《平面向量的实际背景及基本概念》一课一练
2014人教A版高中数学必修四 21《平面向量的实际背景及基本概念》同步练习
§2、1、1平面向量的概念及几何表示【学习目标、细解考纲】了解向量丰富的实际背景,理解平面向量的概念及向量的几何表示。
【知识梳理、双基再现】1、 向量的实际背景有下列物理量:位移,路程,速度,速率,力,功,其中位移,力,功都就是既有_______________又有_________________的量、路程,速率,质量,密度都就是____________________的量、2、平面向量就是_________________________的量,向量__________比较大小、数量就是_________________________的量,数量_____________比较大小、3、向量的几何表示(1)由于实数与数轴上的点一一对应,所以数量常用_____________________表示,而且不同的点表示不同的数量、(2)向量常用带箭头的线段表示,线段按一定比例(标度)画出,它的长短表示向量的____________,箭头的指向表示向量的________________、(3)有象线段就是________________的线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向、以A 为起点,B 为终点的有向线段记作____________、起点要写在终点的前面、有向线段AB u u u r 的长度,记作___________________、有向线段包含三个要素________________________________________________知道了有向线段的起点,长度,与方向,它的终点就惟一确定、(4)向量可以用有向线段表示、也可以用字母_________表示,或用表示向量的有向线段的起点与终点字母表示,例如字母_____________4、向量的模的向量向量AB u u u r 的大小,也就就是向量AB u u u r 的长度,称_____________,记作__________、5、零向量就是_____________的向量,记作____________、零向量的方向任意、6、单位向量就是____________的向量、7、平行向量_________________________叫做平行向量,向量a r 与b r 平行,通常记作______________我们规定:零向量与任一向量平行,即对于任意的向量b r ,都有_________________________、【小试身手、轻松过关】1、判断下列命题的真假:(1) 向量AB u u u r 的长度与向量BA u u u r 的长度相等、(2)向量a r 与b r 平行,则b r 与a r 方向相同、(3) 向量a r 与b r 平行,则b r 与a r 方向相反、(4) 两个有共同起点而长度相等的向量,它们的终点必相同、(5) 若a r 与b r 平行同向,且a r ＞b r ,则a r ＞b r(6)由于0r 方向不确定,故0r 不能与任意向量平行。
课时作业4：2.1 平面向量的实际背景及基本概念
2．1 平面向量的实际背景及基本概念一、基础达标1．有下列说法：①若向量a 与向量b 不平行，则a 与b 方向一定不相同；②若向量AB →，CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →；③若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等且方向相同或相反；④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．其中，正确说法的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 对于①，由共线向量的定义知，两向量不平行，方向一定不相同，故①正确； 对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a |＝|b |，只能说明a ，b 的长度相等，确定不了它们的方向，故③错误； 对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．2．下列说法正确的是( )A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小答案 D解析 向量不能比较大小，但是向量的模是实数，可以比较大小．3．给出下列五个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是正方形；④在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；⑤若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k .其中不正确的命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 不正确的是①②③.4．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO →，BO →，OC →，OD →是( )A ．相等的向量B ．平行的向量C ．有相同起点的向量D ．模相等的向量 答案 D解析 这四个向量的模相等．5．若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1，其中正确的是( )A ．①④B ．③C ．①②③D ．②③ 答案 B解析 a 为任一非零向量，故|a |＞0.6.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →答案 D解析 由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →模相等且方向相同，∴EP →＝PF →.7．如图，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.证明 ∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|CD →|且AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB .又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形，∴CM →＝NA →.∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|，∴|DN →|＝|MB →|.∵DN ∥MB 且DN →与MB →的方向相同，∴DN →＝MB →.二、能力提升8．下列结论中，正确的是( )A ．2 010 cm 长的有向线段不可能表示单位向量B ．