概率论复习1

切贝雪夫不等式 随机变量的X方差存在,ε >0:
P (| X EX | ) DX
2
或 P (| X EX | ) 1
DX
2
证明：(就连续型
) P (| X EX | )
p ( x ) dx
| x EX |


| x EX |
单选题
*设A，B为两事件，AB，则不能推出结论____ ①P(AB)=P(A) ③P(AB)=P(A)-P(B) ②P(AUB)=P(B) ④P(AB)=P(B)-P(A) *设离散型随机变量的分布列为 x -1 0 1 2 其分布函数为F(x),则F(3/2)=___ p 0.1 0.2 0.3 0.4 ① 0.1 ② 0.3 ③ 0.6 ④ 1.0
1
1

1
2 dx 2 x
1 1
4
单项选择题１.Ｃ
x p(x ) 0

1 x 1 其它 .
∴不选Ｃ
首先 p ( x ) 不是非负的 再

p ( x ) dx p ( x ) dx
1
1
p ( x ) dx p ( x ) dx
概率论部分
㈠基础知识：事件,运算,概率的定 义及计算,事件的关系,古典概型,几 何概型,贝努里概型； ㈡随机变量：定义，分布，类型， 分布列、概率密度函数、分布函数， 联合分布与边际分布； ㈢数字特征：定义，计算，性质。
概率的基本概念
事件 随机事件 不可能事件 必然事件 包含 相等
交与并
不相容(互斥)
2
x
3
1
3 1

2 3
单项选择题２
f (x ) 1 2 2
2 ( x 1 ) 8
2
e
1, 4 , X ~ N (1, 4 ) DX 4 .
∴选Ｃ
单项选择题３
Ａ：至少击中一次； Ｂ：至多击中一次；∴选B Ｃ：恰好击中一次； Ｄ：三次皆不中。
单项选择题４
ＦＹ(y)=P(Y≤y) =P(X≤+∞,Y≤y) =F(+∞,y)∴选Ｄ
离散型随机变量
离散型的分布列为 xk x1 x2 … xn p k=P(X=xk) p1 p2 … pn 则要求:1. pk≥0 2. ∑pk=1 而EX= ∑xk pk(要求绝对收敛.) 2= ∑x 2 p EX k k 2－(EX) 2 DX= EX
连续型随机变量
连续型的概率密度函数为p(x), 则要求:1. p(x)≥0 2.∫p(x)dx=1 而EX=∫xp(x)dx(要求绝对收敛) 2=∫x2p(x)dx EX 2－(EX) 2 DX= EX
时,X与Y独立吗?
24 x 2 y (1 x ) p ( x, y) 0
0 x 1, 0 y 1 其它
√
㈤以下三个中___可以是分布列;
练习题选
1 k ( k 1) k 1, 2 , 3 ,...
A) B)
1 1 k P ( k ) ( ) k 0 ,1, 2 ,... 2 3 1 k P ( k ) ( ) k 1, 2 , 3 ,... 2
*设X~N(μ,σ2),以下结论错误的是___;
① P{μ-2σ<X<μ+2σ}与μ，σ无关 ② P{X<μ}=1/2
③ E(X-μ)=0
④ D(X-μ)=0
练习题选
*设X~P(2)，则有___成立； ① D(2X-3)=1 ③ D(2X-3)=7 ② D(2X-3)=5 ④ D(2X-3)=8
*X，Y同分布N(μ,σ2)，且相互独立，下
Ax 2 ( x 2 ) 2 p(x ) 0 0 x2
*设P(A)=0，B为任一事件，则___; ①A=φ ②AB ③A与B相互独立 ④A与B互不相容 *A、B为任意两个事件，若A、B之积为不 可能事件，则称____; ①A与B相互独立 ②A与B互不相容 ③A与B互为对立事件 ④A与B为样本空间Ω的一个剖分
面各式不成立的是___;
① E(2X-2Y)=0
③ D(2X-2Y)=7
② E(2X+2Y)=4E(X)
④ X与Y不相关
练习题选 计算题：
*设随机变量X的分布函数为
A (1 x ) e F(x)= 0
x
x 0 x 0
求：⑴常数A；⑵X的密度函数 p(x)；⑶P{X≤1}
数字特征的性质
数字特征的性质： 1.E(aX+b)=aE(X)+b 2.E(X±Y)=E(X)±E(Y) 3.E(X*Y)=E(X)*E(Y)? 4.D(aX+b)=a2D(X) 5.D(X±Y)=D(X)+D(Y)? 6.D(X*Y)=D(X)*D(Y)????
练习题选讲
㈠如事件AB,则：A∩B=A,A∪B=B,
单项选择题
单 项 选 择 题
填空题
1/120 0.76 0.42
0.4
填空题
80/81 2 3
1 e 3 x 0
x0 其它
2
1/4
填 空 题
1/3
填空题
8 2
0.0062 N(0,1)
简答题简答题计算题计算题练习题选
*设X~B(10,1/3)，则D(X)/E(X)=___; ① 1/3 ③1 ② 2/3 ④ 10/3
A-B=φ,P(B-A)=P(B)-P(A),B-A=B-AB,
A与B独立吗？不会不相容吗？ ㈡事件A与B既相互独立又不相容,可能吗？
练习 1)如AB，则
A∪B= B P(A∩B)= 0 A∩B= A P(B) P(A∪B)= P(B) P(A∪B)= √ P(A∩B)= P(A) A与B独立吗？ P(B-A)= P(B)- P(A) P(A-B)= 0
C 1 x
2
*随机变量X的概率密度函数为p(x)= (-∞<x<+∞),则常数C=___ ① 1/π ② 2/π ③π
④ π/2
㈠从1-10编好号的十个球中任取两个,它
练习题选
B) 16/25 C) 44/45
们的编号之和记为X,P(X≤18)=___;
A)18/25 D) 43/45 ㈡若随机变量X和Y的相关系数ρXY=0,则有
1
p ( x ) dx p ( x ) dx
1
1
1

