函数的奇偶性测试题
函数的奇偶性练习题
函数的奇偶性练习题1. 函数f(x)在定义域上是否是奇函数还是偶函数？解析：要判断函数的奇偶性，需要分析函数在x和-f(x)两点处的取值情况。
2. 函数g(x) = x^3 - x是奇函数还是偶函数？解析：首先，我们分别计算g(x)和g(-x)的值。
当x = 1时，g(1) = 1^3 - 1 = 0；当x = -1时，g(-1) = (-1)^3 - (-1) = -2。
由于g(1) = 0，且g(-1) = -2，即当x = 1时，g(x) = -g(-x)成立。
因此，函数g(x)是奇函数。
3. 函数h(x) = x^4 - x^2是奇函数还是偶函数？解析：同样地，我们分别计算h(x)和h(-x)的值。
当x = 1时，h(1) = 1^4 - 1^2 = 0；当x = -1时，h(-1) = (-1)^4 - (-1)^2 = 0。
由于h(1) = h(-1) = 0，即当x = 1和x = -1时，h(x) = h(-x)成立。
因此，函数h(x)是偶函数。
4. 函数i(x) = sin(x)是奇函数还是偶函数？解析：对于三角函数，我们需要利用其周期性质进行判断。
由于sin(x)的周期是2π，即sin(x + 2πk) = sin(x)（k为整数）。
考虑到奇函数关于原点对称，我们将其分为两种情况进行分析：当x = 0时，sin(0) = 0；当x = π时，sin(π) = 0。
由于sin(0) = sin(π) = 0，即当x = 0和x = π时，sin(x) = sin(-x)成立。
因此，函数i(x)是奇函数。
5. 函数j(x) = x^2 + 1是奇函数还是偶函数？解析：对于函数j(x)，我们分别计算j(x)和j(-x)的值。
当x = 1时，j(1) = 1^2 + 1 = 2；当x = -1时，j(-1) = (-1)^2 + 1 = 2。
由于j(1) = j(-1) = 2，即当x = 1和x = -1时，j(x) = j(-x)成立。
函数的奇偶性问题练习题(含答案)
...函数的奇偶性问题一、选择题1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数 解析：f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(ϕ为奇函数，∴g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＝f （x ）·)(x ϕ满足奇函数的条件． 答案：A2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（） A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 解析：由f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴31=a ．故选A ．3．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（ ）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2）D ．y ＝x （｜x ｜－2） 解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，f （x ）为奇函数，∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2＋2x ）＝－x 2－2x ＝x （－x －2）． ∴(2)(0)()(2)(0),,x x x f x x x x ⎧⎨⎩-≥=--<即f （x ）＝x （|x |－2）答案：D4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10 解析：f （x ）＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数，f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26． 答案：A5．函数1111)(22+++-++=x xx x x f 是（）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0． 答案：B 6．若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（ ）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3解析：)(x ϕ、g （x ）为奇函数，∴()2()()f x a x bg x φ-=+为奇函数． 又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3． ∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1． 答案：C 二、填空题 7．函数2122)(xx x f ---=的奇偶性为____奇函数____（填奇函数或偶函数） ．8．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝____0_____． 解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则f （x ）的解析式为____11)(2-=xx f ___．解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，...可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，∴11)1111(21)(2-=----=x x x x f ． 10．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为___0 _____． 三、解答题11．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围．（21<m ） 12．已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0，试证f （x ）是偶函数．证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f （0）＝1．令x ＝0，∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数．13.已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R 上的表达式．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1， ∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．因此，.)0()0()0(12012)(,,2323<=>+--+=⎪⎩⎪⎨⎧x x x x x x x x f 点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力．14.f （x ）是定义在（－∞，－5］Y ［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明． 解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5．因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）⇒f （x 1）＜－f （x 2）⇒f （x 1）＞f （x 2），即单调减函数．点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．15.设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），求证f （x ）是偶函数．解析：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1代入可证， f （1）＝2f （1），∴f （1）＝0． 又令x 1＝x 2＝－1，∴f ［－1×（－1）］＝2f （1）＝0， ∴（－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数． 点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x 1＝x 2＝1，x 1＝x 2＝－1或x 1＝x 2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．。
函数奇偶性练习题(内含答案)
函数奇偶性练习题(内含答案)新希望培训学校资料数学函数奇偶性练（内含答案）一、选择题1.已知函数 $f(x)=ax+bx+c(a\neq0)$ 是偶函数，那么$g(x)=ax+bx-cx$ 是（）A。
奇函数B。
偶函数C。
既奇又偶函数D。
非奇非偶函数2.已知函数 $f(x)=ax+bx+3a+b$ 是偶函数，且其定义域为$[a-1,2a]$，则（）A。
$a=2,\ b=\frac{1}{3}$B。
$a=-1,\ b=-\frac{1}{3}$C。
$a=1,\ b=-\frac{1}{3}$D。
$a=3,\ b=\frac{1}{3}$3.已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，当$x\geq0$ 时，$f(x)=x-2x$，则 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上的表达式是（）A。
$y=x(x-2)$B。
$y=x(|x|-1)$C。
$y=|x|(x-2)$D。
$y=x(|x|-2)$4.已知 $f(x)=x+ax+bx-8$，且 $f(-2)=10$，那么 $f(2)$ 等于（）A。
$-26$B。
$-18$C。
$-10$D。
$10$5.函数$f(x)=\frac{5x^2}{1+x^2}+\frac{x-1}{x+1}$ 是（）A。
偶函数B。
奇函数C。
非奇非偶函数D。
既是奇函数又是偶函数6.若 $\phi(x),\ g(x)$ 都是奇函数，$f(x)=a\phi(x)+bg(x)+2$ 在 $(0,+\infty)$ 上有最大值 $5$，则$f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上有（）A。
最小值 $-5$B。
最大值 $-5$C。
最小值 $-1$D。
最大值 $-3$二、填空题7.函数 $f(x)=\frac{x-2}{1-x^2}$ 的奇偶性为（奇函数或偶函数）。
8.若 $y=(m-1)x+2mx+3$ 是偶函数，则 $m=$（）。
9.已知 $f(x)$ 是偶函数，$g(x)$ 是奇函数，若$f(x)+g(x)=\frac{1}{x-1}$，则 $f(x)$ 的解析式为（）。
奇偶性 习题(含答案)
一、单选题
1．若 ， ，且 ，则函数 满足
A． 为增函数且为偶函数B． 且 为偶函数
C． 为增函数且为奇函数D． 且 为奇函数
2．下列函数是偶函数的是
A． B． C． D．
3．函数 的图象大致是
A． B． C． D．
4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 ( )
A． B． C． D．
5．D
【解析】
【分析】
可以看出 ， ， 在定义域内都没有单调性.
