福建省三明市第一中学2014-2015学年高二上学期第二次月考数学(理)试题

福建省三明市第一中学2014-2015学年高二上学期第二次月考数学（理）试题＿＿＿ 班 姓名＿＿＿＿＿＿＿考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

下列各小题中，所给出的四个答案中有且仅有一个是正确的，把答案填在答题卡中相应的位置上）1．在平均变化率的定义中，自变量x 在0x 处的增量x ∆应满足（ ） A ．0>∆x B ．0<∆x C ．0=∆x D ．0≠∆x 2．已知命题：1cos ,≤∈∀x R x ，则该命题的否定为（ ） A ．1cos ,≥∈∃x R x B ．1cos ,≥∈∀x R x C ．1cos ,>∈∃x R x D ．1cos ,>∈∀x R x3．三棱柱111C B A ABC -中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B =（ ） A ．+-a b c B ．-+a b c C ．-++a b c D ．-+-a b c 4．函数1)(3-=ax x g 在()+∞∞-,是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．0≤aB ．0<aC ．0≥aD ．0>a 5．计算：=+⎰-22)2(sin dx x （ ）A ．－1B ．1C ．8D ．－86．若函数c bx x x f ++=2)(图象的顶点在第四象限， 则导函数)(x f '的图象是右图中的（ ）7．“0)(0='x f ”是“函数)(x f y =在0x 处有极值”的（ ） A ．充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充要条件 D ． 既不充分也不必要条件8．若()y f x =在(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈，则000()()limh f x h f x h h→+-- 的值为（ ）A '0()f xB 0C '02()f xD '02()f x -9 ）A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线D ．圆10．已知函数()f x 的图像如图所示，'()()f x f x 是的导函数，则下列数值排序正确的（ ） A ．0'(2)'(3)(3)(2)f f f f <<<- B ．0'(3)(3)(2)'(2)f f f f <<-<C ．0'(3)'(2)(3)(2)f f f f <<<-D ．0(3)(2)'(2)'(3)f f f f <-<<11．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小等于a 的概率为（ ） A ．22 B ．π22 C ．61 D ．π6112．已知双曲线()+∈=-N b by x 14222的两个焦点为21,F F ，O 为坐标原点，点P 在双曲线上，且5<OP ，若1PF 、21F F 、2PF 成等比数列，则2b 等于（ ）A ．1B ．2C ． 3D ．4二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡中相应的横线上）13．已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=，若//a b ，则=x * * * * * ；14．一条长为8的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，则两个正方形的边长各是* * * * * ，* * * * *；15．已知点P 是抛物线x y 22=上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，)4,27(A ，则PM PA +的最小值是* * * * * ； 16．给出以下四个命题： ① 所有的正方形都是矩形； ② R x ∈∃，使得53cos sin =⋅x x ； ③ 在研究变量x 和y 的线性相关性时，线性回归直线方程必经过点),(y x ；④ 方程13522=++-m y m x 表示椭圆的充要条件是53<<-m ．其中正确命题的序号是* * * * * * * * (写出所有正确命题的序号).三、解答题：（本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）如图，直三棱柱111C B A ABC -，底面ABC ∆中，2==CB CA ，22=AB ，棱41=AA ，N M ,分别是111,AA B A 的中点． (1) 求B C B A 11⋅的值；(2) 求直线BN 与平面C AB 1所成的角的正弦值．18．（本小题满分12分）设向量)31(，　，　m a m =，)32(，　，n b n =，其中{}4,3,2,1, ∈n m ． （1）请列出有序数组()n m ,的所有可能结果；（2）记“使得)(n m m b a a -⊥成立的()n m ,”为事件A ，求事件A 发生的概率．19．（本小题满分12分）已知函数),(,)()(2R b a b ax x x f ∈+=在2=x 时有极值，其图象在点))1(,1(f 处的切线与直线03=+y x 平行．（1）求b a 、的值和函数)(x f 的单调区间；（2）若当[]4,1∈x 时，恒有()x f t ≥，试确定t 的取值范围．20．（本小题满分12分）1正．四棱柱1111ABCD A B C D -中，14,2AA AB ==， 点E 在1CC 上，且EC E C 31=． (1) 证明：1A C ⊥平面BDE ； (2) 求二面角1A DE B --的余弦值．22.（本小题满分13分）已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =的焦点，离心率e = （1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点，设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥，求m 的取值范围；（3）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由．1－12． DCD BCA BCA BDA 13．6- 14．1,1 15．2916．① ③ 注：14题对一个得2分 17．