若O 是直线l 上的一点，单位长度已选定，则l 上有且仅有两个点A ，B ，使得OA →，OB→是单位向量C ．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量D ．一个从A 点向东走500米到达B 点，则向量AB →不能表示这个人从A 点到B 点的位移答案 B解析 一个单位长度取作2 010 cm 时，2 010 cm 长的有向线段刚好表示单位向量，故A 错误；B 正确；C 中两向量为平行向量；D 选项的AB →表示从点A 到点B 的位移．9.如图，已知四边形ABCD 为正方形，△CBE 为等腰直角三角形，回答下列问题：(1)图中与AB →共线的向量有_____________________________________；(2)图中与AB →相等的向量有____________；(3)图中与AB →模相等的向量有____________．答案 (1)BA →，BE →，EB →，AE →，EA →，CD →，DC →(2)DC →，BE →(3)BA →，BE →，EB →，DC →，CD →，AD →，DA →，BC →，CB →10．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →、BC →、CD →；(2)求|AD →|.解 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示：(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD .∴四边形ABCD 为平行四边形．∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200 km.11．一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向向前行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去．(注：至少转变两次方向)(1)按1∶100比例作图说明当α＝45°时，操作几次时赛车的位移为零；(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？解 (1)如图所示，操作8次后，赛车的位移为零；(2)要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零，按(1)的方式作图，则所作图形是内角为180°－α的正多边形，故有：n (180°－α)＝(n －2)180°.∴即α＝360°n，n 为不小于3的整数． 12．如图平面图形中，已知AA ′→＝BB ′→＝CC ′→.求证：(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′；(2)AB →＝A ′B ′→，AC →＝A ′C ′→.证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→，∴|AA ′→|＝|BB ′→|，且AA ′→∥BB ′→.又∵A 不在BB ′→上，∴AA ′綊BB ′.∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形．∴|AB →|＝|A ′B ′→|.同理|AC →|＝|A ′C ′→|，|BC →|＝|B ′C ′→|.∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形，∴AB →∥A ′B ′→，且|AB →|＝|A ′B ′→|.∴AB →＝A ′B ′→.同理可证AC →＝A ′C ′→.三、探究与创新13.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是两对角线AC ，BD 的交点，设点集S ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{MN →|M ，N ∈S ，且M ，N不重合}，试求集合T 中元素的个数．解 由题意知，集合T 中的元素实质上是S 中任意两点连成的有向线段，共有20个，即AB →，AC →，AD →，AO →；BA →，BC →，BD →，BO →；CA →，CB →，CD →，CO →；DA →，DB →，DC →，DO →；OA →，OB →，OC →，OD →.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即AB →＝DC →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，BA →＝CD →，AO →＝OC →，OA →＝CO →，DO →＝OB →，OD →＝BO →.∵集合中元素具有互异性，∴集合T 中的元素共有12个.。
平面向量的实际背景及基本概念 课件
1．把所有平行的向量平移到同一起点后，这些向量的终
点将落在( )
A．同一个圆上
B．同一个点上
C．同一条直线上
D．以上都有可能
【答案】C
【解析】把所有平行的向量平移到同一起点后，这些向量
的终点共线．故选C.
2．四边形 ABCD 中，A→B＝13D→C，则四边形 ABCD 是( )
共线向量
判断下列结论是否正确． (1)若A→B＝C→D，则四边形 ABCD 是平行四边形；
(2)若 a∥b，b∥c，则 a∥c；
(3)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．
【思路分析】利用共线向量的概念进行判断． 【规范解答】(1)错．因为 A，B，C，D 可能共线． (2)错．当 b＝0，a 与 c 不一定平行． (3)错．如图，A→C与B→C共线，起点不同，但终点相同．
【思路分析】结合平面几何知识，灵活运用向量加法、减 法和数乘的几何意义可使问题得到解决．
【规范解答】M→N＝C→N－ C→M＝－13A→C－23C→B＝－13A→C－23
(A→B－A→C)＝13A→C－23A→B＝13b－23a.
同理可得，N→P＝13a－23b，P→M＝－M→P＝－(M→N＋N→P)＝13a
A．平行四边形
B．梯形
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ菱形
D．矩形
【答案】B
【解析】由A→B＝13D→C，得A→B∥D→C且|A→B|＝13|D→C|，∴|A→B
|≠|D→C|，∴四边形 ABCD 是梯形．故选 B.
3．(2015 年北京模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(－1， 0)，B(0， 3)，C(cos x，sin x)，则A→B＝______；若A→B∥O→C， 则 tan x＝________.
