5.4归结
归结原理
置换(substitution)
定义: 置换是一个形如{t1/v1,…, tn/vn}的有 限集，其中每个vi是变量，ti是不同于vi的项 （常量、变量或函数）(vi≠ti)。当i≠j时， vi≠vj。
无元素组成的置换称为空置换，记为ε；
例子：
{a/x, w/y, f(s)/z}, {g(x)/x}是置换; {x/x}, {y/f(x)}不是置换;
S={P∨Q，~P∨Q，P∨~Q，~P∨~Q} P∨Q ~P∨Q P∨~Q ~P∨~Q Q (1,2) ~Q (3,4) nil (5,6)
定义: 推演
给定一个子句集合S，从S到子句C的一个推演是 一个有限的子句序列C1 ,…, Ck，使得每个Ci 或是 S中的一个子句，或是C1到Ci-1中的某些子句的一 个归结式，而Ck=C。如果C=nil，则这个推演 （推导）称为S的一个证明，或反演。
推演树(deduction tree)
S={P∨Q，~P∨Q，P∨~Q，~P∨~Q}
P∨Q ~P∨Q P∨~Q ~P∨~Q
Q
~Q
nil
归结定理完备性
如果S不相容，则一定存在一个S的反演。
三. 置换与合一
例：
C1：P(x) ∨ Q(x) C2：~P(f(x)) ∨ R(x)
没有互补对; 例：
C1：P(y) ∨ Q(y) {y/x} C1：P(f(x)) ∨ Q(f(x)) {f(x)/y} C：R(x) ∨ Q(f(x))
子句集S是不可满足的，当且仅当存在一个 有限不可满足的S的基础实例集合S’。 Gilmore的方法(1960) Davis-Putnam: 提高效率
困难:
生成基础实例集合是指数复杂性的.
例子
例子
归结原则
x → x0
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证
必要性应该是显然的. 下面我们证明充分性. 必要性应该 → x 时, f(x) 不以 A 为极限 则存在正数
ε 0 , ∀δ > 0 , 存在 xδ ∈ U + ( x0 , δ ) , 使 | f ( xδ ) − A | ≥ ε 0 .
x →+∞
是：∃ε 0 > 0, 以及 { xn } , { yn } , 虽然
xn → +∞ ，yn → +∞ ，
但是
f ( xn ) − f ( yn ) ≥ ε 0 .
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例如, 例如 对于 y = sin x , 取 ε 0 = 1 ,
π xn = 2nπ, yn = 2nπ + , 2
x1 , x2 > X , 有
f ( x1 ) − f ( x2 ) < ε .
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任取 { x n } , xn → +∞，则存在 N，当 n > N 时,
xn > X . 又当 n, m > N 时, xn , xm > M , 故 f ( xn ) − f ( xm ) < ε .
n→ ∞
η
n
, 所以 lim xn = x0 . n→ ∞
归结原则有一个重要应用： 注 归结原则有一个重要应用： 若存在 { xn }, { yn } ⊂ U ( x0 ), xn → x0 , yn → x0 , 但是
lim f ( xn ) = A ≠ B = lim f ( yn ),
n →∞ n →∞
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二、单调有界定理
定理 3.10 设 f 为定义在U + ( x0 ) 上的单调有界函数 上的单调有界函数, 则右极限 lim+ f ( x ) 存在 .
