = 4 cos(α+π ) cos 2αf3 5 4，求cosα-sinα的值．πππ解：（1）2kπ-k ∈Z2 4 23ππ2kπ-,4 42 2kπ-πkππ,3 4 3 12∴求f (x) 的单调递增区间为⎡2kπ-π2kπ+π⎤∈，，k Z ．⎢⎥⎣ 3 4 3 12⎦（2）fα=α+π=α+πα,4( ) sin( ) cos( )cos 2 3 4 5 42 4 2( s i n c o s ) ( c o s s i n ) ( c o s α+α=⋅α-α2 α+α, 2 5 22 5(cos sin )α-α=, α是第二象限角，4∴sinα> cosα5∴cosα-sinα=-．217．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分（即获得-200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？12，且10/ 15（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．解：X 可取 10,20,100,-200．1 2⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫ 3P(X 10) C 1== ⎪ -⎪=13⎝ 2 ⎭⎝ 2 ⎭82 1⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫ 3P(X = 20) = C ⎪ 1-⎪=23⎝ 2 ⎭⎝ 2 ⎭83 0⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫ 1P(X =100) = C ⎪ 1-⎪=33⎝ 2 ⎭⎝ 2 ⎭80 3⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫ 1P(X 200) C 1=-=0 ⎪ -⎪=3⎝ 2 ⎭⎝ 2 ⎭8X 10 20 100 -200P 3 3 1 18 8 8 8 （2）设至少有一盘出现音乐为事件A ．一盘中不出现音乐的概率为1 P =P(X =-200) =．83P =P A =-⎛⎪⎫=( ) 11 511⎝ 8 ⎭512．（3）每一盘游戏的期望为：10E(X ) =10⋅P(X =10) + 20⋅P(X = 20) +100⋅P(X =100) + (-200)⋅P(X =-200) =-8 这说明每盘游戏得分是负分，由概率统计的知识可知：若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．18．三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图所示．设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN ⊥NP ．（1）证明：P 为线段BC 的中点；（2）求二面角A-NP-M 的余弦值．解：（1）由三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥中，平面ABD ⊥平面CBD， AB =AD =BD =CD =CB = 2，设O 为BD的中点，连接OA，OC ，于是OA ⊥BD ，OC ⊥BD ，所以BD ⊥平面OAC ⇒BD ⊥AC，因为M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，所以MN//BD ，11/ 15又 MN ⊥ NP ，故 BD ⊥ NP ，假设 P 不是线段 BC 的中点，则直线 NP 与直线 AC 是平面 ABC 内 相交直线，从而 BD ⊥平面 ABC ，这与 ∠DBC = 60 矛盾，所以 P 是线段 BC 的中点（2）以O 为坐标原点，OB 、OC 、OA 分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系，则 A (0, 0, 3) ， B，C (0,1, 0) ， M (- 1 ,0, 3)， (1 ,0, 3)(1, 0, 0)N， 22221 3 P ( , ,0)2 2于是 AN = ( ,0,- 3) ， (0, 3 , 3)PN = - ， MN = (1, 0, 0) 2 2 2 2设平面 ANP 和平面 NPM 的法向量分别为 m = (x , y , z ) 和 111n = (x , y , z )222由⎧ 1 3 x - z = 0⎪⎧⎪ ⇒ ⎪ ⎨⎨1 12 2 ⎪⎪PN ⋅m = 0 33 ⎩- + =yz ⎪ ⎩ 2211，设 y 1 =1，则 m = ( 3 ,1,1)由 ⎧x = 0 ⎧⎪ ⇒ ⎪ ⎨ ⎨332⎩⎩ PN n ⋅ = 0 - y +z =⎪ ⎪212 2，设 y 2 =1，则 n = (0,1,1) 0 cos2 10 m ⋅n == ⋅ 5m n5 2，所以二面角 A - NP -M 的余弦值 10 5 19．设等差数列{ }a 的公差为 d ，点(a ,b )在函数 f (x ) = 2x 的图象上（ n ∈ N * ）．nnn（1）若 a 1 = -2 ，点(a ,4b ) 在函数 f (x ) 的图象上，求数列{a }的前 n 项和87nS ；n(a ,b ) 处的切线在 x 轴上的截距为 21a（2）若a1 =1，函数f (x) 的图象在点-，求数列{ n } 2 2b ln 2n 的前n 项和T ．nb =，又等差数列{} 【解析】（1）点(a ,b )在函数f (x) = 2x 的图像上，所以 2a 的公差为d ，所ann n n n以b 1 2 2an+1n+==d b 2ann因为点(a8,4b7 ) 在函数f (x) 的图像上，所以b4b = 2a =b ，所以8 d2d == 4 ⇒= 2 ，又87 8 b7a =-，1 2所以n(n -1)S =na + d =-2n +n -n =n -3n2 2n 12（ 2 ）由 f (x) = 2x ，得到 f '(x ) = x2 l n，函数f (x) 的图像在点(a ,b ) 处的切线方程为2 2by -b2 = (2 ln 2)(x -a2 ) ，所以切线在x 轴上的截距为a a -，得22a=，从而222 2a ln 22 a =n ，b = 2n ，n n得到anbn1=n⋅( )2n1 1 1T =⋅+⋅ 2 +①，1 2 ( ) )nn2 2 212/ 151 1 1 1 1T =⋅+⋅+⋅+n⋅+②，1 ( )2 ( ) ) ( ) ( )2 3 n n 1 n2 2 2 2 2①-②，得1 1 1 1 1 1T =++-n⋅+=-n ++( ) ( ) 1 ( 2)( )2 n 1 n 1 n2 2 2 2 2 21T =-n ++2 ( 2)( )n 1故n2x y2 2+=（a >b > 0）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构20．已知椭圆 C： 2 2 1a b成正三角形．（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线x =-3上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q．（i）证明：OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点）；（ii）当|TF || PQ |最小时，求点 T 的坐标．解：（1）2c = 4,c = 2a =b, a2 = 3b2 = 4 +b23∴b2 = 2,a2 = 6∴椭圆C 的标准方程：x +y =．2 216 2（2）（i）m - 0 1F(-2, 0), T(-3,m),k ==-m,∴k =FT PQ-3+ 2 m．P Q: y1 (x )m∴=+m⎧=+1() y x m ⎪⎪m ,⎛+⎫++-=3 12 121 x x 6 02⎪⎝m ⎭m m2 2 2, ()m2 + 3 x2 +12x +12 - 6m2 = 0⎨ xy22⎪ += 1⎪⎩ 6 2 ∆ > 0 x + x =P Q12 - 6m2x ⋅ x =PQm2-12 m 2+11144m ()() ()y + y =x + 2 + x + 2 = x + x += PQPQPQ+mmmm m 32PQ 中点⎛ -m ⎫m6 2 ，O T : y = -x + + ⎪ ⎝ m 3 m 3⎭322-6 ⋅⎛- ⎫⎪= 2 m mm 3 3 m 32 + ⎝ ⎭ 2 +∴OT 平分 PQ （ii）TF =-2 + 3 + 0 - m = m +1,222PQ()1 2 6 m m +122 6 m +1 2= 1+=mm3m3 22+2+13 / 15tTF m + 32==PQ m +2 6 12t 2 =()()()2 2m2 m2 m2 m2+ 3 +1 +4 +1 +4 +1 1 1 1 1 1 = = + + + = ()()()24 m +1 24 m +1 24 6 6 m +1 144 6 32 2 2m2 +1 1=当且仅当()24 6 2 1m +时取到等于号，∴(+)，m2 +1=2 ，m2 =1，∴T(-3,±1)．2m2 1 =421．已知函数f (x) =e x -ax2 -bx -1，其中a,b∈R ，e = 2.71828 为自然对数的底数．（1）设g(x) 是函数f (x) 的导函数，求函数g(x) 在区间[0,1]上的最小值；（2）若f (1) = 0，函数f (x) 在区间(0,1) 内有零点，求a 的取值范围．解：（1）g (x)=f '(x)=e - 2ax -b , g'(x)=e - 2a ．因为x∈[0,1],1 ,所以x x①若1a 则2a 所以函数g (x)在区间[0，1]上单增，2g (x)=g ()=-min 0 1 b②若'()()[][]gx=e 1 e<<则1< 2a <e, 于是当0 <x < ln(2a)时，() 2 0,a ,g'x =e x - a <当ln(2a)<x <1时，2 2x-2a>0,ln(2a)ln(2a)1gx，，所以函数在区间上单减，在区间上单增，g x =g ⎣⎡ a ⎦⎤= a - a a -min ln 2 2 2 ln(2 ) b()()③若ea 则2a ()x 2g'x =e - a 所以函数g (x)在区间[0，1]上单减，2g (x)=g ()=e - a -min 1 2 b⎧ -1 1 ba⎪ 2⎪ ⎪1e综上：函数 g (x )在区间[0，1]上的最小值为( )= ⎨ -- < <gx 2a 2a ln(2a ) b a,min2 2 ⎪ ⎪--ee 2a ba ⎪ ⎩2（2）由 f (1)= 0,e - a -b -1= 0,b = e - a -1, 又 f (0) = 0若函数 f (x ) 在区间 (0,1) 内有零点，则函数 f (x ) 在区间(0,1) 内至少有三个单调区间．1由（1）知当 a 或ea函数 f (x ) 在区间(0,1) 上单调，不可能满足条件．若11 ' = - ( ) h x x ln 0,由( )' = - > ⇒ < h x1 e 3< < g (x ) = g ⎡⎣ ( a )⎤⎦ = a - a a - ，令 ( ) ( ) a , min ln 2 2 2 ln(2 ) b h x = x - x ln x -e -1 1< x < e , 2 2 2 ln 2 2xxe14/ 15所以函数h(x) 在区间(1, e)上单增，在区间( e，e) 上单减．3h x =h e = e - e e -e -<即()()()ln 1 0g min x < 0 恒成立．max2于是，函数f (x) 在区间(0,1) 内至少有三个单调区间⎧(0)= 2 -+> 0 ⎧>- 2⎪g e a a e⇔⎨⇒⎨,g (1)=-a +1> 0 a <1⎪⎩⎩又1 e<a <,所以e-2 <a <1．2 2综上，a 的取值范围为(e - 2，1)．15/ 15。
