1.1简单的旋转体
1.1简单旋转体
O
球面 球心
请大家想一想怎样用集合的观点去定义球？
空间中到定点的距离小于等于定长的点 的集合叫做球。
其中，把定点O叫作球心， 定长叫作球的半径 空间中到定点O的距离等于定长的点的集合叫 作球面。
球的截面性质： 球的截面都是圆面； 球面被过球心的平面截得的圆叫球 的大圆；不过球心的平面截得的圆 叫球的小圆。
B
A C D F F E C D B
A
E
G
（1）
（2）
思考交流
指出下列几何体是由哪些简单旋转体组合 而成的?
收获与体会：
球
简单旋转体
圆柱
圆锥
圆台
思考题1： 下面的平面图形能围成一个什么几何 体？其母线长为多少？轴截面的面积为多少？
3r 120°
r
思考题2： 对于上述问题的圆锥有一只小蚂蚁 在母线的中点A处，若要从B处逃生，最短路线 是多少？
S
O`
A
O1 l l R r
A
O
O2
B
O
r
A
B
圆柱、圆锥、圆台的性质
（2）平行于底面的截面都是圆；
S
O`
A
O1 l l R r
A
O
O2
பைடு நூலகம்
B
O
r
A
B
1 、 球、圆柱、圆锥、圆台过轴 的截面（轴截面）分别是什么图 形？ 答：分别是：圆、矩形、等腰 三角形、等腰梯形；
抽象概括
一条平面曲线绕它所在平面内的一定直线 旋转形成的曲面叫旋转面。
d RO r
2
2
R A r
O d O1
二、圆柱、圆锥、圆台
分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂 直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的 曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台。
【高一数学】简单的旋转体
2、圆台的表示： 用表示它的轴的字母表示，如圆台OO′
O'
底面
轴 侧面
母线
O
底面
总结：
由于球体、圆柱、圆锥、圆台分别由平面 图形半圆、矩形、直角三角形、直角梯形通过 绕着一条轴旋转而生成的，所以把它们都叫旋 转体。
的圆面叫做圆锥的底面。
（3）不垂直于轴的边旋转而 成的曲面叫做圆锥的侧面。
（4）无论旋转到什么位置不 垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。
圆台
圆台的定义1：把直角梯形绕着它的垂直
于底边的腰所在的直线在空间中旋转一周， 则直角梯形的其它三条边在旋转的过程中 所形成的曲面围成的几何体会叫作圆台。
圆台的定义2：用一个平行于圆锥 底面的平面去截圆锥，底面与截面之间 的部分，这样的几何体叫做圆台。
简单几何体
简单旋转体
球
1、球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴， 将半圆旋转一周后所形成的曲面叫作球面。
把球面所围成的几何体叫作球体，简称球。
A
球心:半圆的圆心。
球的半径：连结球
径 直径：连结球面上的任意两点
且过球心的线段
球的表示：用表示球心的字母表 示，如球O。
球心
B
简单旋转体
一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条 直线旋转所形成的曲面叫作旋转面. 封闭的的旋转面围成的几何体叫作旋转体
圆柱
1、定义：以矩形的一边所在直线为
O1
旋转轴，把它在空间中旋转一周后，其余
矩形
三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做 圆柱。
（1）旋转轴叫做圆柱的轴。
O
（2） 垂直于轴的边旋转而成
的圆面叫做圆柱的底面。
（3）由平行于轴的边旋转而 成的曲面叫做圆柱的侧面。
北师大版高中数学必修二教师用书：1-1-1 简单旋转体
1．1简单旋转体1．以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球．半圆的圆心叫作球心．连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径．连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径．2．分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．在旋转轴上这条边的长度叫作它们的高，垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫作它们的底面，不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫作它们的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线．圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的．3．一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．()(2)圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线．()(3)在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线. ()(4)圆柱的任意两条母线相互平行．()(5)球和球面是两个不同的概念．球面指球的表面，而球不仅包括球的表面，还包括球面包围的空间．()[★答案☆](1)×(2)√(3)×(4)√(5)√题型一旋转体的结构特征【典例1】给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的母线长大于高；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；⑤圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径．其中说法正确的是________．[思路导引]根据圆柱、圆台、圆锥的几何特征判断．[解析]①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图(1)所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③正确，圆台的上下底面半径、母线及高构成一个直角梯形，母线长大于高；④不正确，圆柱夹在两个不平行于底面的截面间的几何体不是旋转体；⑤正确，如图(2)所示，圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆半径的2倍(即直径)．