海涅归结原理
海涅归结原理海涅定理是德国数学家海涅（Heine）给出的，应用海涅定理人们可把函数极限问题转化（归结）成数列问题，因而人们又称它为归结原则。
海涅原理搭建起了数列极限和函数极限之间的桥梁，求函数极限问题可以转化成为求数列极限的问题，求数列极限的问题也可以转化成为求函数极限的问题。
同样也可以利用此定理及间接的判断敛散性。
定义：若函数f(x)在Uo(x0)有定义 , limx→x0f(x)=A∈R⟺∀xn∈Uo(x0) limn→∞xn=x0, limn→∞f(xn)=A 注：是子数列(注：xn是子数列)应用一：证明函数极限不存在时可以用海涅定理1∘: 若存在子数列xn∈U∘(x0),limn→∞xn=x0 使{f(xn)} 发散，则limx→x0f(x) 不存在。
2∘: (双子数列方法)若存在xn,yn∈U∘(x0),limn→∞xn=x0,limn→∞yn=x0 ,且满足limn→∞f(xn)=A,limn→∞f(yn)=B ，若A≠B ,则limx →x0f(x) 不存在,反之则存在。
3∘: 若limx→x0f(x) 存在，xn∈U∘(x0), 且xn≠x0 , limn→∞xn=x0，limn→∞f(xn)=A ⟹limx→x0f(x)=A例：求证limx→∞sinx 不存在。
证明：方法一：任取子数列：时xn=π2+nπ(n→∞时,xn→∞)f(xn)=1,−1,1,−1,1,−1,1,−1⋯⋯由于limn→∞f(xn) 不存在，所以limx→∞sinx .方法二：任取两个收敛的子数列，但是可证出极限值不相等——发散令yn=nπ,limn→∞yn=0,xn=2nπ+π2,limn→∞xn=1 ,两个子数列均是收敛的，但是收敛的极限值不同，所以函数f(x)=sinx 是发散的.例：若f(x) 为R 上以t 为周期的周期函数，limx→∞f(x)=A ,求f(x) . 在证明过后应当作结论记住(在证明过后应当作结论记住)注解：利用周期函数的性质找出趋向于∞的子数列.解：xn=x,x+t,x+2t⋯⋯x+ntf(x)=f(x+t)=f(x+2t)=⋯⋯=f(x+nt) , 则当x→∞时，[xn+nt]⟶+∞，∀x0 , limn→∞f(x0+nt)=f(x0) ,所以limn→∞f(x)=f(x0)又∵x0 的任意性∴f(x0)=f(x)=A例：设f(x) 在(0,+∞) 上有定义，∀x∈R+, 有f(x)=f(3x) , limn→0+f(x)=A求f(x)解：∵f(x)=f(x3)=f(x32)=f(x33)=⋯⋯=f(x3n)limn→+∞x3n=0+ ⇒∀x0 , limn→∞f(x03n)=f(x0) ⇒limx→0+f(x)=f(x0)因为x0 的任意性，所以f(x0)=f(x)=A例：设f(x) 在(0,+∞) 上有定义，∀x∈R+, 有f(x)=f(x3) , limx→∞f(x)=A∈R求f(x)解：f(x)=f(3x)=f(32x)=⋯⋯=f(3nx) ，limn→∞3nx→∞∀固定x0 ,有limn→∞f(3nx0)=f(x0) limn→∞f(x)=f(x0)又由于x0 的任意性，推广得到f(x0)=f(x)所以：f(x)=A总结：先依据周期性找到合适的递推公式，先固定任意的x0 ,根据海涅定理得到limx→∞f(x)=f(x0) ,最后根据x0 的任意性推广到所有的x .。
5.5 归结反演
￢A(x,y) ∨￢B(y) ∨C(f(x)) {f(x)/z}
￢C(z)
￢A(x,y) ∨￢B(y)
￢ G化成子句集，得到 （3）￢C（z） （4） A（m， n） （5） B（ n ）
A(m,n)
{m/x,n/y}
￢B(n)
B(n)
G是F的 逻辑 结论
NIL
7
E.G. 已知下列事实： 王（Wang）喜欢（Like）所有种类的 食物（Food）. 苹果（Apples）是食物。任 何一个东西，若任何人吃了（Eat）它都不 会被害死（Killed）,则该东西是食物。 李（Li）吃花生（Peanuts）且仍然活 着（Alive）。 张（zhang）吃任何李吃的东西。 证明：王喜欢花生。
则G为F的逻辑结论。
12
4
￢P∨￢Q∨R
￢R
例 设已知公式集F为 P，（P∧Q）→R，（S∨T） → Q，T 求证结论R。 解：假设结论R为假，即￢R为真，将￢R 加入公式集，并化为子句集 S= ｛P， ￢P∨ ￢ Q∨R， ￢S∨Q，￢ T∨Q ， T， ￢R ｝
P
￢P∨￢Q
￢Q
￢T∨Q
T
￢T
NIL
一个命题逻辑的归结反演树
目标形式化表示：
Like(Wang, Peanuts)
9
(1) Food(x1)∨Like(Wang, x1) (2) Food(Apples)
(3) Eat(y, x2)∨Alive(y)∨Food(x2)
(4) Eat(Li, Peanuts) (5) Alive(Li) (6) Eat(Li, x3)∨Eat(Wang, x3)
• 例