故选D．
【详解】
解： ， 和 在定义域内都没有单调性．
故选D.
【点睛】
考查反比例函数，二次函数及函数 的单调性，奇函数的定义．
6．D
【解析】
【分析】
根据奇函数的定义逐项检验即可.
【详解】
A选项中 故不是奇函数，B选项中 故不是奇函数, C选项中 故不是奇函数, D选项中 ，是奇函数，故选D.
∴函数 在 上单调递减．
∵ ，
∴ ，
∵函数 是奇函数，
∴ ．
又 上单调递减，
∴ 对任意 恒成立，
∴ 对任意 恒成立，
∴ ，
解得 ．
∴实数 的取值范围为 ．
【点睛】
一元二次不等式恒成立问题的解法
（1）一元二次不等式在实数集R上的恒成立问题，可根据函数图象（抛物线）的开口方向和判别式的符号求解．
（2）一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题，可利用分离参数法求解，即将欲求范围的参数分离到不等式的一边，通过求出不等式另一边式子的最值(或范围)来得到不等式恒成立时参数的取值范围．一般地，a≥f(x)恒成立时，应有a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x)min．
函数的奇偶性常见经典考试试题
函数奇偶性试题1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数解析：f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(ϕ为奇函数， ∴g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＝f （x ）·)(x ϕ满足奇函数的条件． 2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ）A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 解析：由f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴31=a ． 3．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（ ）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2）D ．y ＝x （｜x ｜－2）解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，f （x ）为奇函数，∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2＋2x ）＝－x 2－2x ＝x （－x －2）． ∴,,)0()0()2()2()(<≥---=⎩⎨⎧x x x x x x x f 即f （x ）＝x （|x |－2） 4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ）A ．－26B ．－18C ．－10D ．10解析：f （x ）＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数， f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26．5．函数1111)(22+++-++=x x x x x f 是（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ． 既是奇函数又是偶函数解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0．6．若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，()2)(x )(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（ ）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3解析：)(x ϕ、g （x ）为奇函数，∴)()(2)(x bg x a x f +=-ϕ为奇函数．又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3．∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1．7. 设f (x )是(－∞,+∞)上的奇函数，f (x +2)=－f (x ),当0≤x ≤1时，f (x )=x ,则f (7.5)等于( )A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.5解析：f (7.5)=f (5.5+2)=－f (5.5)=－f (3.5+2)=f (3.5)=f (1.5+2)=－f (1.5)=－f (－0.5+2)=f (－0.5)=－f (0.5)=－0.5.8. 已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0,a 的取值范围是( ) A.(22，3)B.(3，10)C.(22，4)D.(－2，3)解析：∵f (x )是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)＜0.∴f (a －3)＜f (a 2－9). ∴⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-9319113122a a a a ∴a ∈(22,3).9．函数2122)(xx x f ---=的奇偶性为________（填奇函数或偶函数） ． 10．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________．解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．11．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则f （x ）的解析式为_______． 解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，∴11)1111(21)(2-=----=x x x x f ．12．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为________．13. 若f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (－3)=0,则xf (x )<0的解集为_________.解析：由题意可知：xf (x )＜0⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧><⇔0)(00)(0x f x x f x 或 ⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔3030 )3()(0 )3()(0x x x x f x f x f x f x 或或 ∴x ∈(－3,0)∪(0,3)14. 若函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0 (0<x 1<x 2),x 2,+∞)上单调递增，则b 的取值范围是_________.解析：∵f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0,∴f (0)=d =0.f (x )=ax (x －x 1)(x －x 2)=ax 3－a (x 1+x 2)x 2+ax 1x 2x ，∴b =－a (x 1+x 2),又f (x )在［x 2,+∞)单调递增，故a >0.又知0＜x 1＜x ,得x 1+x 2>0,∴b =－a (x 1+x 2)＜0.15．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围．16．已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0， 试证f （x ）是偶函数．16．