2014年四川高考数学试卷(理科)(含答案解析)
2014年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•四川）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{0，1} D．{﹣1，0}2．（5分）（2014•四川）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A．30 B．20 C．15 D．103．（5分）（2014•四川）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行一定1个单位长度4．（5分）（2014•四川）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜5．（5分）（2014•四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A．0B．1C．2D．36．（5分）（2014•四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种7．（5分）（2014•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．28．（5分）（2014•四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，1]9．（5分）（2014•四川）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③B．②③C．①③D．①②10．（5分）（2014•四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2B．3C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2014•四川）复数=_________．12．（5分）（2014•四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=_________．13．（5分）（2014•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于_________m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）14．（5分）（2014•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是_________．15．（5分）（2014•四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题有_________．（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．17．（12分）（2014•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．18．（12分）（2014•四川）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．19．（12分）（2014•四川）设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{a n}的前n项和S n；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和T n．20．（13分）（2014•四川）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．21．（14分）（2014•四川）已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．2014年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•四川）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{0，1} D．{﹣1，0}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得．解答：解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z，∴A∩B={﹣1，0，1，2}．故选：A．点评：本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分．2．（5分）（2014•四川）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A．30 B．20 C．15 D．10考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数．然后求解即可．解答：解：（1+x）6展开式中通项T r+1=C6r x r，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15．故选：C．点评：本题考查二项展开式的通项的简单直接应用．牢记公式是基础，计算准确是关键．3．（5分）（2014•四川）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行一定1个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解答：解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，即可得到函数y=sin（2x+1）的图象，故选：A．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．4．（5分）（2014•四川）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜考点：不等式比较大小；不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用特例法，判断选项即可．解答：解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确．故选：D．点评：本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确．5．（5分）（2014•四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A．0B．1C．2D．3考点：程序框图．专题：计算题；算法和程序框图．分析：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，求出最大值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域如图：当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2．故选：C．点评：本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．6．（5分）（2014•四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：应用题；排列组合．分析：分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．解答：解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选：B．点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）（2014•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．2考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案．解答：解：∵向量=（1，2），=（4，2），∴=m+=（m+4，2m+2），又∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，∴=，解得m=2，故选：D点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档．8．（5分）（2014•四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，1]考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪．再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出．解答：解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪．不妨取AB=2．在Rt△AOA1中，==．sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，=1．∴sinα的取值范围是．故选：B．点评：本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题．9．（5分）（2014•四川）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③B．②③C．①③D．①②考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案．解答：解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln（）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g（0）=0，又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以丨f（x）丨≥2丨x丨成立，故③正确；故正确的命题有①②③，故选：A点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档．10．（5分）（2014•四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2B．3C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．解答：解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（（0，m），由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，从而，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO==．