人教课标版高中数学必修4《平面向量的实际背景及基本概念》基础训练
《平面向量的实际背景及基本概念》基础训练题组一向量的概念1.下列说法错误的是（）A.温度含有零上温度和零下温度，所以温度是向量B.单位向量的长度都相等C.向量的模是一个非负实数D.零向量是长度为0的向量2.给出下列物理量:①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是（）A.①②③是数量，④⑤⑥是向量B.②④⑥是数量，①③⑤是向量C.①④是数量，②③⑤⑥是向量D.①②④⑤是数量,③⑥是向量OA=3.如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则_____.题组二向量的表示OB OC AO是（）4.如图，在圆O中，向量,,A.有相同起点的向量B.单位向量C.模相等的向量D.相等的向量OA=,则A点构成的图形是（）5.已知点O固定，且2A.—个点B.一条直线C.一个圆D.不能确定6.—辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后又改变方向向北偏西40︒行驶了200千米到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D 点. (1)作出向量,,AB BC CD ；(2)求AD .7.中国象棋中规定：马走“日”字.如图是中国象棋的半个棋盘，若马在A 处，可跳到1A 处，也可跳到2A 处，用向量1AA 或2AA 表示马走了“一步”.试在图中画出马在,B C 处走了“一步”的所有情况.题组三 共线向量、相等向量8.下列说法中正确的是（ ）A.若a b >，则a b ≤B.若a b =，则a b =C.若a b =，则//a bD.若a b ≠，则a 与b 不是共线向量9.如图，设O 是正方形ABCD 的中心，则：①AO OC =;②//AO AC ；③AB 与CD 共线；④AO BO =其中正确的序号为_____.10.如图，四边形ABCD和BCED都是平行四边形，在每两点所确定的向量中：(1)写出与BC相等的向量；(2)写出与BC共线的向量.参考答案1.答案：A解析：选项A中，温度是数量，因此A说法错误；选项B中，单位向量的长度都为1，因此B说法正确；选项C中，由于0a≥，因此C说法正确；选项D说法正确.2.答案：D解析：由物理知识可得：密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，因此是数量；而速度、位移既有大小又有方向，因此是向量.3.答案：见解析OA=. 解析：因为正方形的边长为2,所以正方形的对角线长为22，所以2 4.答案：C===（r为圆O的半径），∴C正确.解析：OB OC AO r5.答案：COA=,所以点A在以点O为圆心、2为半径的圆上，故A点构成的解析：因为2图形是一个圆.6.答案：见解析AB BC CD如图所示.解析：(1)向量,,(2)连接AD.由题意，易知AB与CD方向相反，AB CD.故AB与CD共线，即//=,又AB CD所以四边形ABCD为平行四边形.所以200AD BC ==千米. 7. 答案：见解析 解析：根据规则，作出符合要求的所有向量，如图.8.答案：C解析：因为向量不能比较大小，所以A 项不正确；即便a b =，但是向量的方向不确定，所以B 项不正确；向量相等的条件是方向相同且模相等，所以C 项正确：当向量不相等时,可以共线,故D 项不正确.9.答案：见解析解析：根据正方形的性质以及向量相等和共线的条件知①②③正确，AO 与BO 的方向不相同，故④不正确.10.答案：见解析解析：(I)因为四边形ABCD 和BCED 都是平行四边形，所以////,BC AD DE BC AD DE ==,所以BC AD DE ==.故与BC 相等的向量为,AD DE .(2)与BC 共线的向量共有7个,分别是,,,,,,AD DE ED AE EA CB DA .。
《2.1 平面向量的实际背景及基本概念》一课一练1doc
2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、选择题1、下列说法正确的是（ ）A 、数量可以比较大小，向量也可以比较大小.B 、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.C 、向量的大小与方向有关.D 、向量的模可以比较大小.2、给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若||||a b =，则a b =；③若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形；④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =；⑤若m n =，n k =，则m k =；⑥a b ，b c ，则a c .其中不正确的命题的个数为（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个3、设O 是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO BO OC OD 是（ ）A 、相等的向量B 、平行的向量C 、有相同起点的向量D 、模相等的向量4、判断下列各命题的真假：（1）向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；（2）向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）向量AB 和向量CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为（）A、2个B、3个C、4个D、5个5、若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：①|a|＞|b|②a∥b③|a|＞0④|b|＝±1，其中正确的是（）A、①④B、③C、①②③D、②③6、下列命中，正确的是（）A、|a|＝|b|⇒a＝bB、|a|＞|b|⇒a＞bC、a＝b⇒a∥bD、｜a｜＝0⇒a＝07、下列物理量：①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程，其中是向量的有（）A、2个B、3个C、4个D、5个二、填空题8、平行向量是否一定方向相同？