算法,推理证明9-5

第9模块 第5节
[知能演练]
一、选择题
1．用数学归纳法证明：“1＋a ＋a 2
＋…＋a n ＋1
＝1－a n ＋
21－a
(a ≠1)”在验证n ＝1时，左端
计算所得的项为
( )
A ．1
B ．1＋a
C ．1＋a ＋a 2
D ．1＋a ＋a 2＋a 3
解析：当n ＝1时，左端＝1＋a ＋a 2. 答案：C
2．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋1
2n －1<n (n ∈N ，n >1)”时，由n ＝k (k >1)不等式
成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是
( )
A ．2k －
1
B ．2k －1
C ．2k
D ．2k ＋1
解析：增加的项数为(2k ＋
1－1)－(2k －1)＝2k ＋
1－2k ＝2k . 答案：C
3．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”第二步归纳假设应该写成
( )
A ．假设当n ＝k (k ∈N* )时，x k ＋y k 能被x ＋y 整除
B ．假设当n ＝2k (k ∈N* )时，x k ＋y k 能被x ＋y 整除
C ．假设当n ＝2k ＋1(k ∈N* )时，x k ＋y k 能被x ＋y 整除
D ．假设当n ＝2k －1(k ∈N* )时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除 答案：D
4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N* )时该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得
( )
A ．当n ＝6时该命题不成立
B ．当n ＝6时该命题成立
C ．当n ＝4时该命题不成立
D ．当n ＝4时该命题成立
解析：若原命题正确，则其逆否命题正确，所以若n ＝k (k ∈N )时该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立；若n ＝k ＋1时命题不成立，则n ＝k 时命题也不成立．
答案：C 二、填空题
5．猜想1＝1,1－4＝－(1＋2),1－4＋9＝1＋2＋3，…，第n 个式子为________． 答案：1－4＋9－…＋(－1)n ＋
1n 2＝(－1)n －
1(1＋2＋3＋…＋n )．
6．如下图，这是一个正六边形的序列：
则第n 个图形的边数为__________．
解析：第(1)图共6条边，第(2)图共11条边，第(3)图共16条边，…，其边数构成等差数列，则第(n )图的边数为a n ＝6＋(n －1)×5＝5n ＋1.
答案：5n ＋1 三、解答题
7．在数列{a n }中，已知a 1＝a (a >1)，且a n ＋1＝a 2n ＋1
2a n (n ∈N* )，求证：a n >1(n ∈N )．
证明：①当n ＝1时，a 1＝a >1，不等式成立． ②假设n ＝k (k ≥1)时，不等式成立，即a k >1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1－1＝a 2k ＋1
2a k －1＝(a k －1)22a k .
∵a k >1，∴(a k －1)2
2a k >0.∴a k ＋1>1，
即当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 综合①②知，对一切n ∈N* ，都有a n >1.
8．已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a 2n
(n ∈N*
)且点P 1的坐标为(1，－1)．
(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；
(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N ，点P n 都在(1)中的直线l 上． 解：(1)由P 1的坐标为(1，－1)知 a 1＝1，b 1＝－1. ∴b 2＝b 11－4a 21＝13. a 2＝a 1·b 2＝13
.
∴点P 2的坐标为(13，1
3)
∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1. (2)①当n ＝1时，
2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立．
②假设n ＝k (k ∈N* ，k ≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立， 则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k
1－4a 2k (2a k ＋1)
＝
b k
1－2a k ＝1－2a k 1－2a k
＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立． 由①②知，对n ∈N ，都有2a n ＋b n ＝1， 即点P n 在直线l 上．
[高考·模拟·预测]
1．(2009·山东高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N* ，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b 、r 均为常数)的图象上．
(1)求r 的值．
(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N* )．
证明：对任意的n ∈N ，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1
b n
>n ＋1成立．
解：(1)因为对任意的n ∈N ，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)，所以得S n ＝b n ＋r ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝b ＋r ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝b n ＋r －(b n －
1＋r )
＝b n －b n －
1＝(b －1)b n －
1，又因为{a n }为等比数列，所以r ＝－1，公比为b ，a n ＝(b －1)b n －
1.
(2)当b ＝2时，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1，b n ＝2(log 2a n ＋1)＝2(log 22n －
1＋1)＝2n ，则b n ＋1b n
＝
2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋1
2n
. 下面用数学归纳法证明不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n >n ＋1成立．
①当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为3
2
>2，所以不等式成立．
②假设当n ＝k 时不等式成立，即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ＝32·54·76·…·2k ＋1
2k >k ＋1成立．则
当n ＝k ＋1时，左边＝
b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ·b k ＋1＋1b k ＋1＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2>k ＋1·2k ＋3
2k ＋2
＝(2k ＋3)2
4(k ＋1)
＝
4(k ＋1)2＋4(k ＋1)＋1
4(k ＋1)
＝(k ＋1)＋1＋
1
4(k ＋1)
>(k ＋1)＋1
所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 由①、②可得不等式恒成立．
2．(高考预测题)已知正项数列{a n }中，对于一切的n ∈N 均有a 2n ≤a n －a n ＋1成立． (1)证明：数列{a n }中的任意一项都小于1； (2)探究a n 与1
n 的大小，并证明你的结论．
解：(1)由a 2n ≤a n －a n ＋1得 a n ＋1≤a n －a 2n .
∵在数列{a n }中，a n >0，∴a n ＋1>0， ∴a n －a 2n >0，∴0<a n <1，
故数列{a n }中的任何一项都小于1. (2)解法一：由(1)知0<a n <1＝11
，
那么a 2≤a 1－a 2
1＝－(a 1－12)2＋14≤14<12，由此猜想：a n <1n .
下面用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N 时猜想正确． ①当n ＝2时，显然成立；
②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N )时，有a k <1k ≤1
2
成立．
那么a k ＋1≤a k －a 2k ＝－(a k －12)2＋14<－(1k －12)2＋14＝1k －1k 2＝k －1k 2<k －1k 2－1＝1
k ＋1， ∴当n ＝k ＋1时，猜想也正确． 综上所述，对于一切n ∈N* ，都有a n <1n .
解法二：由a 2n ≤a n －a n ＋1， 得0<a k ＋1≤a k －a 2k ＝a k (1－a k )， ∵0<a k <1， ∴1
a k ＋1≥1a k (1－a k )＝1a k ＋1
1－a k ， ∴
1a k ＋1－1a k ≥11－a k >1. 令k ＝1,2,3，…，n －1得：
1a 2－1a 1>1，1a 3－1a 2>1，…，1a n －1a n －1>1， ∴1a n >1a 1＋n －1>n ，∴a n <1n
.。