当且仅当，即时，取“=”号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．点评：求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2014•四川）复数=﹣2i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果．解答：解：复数===﹣2i，故答案为：﹣2i．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．12．（5分）（2014•四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=1．考点：函数的值．专题：计算题．分析：由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值．解答：解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，∴=1．故答案为：1．点评：本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”．13．（5分）（2014•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于60m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）考点：余弦定理的应用；正弦定理；正弦定理的应用．专题：应用题；解三角形．分析：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度．解答：解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m∴CD==46≈79.58m．又∵Rt△ABD中，∠ABD=67°，可得BD==≈19.5m∴BC=CD﹣BD=79.58﹣19.5=60.08≈60m故答案为：60m点评：本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．14．（5分）（2014•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．15．（5分）（2014•四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题有①③④．（写出所有真命题的序号）考点：命题的真假判断与应用；充要条件；函数的值域．专题：新定义；极限思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．解答：解：（1）对于命题①“f（x）∈A”即函数f（x）值域为R，“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”表示的是函数可以在R中任意取值，故有：设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”∴命题①是真命题；（2）对于命题②若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值．∴命题②“函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值．”是假命题；（3）对于命题③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．∴f（x）+g（x）∈R．则f（x）+g（x）∉B．∴命题③是真命题．（4）对于命题④∵函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，∴假设a＞0，当x→+∞时，→0，ln（x+2）→+∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符；假设a＜0，当x→﹣2时，→，ln（x+2）→﹣∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符．∴a=0．即函数f（x）=（x＞﹣2）当x＞0时，，∴，即；当x=0时，f（x）=0；当x＜0时，，∴，即．∴．即f（x）∈B．故命题④是真命题．故答案为①③④．点评：本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想．本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：（1）令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．（2）由函数的解析式可得f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈z．（2）由函数的解析式可得f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cos2α﹣sin2α）（sinα+cosα）．又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，此时cosα﹣sinα=﹣．当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣．综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．点评：本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，属于中档题．17．（12分）（2014•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论．（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可．解答：解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100．则P（X=﹣200）=，P（X=10）==P（X=20）==，P（X=100）==，故分布列为：X ﹣200 10 20 100P由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣．由（1）知，每盘游戏或得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=．这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．点评：本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力．18．（12分）（2014•四川）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角．专题：空间向量及应用．分析：（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值．解答：解：（1）由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中：平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2设O为BD的中点，连接OA，OC于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN∥NP，故BD⊥NP假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点（2）以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，），M（，O，），N（，0，），P（，，0）于是，，设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和由，则，设z1=1，则由，则，设z2=1，则cos===所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值点评：本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题．19．（12分）（2014•四川）设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{a n}的前n项和S n；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列与函数的综合．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：（1）由于点（a8，4b7）在函数f（x）=2x的图象上，可得，又等差数列{a n}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得=2d．由于点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，可得=b8，进而得到=4=2d，解得d．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．（2）利用导数的几何意义可得函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程，即可解得a2．进而得到a n，b n．再利用“错位相减法”即可得出．解答：解：（1）∵点（a8，4b7）在函数f（x）=2x的图象上，∴，又等差数列{a n}的公差为d，∴==2d，∵点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，∴=b8，∴=4=2d，解得d=2．又a1=﹣2，∴S n==﹣2n+=n2﹣3n．（2）由f（x）=2x，∴f′（x）=2x ln2，∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为，又，令y=0可得x=，∴，解得a2=2．∴d=a2﹣a1=2﹣1=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，∴b n=2n．∴．∴T n=+…++，∴2T n=1+++…+，两式相减得T n=1++…+﹣=﹣==．点评：本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“错位相减法”，属于难题．20．（13分）（2014•四川）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．解答：解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）设T（﹣3，m），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，由⇒（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以于是，从而，即，则，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．点评：本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定理；3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题．21．