[★答案☆]①②③⑤(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成．②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．[针对训练1]下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段．其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3[解析]②错误，截面可能是一个三角形；③错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；①④正确．故选C.[★答案☆]C题型二旋转体的有关计算【典例2】已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm、2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm，求这个圆台的母线长．[思路导引]圆锥、圆台的轴截面中有母线与上、下底面圆半径．因此可以考虑用轴截面解答．[解]如图是几何体的轴截面，由题意知AO＝2 cm，A′O′＝1 cm，SA＝12 cm.由A′O′AO＝SA′SA，得SA′＝A′O′AO·SA＝12×12＝6(cm)，于是AA′＝SA－SA′＝6(cm)，故这个圆台的母线长为6 cm.旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化．对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解．这是解答圆台问题常用的方法．[针对训练2]用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1∶4，截去的小圆锥的母线长是3 cm，则圆台的母线长________cm.[解析]如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x,4x.根据相似三角形的性质得33＋y＝x4x，解此方程得y＝9.所以圆台的母线长为9 cm.[★答案☆]91．关于下列几何体，说法正确的是()A．图①是圆柱B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台D．图⑤是圆台[解析]图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．[★答案☆]D2．下列命题正确的个数为()①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；②矩形的任意一条边都可以作为轴，其他边绕其旋转围成圆柱；③矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱．A．1 B．2 C．3 D．4[解析]3．球的直径有()A．一条B．两条C．三条D．无数[解析]经过球心且端点在球面上的线段都是球的直径，则球有无数条直径．[★答案☆]D4．关于圆台，下列说法正确的是________．①两个底面平行且全等；②圆台的母线有无数条；③圆台的母线长大于高；④两底面圆心的连线是高．[解析]圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．[★答案☆]②③④课后作业(一)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．下列说法：①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆锥；②以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④分别以矩形两条不相等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得的两个圆柱是不同的圆柱．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] 圆锥是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以①是错误的；圆台是以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以②是错误的；③显然是正确的；由圆柱的定义可知，随便以矩形的哪条边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周所得到的旋转体都是圆柱，但显然不是同一圆柱，所以④正确，所以★答案☆选B.[★答案☆] B2．下列说法不正确的是( )A ．圆柱的侧面展开图是一个矩形B ．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C ．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D ．圆台平行于底面的截面是圆面[解析] 由圆锥的概念知直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C 错．[★答案☆] C3．一个圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为( )A ．10B ．12C ．20D ．15[解析] 圆锥的轴截面是等腰三角形、两腰为圆锥的母线、底边为圆锥的底面圆的直径，所以轴截面的面积S ＝12×2×3×52－32＝12，故选B.[★答案☆] B4.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则有2πr ＝12·2πl .∴2r＝l ，即△ABC 为等边三角形，故顶角为60°.[★答案☆] C5．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为( )A ．8 B.8π C.4π D.2π[解析] 若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为8π；若底面周长为2，则圆柱高为4，此时圆柱的底面直径为2π，其轴截面面积为8π.[★答案☆] B6．一圆锥的母线长为6，底面半径为3，用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4，则圆台的另一底面半径为________．