概率的基本性质4
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概率的基本性质
（2）从6名学生中选出4人参加数学竞赛， 共有15种可能情况；
（3）“A没被选中”包含下列5个基本事 件： (B，C，D，E )，(B，C，D，F )， (B，C，E，F )，(B，D，E，F )，
(C，D，E，F )
有关集合知识：
1、集合之间的包含关系：
A B
BA
2、集合之间的运算： （1）交集： A∩B
（2）投掷一颗骰子，掷出的点数不为3， 5.
5、互斥事件
若A∩B为不可能事件（ A∩B = ），那么称事 件A与事件B互斥。
事件A与事件B互斥的含义是：这两个事件在任 何一次试验中都不会同时发生，可用图表示为：
A={出现4点} B={出现6点} M={出现的点数为偶数}
B
A
N={出现的点数为奇数}
解：（1）Ω ={(正,正,正)， (反,正,正)，
(正,反,正)， (正,正,反)， (正,反,反)，
(反,正,反)，(反,反,正)，(反,反,反)}；
解：（1）Ω ={(正,正,正)， (反,正,正)，
(正,反,正)， (正,正,反)， (正,反,反)， (反,正,反)，(反,反,正)，(反,反,反)}；
基本事件空间：所有基本事件构成的集合 称为基本事件空间。基本事件空间常用大 写希腊字母Ω表示。
例如，掷一枚硬币，观察落地后哪一 面向上，这个试验的基本事件空间就是 集合{正面向上，反面向上}。
即 Ω = {正面向上，反面向上}.
或简记为Ω ={正，反}.
掷一颗骰子，观察掷出的点数，这个事 件的基本事件空间是
解：（1）这个试验的基本事件空间是： Ω={(A,B,C,D )，(A,B,C,E )，(A,B,C,F )，
(A,B,D,E )，(A,B,D,F )，(A,B,E,F )，
（3）“A没被选中”包含下列5个基本事 件： (B，C，D，E )，(B，C，D，F )， (B，C，E，F )，(B，D，E，F )，
(C，D，E，F )
有关集合知识：
1、集合之间的包含关系：
A B
BA
2、集合之间的运算： （1）交集： A∩B
（2）投掷一颗骰子，掷出的点数不为3， 5.
5、互斥事件
若A∩B为不可能事件（ A∩B = ），那么称事 件A与事件B互斥。
事件A与事件B互斥的含义是：这两个事件在任 何一次试验中都不会同时发生，可用图表示为：
A={出现4点} B={出现6点} M={出现的点数为偶数}
B
A
N={出现的点数为奇数}
解：（1）Ω ={(正,正,正)， (反,正,正)，
(正,反,正)， (正,正,反)， (正,反,反)，
(反,正,反)，(反,反,正)，(反,反,反)}；
解：（1）Ω ={(正,正,正)， (反,正,正)，
(正,反,正)， (正,正,反)， (正,反,反)， (反,正,反)，(反,反,正)，(反,反,反)}；
基本事件空间：所有基本事件构成的集合 称为基本事件空间。基本事件空间常用大 写希腊字母Ω表示。
例如，掷一枚硬币，观察落地后哪一 面向上，这个试验的基本事件空间就是 集合{正面向上，反面向上}。
即 Ω = {正面向上，反面向上}.
或简记为Ω ={正，反}.