证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f （0）＝1．令x ＝0， ∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数．17.已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R 上的表达式． 解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1，∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．因此，.)0()0()0(12012)(,,2323<=>+--+=⎪⎩⎪⎨⎧x x x x x x x x f18.f （x ）是定义在（－∞，－5］ ［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．18．解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5．因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）⇒f （x 1）＜－f （x 2）⇒f （x 1）＞f （x 2），即单调减函数．点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．19.设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2）， 求证f （x ）是偶函数．解析：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1代入可证，f （1）＝2f （1），∴f （1）＝0．又令x 1＝x 2＝－1，∴f ［－1×（－1）］＝2f （1）＝0，∴（－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数．点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x 1＝x 2＝1，x 1＝x 2＝－1或x 1＝x 2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．函数的奇偶性试题参考答案1A 2A 3D 4A 5B 6C 7B 8A 9奇函数10 0 1111)(2-=x x f12 013 (－3，0）∪(0，3）14 (－∞,0） 15 21<m。
函数的奇偶性试题(含答案)
一、选择题1．下列命题中错误的是( )①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数②奇函数的图象一定过原点③偶函数的图象与y 轴一定相交④图象关于y 轴对称的函数一定为偶函数A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③[答案] D[解析] f (x )＝1x 为奇函数，其图象不过原点，故②错；y ＝⎩⎨⎧ x －1 x ≥1－x －1 x ≤－1为偶函数，其图象与y 轴不相交，故③错．2．如果奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则f (x )在(－∞，0)上( )A ．减函数B ．增函数C ．既可能是减函数也可能是增函数D ．不一定具有单调性[答案] B3．已知f (x )＝x 7＋ax 5＋bx －5，且f (－3)＝5，则f (3)＝( )A ．－15B ．15C ．10D ．－10[答案] A[解析] 解法1：f (－3)＝(－3)7＋a (－3)5＋(－3)b －5＝－(37＋a ·35＋3b －5)－10＝－f (3)－10＝5，∴f (3)＝－15.解法2：设g (x )＝x 7＋ax 5＋bx ，则g (x )为奇函数，∵f (－3)＝g (－3)－5＝－g (3)－5＝5，∴g (3)＝－10，∴f (3)＝g (3)－5＝－15.4．若f (x )在[－5,5]上是奇函数，且f (3)<f (1)，则下列各式中一定成立的是( )A ．f (－1)<f (－3)B ．f (0)>f (1)C ．f (2)>f (3)D ．f (－3)<f (5)[答案] A[解析] ∵f (3)<f (1)，∴－f (1)<－f (3)，∵f (x )是奇函数，∴f (－1)<f (－3)．5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x －3，则f (－2)的值等于( )A ．－1B ．1 C.114D ．－114[答案] A[解析] ∵x >0时，f (x )＝2x －3，∴f (2)＝22－3＝1，又f (x )为奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－1.6．设f (x )在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f (x )为偶函数，则f (x )在[1,2]上( )A ．为减函数，最大值为3B ．为减函数，最小值为－3C ．为增函数，最大值为－3D ．为增函数，最小值为3[答案] D[解析] ∵f (x )在[－2，－1]上为减函数，最大值为3，∴f (－1)＝3，又∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[1,2]上为增函数，且最小值为f (1)＝f (－1)＝3.7．(胶州三中高一模块测试)下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝－x 2＋1C ．y ＝|x |＋1D ．y ＝2－|x | [答案] C[解析] 由偶函数，排除A ；由在(0，＋∞)上为增函数，排除B ，D ，故选C.8．(09·辽宁文)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 ` D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 [答案] A[解析] 由题意得|2x －1|<13⇒－13<2x －1<13⇒23<2x <43⇒13<x <23，∴选A.9．若函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝( )A ．1B ．－1C ．0D ．不存在[答案] B[解析] 解法1：f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a 为偶函数，∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.解法2：∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴对任意x ∈R ，有f (－x )＝f (x )恒成立，∴f (－1)＝f (1)，即0＝2(1＋a )，∴a ＝－1.10．奇函数f (x )当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－2x ＋3，则f (1)与f (2)的大小关系为( )A ．f (1)<f (2)B ．f (1)＝f (2)C ．f (1)>f (2)D ．不能确定 [答案] C[解析] 由条件知，f (x )在(－∞，0)上为减函数，∴f (－1)<f (－2)，又f (x )为奇函数，∴f (1)>f (2)．[点评] 也可以先求出f (x )在(0，＋∞)上解析式后求值比较，或利用奇函数图象对称特征画图比较．二、填空题11．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)为偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的奇偶性为________．[答案] 奇函数[解析] 由f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)为偶函数得b ＝0，因此g (x )＝ax 3＋cx ，∴g (－x )＝－g (x )，∴g (x )是奇函数．12．