已知 F：( x)( (∃ y)A(x,y)B(y) → (∃ y) ( C(y)D(x,y) ) ) G： ￢ (∃ x) C(x) →( x)( y)( A(x,y) → ￢ B(y) ) 求证：G是F的逻辑结论。
数学分析中的归结原理及其应用
First of all we give out the definition and proof of the resolution principle. Because the independent variable has six forms and the function value has four forms, the enumeration equip of resolution principle has twenty-four forms. But here I just enumerate eight forms and prove three forms of the eight. Then I study it from three sides 1) Proving the existence of the limit of function. 2) Treating with the translation of continuous variable and discrete variable
n=1
An f (x, y)dy 在 a, b
An −1
一致收敛。
（3）归结原理与函数列的一致连续，重点研究了归结原理在一致连续证明过程
中的应用以及归结原理在函数一致连续与数列收敛之间的应用。即
设 E 是 R m 中的有界集， f : E ⊂ R m → R1, 则 f 在 E 上一致连续的充要条件
鲁滨逊归结原理
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
推论 设C1,C2是子句集S的两个子句，C12是它们的 归结式，则 (1)若用C12代替C1,C2，得到新子句集S1，则由S1的 不可满足可推出原子句集S的不可满足。即 S1不可满足 S不可满足
(2) 若把 C12 加入到 S 中，得到新子句集 S2 ，则 S2 与
如果录取B,则一定录取C 求证:公司一定录取C
作业： 自然数都是大于零的整数，所有整数不是偶数就是奇
数，偶数除以2是整数。
证: 所有自然数不是奇数就是其一半为整数的数
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
5.2.3 替换与合一 在一阶谓词逻辑中应用消解原理，不像命题逻辑中那样简 单，因为谓词逻辑中的子句含有个体变元，这就使寻找含互否 文字的子句对的操作变得复杂。例如： C1=P(x)∨Q(x)
k=0:
S0=S,σ0=ε, S0不是单元素集，D0=｛x,y｝ σ1=σ0·｛y/x｝=｛y/x｝ S1=S0｛y/x｝=｛P(y,y),P(y,f(y))｝
k=1:
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
S1不是单元素集，D1=｛y,f(y)｝，由于变元y在项 f(y)中出现，所以算法停止，S不存在最一般合一。 从合一算法可以看出，一个公式集S的最一般合一 可能是不唯一的，因为如果差异集Dk=｛ak,bk｝，且ak 和bk都是个体变元，则下面两种选择都是合适的：
中z是变元，且不在a中出现，所以有
σ1=σ0· ｛ a/z ｝ =ε· ｛ a/z ｝ = ｛ a/z ｝ S1=S0 ｛ a/z ｝ = ｛P(a,x,f(g(y))),P(a,h(a,u),f(u))｝ k=1: S1不是单元素集，求得D1=｛x,h(a,u)｝，
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
消解(归结)原理讲解
（1）取消“→”和“↔”连接词。
(x)(~ (y)P(x, y) ~ (y)(~ Q(x, y) R(x, y)))
（2）把“~”的辖域减少到最多只作用于一 个谓词。
(x)((y) ~ P(x, y) (y)(Q(x, y) ~ R(x, y)))
归结原理
要证明： C1∧C2 => C12，也就是要证明，使C1 和C2为真的解释I，也必使C12为真。
设I是使C1和C2为真的任一解释，若I下的P为真， 从而~P为假。由C2为真的假设可以推出必有 在I下C2’为真，故在I下，由于C12=C1’ ∨C2’ ， 所以C12也为真。若在解释I下P为假，从而由 于假设C1为真，必有C1’为真，故在解释I下 C12=C1’ ∨C2’也必为真。于是我们得到如下定 理：
如果将谓词公式G的Skolem标准型前面的全 称量词全部消去，并用逗号（，）代替合 取符号，便可得到谓词公式G的子句集。 例如在上面的例子中已求得谓词公式G的 Skolem标准型，因而G的子句集S为