（14分）（2014•四川）已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点．解答：解：∵f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=e x﹣2ax﹣b，又g′（x）=e x﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤e x≤e，∴①当时，则2a≤1，g′（x）=e x﹣2a≥0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b；②当，则1＜2a＜e，∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=e x﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=e x﹣2a＞0，∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；③当时，则2a≥e，g′（x）=e x﹣2a≤0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．若，则g min（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1令h（x）=（1＜x＜e）则．由＞0⇒x＜∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，=+＜0，即g min（x）＜0 恒成立，∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，又，所以e﹣2＜a＜1，综上得：e﹣2＜a＜1．点评：本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点．是一道导数的综合题，难度较大．参与本试卷答题和审题的老师有：任老师；王老师；孙佑中；刘长柏；qiss；尹伟云；翔宇老师；szjzl；caoqz；清风慕竹；静定禅心；maths（排名不分先后）菁优网2014年6月24日。
2014年四川卷理科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科数学本试卷共14题，共100分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合2{|20}A x x x =−−≤，集合B 为整数集，则A B ⋂= A ．{1,0,1,2}− B ．{2,1,0,1}−− C ．{0,1} D ．{1,0}− 2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为A ．30B ．20C ．15D ．103．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 4．若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c<5． 执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种7．平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =A ．2−B ．1−C ．1D ．28．如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，点O 为线段BD 的中点。
2014年四川高考理科数学试题及答案(Word版)
又
因为点 ， 在该抛物线上且位于 轴的两侧，所以 ，故
于是
当且仅当 时取“ ”
所以 与 面积之和的最小值是
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．复数 。
【答案】
【解析】
12．设 是定义在R上的周期为2的函数，当 时， ，则的河流的两岸B，C的俯角分别为 ， ，此时气球的高是 ，则河流的宽度BC约等于 。（用四舍五入法将结果精确到个位。参考数据： ， ， ， ， ）
所以
于是 ，
所以 。因为
所以 ， ， 三点共线
即OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）
（ii） ，
所以 ，令 （ ）
则 （当且仅当 时取“ ”）
所以当 最小时， 即 或 ，此时点T的坐标为 或
21．已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数。
（1）设 是函数 的导函数，求函数 在区间 上的最小值；
（2）若 ，函数 在区间 内有零点，求 的取值范围
【答案】C
【解析】 故①正确
但左边的 ，右边的 ，故②不正确
当 时，
令 （ ）
因为 ，所以 在 单增，
即 ，又 与 为奇函数，所以 成立故③正确
10．已知 是抛物线 的焦点，点 ， 在该抛物线上且位于 轴的两侧， （其中 为
坐标原点），则 与 面积之和的最小值是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设直线AB的方程为： ，点 ， ，又 ，直线AB与 轴的交点 （不妨假设 ）
8．如图，在正方体 中，点 为线段 的中点。设点 在线段
上，直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直线 与平面 所成的角为 的取值范围是
2014年高考理科数学四川卷及答案
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川）数学(理工类)本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页,共6页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 第Ⅰ卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =--≤,集合B 为整数集,则A B = ( )A .{1,0,1,2}-B .{2,1,0,1}--C .{0,1}D .{1,0}- 2.在6(1)x x +的展开式中,含3x 项的系数为( )A .30B .20C .15D .103.为了得到函数sin(21)y x =+的图象,只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )A .向左平行移动12个单位长度B .向右平行移动12个单位长度C .向左平行移动1个单位长度D .向右平行移动1个单位长度 4.若0a b >>,0c d <<,则一定有( )A .a bc d > B .a b c d < C .a b d c> D .a b d c<5.执行如图的程序框图,如果输入的x ,y ∈R ,那么输出的S 的最大值为( )A .0B .1C .2D .36.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( ) A .192 种 B .216 种 C .240 种 D .288 种7.平面向量a (1,2)=,b (4,2)=,c m =a +b ()m ∈R ,且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角,则m =( )A .2-B .1-C .1D .28.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上,直线OP 与平面1A BD 所成的角为α,则sin α的取值范围是 ( )A.B .C .[]33D .[39.已知()ln(1)ln(1)f x x x =+--,(1,1)x ∈-.现有下列命题： ①()()f x f x -=-；②22()2()1xf f x x =+；③|()|2||f x x ≥. 其中的所有正确命题的序号是( )A .①②③B .②③C .①③D .①②10.已知F 为抛物线2y x =的焦点,点A ,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,2OA OB =（其中O 为坐标原点）,则ABO △与AFO △面积之和的最小值是( )A .2B .3C D 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.复数22i1i-=+ . 12.设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数,当[1,1)x ∈-时,242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-=⎨⎩≤＜≤＜则3()2f = .13.如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为67,30,此时气球的高是46 m ,则河流的宽度BC 约等于m . （用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin670.92≈,cos670.39≈,sin370.60≈,cos370.80≈ 1.73≈）14.设m ∈R ,过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ,则||||PA PB 的最大值是 .15.以A 表示值域为R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ,存在一个正数M ,使得函数()x ϕ的值域包含于区间[,]M M -.例如,当31()x x ϕ=,2()sin x x ϕ=时,1()x A ϕ∈,2()x B ϕ∈.现有如下命题：①设函数()f x 的定义域为D ,则“()f x A ∈”的充要条件是“b ∀∈R ,a D ∃∈,()f a b =”； ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ,()g x 的定义域相同,且()f x A ∈,()g x B ∈,则()()f x g x B +∉； ④若函数2()ln(2)1xf x a x x =+++（2x >-,a ∈R ）有最大值,则()f x B ∈. 其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共18页） 数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）已知函数π()sin(3)4f x x =+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若α是第二象限角,4π()cos()cos2354f ααα=+,求cos sin αα-的值.17.（本小题满分12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分（即获得-200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为12,且各次击鼓出现音乐相互独立. （Ⅰ）设每盘游戏获得的分数为X ,求X 的分布列； （Ⅱ）玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少？（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.18.