人教版初中二年级数学上册教学设计：因式分解(十字相乘法)
(完整版)初中生物十字相乘法因式分解
(完整版)初中生物十字相乘法因式分解初中生物十字相乘法因式分解
引言
十字相乘法是初中生物学中一种常用的因式分解方法，用于分
解多项式式子。
本文将介绍该方法的具体步骤和应用。
步骤
1. 首先，我们需要确定多项式的因式之间是否存在公因式。
如
果存在公因式，我们先将公因式提取出来。
2. 接下来，我们需要确定多项式的因式之间是否存在二元关系。
如果存在二元关系，我们可以使用十字相乘法进行因式分解。
3. 根据两个因式之间的关系，我们可以将多项式分解为两个部分，每个部分包含一个因式。
4. 对于每个部分，我们可以使用十字相乘法，将其进一步分解
成更简单的形式。
应用
十字相乘法因式分解在初中生物学中具有广泛的应用。
它可以帮助我们简化复杂的多项式式子，并更好地理解和分析生物学中的关系和过程。
通过掌握十字相乘法因式分解的方法和应用，我们可以更加深入地研究和掌握初中生物学的知识。
结论
初中生物十字相乘法因式分解是一种常用的因式分解方法，可以帮助我们简化复杂的多项式式子。
通过掌握这种方法，我们可以更加深入地研究和理解初中生物学的知识。
(完整版)初中历史十字相乘法因式分解
(完整版)初中历史十字相乘法因式分解初中历史十字相乘法因式分解十字相乘法是初中数学中常用的一种因式分解方法。
通过这种方法，我们可以将一个多项式分解成两个或多个简化的因式。
什么是十字相乘法？十字相乘法是一种运用代数式的乘法原理来进行因式分解的方法。
它适用于二次方程的因式分解，也可以用于其他多项式的分解。
如何使用十字相乘法进行因式分解？首先，我们需要一个多项式，如$x^2 + 5x + 6$。
我们将该多项式按照标准形式排列（由高次幂到低次幂），得到$x^2 + 5x + 6$。
其次，我们需要寻找一个分解形式，它可以将前一步得到的多项式分解成两个因式的乘积。
在这个例子中，我们需要找到两个因式之间的关系。
我们要找到两个乘数，使得它们相乘得到6，同时相加得到5。
根据这个要求，我们可以尝试以下组合：- 1和6：1 + 6 = 7- 2和3：2 + 3 = 5我们发现，2和3的乘积等于6，同时它们的和等于5。
因此，我们可以将$x^2 + 5x + 6$分解成$(x + 2)(x + 3)$。
总结十字相乘法是一种有效的因式分解方法，适用于多项式的分解。
通过找到两个乘数，使得它们相乘等于常数项，并且相加等于项数系数，我们可以将多项式分解成两个或多个简化的因式。
同时要注意，十字相乘法只适用于特定类型的多项式，特别是二次方程。
在应用这种方法时，我们应该先将多项式按照标准形式排列，然后寻找乘数来进行分解。
希望这份文档对你有帮助，以理解和应用十字相乘法进行因式分解。
如果有任何疑问，请随时提问。
(完整版)十字相乘法因式分解讲义2
课题因式分解十字相乘法1、认识因式分解的意义。
教课目的2、娴熟运用适合的方法进行因式分解。
要点：因式分解的观点以及运用提取公因式法和公式法分解因式。
要点、难点难点：运用因式分解进行多项式的除法以及解简单的一元二次方程。
教课内容一、概括定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这类变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被宽泛地应用于初等数学之中，是我们解决很多半学问题的有力工具。
因式分解方法灵巧，技巧性强，学习这些方法与技巧，不单是掌握因式分解内容所必要的，并且对于培育学生的解题技术，发展学生的思想能力，都有着十分独到的作用。
学习它，既能够复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既能够培育学生的察看、注意、运算能力，又能够提升学生综合剖析和解决问题的能力。
分解因式与整式乘法互为逆变形。
二、因式分解的方法因式分解没有广泛的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在比赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
注意三原则1分解要完全2最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（比如：-3 x2+x=-x(3x-1)）十字相乘法分解因式1．二次三项式（ 1）多项式ax2bx c ，称为字母的二次三项式，此中称为二次项，为一次项，为常数项．比如： x22x 3 和 x25x 6 都是对于x的二次三项式．（ 2）在多项式x26xy 8y2中，假如把看作常数，就是对于的二次三项式；假如把看作常数，就是对于的二次三项式．（ 3）在多项式2a2b27ab3中，把看作一个整体，即，就是对于的二次三项式．同样，多项式 (x ) 27()12，把看作一个整体，就是对于的二次三项式．y x y2．十字相乘法的依照和详细内容(1) 对于二次项系数为 1 的二次三项式x2(a b)x ab (x a)(x b)方法的特点是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号同样；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，此中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号同样．