掷一颗骰子，观察掷出的点数，这个事 件的基本事件空间是
解：（1）这个试验的基本事件空间是： Ω={(A,B,C,D )，(A,B,C,E )，(A,B,C,F )，
(A,B,D,E )，(A,B,D,F )，(A,B,E,F )，
概率定义与性质
确定先验概率。先验概 率是指在进行观察或实 验之前，对某个事件或 某个参数的估计概率。
第二步
收集证据。收集与目标 事件或参数相关的证据 或数据。
第三步
计算后验概率。根据贝 叶斯定理，利用先验概 率和证据，计算出目标 事件或参数的后验概率。
第四步
做出决策。根据后验概 率的大小，做出相应的 决策或推断。
独立性的数学表达
如果两个事件A和B满足$P(A cap B) = P(A) times P(B)$，则称事件A和B是独立的。
3
独立性的性质
独立性具有传递性，即如果A与B独立，B与C独 立，那么A与C也独立。
独立事件的概率
独立事件的概率计算
条件概率与独立性
对于两个独立事件A和B，其同时发生 的概率是各自概率的乘积，即$P(A cap B) = P(A) times P(B)$。
如果两个事件A和B在给定第三个事件 C的条件下是独立的，那么A和B本身 也是独立的。
独立事件的性质
如果两个事件是独立的，那么其中一 个事件的发生不会影响到另一个事件 的概率。
独立试验与大数定律
01
独立试验
在相同的条件下进行多次试验， 每次试验的结果之间相互独立， 这样的试验称为独立试验。
大数定律
02
全概率公式如下：P(A) = Σ P(Bi) * P(A | Bi)，其中Bi是所有可能的基本事件，P(Bi)是基本事件Bi发生的概率，P(A | Bi)是在基本事 件Bi发生的条件下事件A发生的概率。
04
独立性
独立性的定义
1 2
独立性定义
如果一个事件的结果不会影响到另一个事件的结 果，那么这两个事件就是独立的。
学习、决策理论等。
第二步
收集证据。收集与目标 事件或参数相关的证据 或数据。
第三步
计算后验概率。根据贝 叶斯定理，利用先验概 率和证据，计算出目标 事件或参数的后验概率。
第四步
做出决策。根据后验概 率的大小，做出相应的 决策或推断。
独立性的数学表达
如果两个事件A和B满足$P(A cap B) = P(A) times P(B)$，则称事件A和B是独立的。
3
独立性的性质
独立性具有传递性，即如果A与B独立，B与C独 立，那么A与C也独立。
独立事件的概率
独立事件的概率计算
条件概率与独立性
对于两个独立事件A和B，其同时发生 的概率是各自概率的乘积，即$P(A cap B) = P(A) times P(B)$。
如果两个事件A和B在给定第三个事件 C的条件下是独立的，那么A和B本身 也是独立的。
独立事件的性质
如果两个事件是独立的，那么其中一 个事件的发生不会影响到另一个事件 的概率。
独立试验与大数定律
01
独立试验
在相同的条件下进行多次试验， 每次试验的结果之间相互独立， 这样的试验称为独立试验。
大数定律
02
全概率公式如下：P(A) = Σ P(Bi) * P(A | Bi)，其中Bi是所有可能的基本事件，P(Bi)是基本事件Bi发生的概率，P(A | Bi)是在基本事 件Bi发生的条件下事件A发生的概率。
04
独立性
独立性的定义
1 2
独立性定义
如果一个事件的结果不会影响到另一个事件的结 果，那么这两个事件就是独立的。
学习、决策理论等。
概率的基本性质 课件 高中数学新人教A版必修第二册
，乙夺得冠军的概率为
1 ，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 4
_ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2_8__.
解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和 “乙夺得冠军”， 但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件的概率加法公式 进行计算， 即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1298.
典例 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字 外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记 为a，b，c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
解 由题意知，(a，b，c)所有可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)， (1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)， (2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)， (3,3,2)，(3,3,3)，共27种. 设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A， 则事件A包含的样本点有(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3个. 所以 P(A)＝237＝19. 即“抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”的概率为19.
反思 感悟
求复杂事件的概率通常有两种方法 (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件. (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多， 而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则 反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率.
高中数学必修二课件：概率的基本性质
一次购物 1至4件 5至8件
量
9至 12件
13至 16件
顾客数(人)
x
30
25
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
结算时间
1
1.5
2
2.5
(分钟/人)
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
17件 及以上
10
3
①确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值；
②求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．
错解：因为P(A)＝36＝12，P(B)＝36＝12， 所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1. 错因分析：由于事件A与事件B不是互斥事件，更不是对立事件，因此 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)不成立．因此解答此题应从“A∪B”这一事件出发求解． 答：因为A∪B包含4种结果，即出现1，2，3和5，所以P(A∪B)＝46＝23.