1 2
1
dx
1 2
1 x 1
1
单项选择题１.Ｂ
2 p(x ) 0 1 x 1 其它
1
∴不选Ｂ
1



p ( x ) dx p ( x ) dx
1
p ( x ) dx p ( x ) dx
对立(互补) 独立
0概率事件
1概率事件
概率的基本公式
P ( A ) 1 P ( A ), P ( ) 0 , P ( S ) 1 P ( A B ) P ( A) P (B ) P ( A B )
P (A | B ) P ( AB ) P (B ) , P (B | A ) P ( AB ) P (A )
练习题选
计算题： *若甲盒中装有三个白球，二个黑球，
乙盒中装有一个白球，二个黑球。由 甲盒中任取一球投入乙盒，再从乙盒 中任取一个球。⑴求从乙盒中取得一 个白球的概率；⑵若从乙盒中取得一 个黑球，问从甲盒中也取得一个黑球 的概率。
单项选择题
单项选择题
* 设 A、B 两 事 件 互 不 相 容 ， 0 < P(A)=p<1， 0<P(B)=q<1，则推不出结论___； ① P(A|B)=0 ③ P (A B) p ② P (A B) 0 ④P ( A B ) 1 *设随机变量X的分布列为 X -2 0 2 ，则 E(3X 2+5) = ___; p 0.4 0.3 0.3 ① 13 ② 13.2 ③ 13.4 ④ 13.6
P ( AB ) P ( A | B ) P ( B ) P ( B | A ) P ( A )
注意 : A B A B , A B A B
随机变量
随机现象量化为一个变量，叫随机变 量; 类型：离散型与连续型； 分布函数及其性质： 离散型的分布列及性质； 连续型的概率密度函数及性质； 重要的几类随机变量。
____;
A) D(X-Y)=D(X)-D(Y) B) D(X+Y)=D(X)+D(Y)
C) D(X*Y)=D(X)*D(Y)
D) 它们独立
练习题选
㈢7抽1的抽签,每人依次抽,则____;
A)第一人抽到的概率最大
B)第四人抽到的概率最大 C)最后的人抽到的概率最小
D)每人抽到的概率相同.
㈣联合密度为
( x EX )
2
2
p ( x ) dx
2


x
( x EX )
2
p ( x ) dx
DX
2
例 题
一枚硬币抛了1000次，估计正面次 数在[400，600]中的概率； 解：正面次数X~B(1000,0.5),EX=500
P(400 X 600) P(400 500 X 500 600 500) P(| X 500 | 100) 1 250 100
1
1


1

1
xdx
x
2
1
2 1
0
单项选择题１.Ｄ
x p(x ) 0
2
1 x 1 其它