(2) 对于二次项系数不是 1 的二次三项式ax 2bx c a1 a2 x2( a1c2a2c1 ) x c1c2(a1x c1 )(a2 x c2 )它的特点是“ 拆两端，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，而后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号同样；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号同样注意：用十字相乘法分解因式，还要注意防止以下两种错误出现：一是没有仔细地考证交错相乘的两个积的和能否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．二、典型例题例 1把以下各式分解因式：(1) x22x 15 ；(2) x25xy 6y 2．例 2把以下各式分解因式：(1) 2x25x 3；(2) 3x28x 3 ．例 3把以下各式分解因式：1）x410x29 ；(2) 7( x y) 35( x y) 22( x y) ；(3) ( a28a) 222(a28a)120 ．例 4分解因式：(x22x 3)( x22x 24)90 ．例 5分解因式6x45x338 x25x6．例 6分解因式x22xy y25x 5y 6．例 7 分解因式： ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－ b)．试一试：把以下各式分解因式：(1) 2x215x 7(2)3a28a 4(3)5x27x 6(4) 6 y211y 10 (5)5a2b223ab 10(6)3a2 b217abxy 10 x2 y2(7)x27xy12 y2 (8)x47x218(9)4m28mn 3n2(10)5x515x3 y20xy2课后练习一、选择题1．假如x2px q( x a)( x b)，那么p 等于()A ． ab B． a＋ b C．－ ab D ．－ (a＋ b)2．假如x2(a b) x 5b x2x 30 ，则b为( )A ． 5B．－ 6C．－ 5 D ． 63．多项式x23x a 可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为( ) A．10和－2B．－10和2C．10 和 2D．－10 和－ 24．不可以用十字相乘法分解的是()A ．x2x2B ．3x210x23x C． 4x 2x 2D．5x26xy 8y2 5．分解结果等于 (x＋ y－ 4)(2x＋ 2y－ 5)的多项式是()A ．2( x y)213(x y)20B．( 2x 2 y)213(x y)20C．2( x y)213( x y)20D．2( x y) 29( x y)206．将下述多项式分解后，有同样因式x－1 的多项式有()① x27x 6 ；② 3x22x 1 ；③ x 25x 6 ；④ 4x25x9；⑤ 15x223x 8；⑥ x 411x212A．2个B．3 个C．4 个D．5 个二、填空题7．x23x 10 8．m25m6__________．(m＋ a)(m＋b)． a＝ __________，b＝ __________ ．9．2x25x 3(x－ 3)(__________) ．10． x2____2y2(x－ y)(__________) ．11．a2n a(_____)(________) 2．m12．当 k＝ ______时，多项式3x27x k 有一个因式为(__________)．13．若 x－ y＝ 6，xy17，则代数式 x3 y2x2 y2xy3的值为__________．36三、解答题14．把以下各式分解因式：(1) x47x2 6 ；(2) x45x236 ；(3) 4x465x 2 y 216 y 4；(4) a67a3b38b6；(5) 6a45a34a2；(6) 4a637a4 b29a2 b4．15．把以下各式分解因式：(1) ( x23)24x2；(2) x2( x 2)29 ；(3) (3x22x 1)2(2x 23x 3)2；(4) ( x2x)217( x2x) 60 ；(5) ( x22x) 27( x22x) 8 ；．16．已知 x＋ y＝ 2， xy＝ a＋4，x3y326 ，求a的值．。
人教版初中二年级数学上册教学设计： 十字相乘法
1、知识点的归纳总结：
2、运用新知解决问题：（重点例习题的强化训练）
例1把下列各式分解因式：
（1） ；（2） ．
点悟：
（1）常数项－15可分为3×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；
（2）将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项 可分为(－2y)(－3y)，而(－2y)＋(－3y)＝(－5y)恰为一次项系数．
2、独立作业
七、课后反思：
1、学习目标完成情况反思：
2、掌握重点突破难点情况反思：
3、错题记录及原因分析：
自我评价
课上
1、本节课我对自己最满意的一件事是：
2、本节课我对自己最不满意的一件事是：
作业
独立完成（）求助后独立完成（）
未及时完成（）未完成（）
课堂小测（约5分钟）