②由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小 明”为事件A′＋C′，根据互斥事件的概率加法公式，得P(A′＋C′)＝P(A′) ＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
(2)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集
了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示．
(2)某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0，1，2， 3，4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的 编号之和等于7，则中一等奖，等于6或5，则中二等奖，等于4，则中三等奖， 其余结果不中奖．
①求中二等奖的概率； ②求不中奖的概率．
【解析】 从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有(0，1)， (0，2)，(0，3)，(0，4)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共 10种．记两个小球的编号之和为x.
4概率加法公式
n −1
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例3 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答 出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率 解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题 (1) P(AB) = P(A) − P(AB) = 0.7 −0.1= 0.6 (2) P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(AB) = 0.8 (3) P(AB) = P(A∪B) = 0.2
例4 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？ 最大(小)值是多少？ 解
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(AB)
P(AB) = P(A) + P(B) − P(A∪B) ≥ P(A) + P(B) −1= 0.3 —— 最小值
加法公式的推广
(5) P(A∪ B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(AC) − P(BC) + P(ABC)
(6) 对任意 n 个事件 A1 ,
A2 , ⋯,
An , 有
n n P ∪ Ai = ∑ P( Ai ) − ∑ P (Ai A j ) + ∑ P (Ai A j Ak ) 1≤ i < j ≤ n 1≤ i < j < k ≤ n i =1 i =1 − ⋯ + (− 1) P( A1 A2 ⋯ An )
⊛
式是“ 有去路,没回路 ⊛式是“羊肉包子打狗 ”——有去路 没回路 有去路 为什么呢？学了几何概型便会明白.
概率的基本性质(经典)
一次硬币正面朝上的概率是0.498.
规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练
学习目标研读
课前自主探究
课堂互动讲练
第 三 章 概 率
温故知新
当几个集合是有限集时，常用列举法列出集 合中的元素，求集合A∪B与A∩B中的元素个 数．A∩B中的元素个数即为集合A与B中____ 公共___元素的个数；而当A∩B＝Ø时， A∪B中的元素个数即为两个集合中元素个数 __之和____；而当A∩B≠Ø时，A∪B中的元 素个数即为A、B中元素个数之和_____减去 __A∩B中的元素个数．本节要学习的互斥事 件和对立事件与集合之间的运算有着密切的 联系，学习中要仔细揣摩、认真体会
上 页
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规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练
学习目标研读
课前自主探究
课堂互动讲练
第 三 章 • 某班有50名同学，其中男女各25名，今有这个班的一个学 生在街上碰到一个同班同学，则下列结论正确的是( ) 概 • A．碰到异性同学比碰到同性同学的概率大 率 上 • B．碰到同性同学比碰到异性同学的概率大 页 • C．碰到同性同学和异性同学的概率相等 • D．碰到同性同学和异性同学的概率随机变化 下
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第 三 章 概 率
被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需要 回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了 哪个问题，所以都会如实回答．如果被调查者中的600人 (学号从1到600)中有180人回答了“是”，由此可以估计 在这600人中闯过红灯的人数是( ) 上 页 A．30 B．60 C．120 D．150 下 [答案] B 页
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第 三 章 概 率
温故知新
当几个集合是有限集时，常用列举法列出集 合中的元素，求集合A∪B与A∩B中的元素个 数．A∩B中的元素个数即为集合A与B中____ 公共___元素的个数；而当A∩B＝Ø时， A∪B中的元素个数即为两个集合中元素个数 __之和____；而当A∩B≠Ø时，A∪B中的元 素个数即为A、B中元素个数之和_____减去 __A∩B中的元素个数．本节要学习的互斥事 件和对立事件与集合之间的运算有着密切的 联系，学习中要仔细揣摩、认真体会
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第 三 章 • 某班有50名同学，其中男女各25名，今有这个班的一个学 生在街上碰到一个同班同学，则下列结论正确的是( ) 概 • A．碰到异性同学比碰到同性同学的概率大 率 上 • B．碰到同性同学比碰到异性同学的概率大 页 • C．碰到同性同学和异性同学的概率相等 • D．碰到同性同学和异性同学的概率随机变化 下
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第 三 章 概 率
被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需要 回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了 哪个问题，所以都会如实回答．如果被调查者中的600人 (学号从1到600)中有180人回答了“是”，由此可以估计 在这600人中闯过红灯的人数是( ) 上 页 A．30 B．60 C．120 D．150 下 [答案] B 页
概率的基本性质
(1)事件A发生，事件B不发生； (2)事件A不发生，事件B发生； (3)事件A，B同时发生． 即事件A，B中至少有一个发生．
例:C3={出现的点数大于3}; C4={出现4点}; 4.交（积）事件
D3={出现的点数小于5};
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事 件）.