[解析]作轴截面如图，则r 3＝6－46＝13，∴r＝1.[★答案☆]17．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为________．[解析]设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则πr2＝π，∴r＝1.设球的半径为R，则R＝d2＋r2＝2，故球的直径为2 2.[★答案☆]228．有下列说法：①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体；②球的半径是球面上任意一点与球心的连线；③球的直径是球面上任意两点间的连线；④用一个平面截一个球，得到的是一个圆．其中正确的序号是________．[解析]球的直径过球心，③不正确；用一个平面截一个球，得到一个圆面，④不正确．[★答案☆]①②9．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，求此圆柱的底面半径.[解]设圆柱底面半径为r，母线为l，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＝l ，2r ·l ＝Q ，解得r ＝Q 2. 所以此圆柱的底面半径为Q 2.10．若一个圆锥的母线长为12，其轴截面为等边三角形，求这个圆锥的底面圆的面积及圆锥的高．[解] ∵圆锥的轴截面是一个等边三角形，∴圆锥的底面圆的直径为12，∴半径R ＝6，∴圆锥的底面圆的面积S ＝πR 2＝36π，圆锥的高h ＝122－62＝6 3.应试能力等级练(时间25分钟)11．下面说法正确的是( )A ．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B ．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C ．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D ．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形[解析] 平行于圆锥一条母线的截面不是多边形，因为它的边界有曲线段，只有过母线且过顶点作截面才会出现等腰三角形，故A 错误，C 正确；过圆台一个底面中心的截面若不经过另一底面，截面也不是多边形，更谈不上等腰梯形，只有过轴的平面才截得等腰梯形，故B 、D 都不正确．故选C.[★答案☆] C12．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为( )[解析]截面图形应为图C所示的圆环面．[★答案☆]C13.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体[解析]外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所以形成的几何体为一个球体挖出一个圆柱．[★答案☆]B14．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为________cm2.[解析] 如图所示，过球心O 作轴截面，设截面圆的圆心为O 1，其半径为r .由球的性质，OO 1⊥CD .在Rt △OO 1C 中，R ＝OC ＝5，OO 1＝4，则O 1C ＝3， 所以截面圆的面积S ＝π·r 2＝π·(O 1C )2＝9π.[★答案☆] 9π15．一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在圆锥内部有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S;(2)当x 为何值时，S 最大？[解] (1)如图，设圆柱的底面半径为r cm ，则由r 2＝6－x 6，得r＝6－x 3，∴S ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)由S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6，∴当x ＝3时，S max ＝6 cm 2.。
2021年高中数学第一章1.1.1简单旋转体学案北师大版必修2
第一章立体几何初步§1简单几何体1．1简单旋转体知识点一旋转体[填一填](1)概念：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．(2)特殊的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球．知识点二球[填一填](1)概念：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球．半圆的圆心叫作球心．连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径．连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径．如图所示．(2)表示：球常用表示球心的字母表示．如上图中的球记作球O.[答一答]1．在平面几何中，你学习了直线与圆的位置关系，那么平面与球的位置关系如何？提示：类比平面上直线与圆的位置关系，平面与球有以下几种位置关系：相离、相切、相交，其中相离是平面与球无公共点，相切是平面与球有且只有一个公共点，相交则是平面与球有无数多个公共点．知识点三圆柱、圆锥、圆台[填一填](1)概念：分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的．垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫作它们的底面；不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫作它们的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线．如图所示．(2)表示：圆柱、圆锥、圆台都是用表示轴的字母表示．如上图中的圆柱、圆锥、圆台分别记为圆柱OO′、圆锥SO、圆台OO′.[答一答]2．对圆柱、圆锥、圆台：(1)平行于底面的截面是什么样的图形？(2)过轴的截面(简称轴截面)分别是什么样的图形？(3)研究圆柱、圆台和圆锥之间的关系．提示：(1)平行于底面的截面，图形都是圆．(2)过轴的截面，对于圆柱是矩形，对于圆锥是等腰三角形，对于圆台是等腰梯形．