S {~ P(x, f (x)) Q(x, g(x)), ~ P(x, f (x)) ~ R(x, g(x))}
不可满足意义下的一致性
例：设有谓词公式G= (x)P(x)，说明G与Skolem标准型 并不等值。
设G的个体域为D={1,2}，此时G=P(1) P(2). 设解释I：P(1)=F,P(2)=T,则在这一解释下G为T。 而G时的GSl=kFolem标准型Gl=P(a)(第一种情况），取a=1，这 导致G与其Skolem标准型（进而与子句集S）不等值的原
（5）全称量词移到左边，由于只有一个全称量 词，已在左边，所以不移。
（6）将母式化为合取范式。
(x)((~ P(x, f (x)) Q(x, g(x))) ((~ P(x, f (x)) ~ R(x, g(x))))
七年级数学上册 5.4 主视图、左视图、俯视图 正方体表面展开图的口诀素材 苏科版(2021年整理)
七年级数学上册5.4 主视图、左视图、俯视图正方体表面展开图的口诀素材（新版）苏科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（七年级数学上册5.4 主视图、左视图、俯视图正方体表面展开图的口诀素材（新版）苏科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为七年级数学上册5.4 主视图、左视图、俯视图正方体表面展开图的口诀素材（新版）苏科版的全部内容。
巧记口诀确定正方体表面展开图6个相连的正方形组成的平面图形，经折叠能否围城正方体问题，是近年来中考常考题型。
同学们在学习这一知识时常感到无从下手,现将确定正方体展开图的方法以口诀的方式总结出来，供大家参考：正方体盒巧展开,六个面儿七刀裁。
十四条边布周围，十一类图记分明:四方成线两相卫，六种图形巧组合；跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯.对面相隔不相连,识图巧排“7”、“凹”、“田"。
现将口诀的内涵解释如下：将一个正方体盒的表面沿某些棱剪开，展开成平面图形，需剪7刀，故平面展开图中周围有14条边长共有十一种展开图:一、四方成线两相卫，六种图形巧组合（1）（2）（3) （4）(5） (6），另外两个小方块在四个方块的上下两侧,共六种情况.二、跃马失蹄四分开(1) （2） （3） （4）以上四种情况可归结为五个小方块组成“三二相连”的基本图形（如图），另外一个小方块的位置有四种情况，即图中四个小方块中的任意一个,这一图形有点像失蹄的马，故称为“跃马失蹄”. 三、两两错开一阶梯这一种图形是两个小方块一组，两两错开，像阶梯一样，故称“两两错开一阶梯"。
四、对面相隔不相连这是确定展开图的又一种方法，也是确定展开图中的对面的一种方法。
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L C1’ C1 c2’ C2 c12 →
T --T T T T T
T T T F F T T
T F T F F F T
C1 C2 c12 →
T T T T
T F T T
T F F T
C12=C1’ ∨C2’
7
• 推论1：设C1和C2是子句集S中的两个子句，C12是C1和 C2的归结式，若用C12代替C1和C2后得到新的子句集 S1，则由S1的不可满足性可以推出原子句集S的不可 满足性。 • 推论 2：设 C1和 C2是子句集 S中的两个子句，C12 是 C1和 C2的归结式，若把 C12加入 S中得到新的子 句集S2，则S与S2的不可满足性是等价的。
称
C12=（C1σ －｛L1σ ｝）∪（C2σ － ｛L2σ ｝）
为C1和C2的二元归结式，而L1和L2为归结式上 的文字。
– 用最一般合一置换，得到L1与L2的合一式 – 归结运算转化为集合运算
12
[例] 设 C1=P（a）∨ R（x），C2=￢ P（y）∨Q（b）， 求 C12。
解：取L1=P（a）， L2=￢ P（y）， 则 L1和￢L2的最一般合一是σ =（a／y）， 可得
(3) C1和C2的因子C2 2二元归结式
(4) C1的因子C1 1和C2的因子C2 2二元归结式
16
Homework
1.P139----Class 1 4.2 (1 ) (3) 2.归结 P[x,f(A)]∨P[x,f(y)]∨Q(y) 和 ～P[z,f(A)]∨～Q(z) 提示: 归结式不是唯一的 归结过程可以用图示
5.4 归结
----归结原理(3)
1
主要内容
• 1).有关概念与定理 • 2). 命题公式的归结 • 3).谓词公式的归结
2
5.4.1 命题公式的归结
• 互补文字
若P是原子，则称P与 ～ P为互补文字。
• 归结 设C1和C2是子句集中的任意两个子句， 如果C1中的文字L1与C2中的文字L2互补，那么 可从C1和C2中分别消去L1和L2，并将C1和C2中余下 的部分按析取关系构成一个新的子句C12.