（2）C与D是互斥事件，
根据概率的加法公式，
1 2 又因为CD为必然事件，
所以C与D为对立事件。
P（D）=
1－P(C)
所以
1
练习:课本第121页1,2,3,4,5
2
本课小结
1、事件的关系与运算，区分互斥事件与对立事件 2、概率的基本性质
（1）对于任一事件A,有0≤P(A)≤1 （2）概率的加法公式 P(A∪B)= P(A)+ P(B) （3）对立事件的概率公式 P(B)=1－P(A)
概率的基本性质
知识回顾: 1. 必然事件、不可能事件、随机事件： 必然事件：在条件S下,一定会发生的事件,叫做必然事件. 不可能事件：在条件S下,一定不会发生的事件,叫做不可能事件.
随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件.
2.事件A的概率： 对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个 常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率。
练习：
1.如果某士兵射击一次，未中靶的概率为0.05，求中靶概率。
解：设该士兵射击一次，“中靶”为事件A,“未中靶”为事件B, 则A与B互为对立事件，故P(A)=1-P(B)=1-0.05=0.95。
2.甲，乙两人下棋，若和棋的概率是0.5，乙获胜的概率是0.3 求：（1）甲获胜的概率；（2）甲不输的概率。
例:C3={出现的点数大于3}; C4={出现4点}; 4.交（积）事件
D3={出现的点数小于5};
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事 件）.
（2）C与D是互斥事件，
根据概率的加法公式，
1 2 又因为CD为必然事件，
所以C与D为对立事件。
P（D）=
1－P(C)
所以
1
练习:课本第121页1,2,3,4,5
2
本课小结
1、事件的关系与运算，区分互斥事件与对立事件 2、概率的基本性质
（1）对于任一事件A,有0≤P(A)≤1 （2）概率的加法公式 P(A∪B)= P(A)+ P(B) （3）对立事件的概率公式 P(B)=1－P(A)
概率的基本性质
知识回顾: 1. 必然事件、不可能事件、随机事件： 必然事件：在条件S下,一定会发生的事件,叫做必然事件. 不可能事件：在条件S下,一定不会发生的事件,叫做不可能事件.
随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件.
2.事件A的概率： 对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个 常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率。
练习：
1.如果某士兵射击一次，未中靶的概率为0.05，求中靶概率。
解：设该士兵射击一次，“中靶”为事件A,“未中靶”为事件B, 则A与B互为对立事件，故P(A)=1-P(B)=1-0.05=0.95。
2.甲，乙两人下棋，若和棋的概率是0.5，乙获胜的概率是0.3 求：（1）甲获胜的概率；（2）甲不输的概率。
概率的基本性质
描述事件发生的可能性大小的量度，记作 P(E)，其中E为事件。
必然事件
不可能事件
指在一定条件下，一定发生的事件。其概 率为1。
指在一定条件下，一定不发生的事件。其 概率为0。
概率的公理化定义
公理化定义
基于公理体系的定义方式，通 过公理化方法，将概率定义为 一种满足特定性质的数学对象
。
可数性公理
所有的可能结果都是可数的， 即可以列出所有可能的结果。
04
CATALOGUE
概率的乘法规则
独立事件的乘法规则
定义
如果两个事件A和B相互独立，那么 P(A∩B) = P(A)P(B)。
解释