偶函数y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，则方程f (x )＝0的所有根之和为________．[答案] 0[解析] 由于偶函数图象关于y 轴对称，且与x 轴有三个交点，因此一定过原点且另两个互为相反数，故其和为0.三、解答题13．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x (x >0)x 2＋x (x ≤0)； (2)f (x )＝1x 2＋x. [解析] (1)f (－x )＝⎩⎨⎧ x 2－x (x ≥0)－x 2－x (x <0)，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)f (－x )＝1x 2－x≠f (x )，f (－x )≠－f (x )，∴f (x )既不是奇函数，又不是偶函数．14．已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，求f (x )，g (x )的表达式．[解析] f (－x )＋g (－x )＝x 2－x －2，由f (x )是偶函数，g (x )是奇函数得，f (x )－g (x )＝x 2－x －2又f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，两式联立得：f (x )＝x 2－2，g (x )＝x .15．函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，求函数f (x )的解析式．[解析] 因为f (x )是奇函数且定义域为(－1,1)，所以f (0)＝0，即b ＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，所以12a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝25， 所以a ＝1，所以f (x )＝x 1＋x 2. 16．定义在(－1,1)上的奇函数f (x )是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)<0，求实数a 的取值范围．[解析] 由f (1－a )＋f (1－a 2)<0及f (x )为奇函数得，f (1－a )<f (a 2－1)，∵f (x )在(－1,1)上单调减，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a<1－1<1－a 2<11－a >a 2－1 解得0<a <1.故a 的取值范围是{a |0<a <1}．17．f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f (x )的解析式，并画出其图象．[解析] 设x ≥0时，f (x )＝a (x －1)2＋2，∵过(3，－6)点，∴a (3－1)2＋2＝－6，∴a ＝－2.即f (x )＝－2(x －1)2＋2.当x <0时，－x >0，f (－x )＝－2(－x －1)2＋2＝－2(x ＋1)2＋2，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2(x ＋1)2－2，即f (x )＝⎩⎨⎧ －2(x －1)2＋2 (x ≥0)2(x ＋1)2－2 (x <0)，其图象如图所示．。
函数奇偶性练习题及答案
函数的奇偶性练习题1、判断以下函数的奇偶性。
〔1〕x xx x f -+-=11)1()(〔非奇非偶〕〔2〕 2|2|)1lg()(2---=x x x f 〔奇〕〔3〕33)(22-+-=x x x f 〔奇偶〕 〔4〕2||)(2+--=a x x x f 〔a=0，偶；a ≠0，非奇非偶〕 〔5〕1212)(-+=x x x f 〔奇〕 〔6〕)1lg(2x x y ++=〔奇〕 〔7〕1cos sin ()1cos sin x xf x x x-+=++ 〔8〕1()x f x +-=(奇)2、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，对于R x ∈∀，都有)23()23(x f x f --=+成立。
〔1〕证明：)(x f 是周期函数，并指出周期。
)()()]23(23[]23)23[()3()()(),23()23(x f x f x f x f x f x f x f x f x f =--=+--=++=+∴=---=+ 所以，)(x f 是周期函数，且3=T 〔2〕假设2)1(=f ，求)3()2(f f +的值。
-23．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1=〔 A 〕A ．-3B ．-1C ．１D ．３4．函数)(x f 的定义域为()()+∞⋃∞-,11,，且)1(+x f 为奇函数，当1>x 时， 16122)(2+-=x x x f ，则直线2=y 与函数)(x f 图象的所有交点的横坐标之和是〔 D 〕A ．1B ．2C ．4D ．5解：f(x+1)是奇函数所以 f(x+1)的图像关于(0,0)对称，且f(0+1)=0f(x+1)的图像向右平移1个单位，得到f(x)所以 f(x)的图像关于(1,0)对称, f(1)=0则当 x>1时〔1〕 2x²-12x+16=2x²-6x+7=0x=3±√2 两根都大于1即x>1时，y=2与函数f(x)图像交点的横坐标为3±√2〔2〕 2x²-12x+16=-2x²-6x+9=0x=3所以 x=3时，y=-2(3,-2)关于(1,0)的对称点为〔-1,2〕即 x<1时，y=2与函数f(x)图像交点的横坐标为-1所以 ，直线y=2与函数f(x)图象的所有交点的横坐标之和是3+√2+3-√2+(-1)=55.下面四个结论中，正确命题的个数是 ( A )①偶函数的图象一定与y 轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y 轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f 〔x 〕=0〔x ∈R 〕A.1B.2C.36.设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知x ∈(0,1)时，)1(log )(21x x f -=，则函数f (x )在(1,2)上( D )A ．是增函数，且f (x )<0B ．是增函数，且f (x )>0C ．是减函数，且f (x )<0D ．是减函数，且f (x )>07．已知函数)(x f y =，R x ∈，有以下4个命题：①假设)21()21(x f x f -=+，则)(x f 的图象关于直线1=x 对称；②)2(-x f 与)2(x f -的图象关于直线2=x 对称；③假设)(x f 为偶函数，且)()2(x f x f -=+，则)(x f 的图象关于直线2=x 对称；④假设)(x f 为奇函数，且)2()(--=x f x f ，则)(x f 的图象关于直线1=x 对称.其中正确命题的个数为 〔C 〕.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 分析：①先用换元法将f 〔1+2x 〕=f 〔1-2x 〕转化，再由转化后的形式判断对称轴的方程．②y=f 〔x-2〕与y=f 〔2-x 〕的图象关于直线x=2对称可转化为证明y=f 〔x 〕与y=f 〔-x 〕的图象关于直线x=0对称的问题，再结合图象的平移知识进行判断．③用-x 换x ，由题设条件和偶函数的性质得，f 〔2-x 〕=-f 〔-x 〕=-f 〔x 〕=f 〔2+x 〕，故f 〔x 〕的图象关于直线x=2对称． ④用-x 换x ，由题设条件和奇函数的性质得，f 〔-x 〕=f 〔x-2〕，故y=f 〔x 〕的图象关于直线x=-1对称． 解答：解：①令t=1+2x ，可得2x=t-1，代入f 〔1+2x 〕=f 〔1-2x 〕得f 〔t 〕=f 〔2-t 〕由于|t-1|=|2-t-1|，故可知函数y=f 〔x 〕图象关于直线x=1对称即y=f 〔x 〕的图象关于直线x=1对称，故①是真命题．②由题设知y=f 〔2-x 〕=f[-〔x-2〕]由于函数y=f 〔x 〕与y=f 〔-x 〕的图象关于直线x=0对称，又y=f 〔x-2〕与y=f 〔2-x 〕的图象可由函数y=f 〔x 〕与y=f 〔-x 〕的图象右移动2个单位而得到， ∴y=f 〔x-2〕与y=f 〔2-x 〕的图象关于直线x=2对称，故②是真命题．