）， L2=￢ P（y）， C1 是C1 的因子. 则 L1和￢L2的最一般合一是σ =（ f(a) ／y）， 单 因子: 可得 C1 是文字. ∨ Q(f(a)) 15 C12= R(b) 例 C1=P（x）∨ P（f(a)）, C1 是C1 的单因子.
子句C1和C2的二元归结式是:
(1) C1和C2二元归结式 (2) C1的因子C1 1和C2二元归结式
则称这一过程为归结，
称C12为C1和C2的归结式， 称C1和C2为C12的亲本子句。
C1=C1’ ∨L C2=C2’ ∨～L C12=C1’ ∨C2’
3
例：{C1, C2, C3} 设 C1= ¬P∨Q， C2= ¬ Q，
C3=P， 解：先对C1、C2归结，可得 C12= ¬ P
然 后 再 对 C12 和 C3 归 结 ， 得 到 C123=NIL
14
如果参加归结的子句内部有可合一的文字,在归结 之前需要对这些文字进行合一.
[例] 设 C1=P（x）∨ P（f(a)）∨ Q（x）
C2=￢ P（y）∨R（b） 最一般合一={f(a)/ x} C1 = P（f(a)）∨ Q（ f(a) ）
因子: 取L1=P（ f(a)
求 C12
解：在C1中有可合一的文字, P（x）和P（f(a)）
不可满足的子句集S的归结是完备的:
必然存在从S经归结到空子句的演绎， 反之, S归结出 空子句, S一定是不可满足的。
10
5.4.2 谓词逻辑的归结
[例] 设 C1=P（a）∨ R（x），
C2=￢ P（y）∨Q（b），
求 C12。
11
C1和C2是两个没有公共变元的子句， L1和L2分别是C1和C2中的文字。 如果L1和￢L2存在最一般合一σ ，则
4
P∨Q
Q
P
P
NIL
NIL是不可满足的.
归结过程的树形表示
5
【定理】
归结式 C12 是其亲本子句 C1 和 C2 的逻辑结论
C1 ∧ C2
C1 C2 C12 → T T T T
→
T F T T
C12
T F F T …
6
!= C1=T C2=T C12=F
假言三段 C1=C1’ ∨L C2=C2’ ∨～L
17
8
P∨Q
Q
例：S={¬P∨Q, ¬ Q, P}
P
S2 ={¬P∨Q, ¬ Q, P , ¬P ,NIL}
NIL是不可满足的.
NIL
归结过程的树形表示
9
为证明子句集S的不可满足性，只要对其中可进行归 结的子句进行归结，并把归结式加入到子句集S中，或者用 归结式代替他的亲本子句，然后对新的子句集证明其不可 满足性就可以了。 如果经归结能得到空子句，根据空子句的不可满足性， 即可得到原子句集S是不可满足的结论。
C12=（C1σ －｛L1σ ｝）∪（C2σ － ｛ L2σ ｝）
=（｛P(a)， R(x)｝ -｛P(a)｝） ∪ （｛￢P(a)， Q(b)｝ - ｛￢ P(a) ｝） =｛R(x)｝ ∪｛Q(b) ｝ = R(x) ∨ Q(b)
13
E.G. 已知下列事实： 王（Wang）喜欢（Like）所有种类的 食物（Food）. 苹果（Apples）是食物。任 何一个东西，若任何人吃了（Eat）它都不 会被害死（Killed）,则该东西是食物。 李（Li）吃花生（Peanuts）且仍然活 着（Alive）。 张（zhang）吃任何李吃的东西。 证明：王喜欢花生。