（本小题满分12分）解：（1）由2==CB CA ，22=AB 得222CB CA AB +=，即090=∠ACB∴ 以C 为原点，分别以1,,CC CB CA 所在直线 为z y x ,,轴建立如图的空间直角坐标系xyz C -，则)4,1,1(M ，∴ )2,2,2(1--=B A ，)0,1,1(1=M C ，有002211=++-=⋅B C B A ． ……6分 （2）)2,0,2(N ，)2,2,2(-=BN ，)0,0,2(=CA ，)4,2,0(1=CB ，设平面C AB 1的法向量),,(z y x n =，则⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅==⋅z y x z y CB n x CA n 20042021，取)1,2,0(-=n ． 设直线BN 与平面C AB 1所成的角为θ， ∴515532240,cos sin =⋅++>=<=n BN θ， 故直线BN 与平面C AB 1所成的角的正弦值是515． ……………………12分 18．（本小题满分12分）解：(1) 有序数组()n m ,的所有可能结果为：（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共有16个． ……6分 (2) ∵0)n -1,2， ＝（--m b a n m ，∴ 由)(n m m b a a -⊥，得0122=-+-n m m ，即2)1(-=m n ．由于{}4,3,2,1, ∈n m ，故事件A 包含的基本条件为（2, 1）和（3,4）共2个． 又基本事件的总数为16，∴ 81162A P ＝）＝（． 故事件A 发生的概率是81． …………………12分（2）[]4,1∈x 由（1）得：)(x f 在[]2,1上单调递减，在[]4,2上单调递增，∴ 当2=x 时取得极小值是4-，又,2)1(-=f ,16)4(=f ∴16)4()(max ==f x f ， ∴ 当[]4,1∈x 时，恒有()16≥⇒≥t x f t ． ……………………12分 注：（1）中单调区间也可是开区间；（2）中可由（1）列表得． 20．（本小题满分12分）解：（1）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -． 则1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．(021)(220)DE DB ==，，，，，，11(224)(204)AC DA =--=，，，，，． 有 0044DBC A 1＝＋＋＝－⋅，0440DE C A 1＝－＋＝⋅， 故1AC BD ⊥，1AC DE ⊥．又DB DE D =，所以1A C ⊥平面BDE ． ………… 6分（2）由（1）得C A 1是平面BDE 的一个法向量，设向量(,,)n x y z =是平面DE A 1的法向 量，则1n DE n DA ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅⇒042021z x DA n z y DE n ，令1y =，则2z =-，4x =， ∴ 取(4,1,2)n =-．∴111cos ,||||n AC n AC n AC ⋅<>===x所以二面角1A DE B --………………………12分 21.（本小题满分13分） 解：（1）依题意有4220-=⇒+=a a． ……………………3分 （2）由（1）得4()f x x x=-，则()lg[()2]x g x f x m =+-在区间[]3,2上有意义， 即420x x m x -+->对[]3,2∈x 恒成立，得min 4(2)x x m x-+>，令 4()2x h x x x=-+，[]3,2∈x 先证其单调递增：法1∵ 02ln 241)(2>++='xxx h 在[]3,2∈x 上恒成立，故)(x h 在[]3,2∈x 递增， 法2： 任取3221≤<≤x x ，则 212121122121211244()(4)()()2(2)(22)x x x x x x x x h x h x x x x x x x -+-=-+--+=+- 因为3221≤<≤x x ，则21()()0h x h x ->，故()h x 在[]3,2∈x 递增，则min 4(2)(2)4x x h x-+==，得4<m ．…8分 （3）构造函数212(),(2)4y f x y x t ==--++ 结合图象有：①当404t t +<⇒<-时，正根的个数为0； 如图一②当404t t +=⇒=-时，正根的个数为1； 如图二③当404t t +>⇒>-时，正根的个数为2； 如图三 ……………………13分22.（本小题满分13分）解：（1）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，由题意1=b ，又52111222=-=-=a a b e ，∴52=a ，故椭圆方程为1522=+y x ． …4分 （2）由（1）得右焦点)0,2(F ，则20≤≤m ，设l 的方程为(2)y k x =-（0k ≠）代入1522=+y x ，得，2222(51)202050k x k x k +-+-=，∴0)1(202>+=∆k ，设1122(,),(,),A x y B x y 则15202221+=+k k x x ，155202221+-=⋅k k x x， 且)4(2121-+=+x x k y y ，图三图二图一)(1212x x k y y -=-．∴ ),2(),(),(21212211y y m x x y m x y m x MB MA +-+=-+-=+，),(1212y y x x AB --=， 由()MA MB AB +⊥，得0)(=⋅+AB MB MA ，即)()())(2()(12211221y y y y x x m x x AB MB MA -⋅++--+=⋅+)()4())(2(12211221x x k x x k x x m x x -⋅-++--+=0580)41520(21520222222>-=⇒=-++-+=m m k k k k m k k 580<<⇒m ， ∴ 当580<<m 时，有()MA MB AB +⊥成立． …………………………9分 （3）在x 轴上存在定点N ，使得C 、B 、N 三点共线．依题意11(,)C x y -，直线BC 的方程为111212)(y x x x x y y y ---+=，令0=y ，则121221112121)(y y x y x y x y y x x y x N ++=++-=，点B A ,在直线)2(:-=x k y l 上， ∴ )2(,)2(2211-=-=x k y x k y ， ∴kx x k x x k x kx x k x k x x k x x k y y x y x y x N 4)()(22)2()2()2()2(212121121221121221-++-=-+-⋅-+⋅-=++=2541520152**********2222=-+⋅+⋅-+-⋅=k k k k k k k k k k ， ∴ 在x 轴上存在定点5(,0)2N ，使得C 、B 、N 三点共线．……………13分。