（本小题满分12分）三棱锥A BCD -及其侧视图、俯视图如图所示.设M ,N 分别为线段AD ,AB 的中点,P 为线段BC 上的点,且MN NP ⊥.（Ⅰ）证明：P 为线段BC 的中点； （Ⅱ）求二面角A NP M --的余弦值.19.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ,点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图象上（n *∈N ）. （Ⅰ）若12a =-,点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上,求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅱ）若11a =,函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-,求数列{}n nab 的前n 项和n T .20.（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的左焦点,T 为直线3x =-上任意一点,过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ,Q .（ⅰ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）； （ⅱ）当||||TF PQ 最小时,求点T 的坐标.21.（本小题满分14分）已知函数2()e 1x f x ax bx =---,其中,a b ∈R ,e 2.71828=⋅⋅⋅为自然对数的底数.（Ⅰ）设()g x 是函数()f x 的导函数,求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值； （Ⅱ）若(1)0f =,函数()f x 在区间(0,1)内有零点,求a 的取值范围.数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页） 数学试卷 第9页（共18页）2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）答案解析1,{A B =-【提示】计算集合【考点】交集及其运算【答案】D【解析】(4,2c ma b m =+=+||||||||a cb ca cbc ，221(4)2(22)12m m ++++224(4)2(22)42m m +++=+，即8205+8=2m m +D.数学试卷 第10页（共18页） 数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）12y m y =-，2OA OB =，12122x x y y +=，21212)20y y y y +-=，∵点122y y =-，故不妨令点A 在x 轴上方，则11123y y =. △AFO 面积之和的最小值【提示】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及2OA OB =消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题【考点】直线与圆锥曲线的关系214()22-+【提示】由函数的周期性，求在某点的函数值.数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页） 数学试卷 第15页（共18页）【提示】（1）设每盘游戏获得的分数为X ，求出对应的概率，即可求X 的分布列； （2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论. 60矛盾，所以OA 分别为于是1,0,AN ⎛= ，0,2PN ⎛=- ⎭，(1,0,0)MN =设平面ANP 和平面的法向量分别为111(,,)m x y z =和(,,n x y =0AN m PN m ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒⎪⎪⎨⎪⎪⎩1z =，则(3,1,1)m =，00MN n PN n ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒2⎪⎩(0,n =2cos ,||||5m n m n m n ==⋅所以二面角A NP M --的余弦值【提示】（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，2n n ++，1122n n +++，122n ++-【提示】等数数列，导函数的应用，复合数列前数学试卷 第16页（共18页） 数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）【提示】（1）求出()f x 的导数得()g x ，再求出()g x 的导数，对它进行讨论，从而判断()g x 的单调性，求出()g x 的最小值；（2）利用等价转换，若函数()f x 在区间(0,1)内有零点，则函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间，所以()g x 在(0,1)上应有两个不同的零点. 【考点】函数的导函数，极值，最值，函数的零点。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(四川卷,含答案)
2014年普通高等学校招生全国统一考试理科（四川卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 【答案】A【解析】{|12}A x x =-≤≤，B Z =，故A B ⋂={1,0,1,2}- 2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为 A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 【答案】C【解析】含3x 项为24236(1)15x C x x ⋅=3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上 所有的点 A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A【解析】因为1sin(21)sin[2()]2y x x =+=+，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度得到4．若0a b >>，0c d <<，则一定有 A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c< 【答案】D【解析】由1100c d d c<<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c< 5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，函数2S x y =+的最大值为2.6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 【答案】B【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端为乙时，不同的排法共有14C 44A 种。
2014年四川省高考数学试卷(理科)
年四川省高考数学试卷（理科）2014年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，共 分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．．（ 分）（ ❿四川）已知集合✌⌧⌧ ﹣⌧﹣ ♎❝，集合 为整数集，则✌✆（）✌． ﹣ ， ， ， ❝ ． ﹣ ，﹣ ， ， ❝ ． ， ❝ ． ﹣ ， ❝．（ 分）（ ❿四川）在⌧（ ⌧） 的展开式中，含⌧ 项的系数为（）✌． ． ． ．．（ 分）（ ❿四川）为了得到函数⍓♦♓⏹（ ⌧）的图象，只需把⍓♦♓⏹⌧的图象上所有的点（）✌．向左平行移动个单位长度 ．向右平行移动个单位长度．向左平行移动 个单位长度 ．向右平行一定 个单位长度．（ 分）（ ❿四川）若♋＞♌＞ ，♍＜♎＜ ，则一定有（）✌．＞ ．＜ ．＞ ．＜．（ 分）（ ❿四川）执行如图所示的程序框图，若输入的⌧，⍓ ，那么输出的 的最大值为（）✌． ． ． ．．（ 分）（ ❿四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）✌． 种 ． 种 ． 种 ． 种．（ 分）（ ❿四川）平面向量 （ ， ）， （ ， ）， ❍ （❍ ），且与的夹角等于与的夹角，则❍（）✌．﹣ ．﹣ ． ．．（ 分）（ ❿四川）如图，在正方体✌﹣✌ 中，点 为线段 的中点，设点 在线段 上，直线 与平面✌ 所成的角为↑，则♦♓⏹↑的取值范围是（）✌．☯， ．☯， ．☯， ．☯， ．（ 分）（ ❿四川）已知♐（⌧） ●⏹（ ⌧）﹣●⏹（ ﹣⌧），⌧ （﹣ ， ）．现有下列命题：♊♐（﹣⌧） ﹣♐（⌧）；♋♐（） ♐（⌧）♌♐（⌧） ♏⌧其中的所有正确命题的序号是（）✌．♊♋♌ ．♋♌ ．♊♌ ．♊♋．（ 分）（ ❿四川）已知☞为抛物线⍓ ⌧的焦点，点✌， 在该抛物线上且位于⌧轴的两侧，❿ （其中 为坐标原点），则 ✌与 ✌☞面积之和的最小值是（）✌． ． ． ．二、填空题：本大题共 小题，每小题 分，共 分．（ 分）（ ❿四川）复数 ♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．（ 分）（ ❿四川）设♐（⌧）是定义在 上的周期为 的函数，当⌧ ☯﹣ ， ）时，♐（⌧） ，则♐（） ♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．（ 分）（ ❿四川）如图，从气球✌上测得正前方的河流的两岸 ， 的俯角分别为 ， ，此时气球的高是 ❍，则河流的宽度 约等于♉♉♉♉♉♉♉♉♉❍．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：♦♓⏹☟，♍☐♦☟，♦♓⏹☟，♍☐♦☟，☟）．（ 分）（ ❿四川）设❍ ，过定点✌的动直线⌧❍⍓和过定点 的动直线❍⌧﹣⍓﹣❍交于点 （⌧，⍓）．则 ✌❿的最大值是♉♉♉♉♉♉♉♉♉．．（ 分）（ ❿四川）以✌表示值域为 的函数组成的集合， 表示具有如下性质的函数 （⌧）组成的集合：对于函数 （⌧），存在一个正数 ，使得函数 （⌧）的值域包含于区间☯﹣ ， ．例如，当 （⌧） ⌧ ， （⌧） ♦♓⏹⌧时， （⌧）✌， （⌧） ．现有如下命题：♊设函数♐（⌧）的定义域为 ，则❽♐（⌧）✌❾的充要条件是❽ ♌ ，♋ ，♐（♋） ♌❾；♋函数♐（⌧） 的充要条件是♐（⌧）有最大值和最小值；♌若函数♐（⌧），♑（⌧）的定义域相同，且♐（⌧）✌，♑（⌧） ，则♐（⌧） ♑（⌧） ．♍若函数♐（⌧） ♋●⏹（⌧） （⌧＞﹣ ，♋ ）有最大值，则♐（⌧） ．其中的真命题有♉♉♉♉♉♉♉♉♉．（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共 小题，共 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．（ 分）（ ❿四川）已知函数♐（⌧） ♦♓⏹（ ⌧）．