(3)圆柱的上底面变小，就变为圆台，当上底面变为一个点时，它就变成了圆锥．圆台是由圆锥截得的，“补台成锥”是解决圆台问题的一种重要方法．3．为什么以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体不一定是圆锥？提示：如图①所示，Rt△ABC中，AB⊥AC，以直角边AC所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆锥，如图②；以直角边AB所在的直线为轴旋转所得旋转体也是圆锥，如图③；以斜边BC所在的直线为轴旋转所得旋转体不是圆锥，是两个同底面的圆锥拼接成的几何体，如图④.由此可见，平面图形绕同一平面内的一条直线旋转所得几何体是什么样的旋转体，跟所选旋转轴所在的直线的位置关系有关．在理解圆柱、圆锥和圆台的概念时要注意以下几点(1)我们以轴上的两个字母表示几何体，可以记作圆柱OO′，圆锥SO，圆台OO′.(2)圆台可看作是用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分．(3)这三种几何体的母线不是唯一的．圆柱的母线互相平行，圆锥的母线交于一点，圆台的母线延长后交于一点．连接圆柱上、下底面圆周上两点，不一定是圆柱的母线，圆柱的母线与轴平行．但连接圆锥顶点和底面圆周上任一点得到的线段都是母线．(4)用一个与底面平行的平面去截这三种几何体，得到的截面都是圆面.类型一旋转体的有关概念【例1】以下对于几何体的描述，错误的是()A．NBA 决赛中使用的篮球不是球体B．一个等腰三角形绕着底边上的高所在直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形叫作圆锥C．用平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫作圆台D．以矩形的一组对边的中垂线所在直线为轴旋转180°所形成的几何体为圆柱【思路探究】根据柱、锥、台的结构特征进行判断．【解析】根据球的定义可知A 正确．由圆锥的定义知B 正确．当平面与圆锥的底面平行时底面与截面之间的部分为圆台，故C 错误．由圆柱的定义知D 正确．【答案】 C规律方法1.判断简单旋转体结构特征的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成．(2)明确旋转轴是哪条直线．2．简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．判断下列各命题是否正确．(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．解：(1)错误．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．(2)错误．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．(3)正确．(4)错误．应为球面．类型二有关几何体的计算问题【例2】一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4πcm2 和25πcm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．【思路探究】本题主要考查圆台中的有关计算，关键是画出轴截面，依据相似三角形求解．【解】(1)如右图所示，设圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，O1，O分别是上、下底面的中心，作AM⊥BC于M，延长BA，CD交于S，连接SO，则SO经过O1.由已知得上底面半径O1A＝2 cm，下底面半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm，∴圆台的高AM＝122－5－22＝3 15(cm)．(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm，l－12 2则由△SAO1∽△SBO，得＝，解得l＝20.l 5即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.规律方法解决这类问题一般是画出轴截面解三角形．4 3一个圆锥的高为2，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的母线长为.3解析：先明确圆锥的相关概念，画出示意图，再利用直角三角形的知识求解，如图所示，设圆锥底面直径为AB，SO为高，SA为母线，由题意可知∠ASO＝30°，所以在Rt△AOS中，SA＝SO 2 4 3＝＝.cos∠ASO cos30° 3类型三有关球的截面问题【例3】在球内有相距9 cm 的两个平行截面，面积分别为49πcm2 和400πcm2，求此球的半径．【思路探究】作轴截面(过与截面圆垂直的半径作截面)，将空间图形化为平面图形．利用截面的性质解直角三角形．【解】两截面与球心的位置关系有两种：(1)两截面位于球心的同侧；(2)球心在两截面之间．若两截面位于球心的同侧，如图①，C，C 1 分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R，截面圆的半径分别为r，r1，由πr21＝49π，得r1＝7(cm)，由πr2＝400π，得r＝20(cm)，在Rt△OBC中，OC＝R2－r2＝R2－400，由题意知OC1－OC＝9 cm，即R2－49－R2－400＝9，解得R＝25(cm)，若球心在两截面之间，如图②，OC1＝R2－49，OC＝R2－400.由题意知OC1＋OC＝9 cm，即R2－49＋R2－400＝9，R2－49＝9－R2－400，平方得R2－400＝－15，此方程无解，说明第二种情况不存在．综上所述，所求球的半径为25 cm.规律方法在解决球的截面问题时，可作轴截面，将空间图形化为平面图形．由于球心与截面圆心的连线垂直于截面圆，因此经过球心与截面圆心的连线作轴截面如图．则球的半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d有如下关系：d2＋r2＝R2.在半径等于13 cm 的球内有一个截面，它的面积是25πcm2，求球心到这个截面的距离．解：设截面圆的半径为r cm.因为πr2＝25π，所以r＝5.设球心到截面的距离为d cm，则d＝132－52＝12.所以球心到截面的距离为12 cm.类型四圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图问题【例4】如图所示，一圆柱的底面半径为2，母线长为5，轴截面为矩形ABCD，从点A拉一绳子沿圆柱侧面到点C，求最短绳长．