◆将多项式分解因式
① ；
② ；
10. ．
＝(x＋y)(x＋y－1)(7x＋7y＋2)．
（3）
点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．
五、课堂小测（约5分钟）
六、独立作业我能行
1、独立完成＄第十四章整式的乘法与因式分解小结与复习工具单
例3把下列各式分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
点悟：（1）把 看作一整体，从而转化为关于 的二次三项式；
（2）提取公因式(x＋y)后，原式可转化为关于(x＋y)的二次三项式；
（3）以 为整体，化为关于 的二次三项式．
解：（1）
(完整版)初中化学十字相乘法因式分解
(完整版)初中化学十字相乘法因式分解
初中化学十字相乘法因式分解是化学学科中的一种常用的化学
式化简方法。
该方法适用于由多个化合物组成的复杂化合物的化学
式化简。
十字相乘法因式分解的基本原理是根据化学式中的原子元素的
数量和化合价，寻找可相乘的因子，从而达到分解化学式的目的。
下面将以化合物C6H12O6为例，详细介绍十字相乘法因式分
解的步骤：
1. 首先，找到化合物中各个原子元素的化合价。
在C6H12O6中，碳的化合价为4，氢的化合价为1，氧的化合价为2。
2. 根据化合物元素的化合价，找到可相乘的因子。
在
C6H12O6中，碳的化合价为4，氢的化合价为1，氧的化合价为2，可以得到因子4、1和2。
3. 将化合物中各个原子元素的数量进行配平，使得因子的乘积
等于化合物中各个原子元素的数量。
在C6H12O6中，碳的原子数
量为6，氢的原子数量为12，氧的原子数量为6。
可得到化合物的
化学式化简为(CH2O)6。
以上就是初中化学十字相乘法因式分解的基本步骤和操作方法。
通过这种方法，可以将复杂化合物的化学式简化为更为简洁和清晰
的形式，便于研究和理解。
第四章因式分解—十字相乘(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解十字相乘的基本概念。十字相乘是一种因式分解的方法，通过将多项式的项按照一定规则排列，找到两个数使得它们的乘积等于常数项，而它们的和等于一次项的系数。这种方法是解决二次多项式分解问题的关键。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例，如分解x^2 + 5x + 6。这个案例将展示十字相乘在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-难点突破方法：
-使用图表、动画或实物模型来形象化展示十字相乘的过程；
-通过多个例题，展示不同情况下十字相乘的应用，强调识别和选择合适数字的策略；
-分组讨论，让学生在小组内相互解释和交流，共同解决难点问题；
-设计具有挑战性的问题，鼓励学生独立思考和探索，如让学生尝试分解含有一个变量和常数的二次多项式；
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对十字相乘的概念接受度较高，但实际操作时仍有一些困难。在讲解理论部分时，我尽量用生动的语言和具体的例子来阐述，希望让学生能够更好地理解。从学生的反馈来看，这种方法是有效的。
然而，当我让学生们尝试自己分解一些多项式时，部分学生显得有些迷茫。他们对于如何选择合适的数进行十字相乘感到困惑。这时，我意识到需要在教学过程中加强对这一难点的讲解和练习。或许，我可以设计一些更具针对性的练习题，让学生们在课堂上即时巩固所学知识。
-理解并记忆十字相乘法的步骤，尤其是如何确定乘积和和；
-在应用十字相乘法时，如何灵活变通，处理各种不同类型的二次多项式；
-将实际问题转化为数学表达式，并运用十字相乘法进行因式分解。
举例：难点在于如何引导学生从简单的例子中总结出十字相乘的规律，如对于多项式x^2 + 5x + 6，学生需要找出两个数（2和3），使得它们的乘积等于6，和等于5。学生可能在这一过程中遇到困难，需要教师通过具体例子和图示来帮助学生理解。
因式分解法之十字相乘法教案
第7课时§2.4.1 因式分解法——十字相乘法教学目标1、 会对多项式运用十字相乘法进行分解因式；2、 能运用十字相乘法求解一元二次方程。
教学重点和难点重点：运用十字相乘法求解一元二次方程难点：对多项式运用十字相乘法进行分解因式教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题这节课，我们学习一种比较简便的解一元二次方程的方法。
二、师生共同研究形成概念1、 复习分解因式分解因式：把一个多项式分解成几个整式的积的形式一）填空：1）)4)(3(++x x = ； 2）)5)(4(++x x = 。
3）)3)(1(++y y = ； 4）))((q x p x ++= 。
二）能否对1272++x x 、2092++x x 、342++y y 、pq x q p x +++)(2进行因式分解？它们有什么特点？特点：1）二次项系数是1；2）常数项是两个数之积；3）一次项系数是常数项的两个因数之和。
2、 十字相乘法步骤：（1）列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况；（2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数；（3）将原多项式分解成))((q x p x ++的形式。