③f 〔x 〕为偶函数，且f 〔2+x 〕=-f 〔x 〕，用-x 换x 得，f 〔2-x 〕=-f 〔-x 〕=-f 〔x 〕=f 〔2+x 〕 ∴f 〔x 〕的图象关于直线x=2对称，故③是真命题．④∵y=f 〔x 〕为奇函数，且f 〔x 〕=f 〔-x-2〕，用-x 换x 得，f 〔-x 〕=f 〔x-2〕，∴y=f 〔x 〕的图象关于直线x=-1对称，故④是假命题．故选C ．8.设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于〔 B 〕A.0.5B.C.D.9．设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋4的所有x 之和为( C ) A ．－3 B ．3 C ．－8 D ．810.已知函数f (x )满足：f (1)＝2，)(1)(1)1(x f x f x f -+=+，则f (2011)等于( C ) A ．2 B ．－3 C ．－12 D.13[解析] 由条件知，f (2)＝－3，f (3)＝－12，f (4)＝13，f (5)＝f (1)＝2，故f (x ＋4)＝f (x ) (x ∈N *)．∴f (x )的周期为4，故f (2011)＝f (3)＝－12.[点评] 严格推证如下：f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f (x )．即f (x )周期为 11.函数y ＝log 22－x 2＋x的图象( A ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称12.已知f 〔x 〕是奇函数，当x ∈〔0，1〕时，f 〔x 〕=lgx +11，那么当x ∈〔－1，0〕时，f 〔x 〕的表达式是__________.解析：当x ∈〔－1，0〕时，－x ∈〔0，1〕，∴f 〔x 〕=－f 〔－x 〕=－lg x-11=lg 〔1－x 〕.答案：lg 〔1－x 〕13.定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ＞0时，f (x )＝2008x ＋log 2008x ，则方程f (x )＝0的实根的个数为 3 .14．假设y ＝〔m －1〕x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________．0解析：因为函数y ＝〔m －1〕x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f 〔－x 〕＝f 〔x 〕，即〔m －1〕〔－x 〕2＋2m 〔－x 〕＋3＝〔m —1〕x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．(15.已知函数f(x)定义域为R ，则以下命题：①y=f(x)为偶函数，则y=f(x+2)的图像关于y 轴对称；②y=f(x+2)为偶函数，则y=f(x)的图像关于直线x=2对称；③假设函数f(2x+1)是偶函数，则f(2x)的图像关于直线x=1/2对称； ④假设f(x-2)=f(2-x),则y=f(x)的图像关于直线x=2对称；⑤y=f(x-2)和y=f(2-x)的图像关于x=2对称。
函数的奇偶性练习题含答案
函数的奇偶性练习题（1）1.如图，函数y =f(x)的图象为折线ABC ，设g (x)=f[f(x)]，则函数y =g(x)的图象为（ ）A. B.C.D.2. 设x ，y 为实数，且满足{(x −1)3+2019(x −1)=−5，(y −1)3+2019(y −1)=5，则x +y =( ) A.2B.5C.10D.20193. 已知y =f (x )在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=2x +m ，则f (−2)=( )A.−3B.54C.−54D.34. 下列函数中，是偶函数的为( )A.y =|x|B.y =x 3C.y =(12)xD.y =log 2x<0的解集为5. 设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，且f(1)=0，则不等式f(x)−f(−x)x（）A.(−1,0)∪(1,+∞)B.(−∞,−1)∪(0,1)C.(−∞,−1)∪(1,+∞)D.(−1,0)∪(0,1)6. 已知f(x)满足对∀x∈R，f(−x)+f(x)=0，且x≥0时，f(x)=e x+m（m为常数），则f(−ln5)的值为( )A.4B.−4C.6D.−67. 已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则g(x)+g(−x)的值为（）A.2B.0C.1D.不能确定8. 已知函数f(x)是偶函数，且f(5−x)＝f(5+x)，若g(x)＝f(x)sinπx，ℎ(x)＝f(x)cosπx，则下列说法正确的是（）A.函数y＝g(x)是偶函数B.10是函数f(x)的一个周期C.对任意的x∈R，都有g(x+5)＝g(x−5)D.函数y＝ℎ(x)的图象关于直线x＝5对称9. 下列函数中，既是偶函数又在(0, +∞)上单调递减的函数是（）A.y＝x3B.y＝|x|C.y＝−x2+1D.y＝10. 已知函数f(x)＝x5+ax3+bx−6，且f(−2)＝10，则f(2)＝________．11. 设奇函数f(x)的定义域为[−6, 6]，当x∈[0, 6]时，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为________．12. 定义在[−2,2]上的奇函数f(x)，已知当x∈[−2,0]时，f(x)=2x+a⋅3x(a∈R)，则f(x)在[0,2]上的解析式为________．（化成最简形式）13. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时f(x)＝x2，若对任意的x∈[a−1, a+1]，恒有f(x2+a)>a2f(x)，则实数a的取值范围为________．14. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2−x，则不等式f(x)>0的解集用区间表示为________．15. 已知函数f(x)＝lg3−x3+x（1）判断并证明函数f(x)的奇偶性；（2）当x≥0时函数g(x)与f(x)相同，且g(x)为偶函数，求g(x)＝的定义域及其表达式．16. 已知定义在R上的函数f(x)满足：（1）f(2−x)=f(x)；（2）f(x+4)=f(x)（3）x1，x2∈[1, 3]时，(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0．则f(2018)，f(2019)，f(2020)大小关系（）A.f(2018)>f(2019)>f(2020)B.f(2020)>f(2018)>f(2019)C.f(2020)=f(2018)>f(2019)D.f(2018)>f(2019)=f(2020)17. 定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2−4x．（1）设g(x)＝f(x)，x∈[−4, 4]，求函数g(x)的值域；（2）当m>0时，若|f(m)|＝3，求实数m的值．参考答案与试题解析函数的奇偶性练习题（1）一、选择题（本题共计 7 小题，每题 5 分，共计35分）1.【答案】A【考点】函数的图象变换函数奇偶性的性质【解析】函数y=f(x)的图象为折线ABC，其为偶函数，所研究x≥0时g(x)的图象即可，首先根据图象求出x≥0时f(x)的图象及其值域，再根据分段函数的性质进行求解，可以求出g(x)的解析式再进行判断；【解答】解：函数y=f(x)的图象为折线ABC，函数f(x)为偶函数，我们可以研究x≥0的情况即可，若x≥0，可得B(0, 1)，C(1, −1)，则直线BC的方程为：l BC:y=−2x+1，x∈[0, 1]，其中−1≤f(x)≤1；若x<0，可得l AB:y=2x+1，∴f(x)={−2x+1(0≤x≤1),2x+1(−1≤x<0),我们讨论x≥0的情况：如果0≤x≤12，解得0≤f(x)≤1，此时g(x)=f[f(x)]=−2(−2x+1)+1=4x−1；若12<x≤1，解得−1≤f(x)<0，此时g(x)=f[f(x)]=2(−2x+1)+1=−4x+3；∴x∈[0, 1]时，g(x)={4x−1(0≤x≤12),−4x+3(12<x≤1).