【思路探究】(1)绳子是在圆柱的侧面上，与侧面有关的问题用侧面展开图来解决．(2)沿母线BC剪开，将圆柱侧面的一半展开，得展开图矩形，其中AD是母线的长，AB′是底面周长的一半．【解】沿BC剪开，将圆柱侧面的一半展开得到矩形B′ADC′，如图所示，连接AC′，则AC′的长即为所求最短绳长，由题意可知，B′C′＝5，AB′＝2π，即最短绳长为25＋4π2.规律方法1.圆柱问题中的基本量为底面半径r、h、母线长l，且h＝l.2．解决与圆柱有关的问题可作轴截面或侧面展开图，将空间问题转化为平面问题．3．轴截面是矩形，长和宽分别为2r和l.4．侧面展开图是矩形，长和宽分别为2πr和l.圆锥底面半径r＝1 cm，母线l＝6 cm，现有一只蚂蚁，从圆锥底面圆周上点A沿侧面爬一周后又回到A点，求它至少要爬的路程．解：r 1如图所示，将圆锥侧面沿母线PA展开，所得扇形的圆心角θ＝·360°＝×360°＝60°，∴△l 6PAA′为等边三角形，∴AA′＝6，即它至少要爬的路程为6 cm.——转化与化归思想——立体几何问题平面化1．利用轴截面将空间问题转化为平面问题圆柱、圆锥、圆台、球的轴截面中含有丰富的元素和良好的图形性质，因此在解决几何体的有关长度计算问题时常常利用轴截面来解决，将空间问题转化为平面问题．2．用侧面展开的方法求圆柱、圆锥和圆台侧面上两点间距离(最值)求几何体侧面上两点间最短距离的问题，常把侧面展开，转化为平面几何问题后解决．【例5】如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求：(1)绳子的最短长度的平方f(x)；(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；(3)f(x)的最大值．【思路分析】求几何体侧面上两点之间的距离的最小值时，往往利用其侧面展开图求解．【精解详析】将圆锥的侧面沿SA剪开，并展开，如图所示，该图形为扇形，且弧L2πEarlybird晨鸟教育(1)由题意知，绳子长度的最小值为展开图中的AM，且AM＝x2＋16(0≤x≤4)，所以f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．1 1(2)作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，因为SA·SM＝2 2 AM·SR，SA·SM4x所以SR＝＝(0≤x≤4)，即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为AM x2＋164xx2＋16 (0≤x≤4)．(3)因为f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)是增函数，所以f(x)的最大值为f(4)＝32.【解后反思】求解旋转体侧面上两点间的最小距离时，一般将几何体侧面展开，从而将空间问题转化为平面问题，将曲线问题转化为直线问题来解决，使复杂问题简单化．如图，圆台的上、下底面半径分别为5 cm 和10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点．求：在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．提示：类似几何体表面最短路径问题一般是把侧面展开，转化为平面几何知识求解．解：如图，将圆台侧面展开，则绳子的最短长度为侧面展开图中A1M的长度，所以∠AOA1＝10－5×360°＝90°，205设OB＝l′，则·360°＝90°，l′＝50(cm)．过点O作OQ⊥A1M于Q，交弧BB1 于P，则PQ为所求最短距离．因为OA1·OM＝A1M·OQ，则40×30＝50·OQ，所以OQ＝24 cm，所以PQ＝OQ－OP＝OQ－OB＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.一、选择题1．下列不是旋转体的是(D)A．圆台B．圆锥C．圆柱D．球面解析：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫作空间几何体．旋转体是特珠的空间几何体．因此球面不是旋转体．2．下列说法中正确的是(D)A．圆台是直角梯形绕其一边所在的直线旋转而成的B．圆锥是直角三角形绕其一边所在的直线旋转而成的C．圆柱不是旋转体D．圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的底面与截面之间的部分解析：圆台是直角梯形绕垂直于底边的腰所在的直线旋转而得到的，故A 不正确；圆锥是直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转而得到的，故B 不正确；而圆柱、圆锥、圆台、球都是旋转体，故C 不正确．3．有下列表述：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是(D)A．①②B．②③C．①③D．②④解析：对于①③，两点的连线不一定在圆柱、圆台的侧面上，当然有可能不是母线了，对于②④，由母线的定义知正确．二、填空题4．有下列说法：①球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段；②球的直径是球面上任意两点间的线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球．其中正确的有①.解析：①球是半圆绕其直径所在的直线旋转，旋转面所围成的封闭的几何体，不难理解，半圆的直径就是球的直径，半圆的圆心就是球心，半圆的半径就是球的半径，因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．5．圆柱、圆锥和圆台过轴的截面分别是矩形、等腰三角形和等腰梯形．三、解答题6．在半径为25 cm 的球内有一个截面，它的面积是49πcm2，求球心到这个截面的距离．解：设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，如图所示．因为S＝πr2＝49πcm2，所以r＝7 cm，所以d＝R2－r2＝252－72＝24(cm)，即球心到这个截面的距离为24 cm.。
简单常用的旋转体
r =R × cosθ
Cr
A
θ
R
θ
O
B
例1. 在半径是13cm的球面上有A,B,C三点, AB=BC=CA=12cm,求球心到经过这 三点的截面的距离.