9、不相等的向量是否一定不平行？10、与零向量相等的向量必定是什么向量？11、与任意向量都平行的向量是什么向量？12、若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？13、两个非零向量相等的充要条件是什么？三、解答题14、如图所示，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，（1）找出图中与AB 共线的向量；（2）找出图中与AB 相等的向量；（3）找出图中与｜AB ｜相等的向量；（4）找出图中与EC 相等的向量.15、如图，O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中：分别写出与,AO BO 相等的向量；写出与AO 共线的向量；（3）写出与AO 模相等的向量；（4）向量AO 与CO 是否相等？ DEA B FCO AB参考答案一、选择题1、D ；2、C ；3、D ；4、C ；5、B ；6、C ；7、C二、填空题8、不一定9、不一定10、零向量11、零向量12、平行向量13、长度相等且方向相同三、解答题14、解：∵E 、F 分别是AC 、AB 的中点 ∴EF ∥BC 且EF ＝12BC 又因为D 是BC 的中点∴①与EF 共线的向量有：,,,,FE BD DB DC CD ，,BC CB ②与EF 的模大小相等的向量有,,,,FE BD DB DC CD ③与EF 相等的向量有：,DB CD .15、解：（1）AO BF =，BO AE =；（2）与AO 共线的向量为：,,BF CO DE（3）与AO 模相等的向量有：,,,,,,CO DO BO BF CF AE DE（4）向量AO 与CO 不相等.因为它们的方向不相同.。
2.1《平面向量的实际背景及基本概念》同步练习
2.1《平面向量的实际背景及根本概念》同步练习1．判〔1〕向量AB的长度和向量BA的长度相等.〔2〕向量a与b平行,那么b与a方向相同.〔3〕向量a与b平行,那么b与a方向相反.〔4〕两个有共同起点而长度相等的向量,它们的终点必相同.〔5〕假设a与b平行同向,且a＞b，那么a＞b〔6〕由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行。
〔7〕如果a=b，那么a与b长度相等。
〔8〕如果a=b，那么与a与b的方向相同。
〔9〕假设a=b，那么a与b的方向相反。
〔10〕假设a=b，那么与a与b的方向没有关系。
2.请写出初中物理中的三个向量_________________________3.关于零向量，以下说法中错误的选项是〔〕A零向量是没有方向的。
B 零向量的长度是0C 零向量与任一向量平行 D零向量的方向是任意的。
4.如果对于任意的向量a，均有a b ,那么b为_________________5.①向量的大小是实数②平行响亮的方向一定相同③向量可以用有向线段表示④向量就是有向线段正确的有_________________________6.把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，那么这些向量的终点构成的图形是_________________________7.把平面上的一切向量归结到共同的起点，那么这些向量的终点所构成的图形是_______________参考答案1．〔1〕√〔2〕×〔3〕×〔4〕×〔5〕×〔6〕×〔7〕√〔8〕×〔9〕×〔10〕√2．力、位移、速度 3．A 4．零向量O 5．①③ 6．直线 7．圆。
高中数学 2.1 平面向量的实际背景及基本概念课时训练
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.1 平面向量的实际背景及基本概念课时训练 新人教版必修4一、选择题1．下列各量中是向量的是( ) A ．密度 B ．电流 C ．面积D ．浮力【解析】 只有浮力既有大小又有方向． 【答案】 D2．(2013·杭州高一检测)下列说法正确的是( ) A ．若a ∥b ，则a 与b 的方向相同或相反 B ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cC ．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c 【解析】选项 对否 原因分析 A 、B × 当b ＝0时均错误C × 两个单位向量平行但方向不一定相同 D√本结论实际是向量相等的传递性3. 如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB →与DC →的关系是( )图2－1－7A.AB →＝DC →B ．|AB →|＝|DC →| C.AB →＞DC →D.AB →＜DC →【解析】 |AB →|与|DC →|表示等腰梯形两腰的长度，故相等．【答案】 B4．如图所示，在正方形ABCD 中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )图2－1－8A.DA →与BC →B.AB →与DC →C.DC →与DA →D.BC →与AB →【解析】 ∵AB →＝DC →，∴AB →与DC →可用同一条有向线段表示． 【答案】 B5．如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC ，AB ，BC 的中点，则与E F →的模相等的向量共有( )图2－1－9A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【解析】 ∵E 、F 、D 分别是边AC 、AB 和BC 的中点， ∴EF ＝12BC ，BD ＝DC ＝12BC .