2016-2017学年高中北师大版数学必修2(45分钟课时作业)：第1章6.2 垂直关系的性质 Word版含解析

6．2 垂直关系的性质
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知△ABC 和两条不同的直线l ，m ，l ⊥AB ，l ⊥AC ，m ⊥AC ，m ⊥BC ，则直线l ，m 的位置关系是( )
A ．平行
B ．异面
C ．相交
D ．垂直
答案：A
解析：因为直线l ⊥AB ，l ⊥AC ，所以直线l ⊥平面ABC ，同理直线m ⊥平面ABC ，根据线面垂直的性质定理得l ∥m .
2．PO ⊥平面ABC ，O 为垂足，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝5，P A ＝PB ＝PC ＝10，则PO 的长等于( )
A ．5
B ．5 2
C ．5 3
D ．20
答案：C
解析：∵P A ＝PB ＝PC ，
∴P 在面ABC 上的射影O 为△ABC 的外心．
又△ABC 为直角三角形，
∴O 为斜边BA 的中点．
在△ABC 中，BC ＝5，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，
∴PO ＝
PC 2－(AB 2
)2＝5 3. 3．已知平面α⊥β，直线l α，直线m β，若l ⊥m ，则l 与β的位置关系是( )
A ．l ⊥β
B ．l ∥β
C ．l β
D ．以上都有可能
答案：D 解析：若l 垂直于两平面的交线，则l ⊥β；若l 平行两平面的交线，m 垂直两平面的交线，则l ∥β；若l 就是两平面的交线，m 垂直两平面的交线，则l β.故这三种情况都有可能．
4．如图，BC 是Rt △BAC 的斜边，P A ⊥平面ABC ，PD ⊥BC 于点D ，则图中直角三角形的个数是( )
A．3 B．5
C．6 D．8
答案：D
解析：由P A⊥平面ABC，知△P AC，△P AD，△P AB均为直角三角形，又PD⊥BC，P A⊥BC，P A∩PD＝D，∴BC⊥平面P AD.∴AD⊥BC，易知△ADC，△ADB，△PDC，△PDB均为直角三角形．又△BAC为直角三角形，所以共有8个直角三角形，故选D.
5．下列命题中错误的是()
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
答案：D
解析：对于命题A，在平面α内存在直线l平行于平面α与平面β的交线，则l平行于平面β，故命题A正确．对于命题B，若平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α与平面β垂直，故命题B正确．对于命题C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在m，n上，过P作直线a，b，使a⊥m，b⊥n.∵γ⊥α，a⊥m，则a⊥α，∴a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，aγ，bγ，∴l⊥γ.故命
题C正确．对于命题D，设α∩β＝l，则lα，lβ.故在α内存在直线不垂直于平面β，即命题D错误．故选D.
6．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
答案：A
解析：连接AC1，∵BA⊥AC，BC1⊥AC，BA∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.∵AC平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1，且交线是AB.故平面ABC1上的点C1在底面ABC上的射影H必在交线AB上．
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知P A垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD 一定是__________．
答案：菱形
解析：因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥BD，又因为PC⊥BD，所以BD⊥平面P AC，又AC ⊂平面P AC，所以AC⊥BD.
8．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱P A＝a，PB＝PD ＝2a，则它的五个面中，互相垂直的平面有________对．
答案：5
解析：由勾股定理逆定理得P A⊥AD，P A⊥AB，∴P A⊥面ABCD，P A⊥CD，P A⊥CB.由直线与平面垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论．平面P AB⊥平面P AD，平面P AB⊥平面ABCD，平面P AB⊥平面PBC，平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD⊥平面PCD.
9．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________(填序号)．
①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；
②不论D折至何位置，都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；
④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.
答案：①②④
解析：分别取CE，DE的中点Q，P，连接MP，PQ，NQ，可证MNQP是矩形，所以①②正确；因为MN∥PQ，AB∥CE，若MN∥AB，则PQ∥CE，又PQ与CE相交，所以③错误；当平面ADE⊥平面ABCD时，有EC⊥AD，④正确．故填①②④.
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝60°，P A⊥平面ABCD，E 为PD的中点，P A＝2AB.若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF.
证明：∵P A＝2AB，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，
∴P A＝CA.
又F为PC的中点，∴AF⊥PC.
∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CD.
∵AC⊥CD，P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC，∴CD⊥PC.
∵E为PD的中点，F为PC的中点，∴EF∥CD，∴EF⊥PC.
又AF⊥PC，AF∩EF＝F，
∴PC⊥平面AEF.
11．如图，△ABC是边长为2的正三角形，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD ＝CD，BD⊥CD，且AE＝1.
(1)求证：AE∥平面BCD；
(2)求证：平面BDE⊥平面CDE.
证明：
(1)取BC的中点M，连接DM，AM，
因为BD＝CD，且BD⊥CD，BC＝2，
所以DM＝1，DM⊥BC.
又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC，
所以DM⊥平面ABC，所以AE∥DM，
又DM平面BCD，AE平面BCD，
所以AE∥平面BCD.
(2)由(1)知AE∥DM，又AE＝1，DM＝1，
所以四边形DMAE是平行四边形，所以DE∥AM.
因为△ABC为正三角形，所以AM⊥BC.
又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC，
所以AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD.
又CD平面BCD，所以DE⊥CD.
因为BD⊥CD，BD∩DE＝D，
所以CD⊥平面BDE.
因为CD平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE.
12.如图所示，已知在△BCD中，∠＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB
＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且AE
AC＝AF
AD＝λ，(0<λ<1)．求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.
证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
又∵AE
AC＝AF
AD＝λ(0＜λ＜1)，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC.又EF⊂平面BEF，
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.。