解:由题AB=BC=CA=12cm
△ABC是正三角形
则截面圆是△ABC的
外接圆,故截面圆半径
O
r
=
1
2
AB
§1 简单旋转体
观察上面的图片，这些图片中的物体具有什么几 何结构特征？你能对它们进行分类吗？
1.1简单旋转体
一、球
定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，将半 圆旋转所形成的曲面叫作球面。球面所围成 的几何体叫做球体，简称球.
A
半
O
径
球心
B
用一个平面去截一个球,所得截面是什么图形？
圆面
PC = OP 2-OC 2
= R2 - d 2 O
Rd rC
P
α
O1 A
O
令OA = R,O1A = r 则OO12 = R2 - r2
球面被经过球心的
平面所截得的圆叫
做大圆
o
球面被不经过球心
dO
的截面所截得的圆
叫做小圆
C
某点纬度— 经过该点的球半径与 赤道面所成的角的度 数等于球半径和纬线 圈所在平面的半径的 夹角。
1.2简单多面体
我们把 若干个平面多边形围成的几何体 叫多面体。 其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体
几何体的分类
柱体
锥体
台体
球
多面体
旋转体
各个简单旋转体的轴截面：
S
D
简单旋转体
O
设圆锥的母线长为 y ，则有
10 1 = y 4
A
A
y 40(cm) 圆锥的母线长为40cm.
答：圆台的母线长为 30cm
B
10cm
O
S
O
D 跟踪训练：用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截
A
得圆台上、下底面的面积之比为1:16，原来圆锥的母线长是16cm A ， O B 求圆台的母线长.
④经过圆柱轴的平面截圆柱所得的截面是矩形，这
个矩形的一组对边是母线，另一组对边是底面圆的 直径．
拓展延伸 表示方法:
o
s
o
o'
圆柱oo'
o'
圆锥so'
o'
圆台oo'
五、拓展延伸
对圆柱、圆锥、圆台思考以下问题
重点讨论： 1、平行于底面的截面是什么样的图形？ 用图展示出来 2、过轴的截面分别是什么样的图形？ 用图展示出来 3、圆柱、圆锥、圆台之间的关系？ 4、圆柱、圆锥、圆台分别去掉底面，沿着任 意一条母线剪开，然后在平面上展平，得 到什么样的平面图形？ 用图展示出来
三棱柱 圆锥 三棱锥 圆柱 长方体 6.圆台的上下底面的直径分别是2cm, 10cm, 高 为3cm， 求圆台的母线长。
课后思考
将下列平面图形绕直线AB旋转一周，所 得的几何体分别是什么？
B B A B A 图3
A 图1
图2
圆柱
圆锥
圆台
概念检测
1、判断下列几何体是否是圆柱、圆锥、圆台
×
（1 ）
×
（2）
×
（3）
概念检测
2、有以下命题： (1) 以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋 转体是圆锥； (2) 以直角梯形的一条腰所在直线 为旋转轴，旋转所得的几何体是圆台； (3) 圆柱 、圆锥、圆台的底面都是圆； (4) 分别以矩形两 条不同的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转，所 得的两个圆柱可能是两个不同的圆柱． 其中正确的个数是( A ) A．1 B．2 C．3 D．4
(完整版)§1.1简单旋转体(教案)
§1。
1 简单旋转体一、教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类.（3）会用语言概述圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法(1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。
(2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感、态度与价值观(1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力.二、教材分析重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.难点:圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征的概括。
三、教学方法探析讨论法四、教学过程（一)、新课导入在我们周围存在着各种各样的物体,它们都占据着空间的一部分。
如果我们只考虑这些物体的形状和大小,而不考虑其他因素，那么由这些抽象出来的空间图形就称为空间几何体。
观察下面几个几何体，说说它们有何共同特征？容易看出，组成几何体的每个面不都是平面图形.像这样的几何 体称为旋转体。
这节课，我们就来学习简单的旋转体.(二)、研探新知1.旋转体首先，我们来看旋转体的概念.一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面 称为旋转面；封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体.绕之旋转的 定直线称为旋转体的轴,如图直线OO ′。
2.简单的旋转体 (1)球人类赖以生存的地球，天体中的月亮，太阳，体育比赛中的足球、篮球等,都给我们球的形象.那么，球的定义是什么呢？ ①定义以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转所形成的曲面称为球面。
球面所围成的几何体 称为球体，简称球。
半圆的圆心称为球心。
连接 球心和球面上任意一点的线段称为球的半径。
连接球面上两点且过球心的线段称为球的直径. ②表示球用表示球心的字母表示，右图中球表示为球O 。
1.1.1简单的旋转体基础练习题
以直角三角形的直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.