故选A.2.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质【解析】将方程组中的方程，形式化成相同，构造函数f(t)=t3+1997t+1，确定函数f(t)为单调递增函数，即可求得结论．【解答】解：设函数f(m)=(m−1)3+2019(m−1)，则f(1+m)=(1+m−1)3+2019(1+m−1)=m3+2019m，f(1−m)=(1−m −1)3+2019(1−m −1)=−m 3−2019m ，所以f(1+m)+f(1−m)=0，所以函数f(m)关于(1,0)中心对称，又因为{(x −1)3+2019(x −1)=−5，(y −1)3+2019(y −1)=5所以f(x)+f(y)=0，所以x +y =2.故选A .3.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质【解析】根据题意，f (x )为定义在R 上的奇函数，可知f (0)=0，即可求出m =−1，即当x ≥0时f (x )=2x −1，可得f (2)=22−1=3，再根据f (x )为奇函数，可得f (−2)=−f (2)=−3．【解答】解：根据题意，f (x )为定义在R 上的奇函数，则f (0)=20+m =0，解得：m =−1.∵ 当x ≥0时，f (x )=2x −1，∴ f (−2)=−f (2)=−(22−1)=−3.故选A ．4.【答案】A【考点】函数奇偶性的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：A ．该函数定义域为R ，设y =f(x)，f(−x)=|−x|=|x|=f(x)，是偶函数； B ．该函数定义域为R ，设y =f(x)，f(−x)=(−x)3=−x 3=−f(x)，是奇函数； C ．该函数定义域为R ，设y =f(x)，f(−x)=(12)−x ≠f(x)， f(−x)=(12)−x ≠−f(x)，该函数是非奇非偶函数；D ．该函数定义域为(0,+∞)，不关于原点对称，该函数是非奇非偶函数.故选A .5.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合此题暂无解析【解答】∵f(x)为奇函数，f(−x)=−f(x)，∴f(x)−f(−x)x <0⇔2f(x)x<0．∵f(x)在(0,+∞)上为增函数，且f(1)=0，∴f(x)在(−∞,0)上为增函数，且f(−1)=0，∴不等式f(x)x<0的解集为(−1,0)∪(0,1)．6.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质【解析】首先利用奇偶性，求出m，再利用奇偶性求值即可.【解答】解：∵f(x)满足对∀x∈R，f(−x)+f(x)=0，故f(−x)=−f(x)，故f(0)=0，∵x≥0时，f(x)=e x+m，∴f(0)=1+m=0，解得m=−1，即x≥0时，f(x)=e x−1，则f(ln5)=4，∴f(−ln5)=−f(ln5)=−4.故选B.7.【答案】A【考点】奇偶函数图象的对称性【解析】利用奇函数的定义可把已知转化为f(t)+f(2−t)=0，从而可得函数f(x)关于(1, 0)对称，函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则g(x)关于(0, 1)对称，代入可求．【解答】解：∵函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数∴f(−2x+1)=−f(2x+1)令t=1−2x代入可得f(t)+f(2−t)=0函数f(x)关于(1, 0)对称由函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称函数g(x)关于(0, 1)对称从而有g(x)+g(−x)=2故选A二、多选题（本题共计 2 小题，每题 5 分，共计10分）8.B,C,D【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．【解答】根据题意，依次分析选项：对于A，g(x)＝f(x)sinπx，g(−x)＝f(−x)sinπ(−x)＝−f(−x)sinπx，又由函数f(x)是偶函数，则g(−x)＝−f(x)sinπx，即函数g(x)为奇函数，A错误对于B，由于f(x)是偶函数，且f(5−x)＝f(5+x)，得f(5−x)＝f(5+x)＝f(x−5)，即f(10+x)＝f(x)，则f(x)是周期为10的周期函数，所以ℎ(x+10)＝f(x+10)cos(πx+10π)＝f(x)cosπx＝ℎ(x)，则y＝ℎ(x)是的最小正周期为10，故B正确；对于C，g(x+5)＝f(x+5)sin（π(x+5)）＝f(5−x)sin(πx+5π)＝f(5−x)(−sinπx)＝−f(x−5)(−sinπx)＝f(x−5)sinπx＝g(x−5)，故C正确；对于D，ℎ(5−x)＝f(5−x)cos(5π−5x)＝f(5+x)cos(5x−5π)＝f(5+x)cos(5x−5π+10π)＝f(5+x)cos(5x+5π)＝ℎ(5+x)，所以函数y＝ℎ(x)的图象关于直线x＝5对称，D正确；9.【答案】C,D【考点】函数单调性的性质与判断函数奇偶性的性质与判断奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】对于A，y＝x3为奇函数，所以该选项不符合题意；对于B，x>0时，y＝|x|＝x，所以函数y＝|x|的(0, +∞)上为增函数，所以该选项不符合题意；对于C，该函数定义域为R，设y＝f(x)，显然f(−x)＝f(x)，所以该函数为偶函数，且该函数在(0, +∞)上单调递减，所以该选项符合题意；对于D，该函数定义域为{x|x≠0}，设y＝f(x)，显然f(−x)＝f(x)，所以该函数为偶函数，且该函数在(0, +∞)上单调递减，可知该选项符合题意．三、填空题（本题共计 5 小题，每题 5 分，共计25分）10.【答案】−22【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据奇函数的性质建立方程组关系进行求解决即可．∵f(x)＝x5+ax3+bx−6，且f(−2)＝10，∴f(−2)＝−25−a⋅23−2b−6＝10，则f(2)＝25+a⋅23−2b−6，两式相加得10+f(2)＝−6−6＝−12，则f(2)＝−10−12＝−22，11.【答案】[−6, −3)∪(0, 3)【考点】函数的图象与图象的变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】3−x−2−x【考点】函数奇偶性的性质函数解析式的求解及常用方法【解析】由题意设x>0利用已知的解析式求出f(−x)=x2+2x，再由f(x)=−f(−x)，求出x>0时的解析式．【解答】解：∵ f(x)为奇函数，∴ f(0)=20+a⋅30=1+a=0，∴ a=−1，f(x)=2x−3x.∴ 在x∈[0,2]上时，f(x)=−f(−x)=3−x−2−x.故答案为：3−x−2−x.13.【答案】(0, +∞)【考点】函数奇偶性的性质与判断函数恒成立问题【解析】由当x≥0时，f(x)＝x2，函数是奇函数，可得当x<0时，f(x)＝−x2，从而f(x)在R上是单调递增函数，且满足a2f(x)＝f(ax)，再根据不等式f(x2+a)>a2f(x)＝f(ax)，在x∈[a−1, a+1]，恒成立，利用二次函数的性质，可得不等式，即可得出答案．【解答】当x≥0时，f(x)＝x2，∵函数是奇函数，∴当x<0时，f(x)＝−x2，∴f(x)={x2,x≥0，−x2,x<0∴f(x)在R上是单调递增函数，且满足a2f(x)＝f(ax)，∵不等式f(x2+a)>a2f(x)＝f(ax)在x∈[a−1, a+1]恒成立，∴x2+a>ax在x∈[a−1, a+1]恒成立，令g(x)＝x2−ax+a，函数的对称轴为x=a2，当a2<a−1，即a>2时，不等式恒成立，可得g(a−1)＝(a−1)2−a(a−1)+a＝1>0，恒成立；当a−1≤a2≤a+1，即−2≤a≤2时，不等式恒成立，可得g(a2)＝( a2)2−a(a2)+a>0恒成立，解得a∈(0, 2]；当a2>a+1，即a<−2时，不等式恒成立，可得g(a+1)＝(a+1)2−a(a+1)+a＝2a+1>0不恒成立；综上：a>0．