又∵AB ，BC ，AC 均不相等，从而与EF →的模相等的向量是：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. 【答案】 B 二、填空题6．如图所示，B 、C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点为起点或终点，与AC →相等的向量是________．图2－1－10【解析】 以AD 的13为单位长度，则|AC →|＝2，由图知|BD →|＝2且与AC →的方向相同．【答案】 BD →7．如图所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．图2－1－11(1)与向量ED →相等的向量为________； (2)若|AB →|＝3，则向量EC →的模等于________．【解析】 (1)在平行四边形ABCD 和ABDE 中，∵AB →＝ED →，AB →＝DC →，∴ED →＝DC →. (2)由(1)知，ED →＝DC →，∴E 、D 、C 三点共线，|EC →|＝|ED →|＋|DC →|＝2|AB →|＝6. 【答案】 (1)AB →，DC →(2)68．(2012·榆林高一检测)把平面上一切单位向量归结到共同的始点O ，那么这些向量的终点所组成的图形是________．【解析】 单位向量的长度是一个单位，方向任意，若单位向量有共同的始点O ，则其终点构成一个单位圆．【答案】 以O 为圆心的单位圆 三、解答题 9.图2－1－12O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在如图2－1－12所示的向量中：(1)分别找出与AO →，BO →相等的向量； (2)找出与AO →共线的向量； (3)找出与AO →模相等的向量；(4)向量AO →与CO →是否相等？ 【解】 (1)AO →＝BF →，BO →＝AE →. (2)与AO →共线的向量有：BF →，CO →，DE →.(3)与AO →模相等的向量有：CO →，DO →，BO →，BF →，CF →，AE →，DE →. (4)向量AO →与CO →不相等，因为它们的方向不相同．10．设在平面内给定一个四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：EF →＝HG →.【证明】 如图所示，连接AC .在△ABC 中，由三角形中位线定理知，EF ＝12AC ，EF ∥AC ，同理HG ＝12AC ，HG ∥AC .所以|EF →|＝|HG →|且EF →和HG →同向，所以EF →＝HG →.11．如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是中国象棋的走法，“马”可以从A 跳到A 1或A 2，用向量AA 1→、AA 2→表示“马”走了一步．试在图中画出“马”在B 、C 分别走了一步的所有情况．图2－1－13【解】 如图所示，在B 处有3种走法；在C 处有8种走法．【教师备课资源】1．向量在实际问题中的应用如图，半圆的直径AB ＝6，C 是半圆上的一点，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且AD ＝1，BE ＝4，DE ＝3.(1)求证：向量AC →∥DE →； (2)求|AC →|.【思路探究】 (1)先证AC ∥DE ，再证AC →∥DE →； (2)根据平行线分线段成比例求|AC →|.【规范解答】 (1)证明：∵AB 是半圆的直径，C 是半圆上的点， ∴AC ⊥BC .① ∵AB ＝6，AD ＝1， ∴DB ＝5.又∵BE ＝4，DE ＝3， ∴BE 2＋DE 2＝DB 2，∴△BED 是直角三角形，且∠BED 为直角， ∴DE ⊥BC .②由①、②知，AC ∥DE ， ∴AC →∥DE →.(2)由(1)知，AC ∥DE ， ∴BD ∶BA ＝DE ∶AC ， ∴AC ＝BA ·DE BD ＝185， ∴|AC →|＝185.1．解答本题的关键是平面几何知识在解题中的应用．2．解决此类问题，首先理解平面几何知识及实际问题与向量的联系，然后准确作出几何图形，转化为几何问题求解．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向，向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.【解】 (1)如图所示(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线． 又|AB →|＝|CD →|， ∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴|AD →|＝|BC →|＝200 km. 2．知识拓展易错环节的避免与方法技巧归纳(1)书写符号出错，如向量a 误写成a ，零向量0误写成数字0等．(2)向量的方向把握不好，如a ∥b ，应有a 、b 方向相同或相反或二向量中至少有一个为零向量三种情况．(3)向量的问题与线段问题相混淆，把无方向的线段问题不加思考地搬到向量中，如|a |＝|b |误推为a ＝±b 等．(4)向量不同于我们以前学过的数量，学习时应结合实际明确它是一种新的量，它是既有大小又有方向的一种量．(5)从实际出发，明确平行向量、相等向量、共线向量的基本性质． (6)平行向量可以平行移动，因此任意一组平行向量都可以移到同一直线上． (7)非零向量a 与b 相等，则必有|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，反之也成立． (8)两个非零向量方向相同或相反，则它们共线，但要注意零向量与任一向量共线，零向量的方向是任意的．(9)长度等于一个单位的向量叫做单位向量．对于任意非零向量a 的单位向量是a|a |，这实质上告诉了求任意非零向量a 的单位向量的方法．(10)注意向量平行，向量所在直线不一定平行，还有可能共线．(11)相等向量不但模相等，方向还要相同，两非零平行向量方向相同或相反． (12)零向量在共线向量问题中是一个特别的对象，应按照平行向量的补充规定来判断；考查向量应考查其大小和方向，二者缺一不可，对于一个向量只要不改变其大小与方向是可以任意平行移动的，即我们研究的向量是自由向量；平行向量与向量的模无关，而方向包含相同和相反两种情形．3．动态课件制作一个动态课件，展示在平面内的一个向量AB →平移至A ′B ′→后，仍然有AB →＝A ′B ′→，但此时两条有向线段不等价．从而说明向量只与大小、方向有关，而有向线段与大小、方向、起点位置均有关.s。