棱台，正方体和三棱锥是多面体.
故选：A.
【点睛】
本题考查旋转体和多面体的概念，棱台和圆台的区别，圆锥和棱锥的区别；考查了概念辨析能力，属于容易题目.
5．C
【分析】
直接根据绕着 所在的直线旋转，得到几何体，描述图形特征.
A．棱锥B．棱台C．球D．圆台
7．直角三角形绕着它的一条直角边旋转而成的几何体是（ ）
A．圆锥B．圆柱C．圆台D．球
8．给出下列命题：
①圆柱的母线与它的轴可以不平行；
②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
10．下列说法中错误的是（）
A．正棱锥的所有侧棱长相等
B．圆柱的母线垂直于底面
C．直棱柱的侧面都是全等的矩形
D．用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形
11．下列结论中正确的是（）
A．半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球
B．直角三角形绕一直角边为轴旋转一周得到的旋转体是圆锥
故选：D.
【点睛】
本题考查旋转体的概念，属基础题
7．A
【解析】
依题意可知，该几何体是圆锥，故选 .
8．D
【分析】
由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质即可判断.
【详解】
由圆柱的母线无论旋转到什么位置都与轴平行，故①错误；
圆锥是以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的，
故②正确；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.
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35
球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征
S O1 O
A1
O
1
B1
r
A O
B1 A B O B A O
球
圆柱
圆锥
圆台
36
B
• 把到定点O的距离等于或小于定长 的点的集合叫作球体，简称球。
• 其中：把定点O叫作球心，定 长叫作球的半径
• 到定点O的距离等于定长的 点的集合叫作球面。
21
球面距离
在球面上，两点之间 最短连线的长度，是经过这两点的 大圆在两点间的劣弧的长度，称这 段劣弧的长度为这 两点的球面距离；
P O
举例：
①飞机的飞行航线；
②轮船的航行路线；
Q
22
二、圆柱、圆锥、圆台、球
下面几何体与多面体不同,仔细观察下列 几何体,它们有什么共同点或生成规律?
上 图中的 图 形通过哪些平面图形旋转而成 ?
23
24
分别以矩形、直角三角形、直角梯形 的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在
的直线为旋转一周，形成的几何体分别叫
练习1、判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的 题号后打 ，否则打 : 1、一个平面长可以为4 米，宽 可以为2 米； 2、平面没有边界，但有厚度； 3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( ( ) ) ) ( )
4、一个平面可以把空间分成两部分. (
§1 简单几何体
问 答
这些图片中的物体具有什么样的几何 结构特征?你能对它们进行分类吗?
18
想 用一个平面去截球体得到 一 想 的截面是什么图形？ ？
性质3：用一个平面去截球体得到的截面是 一个圆面
想 一 想
球面被经过球心的 平面所截得到的是什 么图形
19
球的截面
用平面去截一个 球，截面都是圆 面。 球面被经过球心的 平面截得的圆叫做 球的大圆；
C
其它截面圆叫做球的小圆；
20
请大家想一想怎样用集合的观点去定义球？
一般的,我们用平行四边形表示平面,如图记为 平面α 或平面ABCD.
D
C B
A
通常把平面用一个希腊字母α、β、γ等字母表示， 还可以用表示平行四边形的四个顶点的字母来表 示（或用用表示平行四边形的对角顶点的两个字 母来表示） 例如： D C
β α 记为：平面α C O A 记为：平面ABC B 记为：圆面O A B 记为：平面ABCD 或平面AC、平面BD 记为：平面β
以长方体为背景，通过直观感知、操作确认、思维论证、
度量计算等方法,了解简单几何体的基本特征及其直观图和 三视图,理解空间中的点、线、面的位置关系，并能用数学 语言对某些位置关系进行描述和论证.培养和发展空间想象、 推理论证和运用图形语言进行交流的能力.
平静的湖面给我们以平面的形象.
课堂探究1
平面是空间最基本的图形.平整的桌面、平静的湖 面都给人平面的印象，平面是无限延伸的.
第一章 立体几何初步
§1 简单几何体
1.认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征
描述现实生活中简单物体的结构. 2.通过对简单几何体的观察分析，培养学生的观察能力 和抽象概括能力. 3.通过教学活动，逐步培养学生探索问题的精神.