14.【答案】(−1, 0)∪(1, +∞)【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据条件可设x<0，从而得出f(−x)＝x2+x＝−f(x)，即得出x<0时，f(x)＝−x2−x，这样即可得出：x>0时，由f(x)>0得出x2−x>0；x<0时，由f(x)> 0得出−x2−x>0，解出x的范围即可．【解答】∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x>0时，f(x)＝x2−x，∴设x<0，−x>0，则f(−x)＝x2+x＝−f(x)，∴f(x)＝−x2−x，∴ ①x>0时，由f(x)>0得，x2−x>0，解得x>1；②x<0时，由f(x)>0得，−x2−x>0，解得−1<x<0，∴原不等式的解集为(−1, 0)∪(1, +∞)．四、解答题（本题共计 3 小题，每题 10 分，共计30分）15.【答案】根据题意，函数f(x)＝lg3−x3+x是奇函数，证明：对于函数f(x)＝lg3−x3+x ，必有3−x3+x>0，解可得：−3<x<3，即函数的定义域为(−3, 3)，关于原点对称，又由f(x)+f(−x)＝lg3−x3+x +lg3+x3−x=lg1＝0，则有f(−x)＝−f(x)，则函数f(x)为奇函数；根据题意，有（1）的结论，函数f(x)的定义域为(−3, 3)，当0≤x<3时，g(x)＝f(x)＝lg3−x3+x，设−3<x<0，则0<−x<3，则g(−x)＝lg 3+x 3−x ，又由函数g(x)为偶函数，则g(x)＝lg 3+x 3−x ，综合可得：g(x)={lg 3+x 3−x ,−3<x <0lg 3−x 3+x ,0≤x <3． 【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）根据题意，先求出函数f(x)的定义域，进而分析可得f(x)+f(−x)＝0，由函数奇偶性的定义分析可得答案；（2）根据题意，分2种情况讨论：当0≤x <3时，g(x)＝f(x)＝lg3−x 3+x ，当−3<x <0，利用偶函数的性质求出g(x)的解析式，综合即可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)＝lg 3−x 3+x 是奇函数，证明：对于函数f(x)＝lg 3−x 3+x ，必有3−x 3+x >0，解可得：−3<x <3，即函数的定义域为(−3, 3)，关于原点对称，又由f(x)+f(−x)＝lg 3−x 3+x +lg 3+x 3−x =lg 1＝0，则有f(−x)＝−f(x)，则函数f(x)为奇函数；根据题意，有（1）的结论，函数f(x)的定义域为(−3, 3)，当0≤x <3时，g(x)＝f(x)＝lg 3−x 3+x ，设−3<x <0，则0<−x <3，则g(−x)＝lg 3+x 3−x ，又由函数g(x)为偶函数，则g(x)＝lg3+x 3−x ， 综合可得：g(x)={lg 3+x 3−x ,−3<x <0lg 3−x 3+x ,0≤x <3． 16.【答案】，f(2019)=f，f(2020)=f(0)=f，故f （2020）=f （2018）＞f （2019），【考点】抽象函数及其应用【解析】根据已知可得函数 f (x)的图象关于直线x =1对称，周期为4，且在[1, 3]上为减函数，进而可比较f(2018)，f(2019)，f(2020)的大小．【解答】，f(2019)=f，f(2020)=f(0)=f，故f(2020)=f(2018)>f(2019)，17.【答案】根据题意，f(x)为定义在R 上的奇函数，则f(0)＝0，则有g(0)＝0，当0<x <4时，f(x)＝x 2−4x ，此时g(x)＝x 2−4x ，当−4<x <0时，0<−x <4，f(−x)＝x 2−4x ，又由f(x)为奇函数，则f(x)＝−f(−x)＝−x 2−4x ，此时g(x)＝−x 2−4x ；综合可得：g(x)=f(x)={−x 2−4x,x <00,x =0x 2−4x,x >0当−4≤x ≤0时，0≤g(x)≤4；当0<x ≤4时，−4≤g(x)≤0．g(x)的值域为[−4, 4]根据题意，m >0时，|f(m)|={−m 2+4m,0<m ≤4m 2−4m,m >4， 1)当0<m ≤4时，令−m 2+4m ＝3，解得m ＝1或m ＝3；2)当m >4时，令m 2−4m ＝3，解得m =2+√7或m =2−√7（舍去）综合1)，2)得m ＝1或m ＝3或m =2+√7【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）根据题意，由函数的解析式以及奇函数的性质分析可得g(x)的解析式，进而分析可得答案；（2）根据题意，m >0时，|f(m)|={−m 2+4m,0<m ≤4m 2−4m,m >4，据此分析可得答案． 【解答】根据题意，f(x)为定义在R 上的奇函数，则f(0)＝0，则有g(0)＝0，当0<x <4时，f(x)＝x 2−4x ，此时g(x)＝x 2−4x ，当−4<x <0时，0<−x <4，f(−x)＝x 2−4x ，又由f(x)为奇函数，则f(x)＝−f(−x)＝−x 2−4x ，此时g(x)＝−x 2−4x ；综合可得：g(x)=f(x)={−x 2−4x,x <00,x =0x 2−4x,x >0当−4≤x ≤0时，0≤g(x)≤4；当0<x ≤4时，−4≤g(x)≤0．g(x)的值域为[−4, 4]根据题意，m >0时，|f(m)|={−m 2+4m,0<m ≤4m 2−4m,m >4，1)当0<m≤4时，令−m2+4m＝3，解得m＝1或m＝3；2)当m>4时，令m2−4m＝3，解得m=2+√7或m=2−√7（舍去）综合1)，2)得m＝1或m＝3或m=2+√7。
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函数的基本性质2 [基础训练A 组] 一、选择题
1．已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，
则m 的值是（ ） A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 2．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A ．)2()1()2
3(f f f <-<- B ．)2()2
3()1(f f f <-<- C ．)2
3()1()2(-<-<f f f D ．)1()2
3()2(-<-<f f f
3．如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5， 那么)(x f 在区间[]3,7--上是（ ）
A ．增函数且最小值是5-
B ．增函数且最大值是5-
C ．减函数且最大值是5-
D ．减函数且最小值是5- 4．设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --= 在R 上一定是（ ）
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数。
5．下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是（ ） A ．x y = B ．x y -=3 C ．x
y 1
=
D ．42+-=x y 6．函数)11()(+--=x x x x f 是（ ） A ．是奇函数又是减函数 B ．是奇函数但不是减函数 C ．是减函数但不是奇函数 D ．不是奇函数也不是减函数
二、填空题
1．设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[0,5]x ∈时， )(x f 的图象如右图,则不等式
()0f x <的解是
2．函数2y x =________________。
3．已知[0,1]x ∈，则函数y =的值域是 .