平面向量的实际背景及基本概念 课时训练
平面向量的实际背景及基本概念课时目标 1.通过对物理模型和几何模型的探究，了解向量的实际背景，掌握向量的有关概念及向量的几何表示.2.掌握平行向量与相等向量的概念．1．向量：既有________，又有________的量叫向量．2．向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作________．3．向量的有关概念：(1)零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作______．(2)单位向量：长度为______的向量叫做单位向量．(3)相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向__________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量a平行于b，记作________．②规定：零向量与__________平行．一、选择题1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列条件中能得到a＝b的是()A．|a|＝|b|B．a与b的方向相同C．a＝0，b为任意向量D．a＝0且b＝03．下列说法正确的有()①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．A．2个B．3个C．4个D．5个4．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”()A．总成立B．当a≠0时成立C．当b≠0时成立D．当c≠0时成立5．下列各命题中，正确的命题为( )A ．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同B ．模为0的向量与任一向量平行C ．向量就是有向线段D ．|a |＝|b |⇒a ＝b6．下列说法正确的是( )A ．向量AB→∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线 B ．长度相等的向量叫做相等向量C ．零向量长度等于0二、填空题7．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________．(填序号)8．在四边形ABCD 中，AB→＝DC →且|AB →|＝|AD →|，则四边形的形状为________．9．下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形． ①把所有单位向量移到同一起点；②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．①__________；②____________；③____________.10．如图所示，E 、F 分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，则与向量EF→共线的向量有________________(将图中符合条件的向量全写出来)．三、解答题11. 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？12. 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与EF→共线的向量； (2)写出与EF→的模大小相等的向量； (3)写出与EF→相等的向量．能力提升13. 如图，已知AA ′→＝BB ′→＝CC ′→.求证：(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′；(2)AB →＝A ′B ′→，AC →＝A ′C ′→.14. 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA→＝a ，OB →＝b ，OC→＝c .(1)与a 的模相等的向量有多少个？(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a 共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑．2．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．如a >b 没有意义，而|a |>|b |有意义．3．共线向量与平行向量是同一概念，规定：零向量与任一向量都平行．§2.1 平面向量的实际背景及基本概念答案 知识梳理1．大小 方向 2.AB→ 3．(1)0 0 (2)1 (3)长度相等 方向相同 (4)相同或相反 非零①a ∥b ②任一向量作业设计1．D 2.D3．A [②与⑤正确，其余都是错误的．]4．C [当b ＝0时，不成立，因为零向量与任何向量都平行．]5．B [由于模为0的向量是零向量，只有零向量的方向不确定，它与任一向量平行，故选B.]6．C [向量AB→∥CD →包含AB →所在的直线平行于CD →所在的直线和AB →所在的直线与CD→所在的直线重合两种情况；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平行向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以A 、B 、D 均错．]7．