形 状 与 大 小
三维空间是人类存在的现实空间.生活中蕴含着丰富的 几何图形.接下来的几节我们将以具体的立体图形，特别是
上图中的物体大体可分为两大类. 其中(2),(5),(7),(9),(13),(14),(15),(16) 具有相同的特点:组成几何体的每个面都是平面图 形,并且都是平面多边形； (1),(3),(4),(6),(8),(10),(11),(12) 具有相同的特点:组成它们的面不全是平面图形.
想一想?
31
例２：把一个圆锥截成一个圆台，已知圆 台的上下底面半径是1:4，母线长为 10 cm，1
C
O1
C
A
O
B
O
32
B
1.一个直角三角形绕它的斜边边旋转一周形成的空间几何体是（ A．一个圆锥 B．一个圆锥和一个圆柱 C．两个圆锥 D．一个圆锥和一个圆台
2.过圆台的轴的平面截圆台所得形状（ ） A．是梯形，不一定是等腰梯形 B．一定是等腰梯形 C．可能是平行四边形 D．可能是三角形 3.下列说法正确的是（ ） A．圆台是直角梯形绕它的一腰旋转后而成的几何体 B．用平行于圆锥底面的平面去截此圆锥得到一个圆锥和一个圆台 C．用过圆锥的轴的平面截圆锥得到的一定是等边三角形 D．一平面截圆锥，截口形状是圆
29
想 一 想 ？
1．平行于圆柱，圆锥，圆台的 底面的截面是什么图形？ ２．过圆柱，圆锥，圆台的旋转 轴的截面是什么图形？
性质1：平行于底面的截面都是圆。 性质2：过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩 形，等腰三角形，等腰梯形。
30
抽象概括
总结：由于球体、圆柱、圆锥、圆台分别由平 面图形半圆、矩形、直角三角形、直角梯形通 过绕着一条轴旋转而生成的，所以把它们都叫 旋转体。 一条平面曲线绕它所在平面内的一定直线 旋转形成的曲面叫旋转面。 封闭的旋转面围成的几何体叫旋转体。
S
高
侧 面
母 线
O
O A
A
底面
（4）无论旋转到什么位置不 28 垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。
3、圆台的定义1：以直角梯形的一腰(垂直于底边)所在 直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几 何体叫做圆台，记作：圆台OO ' 。
O'
高
轴
侧 面 母 线
O
定义2：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面 与截面之间的部分，这样的几何体叫做圆台。
我们应该给上述两大类几何 体取个什么名字才好呢?
多面体: 若干个平面多边形围成的几何体
面----围成多面体的各个多边形 棱----相邻两个面的公共边 顶点-----棱与棱的公共点
旋转体: 由一个平面图形绕它所在平面内的
一条定直线旋转所形成的封闭几何体
15
空间几何体 如果我们只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因素， 那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。
33
练习:
一、判断题： （1）在圆柱的上下底面上各取一点，这两点的连
线是圆柱的母线．
（
）
（2）圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形．（ ）
（3）与圆锥的轴平行的截面是等腰三角形．（
）
34
二、填空题：
（1）用一张６×８的矩形纸卷成一个圆柱，其轴
48 轴截面的面积为________ ．
（2）圆台的上、下底面的直径分别为２ 5cm cm,10cm,高为3cm，则圆台母线长为_______.
你能把这些几何体 分成两类么？
16
1.1
简单旋转体
17
一、球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，将半圆
旋转所形成的曲面叫作球面.球面所围成的几何体叫作球
体，简称球，记作：球O；其中:把半圆的圆心叫做球心
区别：球面指表层；球指含内层 直径
O O
球面 球心 半径
注：1.连结球心与球面上的任意一点的线段叫作球的半径。 2.连结球面上的任意两点且过球心的线段叫做球的直径。
O
O
高 轴 母线
O1
侧 面
O1
底面
27
2、圆锥的定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转 轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥, 记作圆锥SO。 （1）旋转轴叫做圆锥的轴。
（2） 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做 （3）不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫 做圆锥的侧面。 圆锥的底面。
顶点
轴
S
做圆柱，圆锥，圆台。
圆柱
圆锥
圆台
25
实 验
o
s
o
o'
o'
o'
分别表示为：圆柱oo'、圆锥so'、圆台oo'
26
1、圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴， 其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆 注：（1）旋转轴叫做圆柱的轴。 柱，记作圆柱OO1．
（2） 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面。 （3）由平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面。 （4）无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线。