2014年全国高考-四川卷理科数学试题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂=A ．{1,0,1,2}-B ．{2,1,0,1}--C ．{0,1}D ．{1,0}- 2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为A ．30B ．20C ．15D ．103．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 4．若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a bd c< 5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．36．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能拍甲，则不同的排法共有A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种 7．平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m = A ．2- B ．1- C ．1 D ．28．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。

设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A ．3[,1]3 B ．6[,1]3 C ．622[,]33 D ．22[,1]39．已知()ln(1)ln(1)f x x x =+--，(1,1)x ∈-。

现有下列命题：①()()f x f x -=-； ②22()2()1xf f x x =+； ③|()|2||f x x ≥。

其中的所有正确命题的序号是 A ．①②③ B ．②③ C ．①③ D ．①②10．已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是 A ．2 B ．3 C ．1728D ．10 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．复数221ii-=+ 。

12．设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = 。

13．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m 。

（用四舍五入法将结果精确到个位。

参考数据：sin 670.92≈，cos 670.39≈，sin 370.60≈，cos370.80≈，1.73≈）14．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是 。

15．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[,]M M -。

例如，当31()x x ϕ=，2()sin x x ϕ=时，1()x A ϕ∈，2()x B ϕ∈。

现有如下命题：①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b R ∀∈，a D ∃∈，()f a b =”； ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉； ④若函数2()ln(2)1xf x a x x =+++（2x >-，a R ∈）有最大值，则()f x B ∈。

其中的真命题有 。

（写出所有真命题的序号）三．解答题：本大题共6小题，共 75分。

解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．已知函数()sin(3)4f x x π=+。

（1）求()f x 的单调递增区间； （2）若α是第二象限角，4()cos()cos 2354f απαα=+，求cos sin αα-的值。

17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200-分）。

设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立。

（1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。

请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。

18．三棱锥A BCD -及其侧视图、俯视图如图所示。

设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P为线段BC 上的点，且MN NP ⊥。

（1）证明：P 为线段BC 的中点； （2）求二面角A NP M --的余弦值。

19．设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图象上（*n N ∈）。

（1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列{}n na b 的前n 项和n T 。

20．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。

（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点,P Q 。

（ⅰ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）； （ⅱ）当||||TF PQ 最小时，求点T 的坐标。

21．已知函数2()1xf x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =为自然对数的底数。

（1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值； （2）若(1)0f ，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1．A2．C3．A4．D5．C6．B7．D8．B9．C10．B二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．2i - 12．1 13．60 14．5 15．①③④三．解答题：本大题共6小题，共 75分。

解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．已知函数()sin(3)4f x x π=+。

（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，4()cos()cos 2354f απαα=+，求cos sin αα-的值。

解：（1）由232242k x k πππππ-≤+≤+⇒2234312k k x ππππ-≤≤+所以()f x 的单调递增区间为22[,]34312k k ππππ-+（k Z ∈）（2）由4()cos()cos 2354f απαα=+⇒4sin()cos()cos 2454ππααα+=+因为cos 2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444ππππααααα=+=+=++所以28sin()cos ()sin()4544πππααα+=++ 又α是第二象限角，所以sin()04πα+=或25cos ()48πα+= ① 由3sin()022444k k πππααππαπ+=⇒+=+⇒=+（k Z ∈）所以33cos sin cos sin 44ππαα-=-=② 由25cos ()cos()sin )484ππαααα+=⇒+=⇒-=所以cos sin αα-=综上，cos sin αα-=或cos sin αα-=17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200-分）。

设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立。

（1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。

请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。

解：（1）X 可能取值有200-，10，20，1000033111(200)()(1)228P X C =-=-=，1123113(10)()(1)228P X C ==-=，2213113(20)()(1)228P X C ==-=，3303111(100)()(1)228P X C ==-=故分布列为（2）由（1）知：每盘游戏出现音乐的概率是33178888p =++=则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是00313775111()(1)88512p C =--=（3）由（1）知，每盘游戏获得的分数为X 的数学期望是133110()(200)102010088888E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=-分这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少。

18．三棱锥A BCD -及其侧视图、俯视图如图所示。

设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P为线段BC 上的点，且MN NP ⊥。

（1）证明：P 为线段BC 的中点； （2）求二面角A NP M --的余弦值。

解：（1）由三棱锥A BCD -及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A BCD -中：平面ABD ⊥平面CBD ，2AB AD BD CD CB ===== 设O 为BD 的中点，连接OA ，OC于是OA BD ⊥，OC BD ⊥ 所以BD ⊥平面OAC ⇒BD AC ⊥因为M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，所以//MN BD ，又MN NP ⊥，故BD NP ⊥ 假设P 不是线段BC 的中点，则直线NP 与直线AC 是平面ABC 内相交直线 从而BD ⊥平面ABC ，这与60DBC ∠=矛盾 所以P 为线段BC 的中点（2）以O 为坐标原点，OB 、OC 、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则3)A ，13(22M -，13(22N ，13(22P 于是13(,0,22AN =，33(0,22PN =，(1,0,0)MN = 设平面ANP 和平面NPM 的法向量分别为111(,,)m x y z =和222(,,)n x y z =由00AN m PN m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒11111302233022x z y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，设11z =，则(3,1,1)m =由00MN n PN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒22200x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，设21z =，则(0,1,1)n =2cos ,||||5m n m nm n ⋅===⋅⋅ 所以二面角A NP M --19．设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图象上（*n N ∈）。