4．若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是 .
5．下列四个命题
（1）()f x ; （2）函数是其定义域到值域的映射;
（3）函数2()y x x N =∈的图象是一直线；（4）函数22,0
,0
x x y x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩的图象是抛物线，
其中正确的命题个数是____________。
三、解答题
1．判断一次函数,b kx y +=反比例函数x
k
y =，二次函数c bx ax y ++=2的 单调性。
2．已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且同时满足下列条件：（1）()f x 是奇函数； （2）()f x 在定义域上单调递减；（3）2(1)(1)0,f a f a -+-<求a 的取值范围。
3．利用函数的单调性求函数x x y 21++=的值域；
4．已知函数[]2
()22,5,5f x x ax x =++∈-.
① 当1a =-时，求函数的最大值和最小值；
② 求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数。
[综合训练B 组] 一、选择题
1．下列判断正确的是（ ）
A ．函数22)(2--=x x x x f 是奇函数 B
．函数()(1f x x =-
C
．函数()f x x = D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(],40-∞ B ．[40,64] C ．(][),4064,-∞+∞ D ．[)64,+∞ 3
．函数y ）
A ．(]2,∞-
B ．(]
2,0
C ．[)+∞,2
D ．[)+∞,0
4．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数， 则实数a 的取值范围是（ ）
A ．3a ≤-
B ．3a ≥-
C ．5a ≤
D ．3a ≥
5．下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数；(2)若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则2
80b a -<且0a >；(3) 223y x x =--的递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+
和y =
表示相等函数。
其中正确命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）
二、填空题
1．函数x x x f -=2
)(的单调递减区间是____________________。
2．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2
-+=x x x f ，
那么0x <时，()f x = . 3．若函数2()1
x a
f x x bx +=
++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________.
4．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，
最小值为1-，则2(6)(3)f f -+-=__________。
5．若函数2()(32)f x k k x b =-++在R 上是减函数，则k 的取值范围为__________。
三、解答题
1．判断下列函数的奇偶性
（1
）()22
f x x =+- （2）[][]()0,6,22,6f x x =∈--
[提高训练C 组] 一、选择题
1．已知函数()()0f x x a x a a =+--≠，()()()
2200x x x h x x x x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩， 则()(),f x h x 的奇偶性依次为（ ）
A ．偶函数，奇函数
B ．奇函数，偶函数
C ．偶函数，偶函数
D ．奇函数，奇函数
2．若)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,，且在[)+∞,0上是减函数，
则)252()23(2
++-a a f f 与的大小关系是（ ）
A ．)23(-f >)252(2++a a f
B ．)23(-f <)252(2
++a a f
C ．)23(-f ≥)252(2++a a f
D ．)23(-f ≤)2
52(2
++a a f
3．已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，
则a 的范围是（ ） A .2a ≤- B .2a ≥-
C .6-≥a
D .6-≤a
4．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=， 则()0x f x ⋅<的解集是（ ）
A ．{}|303x x x -<<>或
B ．{}
|303x x x <-<<或 C ．{}|33x x x <->或 D ．{}
|3003x x x -<<<<或
5．已知3
()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的
值等于( )
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．10-
6．函数33
()11f x x x =++-,则下列坐标表示的点一定在函数f (x )图象上的是（ ）
A ．(,())a f a --
B ．(,())a f a -
C ．(,())a f a -
D ．(,())a f a ---
二、填空题
1．设()f x 是R 上的奇函数，且当[)0,x ∈+∞时，()(1f x x =，
则当(,0)x ∈-∞时()f x =_____________________。
2．若函数()2f x a x b =-+在[)0,x ∈+∞上为增函数,则实数,a b 的取值范围是 。
3．已知2
21)(x x x f +=，那么
)41
()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝_____。
4．若1
()2ax f x x +=
+在区间(2,)-+∞上是增函数，则a 的取值范围是 。
5．函数4
()([3,6])2
f x x x =
∈-的值域为____________。
三、解答题
1．已知函数()f x 的定义域是),0(+∞，且满足()()()f xy f x f y =+,1()12
f =,
如果对于0x y <<,都有()()f x f y >, （1）求(1)f ；
（2）解不等式2)3()(-≥-+-x f x f 。
2．已知2
2
()444f x x ax a a =-+--在区间[]0,1内有一最大值5-，求a 的值.。