（ ）求♐（⌧）的单调递增区间；（ ）若↑是第二象限角，♐（） ♍☐♦（↑）♍☐♦↑，求♍☐♦↑﹣♦♓⏹↑的值．．（ 分）（ ❿四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 分，出现两次音乐获得 分，出现三次音乐获得 分，没有出现音乐则扣除 分（即获得﹣ 分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（ ）设每盘游戏获得的分数为✠，求✠的分布列；（ ）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（ ）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．．（ 分）（ ❿四川）三棱锥✌﹣ 及其侧视图、俯视图如图所示，设 ，☠分别为线段✌，✌的中点， 为线段 上的点，且 ☠☠．（ ）证明： 是线段 的中点；（ ）求二面角✌﹣☠﹣ 的余弦值．．（ 分）（ ❿四川）设等差数列 ♋⏹❝的公差为♎，点（♋⏹，♌⏹）在函数♐（⌧） ⌧的图象上（⏹ ☠✉）．（ ）若♋ ﹣ ，点（♋ ， ♌ ）在函数♐（⌧）的图象上，求数列 ♋⏹❝的前⏹项和 ⏹；（ ）若♋ ，函数♐（⌧）的图象在点（♋ ，♌ ）处的切线在⌧轴上的截距为 ﹣，求数列 ❝的前⏹项和❆⏹．．（ 分）（ ❿四川）已知椭圆 ： （♋＞♌＞ ）的焦距为 ，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（ ）求椭圆 的标准方程；（ ）设☞为椭圆 的左焦点，❆为直线⌧﹣ 上任意一点，过☞作❆☞的垂线交椭圆 于点 ，✈．♊证明： ❆平分线段 ✈（其中 为坐标原点）；♋当最小时，求点❆的坐标．．（ 分）（ ❿四川）已知函数♐（⌧） ♏⌧﹣♋⌧ ﹣♌⌧﹣ ，其中♋，♌ ，♏⑤为自然对数的底数．（ ）设♑（⌧）是函数♐（⌧）的导函数，求函数♑（⌧）在区间☯， 上的最小值；（ ）若♐（ ） ，函数♐（⌧）在区间（ ， ）内有零点，求♋的取值范围．年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，共 分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．．（ 分）（ ❿四川）已知集合✌⌧⌧ ﹣⌧﹣ ♎❝，集合 为整数集，则✌✆（）✌． ﹣ ， ， ， ❝ ． ﹣ ，﹣ ， ， ❝ ． ， ❝ ． ﹣ ， ❝考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：计算集合✌中⌧的取值范围，再由交集的概念，计算可得．解答：解：✌⌧﹣ ♎⌧♎❝， ☪，✌✆﹣ ， ， ， ❝．故选：✌．点评：本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分．．（ 分）（ ❿四川）在⌧（ ⌧） 的展开式中，含⌧ 项的系数为（）✌． ． ． ．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式求出（ ⌧） 的第❒项，令⌧的指数为 求出展开式中⌧ 的系数．然后求解即可．解答：解：（ ⌧） 展开式中通项❆❒ ❒⌧❒，令❒可得，❆ ⌧ ⌧ ，（ ⌧） 展开式中⌧ 项的系数为 ，在⌧（ ⌧） 的展开式中，含⌧ 项的系数为： ．故选： ．点评：本题考查二项展开式的通项的简单直接应用．牢记公式是基础，计算准确是关键．．（ 分）（ ❿四川）为了得到函数⍓♦♓⏹（ ⌧）的图象，只需把⍓♦♓⏹⌧的图象上所有的点（）✌．向左平行移动个单位长度 ．向右平行移动个单位长度．向左平行移动 个单位长度 ．向右平行一定 个单位长度考点：函数⍓✌♦♓⏹（▫⌧）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据 ⍓♦♓⏹（ ⌧） ♦♓⏹（⌧），利用函数⍓✌♦♓⏹（▫⌧）的图象变换规律，得出结论．解答：解： ⍓♦♓⏹（ ⌧） ♦♓⏹（⌧）， 把⍓♦♓⏹⌧的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，即可得到函数⍓♦♓⏹（ ⌧）的图象，故选：✌．点评：本题主要考查函数⍓✌♦♓⏹（▫⌧）的图象变换规律，属于基础题．．（ 分）（ ❿四川）若♋＞♌＞ ，♍＜♎＜ ，则一定有（）✌．＞ ．＜ ．＞ ．＜考点：不等式比较大小；不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用特例法，判断选项即可．解答：解：不妨令♋，♌，♍﹣ ，♎﹣ ，则，， ✌、 不正确；， ﹣，不正确， 正确．故选： ．点评：本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确．．（ 分）（ ❿四川）执行如图所示的程序框图，若输入的⌧，⍓ ，那么输出的 的最大值为（）✌． ． ． ．考点：程序框图．专题：计算题；算法和程序框图．分析：算法的功能是求可行域内，目标还是 ⌧⍓的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，求出最大值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是 ⌧⍓的最大值，画出可行域如图：当时， ⌧⍓的值最大，且最大值为 ．故选： ．点评：本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键． ．（ 分）（ ❿四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）✌． 种 ． 种 ． 种 ． 种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：应用题；排列组合．分析：分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．解答：解：最左端排甲，共有 种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有 种，根据加法原理可得，共有 种．故选： ．点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．．（ 分）（ ❿四川）平面向量 （ ， ）， （ ， ）， ❍ （❍ ），且与的夹角等于与的夹角，则❍（）✌．﹣ ．﹣ ． ．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于❍的方程，解方程可得答案．解答：解： 向量 （ ， ）， （ ， ），❍ （❍， ❍），又 与的夹角等于与的夹角，，，，解得❍，故选：点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档．．（ 分）（ ❿四川）如图，在正方体✌﹣✌ 中，点 为线段 的中点，设点 在线段 上，直线 与平面✌ 所成的角为↑，则♦♓⏹↑的取值范围是（）✌．☯， ．☯， ．☯， ．☯， 考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：由题意可得：直线 于平面✌ 所成的角↑的取值范围是✉．再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出．解答：解：由题意可得：直线 于平面✌ 所成的角↑的取值范围是✉．不妨取✌．在 ♦✌✌ 中， ．♦♓⏹ ✌ ♦♓⏹（⇨﹣ ✌✌ ）♦♓⏹ ✌✌ ♦♓⏹ ✌✌ ♍☐♦ ✌✌ ，．♦♓⏹↑的取值范围是．故选： ．点评：本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题．．（ 分）（ ❿四川）已知♐（⌧） ●⏹（ ⌧）﹣●⏹（ ﹣⌧），⌧ （﹣ ， ）．现有下列命题：♊♐（﹣⌧） ﹣♐（⌧）；♋♐（） ♐（⌧）♌♐（⌧） ♏⌧其中的所有正确命题的序号是（）✌．♊♋♌ ．♋♌ ．♊♌ ．♊♋考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案．解答：解： ♐（⌧） ●⏹（ ⌧）﹣●⏹（ ﹣⌧），⌧ （﹣ ， ），♐（﹣⌧） ●⏹（ ﹣⌧）﹣●⏹（ ⌧） ﹣♐（⌧），即♊正确；♐（） ●⏹（ ）﹣●⏹（ ﹣） ●⏹（）﹣●⏹（） ●⏹（）●⏹☯（） ●⏹（） ☯●⏹（ ⌧）﹣●⏹（ ﹣⌧） ♐（⌧），故♋正确；当⌧ ☯， ）时， ♐（⌧） ♏⌧♐（⌧）﹣ ⌧♏，令♑（⌧） ♐（⌧）﹣ ⌧●⏹（ ⌧）﹣●⏹（ ﹣⌧）﹣ ⌧（⌧ ☯， ））♑（⌧） ﹣ ♏， ♑（⌧）在☯， ）单调递增，♑（⌧） ♐（⌧）﹣ ⌧♏♑（ ） ，又♐（⌧）♏⌧，又♐（⌧）与⍓⌧为奇函数，所以丨♐（⌧）丨♏丨⌧丨成立，故♌正确；故正确的命题有♊♋♌，故选：✌点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档．．（ 分）（ ❿四川）已知☞为抛物线⍓ ⌧的焦点，点✌， 在该抛物线上且位于⌧轴的两侧，❿ （其中 为坐标原点），则 ✌与 ✌☞面积之和的最小值是（）✌． ． ． ．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及❿ 消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．解答：解：设直线✌的方程为：⌧♦⍓❍，点✌（⌧ ，⍓ ）， （⌧ ，⍓ ），直线✌与⌧轴的交点为 （（ ，❍），由 ⍓ ﹣♦⍓﹣❍，根据韦达定理有⍓ ❿⍓ ﹣❍，❿ ， ⌧ ❿⌧ ⍓ ❿⍓ ，从而，点✌， 位于⌧轴的两侧， ⍓ ❿⍓ ﹣ ，故❍．不妨令点✌在⌧轴上方，则⍓ ＞ ，又， ✌ ✌☞ ．当且仅当，即时，取❽❾号，✌与 ✌☞面积之和的最小值是 ，故选 ．点评：求解本题时，应考虑以下几个要点：、联立直线与抛物线的方程，消⌧或⍓后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．、利用基本不等式时，应注意❽一正，二定，三相等❾．二、填空题：本大题共 小题，每小题 分，共 分．（ 分）（ ❿四川）复数 ﹣ ♓．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果．解答：解：复数 ﹣ ♓，故答案为：﹣ ♓．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．．（ 分）（ ❿四川）设♐（⌧）是定义在 上的周期为 的函数，当⌧ ☯﹣ ， ）时，♐（⌧） ，则♐（） ．考点：函数的值．专题：计算题．分析：由函数的周期性♐（⌧） ♐（⌧），将求♐（）的值转化成求♐（）的值．解答：解： ♐（⌧）是定义在 上的周期为 的函数，．故答案为： ．点评：本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于❽送分题❾．．（ 分）（ ❿四川）如图，从气球✌上测得正前方的河流的两岸 ， 的俯角分别为 ， ，此时气球的高是 ❍，则河流的宽度 约等于 ❍．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：♦♓⏹☟，♍☐♦☟，♦♓⏹☟，♍☐♦☟，☟）考点：余弦定理的应用；正弦定理；正弦定理的应用．专题：应用题；解三角形．分析：过✌点作✌垂直于 的延长线，垂足为 ，分别在 ♦✌、 ♦✌中利用三角函数的定义，算出 、 的长，从而可得 ，即为河流在 、 两地的宽度．解答：解：过✌点作✌垂直于 的延长线，垂足为 ，则 ♦✌中， ，✌❍ ☟❍．