如果事件A和B是独立的，那么事件A 的发生与否不会影响事件B的发生，反 之亦然。因此，两个独立事件的概率 乘积等于它们各自的概率。
互斥事件的乘法规则
定义
如果两个事件A和B互斥，那么P(A∩B) = 0 。
02
CATALOGUE
概率的基本性质
非负性
总结词
所有概率值都是非负的。
详细描述
根据概率的定义，任何事件的概率值都是非负的，即大于等于零。这是因为概 率被定义为事件发生的次数除以所有可能事件的次数，因此其值不可能为负数 。
规范性
总结词
所有事件的概率总和为1。
详细描述
在一个有限概率空间中，所有事件的概率总和等于1。这是概率的规范性性质，它确保了所有可能的后果被完全 考虑在内，并且每个后果的概率都被正确地分配。
方差的性质
方差的大小取决于随机变量的取值范围和分布形状 ，方差越小，随机变量的取值越集中，分布越稳定 。
方差的计算公式
方差是每个样本点与均值的差的平方的平均 值。
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3.1.3
概率的基本性质
二、概率的几个基本性质
（1）、对于任何事件的概率的范围是： 0≤P（A）≤1 其中不可能事件的概率是P（A）=0 必然事件的概率是P（A）=1 不可能事件与必然事件是一般事件的特殊情况
3.1.3
概率的基本性质
二、概率的几个基本性质
（2）、当事件A与事件B互斥时，A∪B的频率 fn(A∪B)= fn(A)+ fn(B) 由此得到概率的加法公式： 如果事件A与事件B互斥，则 P（A∪B）=P（A）+P（B）
A∩C= “有4件次品”
B∩C =
一次抽取8件共有9种抽取结果； 第一种： 有 第二种： 有 第三种： 有 第四种： 有 第五种： 有 第六种： 有 第七种： 有 第八种： 有 第九种： 有 0 件次品（全是合格品）, 1 件次品（7件合格品）， 2 件次品（6件合格品）， 3 件次品（5件合格品）， 4 件次品（4件合格品）， 5 件次品（3件合格品）， 6 件次品（2件合格品）， 7 件次品（1件合格品）， 8 件次品（0件合格品）。
A，B是对立事件 A，B是互斥（事件）
2、某人对靶射击一次，观察命中环数 A =“命中偶数环” B =“命中奇数环” C =“命中 o 数环”
A，B是互斥事件 A，B是对立事件
3、一名学生独立解答两道物理习题，考察这两道 习题的解答情况。 记 A = “该学生会解答第一题，不会解答第二题” B = “该学生会解答第一题，还会解答第二题” 试回答： 1. 事件A 与事件B 互斥吗？为什么？ 2. 事件A 与事件B 互为对立事件吗？为什么？
请判断那种正确！
4、某检查员从一批产品中抽取8件进行检查，观察 其中的次品数 记：A =“次品数少于5件” ; B = “次品数恰有2件” C = “次品数多于3件” ; D = “次品数至少有1件” 试写出下列事件的基本事件组成： A∪ B ， A ∩C, B∩ C ;
A∪B = A ( A,B 中至少有一个发生）
3.1.3
概率的基本性质
二、概率的几个基本性质
（3）、特别地，当事件A与事件B是对立事件时，有 P（A）=1- P（B）
利用上述的基本性质，可以简化概率的计算
例题
课本114页
例2、抛掷色子，事件A= “朝上一面的数是奇数”， 事件B = “朝上一面的数不超过3”， 求P（A∪B）
解法一： 因为P（A）=3/6=1/2，P（B）=3/6=1/2 所以P（A∪B）= P（A）+ P（B）=1 解法二： A∪B这一事件包括4种结果，即出现1，2，3和5 所以P（A∪B）= 4/6=2/3
概率的基本性质
事件 的关系 和运算 概率的 几个基 本性质
3.1.3
事件 关系
概率的基本性质
一、 事件的关系和运算
事件 运算
1.包含关系 2.相等关系
3.事件的并 (或和) 4.事件的交 (或积) 5.事件的互斥 6.对立事件
1、投掷一枚硬币，考察正面还是反面朝上。 A={正面朝上} ，B={反面朝上}