关键：乘积等于常数项的两个因数，它们的和是一次项系数二次项、常数项分解坚直写，符号决定常数式，交叉相乘验中项，横向写出两因式3、 讲解例题例1 分解因式：1）562++x x ； 2）862++y y ； 3）1682+-x x ； 4）21102+-a a ；5）1452-+x x ； 6）542-+t t ； 7）14132--x x ； 8）6322--x x 。
分析：关键之处在于把常数项分解成两数的积，再找它们的和等于一次项的系数的两个因数。
例2 分解因式：1）652++x x ； 2）652+-x x ； 3）652-+x x ； 4）652--x x 。
分析：此例题中各式都有很大的相同之处。
只有深刻理会十字相乘法，才可以正确地把四个多项式分解因式。
(完整word)初中数学十字相乘法因式分解
初中数学十字相乘法因式分解要点：一、2()x p q x pq +++型的因式分解特点是：（1）二次项的系数是1（2）常数项是两个数之积（3）一次项系数是常数的两个因数之和。
对这个式子先去括号，得到：pq x q p x +++)(2)()(22pq qx px x pq qx px x +++=+++=))(()()(q x p x p x q p x x ++=+++=1的二次三项式分解因式。
二、一般二次三项式2ax bx c ++的分解因式大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++。
反过来，就可得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++.这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。
【典型例题】[例1] 把下列各式分解因式。
（1）232++x x （2）672+-x x 分析：（1）232++x x 的二次项的系数是1，常数项212⨯=，一次项系数213+=，这是一个pq x q p x +++)(2型式子。
（2）672+-x x 的二次项系数是1，常数项)6()1(6-⨯-=，一次项系数=-7)1(- )6(-+，这也是一个pq x q p x +++)(2型式子，因此可用公式pq x q p x +++)(2+=x ( ))(q x p +分解以上两式。
解：（1）因为212⨯=，并且213+=，所以)2)(1(232++=++x x x x（2）因为)6()1(6-⨯-=，并且)6()1(7-+-=-，所以)6)(1(672--=+-x x x x[例2] 把下列各式因式分解。
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人教版初中二年级上册数学教学设计
十字相乘法
学习目标：掌握运用十字相乘法分解因式的方法，能正确运用十字相乘法把多项式分解因式学习重点：运用十字相乘法分解因式
学习过程：
一、知识回顾：
1、分解因式：（1）3xy2-9y2；（2）4x2-16y2；（3）x2+16x+64
2、计算：（x+a）（x+b）= =x2+( )x+ab
二、探索新知：
形如x2＋px＋q的二次三项式，若常数项q能分解为两个因数a、b的积，并且a＋b恰好等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即x2＋px＋q＝x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)
练一练：分解因式：（1）x2+3x+2；（2）x2-7x+10；
（3）x2-x-6 (4) x2+5x-6
三、范例学习：
例把下列各式分解因式：
(1) a2+6a+8 (2) x2-8x+12 (3) x2+13x+12 (4) x2+6xy+5y2
对二次三项式x2＋px＋q进行因式分解，应重点掌握以下三个方面：
1．掌握方法: 拆分常数项,验证一次项.
2．符号规律: 当q＞0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
当q＜0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同.
练习1 分解因式：
(1) x2-5x+6 (2) x2-8x-20 (3) x2+6x-16 (4) x2-4xy-5y2
例2把下列各式分解因式：
(1) 2x2+7x+3 (2) 3x2-11x+6 (3) (a+b)2+10(a+b)+9
归纳：
四、自主检测
1、教材第121页练习题。
2、把下列各式分解因式：
(1) x2+7x+6 (2) 2x2-9x+9
(3) 3x2-5x+2 (4) 2x2+7x+5
(5) (a +2b)2+3(a +2b )+2 (6) (a -b)2-5(a -b )+6
五、归纳内化
这节课学到了什么？有哪些收获？
六、课外拓展
1、⑴已知：()()22120x y -++=，则x= ,y= .
⑵已知：22
2450x y x y +-++=，则x= ,y= .
2. 先填空,再分解（尽可能多的）： x 2 +( )x + 60 = ；
3、分解因式：x 2＋xy －12y 2
4、分解因式：
①a 4－3a 2－4 ②()()
242112222+---x x x x。