又 ♦✌中， ✌，可得 ☟❍﹣ ﹣ ☟❍故答案为： ❍点评：本题给出实际应用问题，求河流在 、 两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．．（ 分）（ ❿四川）设❍ ，过定点✌的动直线⌧❍⍓和过定点 的动直线❍⌧﹣⍓﹣❍交于点 （⌧，⍓）．则 ✌❿的最大值是 ．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即✌和 ，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有 ✌；再利用基本不等式放缩即可得出 ✌❿的最大值．解答：解：有题意可知，动直线⌧❍⍓经过定点✌（ ， ），动直线❍⌧﹣⍓﹣❍即 ❍（⌧﹣ ）﹣⍓，经过点定点 （ ， ），注意到动直线⌧❍⍓和动直线❍⌧﹣⍓﹣❍始终垂直， 又是两条直线的交点，则有 ✌， ✌ ✌ ．故 ✌❿♎ （当且仅当时取❽❾）故答案为：点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是❽两条直线相互垂直❾这一特征是本题解答的突破口，从而有 ✌ 是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．．（ 分）（ ❿四川）以✌表示值域为 的函数组成的集合， 表示具有如下性质的函数 （⌧）组成的集合：对于函数 （⌧），存在一个正数 ，使得函数 （⌧）的值域包含于区间☯﹣ ， ．例如，当 （⌧） ⌧ ， （⌧） ♦♓⏹⌧时， （⌧）✌， （⌧） ．现有如下命题：♊设函数♐（⌧）的定义域为 ，则❽♐（⌧）✌❾的充要条件是❽ ♌ ，♋ ，♐（♋） ♌❾；♋函数♐（⌧） 的充要条件是♐（⌧）有最大值和最小值；♌若函数♐（⌧），♑（⌧）的定义域相同，且♐（⌧）✌，♑（⌧） ，则♐（⌧） ♑（⌧） ．♍若函数♐（⌧） ♋●⏹（⌧） （⌧＞﹣ ，♋ ）有最大值，则♐（⌧） ．其中的真命题有♊♌♍．（写出所有真命题的序号）考点：命题的真假判断与应用；充要条件；函数的值域．专题：新定义；极限思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题♊♋♌是否正确，再利用导数研究命题♍中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．解答：解：（ ）对于命题♊❽♐（⌧）✌❾即函数♐（⌧）值域为 ，❽ ♌ ，♋ ，♐（♋） ♌❾表示的是函数可以在 中任意取值，故有：设函数♐（⌧）的定义域为 ，则❽♐（⌧）✌❾的充要条件是❽ ♌ ，♋ ，♐（♋） ♌❾ 命题♊是真命题；（ ）对于命题♋若函数♐（⌧） ，即存在一个正数 ，使得函数♐（⌧）的值域包含于区间☯﹣ ， ．﹣ ♎♐（⌧）♎．例如：函数♐（⌧）满足﹣ ＜♐（⌧）＜ ，则有﹣ ♎♐（⌧）♎，此时，♐（⌧）无最大值，无最小值．命题♋❽函数♐（⌧） 的充要条件是♐（⌧）有最大值和最小值．❾是假命题；（ ）对于命题♌若函数♐（⌧），♑（⌧）的定义域相同，且♐（⌧）✌，♑（⌧） ，则♐（⌧）值域为 ，♐（⌧）（﹣， ），并且存在一个正数 ，使得﹣ ♎♑（⌧）♎．♐（⌧） ♑（⌧） ．则♐（⌧） ♑（⌧） ．命题♌是真命题．（ ）对于命题♍函数♐（⌧） ♋●⏹（⌧） （⌧＞﹣ ，♋ ）有最大值，假设♋＞ ，当⌧❼ 时，❼，●⏹（⌧）❼ ， ♋●⏹（⌧）❼ ，则♐（⌧）❼ ．与题意不符；假设♋＜ ，当⌧❼﹣ 时，❼，●⏹（⌧）❼﹣， ♋●⏹（⌧）❼ ，则♐（⌧）❼ ．与题意不符．♋．即函数♐（⌧） （⌧＞﹣ ）当⌧＞ 时，， ，即；当⌧时，♐（⌧） ；当⌧＜ 时，， ，即．．即♐（⌧） ．故命题♍是真命题．故答案为♊♌♍．点评：本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想．本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题．三、解答题：本大题共 小题，共 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．（ 分）（ ❿四川）已知函数♐（⌧） ♦♓⏹（ ⌧）．（ ）求♐（⌧）的单调递增区间；（ ）若↑是第二象限角，♐（） ♍☐♦（↑）♍☐♦↑，求♍☐♦↑﹣♦♓⏹↑的值．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：（ ）令 ⇨﹣♎⌧♎⇨， ，求得⌧的范围，可得函数的增区间．（ ）由函数的解析式可得 ♐（） ♦♓⏹（↑），又♐（） ♍☐♦（↑）♍☐♦↑，可得♦♓⏹（↑） ♍☐♦（↑）♍☐♦↑，化简可得（♍☐♦↑﹣♦♓⏹↑） ．再由↑是第二象限角，♍☐♦↑﹣♦♓⏹↑＜ ，从而求得♍☐♦↑﹣♦♓⏹↑ 的值．解答：解：（ ） 函数♐（⌧） ♦♓⏹（ ⌧），令 ⇨﹣♎⌧♎⇨， ，求得﹣♎⌧♎ ，故函数的增区间为☯﹣， ， ．（ ）由函数的解析式可得 ♐（） ♦♓⏹（↑），又♐（） ♍☐♦（↑）♍☐♦↑，♦♓⏹（↑） ♍☐♦（↑）♍☐♦↑，即♦♓⏹（↑） ♍☐♦（↑）（♍☐♦ ↑﹣♦♓⏹ ↑）， ♦♓⏹↑♍☐♦ ♍☐♦↑♦♓⏹ （♍☐♦ ↑﹣♦♓⏹ ↑）（♦♓⏹↑♍☐♦↑）．又 ↑是第二象限角， ♍☐♦↑﹣♦♓⏹↑＜ ，当♦♓⏹↑♍☐♦↑时，此时♍☐♦↑﹣♦♓⏹↑﹣．当♦♓⏹↑♍☐♦↑♊时，此时♍☐♦↑﹣♦♓⏹↑﹣．综上所述：♍☐♦↑﹣♦♓⏹↑﹣或﹣．点评：本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，属于中档题．．（ 分）（ ❿四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 分，出现两次音乐获得 分，出现三次音乐获得 分，没有出现音乐则扣除 分（即获得﹣ 分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（ ）设每盘游戏获得的分数为✠，求✠的分布列；（ ）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（ ）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（ ）设每盘游戏获得的分数为✠，求出对应的概率，即可求✠的分布列；（ ）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论．（ ）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可．解答：解：（ ）✠可能取值有﹣ ， ， ， ．则 （✠﹣ ） ，（✠）（✠） ，（✠） ，故分布列为：✠﹣ 由（ ）知，每盘游戏出现音乐的概率是☐ ，则至少有一盘出现音乐的概率☐﹣．由（ ）知，每盘游戏或得的分数为✠的数学期望是☜（✠） （﹣ ） ﹣ ．这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．点评：本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力．．（ 分）（ ❿四川）三棱锥✌﹣ 及其侧视图、俯视图如图所示，设 ，☠分别为线段✌，✌的中点， 为线段 上的点，且 ☠☠．（ ）证明： 是线段 的中点；（ ）求二面角✌﹣☠﹣ 的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角．专题：空间向量及应用．分析：（ ）用线面垂直的性质和反证法推出结论，（ ）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角✌﹣☠﹣ 的余弦值．解答：解：（ ）由三棱锥✌﹣ 及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥✌﹣ 中：平面✌平面 ，✌✌设 为 的中点，连接 ✌， 于是 ✌， 所以 平面 ✌✌因为 ，☠分别为线段✌，✌的中点，所以 ☠， ☠☠，故 ☠假设 不是线段 的中点，则直线☠与直线✌是平面✌内相交直线从而 平面✌，这与 矛盾，所以 为线段 的中点（ ）以 为坐标原点， ， ， ✌分别为⌧，⍓， 轴建立空间直角坐标系，则✌（ ， ，）， （， ，），☠（， ，）， （，， ）于是，，设平面✌☠和平面☠的法向量分别为和由，则，设 ，则由，则，设 ，则♍☐♦所以二面角✌﹣☠﹣ 的余弦值点评：本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题．．（ 分）（ ❿四川）设等差数列 ♋⏹❝的公差为♎，点（♋⏹，♌⏹）在函数♐（⌧） ⌧的图象上（⏹ ☠✉）．（ ）若♋ ﹣ ，点（♋ ， ♌ ）在函数♐（⌧）的图象上，求数列 ♋⏹❝的前⏹项和 ⏹；（ ）若♋ ，函数♐（⌧）的图象在点（♋ ，♌ ）处的切线在⌧轴上的截距为 ﹣，求数列 ❝的前⏹项和❆⏹．考点：数列的求和；数列与函数的综合．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：（ ）由于点（♋ ， ♌ ）在函数♐（⌧） ⌧的图象上，可得，又等差数列 ♋⏹❝的公差为♎，利用等差数列的通项公式可得 ♎．由于点（♋ ， ♌ ）在函数♐（⌧）的图象上，可得 ♌ ，进而得到 ♎，解得♎．再利用等差数列的前⏹项和公式即可得出．（ ）利用导数的几何意义可得函数♐（⌧）的图象在点（♋ ，♌ ）处的切线方程，即可解得♋ ．进而得到♋⏹，♌⏹．再利用❽错位相减法❾即可得出．解答：解：（ ） 点（♋ ， ♌ ）在函数♐（⌧） ⌧的图象上，，又等差数列 ♋⏹❝的公差为♎，♎，点（♋ ， ♌ ）在函数♐（⌧）的图象上，♌ ，♎，解得♎．又♋ ﹣ ， ⏹ ﹣ ⏹ ⏹ ﹣ ⏹．（ ）由♐（⌧） ⌧， ♐（⌧） ⌧●⏹，函数♐（⌧）的图象在点（♋ ，♌ ）处的切线方程为，又，令⍓可得⌧，，解得♋ ．♎♋ ﹣♋ ﹣ ．♋⏹ ♋ （⏹﹣ ）♎（⏹﹣ ） ⏹，♌⏹ ⏹．．❆⏹ ⑤ ，❆⏹ ⑤，两式相减得❆⏹ ⑤﹣ ﹣．点评：本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前⏹项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、❽错位相减法❾，属于难题．．（ 分）（ ❿四川）已知椭圆 ： （♋＞♌＞ ）的焦距为 ，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（ ）求椭圆 的标准方程；（ ）设☞为椭圆 的左焦点，❆为直线⌧﹣ 上任意一点，过☞作❆☞的垂线交椭圆 于点 ，✈．♊证明： ❆平分线段 ✈（其中 为坐标原点）；♋当最小时，求点❆的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：第（ ）问中，由正三角形底边与高的关系，♋ ♌ ♍ 及焦距 ♍建立方程组求得♋ ，♌ ；第（ ）问中，先设点的坐标及直线 ✈的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点❆的坐标．解答：解：（ ）依题意有解得所以椭圆 的标准方程为 ．（ ）设❆（﹣ ，❍）， （⌧ ，⍓ ），✈（⌧ ，⍓ ）， ✈的中点为☠（⌧ ，⍓ ），♊证明：由☞（﹣ ， ），可设直线 ✈的方程为⌧❍⍓﹣ ，由 （❍ ）⍓ ﹣ ❍⍓﹣ ，所以于是，从而，即，则，所以 ，☠，❆三点共线，从而 ❆平分线段 ✈，故得证．♋由两点间距离公式得，由弦长公式得，所以，令，则（当且仅当⌧ 时，取❽❾号），所以当最小时，由⌧ ❍ ，得❍或❍﹣ ，此时点❆的坐标为（﹣ ， ）或（﹣ ，﹣ ）．