①③④解析 相等向量一定是共线向量，①能使a ∥b ；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a ∥b ；零向量与任一向量平行，④成立．8．菱形解析 ∵AB→＝DC →，∴AB 綊DC ∴四边形ABCD 是平行四边形，∵|AB→|＝|AD →|，∴四边形ABCD 是菱形． 9．单位圆 相距为2的两个点 一条直线10.FE→，BC →，CB → 解析 ∵E 、F 分别为△ABC 对应边的中点，∴EF ∥BC ，∴符合条件的向量为FE→，BC →，CB →. 11．解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略)．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(作图略)．12．解 (1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点，所以EF 綊12BC .又因为D 是BC 的中点，所以与EF→共线的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →. (2)与EF→模相等的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF→相等的向量有：DB →与CD →. 13．证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→，∴|AA ′→|＝|BB ′→|，且AA ′→∥BB ′→.又∵A 不在BB ′→上，∴AA ′∥BB ′.∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形．∴|AB →|＝|A ′B ′→|.同理|AC →|＝|A ′C ′→|，|BC →|＝|B ′C ′→|.∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形，∴AB →∥A ′B ′→，且|AB →|＝|A ′B ′→|.∴AB →＝A ′B ′→.同理可证AC →＝A ′C ′→.14．解 (1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD→，BC →，AO →，FE →. (3)与a 共线的向量有EF→，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →. (4)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO→，ED →，AB →.。
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2.1 平面向量的实际背景及基本概念
一、选择题
1、下列各量中不是向量的是（）
A、浮力
B、风速
C、位移
D、密度
2、下列说法中错误
．．的是（）
A、零向量是没有方向的
B、零向量的长度为0
C、零向量与任一向量平行
D、零向量的方向是任意的
3、把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（）
A、一条线段
B、一段圆弧
C、圆上一群孤立点
D、一个单位圆
4、在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,则（）
A、AB与AC共线
B、DE与CB共线
C、AD与AE相等
D、AD与BD相等
5、下列命题正确的是（）
A、向量AB与BA是两平行向量
B、若a、b都是单位向量,则a=b
C、若AB=DC,则A、B、C、D四点构成平行四边形
D、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
6、在下列结论中,正确的结论为（）
(1)a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件
(2)a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件
(3)a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件
(4)a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件
A、(1)(3)
B、(2)(4)
C、(3)(4)
D、(1)(3)(4)
二、填空题
7、“两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的条件、
8、已知非零向量a∥b,若非零向量c∥a,则c与b必定、
9、已知a、b是两非零向量,且a与b不共线,若非零向量c与a共线,则c与b必定
10、把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是;若这些向量为单位向量,则终点构成的图形是
11、已知
|AB|=1,| AC|=2,若∠BAC=60°,则|BC|=
12、在四边形ABCD中, AB=DC,且|AB|=|AD|,则四边形ABCD是
三、解答题
13、设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA 的中点,求证：KL=NM
14、某人从A点出发向西走了200m到达B点,然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点,最后又改变方向,向东走了200m到达D点
(1)作出向量AB、BC、CD(1 cm表示200 m)
(2)求DA的模
15、如图,已知四边形ABCD是矩形,设点集M={A、B、C、D},求集合T={PQ、Q∈M,且P、Q不重合}
参考答案
第15题
一、选择题
1、D；
2、A；
3、D；
4、B；
5、A；
6、D
二、填空题
7、必要非充分
8、c∥b
9、不共线
10、一条直线两点
11、3
12、菱形
三、解答题
13、(略)
14、(1)如图所示
(2)450 m
15、{AC、CA、BD、DB、AB、AD、BA、DA}。