点评：本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：、设交点坐标，设直线方程；、联立直线与椭圆方程，消去⍓或⌧，得到一个关于⌧或⍓一元二次方程，利用韦达定理；、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题．．（ 分）（ ❿四川）已知函数♐（⌧） ♏⌧﹣♋⌧ ﹣♌⌧﹣ ，其中♋，♌ ，♏⑤为自然对数的底数．（ ）设♑（⌧）是函数♐（⌧）的导函数，求函数♑（⌧）在区间☯， 上的最小值；（ ）若♐（ ） ，函数♐（⌧）在区间（ ， ）内有零点，求♋的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（ ）求出♐（⌧）的导数得♑（⌧），再求出♑（⌧）的导数，对它进行讨论，从而判断♑（⌧）的单调性，求出♑（⌧）的最小值；（ ）利用等价转换，若函数♐（⌧）在区间（ ， ）内有零点，则函数♐（⌧）在区间（ ， ）内至少有三个单调区间，所以♑（⌧）在（ ， ）上应有两个不同的零点．解答：解： ♐（⌧） ♏⌧﹣♋⌧ ﹣♌⌧﹣ ， ♑（⌧） ♐（⌧） ♏⌧﹣ ♋⌧﹣♌，又♑（⌧） ♏⌧﹣ ♋，⌧ ☯， ， ♎♏⌧♎♏，♊当时，则 ♋♎，♑（⌧） ♏⌧﹣ ♋♏，函数♑（⌧）在区间☯， 上单调递增，♑（⌧）❍♓⏹ ♑（ ） ﹣♌；♋当，则 ＜ ♋＜♏，当 ＜⌧＜●⏹（ ♋）时，♑（⌧） ♏⌧﹣ ♋＜ ，当●⏹（ ♋）＜⌧＜ 时，♑（⌧） ♏⌧﹣ ♋＞ ，函数♑（⌧）在区间☯，●⏹（ ♋） 上单调递减，在区间☯●⏹（ ♋）， 上单调递增，♑（⌧）❍♓⏹ ♑☯●⏹（ ♋） ♋﹣ ♋●⏹（ ♋）﹣♌；♌当时，则 ♋♏♏，♑（⌧） ♏⌧﹣ ♋♎，函数♑（⌧）在区间☯， 上单调递减，♑（⌧）❍♓⏹ ♑（ ） ♏﹣ ♋﹣♌，综上：函数♑（⌧）在区间☯， 上的最小值为；（ ）由♐（ ） ， ♏﹣♋﹣♌﹣ ♌♏﹣♋﹣ ，又♐（ ） ，若函数♐（⌧）在区间（ ， ）内有零点，则函数♐（⌧）在区间（ ， ）内至少有三个单调区间，由（ ）知当♋♎或♋♏时，函数♑（⌧）在区间☯， 上单调，不可能满足❽函数♐（⌧）在区间（ ， ）内至少有三个单调区间❾这一要求．若，则♑❍♓⏹（⌧） ♋﹣ ♋●⏹（ ♋）﹣♌♋﹣ ♋●⏹（ ♋）﹣♏令♒（⌧） （ ＜⌧＜♏）则．由＞ ⌧＜♒（⌧）在区间（ ，）上单调递增，在区间（，♏）上单调递减，＜ ，即♑❍♓⏹（⌧）＜ 恒成立， 函数♐（⌧）在区间（ ， ）内至少有三个单调区间 ，又，所以♏﹣ ＜♋＜ ，综上得：♏﹣ ＜♋＜ ．点评：本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点．是一道导数的综合题，难度较大．参与本试卷答题和审题的老师有：任老师；王老师；孙佑中；刘长柏；❑♓♦♦；尹伟云；翔宇老师；♦●；♍♋☐❑；清风慕竹；静定禅心；❍♋♦♒♦（排名不分先后）菁优网年 月 日。
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绝密★启用前
2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理工类）
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
注意事项：
必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题
目要求的。
1.已知集合0}2-x -x |{x 2≤=A ，集合B 为整数集，则=⋂B A
（A ）}2101
{，，，- （B ）}1012{，，，
-- （C ）}1,0{
（D ）}01
{，- 2.在6
1）（
x x +的展开式中，含3
x 项的系数为 （A ）30 （B ）20 （C ）15
（D ）10
3.为了得到函数)12sin(+=x y 的图象，只需把函数x y 2sin =的图象上所有的点
（A ）向左平行移动
21
个单位长度 （B ）向右平行移动2
1
个单位长度
（C ）向左平行移动1个单位长度
（D ）向右平行移动1个单位长度
4.若0>>b a ，0<<d c ，则一定有
（A ）d b c a > （B ）
d b c a < （C ）c
b d a >
（D ）c
b d a <
5.执行如图的程序框图，如果输入的R y x ∈,,那么输出的S 的最大值为
6.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端 不能排甲,则不同的排法共有
7.平面向量）（2,1=a ，）（2,4=b ，)(R m m ∈+=b a c ，
且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则=m （A ）-2 （B ）-1 （C ）1
（D ）2
8.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面BD A 1所成的角为α，则αsin 的取值范围是 （A ）]1,3
3[
（B ）]1,3
6[
（C ）3
22,36[
（D ）]1,3
2
2[
9.已知)1,1()1ln()1ln(
)(-∈--+=x x x x f ，.现有下列命题： ①)()(x f x f -=-；②)(2)12(
2
x f x x
f =+；③||2|)(|x x f ≥ 其中的所有正确命题的序号是 （A ）①②③ （B ）②③ （C ）①③
（D ）①②
10.已知F 为抛物线x =2
y 的焦点，点A ,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2=⋅（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是 （A ）2 （B ）3 （C ）
8
2
17
（D ）10
（A ）0 （B ）1 （C ）2
（D ）3
（A ）192种 （B ）216种 （C ）240种
（D ）288种
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答案区域内作答。
作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。
答在试题卷，草稿纸上无效。
第Ⅱ卷共11小题。
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11.复数
i
i
+-122=____________. 12.设)(x f 是定义在R 上的周期为2的函数，当）
1,1[-∈x 时，,
,24{)(2
x x x f +-=,10,01<≤<≤-x x 则
)2
3
(f =____________. 13.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸C B ,的俯角分别为
67，
30，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于___________m .
（用四舍五入法将结果精确到个位. 参考数据：,92.067sin ≈
,39.067cos ≈ 60.037sin ≈ ，80.037cos ≈ ，73.13≈）
14.设R m ∈,过定点A 的动直线0=+my x 和过定点B 的动直线03=+-y mx 交于点),(y x P ，则
||||PB PA ⋅的最大值是_____________.
15.以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数)(x ϕ组成的集合：对于函数)(x ϕ，存在一个正数M ，使得函数)(x ϕ的值域包含于区间],[M M -.例如，当3
1)(x x =ϕ，x x sin )(2=ϕ时，
A x ∈)(1ϕ,
B x ∈)(2ϕ. 现在如下命题：
①设函数)(x f 的定义域为D ,则“A x f ∈)(”的充要条件是“b a f D a R b =∈∃∈∀)(,,”； ②函数B x f ∈)(的充要条件是)(x f 有最大值和最小值；
③若函数)(x f ，)(x g 的定义域相同，且B x g A x f ∈∈)(,)(,则B x g x f ∉+)()(； ④若函数),2(1
)2ln()(2
R a x x x
x a x f ∈->++
+=有最大值，则B x f ∈)(. 其中的真命题有________________.（写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分） 已知函数)4
3sin()(π
+
=x x f .
（Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间； （Ⅱ）若α是第二象限角，απαα
2cos 4
cos 54)3
(）（+=
f ，求ααsin cos -的值.\
17.（本小题满分12分）
一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得-200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为
2
1
，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（Ⅰ）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； （Ⅱ）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人都发现，若千盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
18.（本小题满分12分）
三棱锥BCD A -及其侧视图、俯视图如图所示.设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且NP MN ⊥.
（Ⅰ）证明：P 是线段BC 的中点； （Ⅱ）求二面角M NP A --的余弦值.
19.（本小题满分12分）
设等差数列}{n a 的公差为d ，点
),(n n b a 在函数x x f 2)(=的图象上（*∈N n ）.
（Ⅰ）若21-=a ，点)4,(78b a 在函数)(x f 的图象上，求数列}{n a 的前n 项和n S ； （Ⅱ）若11=a ，函数)(x f 的图象在点),(22b a 处的切线在x 轴上的截距为2ln 1
2-，求数列}{n
n b a 的前n 项和n T .
20.（本小题满分13分）
已知椭圆）（：01x 22
22>>=+b a b
y a C 的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3-=x 上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .
（i ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；
（ii ）当
|
PQ ||
T F |最小时，求点T 的坐标. 21.（本小题满分14分）
已知函数1)(2
---=bx ax e x f x
，其中a ，R b ∈, 71828.2=e 为自然对数的底数. （Ⅰ）设)(x g 是函数)(x f 的导函数，求函数)(x g 在区间]1,0[上的最小值； （Ⅱ）若0)1(=f ，函数)(x f 在区间)1,0(内有零点，求a 的取值范围.。