概率论复习题及答案
概率论期末试题及答案
概率论期末试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 随机事件A的概率为P(A)，则其对立事件的概率为：A. P(A) + 1B. 1 - P(A)C. P(A) - 1D. P(A) / 22. 某校有男女生比例为3:2，随机抽取1名学生，该学生是男生的概率为：A. 1/5B. 3/5C. 2/5D. 5/73. 抛一枚均匀硬币两次，至少出现一次正面的概率是：A. 1/2B. 1/4C. 3/4D. 5/84. 设随机变量X服从二项分布B(n, p)，若n=15，p=0.4，则P(X=7)是：A. C^7_15 * 0.4^7 * 0.6^8B. C^7_15 * 0.6^7 * 0.4^8C. C^7_15 * 0.4^15D. C^8_15 * 0.4^7 * 0.6^85. 若随机变量Y服从泊松分布，λ=2，则P(Y=1)是：A. e^(-2) * 2B. e^(-2) * 2^2C. e^(-2) * 2^1D. e^(-2) * 2^06. 设随机变量Z服从标准正态分布，则P(Z ≤ 0)是：A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 0.337. 若两个事件A和B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.7，则P(A∩B)是：A. 0.42B. 0.35C. 0.6D. 0.78. 随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，则E(X)是：A. 2B. 4C. 0D. 19. 设随机变量X和Y的协方差Cov(X, Y)=-2，则X和Y：A. 正相关B. 负相关C. 独立D. 不相关10. 若随机变量X服从指数分布，λ=0.5，则P(X > 1)是：A. e^(-0.5)B. e^(-1)C. 1 - e^(-0.5)D. 2 - e^(-1)二、填空题（每题3分，共30分）11. 若随机变量X服从参数为θ的概率分布，且P(X=θ)=0.3，P(X=2θ)=0.4，则P(X=3θ)=________。
概率论复习题答案
一、单项选择题1 已知随机变量X 在（1，5）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( C ) A. B. C. D 42 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<1）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( B )A. 0B. 2C. D 13 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<2）之间服从均匀分布，则其不在此区间的概率密度为( A )A. 0B. 2C. 1 D 44 已知P(A)= ,则)(A A P ⋃的值为( D )(A) (B) (C) 0 (D) 1 5 已知P(A)= ,则)(A A P 的值为( C ) (A) 1 (B) (C) 0 (D) Φ6.,,A B C 是任意事件，在下列各式中，成立的是( C ) A.A B =A ⋃B B. A ⋃B =ABC. A ⋃BC=(A ⋃B)(A ⋃C)D. (A ⋃B)(A ⋃B )=AB7 设随机变量X~N(3,16), 则P{X+1>5}为( B ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(4 ) D. Φ(-4)8 设随机变量X~N(3,16), Y~N(2,1) ，且X 、Y 相互独立，则P{X+3Y<10}为( A ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(0 ) D. Φ(1)9. 已知随机变量X 在区间（0，2）的密度函数为, 则其在此区间的分布函数为（ C ） A.2x B. C. 2x D. x10 已知随机变量X 在区间（1，3）的密度函数为, 则x>3区间的分布函数为（ B ） A.2x B. 1 C. 2x D. 011. 设离散型随机变量X 的分布律为 P{X=n}=!n e nλλ, n=0,1,2…… 则称随机变量X 服从( B )A. 参数为λ的指数分布B. 参数为λ的泊松分布C. 参数为λ的二项式分布D. 其它分布12. 设f (x )为连续型随机变量X 的密度函数，则f (x )值的范围必须（ B ）。
概率论考试题以及解析汇总
.试题一一、选择题（每题有且仅有一个正确答案，每题2分，共20分） 1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ ）。
A. A,B 互不相容B. A,B 相互独立C.A ⊂BD. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（ ）A. 1/2B. 1/12C. 1/18D. 1/93、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ ）A.919910098.02.0CB.i i i i C-=∑100100910098.02.0C.ii i i C-=∑1001001010098.02.0 D.i i i i C-=∑-100910098.02.014、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ，则)()31253(321=++X X X EA. 0B. 25.5C. 26.5D. 95、设样本521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25242321XX X X X c +++⋅服从t 分布。
（ ）A. 0B. 1C. 26D. -16、设X ~)3,14(N ，则其概率密度为（ ）A.6)14(261--x e πB.32)14(261--x eπC.6)14(2321--x eπD.23)14(261--x eπ7、321,,X X X 为总体),(2σμN 的样本， 下列哪一项是μ的无偏估计（）A.3212110351X X X ++ B. 321416131X X X ++ C. 3211252131X X X ++ D. 321613131X X X ++ 8 、设离散型随机变量X 的分布列为X123.PC 1/4 1/8则常数C 为（ ）（A ）0 （B ）3/8 （C ）5/8 （D ）－3/89 、设随机变量X ～N(4,25), X1、X2、X3…Xn 是来自总体X 的一个样本，则样本均值X近似的服从（ ）（A ） N （4，25） （B ）N （4，25/n ） （C ） N （0,1） （D ）N （0，25/n ） 10、对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平a=0.05下，拒绝假设00μμ=：H ，则在显著水平a=0.01下，（ ）A. 必接受0HB. 可能接受，也可能拒绝0HC. 必拒绝0HD. 不接受，也不拒绝0H 二、填空题（每空1.5分，共15分）1、A, B, C 为任意三个事件，则A ，B ，C 至少有一个事件发生表示为：_________；2、甲乙两人各自去破译密码，设它们各自能破译的概率为0.8，0.6，则密码能被破译的概率为_________；3、已知分布函数F(x)= A + Barctgx )(+∞<<-∞x ,则A ＝＿＿＿，B ＝＿＿＿＿；4、随机变量X 的分布律为k C k XP )31()(==，k =1,2,3, 则C=_______;5、设X ～b （n,p ）。
概率复习题-答案
<概率论>试题一、填空题1．设A、B、C是三个随机事件。
试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生2）A、B、C 中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2．设A、B为随机事件，，，。
则＝3．若事件A和事件B相互独立, ，则4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A=______________7. 已知随机变量X的密度为,且,则________ ________8. 设～,且,则_________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_________10.若随机变量在（1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是11.设，，则12.用（）的联合分布函数F（x,y）表示13.用（）的联合分布函数F（x,y）表示14.设平面区域D由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D上服从均匀分布，则（x,y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。
15.已知，则＝16.设，且与相互独立，则17.设的概率密度为，则＝18.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N（0，22），X3服从参数为=3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=19.设，则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时,近似有～或～。
特别是，当同为正态分布时，对于任意的，都精确有～或～.21.设是独立同分布的随机变量序列,且，那么依概率收敛于.22.设是来自正态总体的样本，令则当时～。
23.设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=24.设X1,X2,…X n为来自正态总体的一个简单随机样本，则样本均值服从二、选择题1. 设A,B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（A）P (A+B) = P (A);（B）（C）（D）2. 以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B）“甲、乙两种产品均畅销”（C）“甲种产品滞销”；（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
概率论试题及答案
概率论试题及答案一、选择题1. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是：- A. 1/2- B. 3/8- C. 5/8- D. 1/82. 如果事件A和事件B是互斥的，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，那么P(A∪B)等于：- A. 0.7- B. 0.6- C. 0.4- D. 0.33. 抛掷一枚硬币两次，出现正面向上的概率是：- A. 1/4- B. 1/2- C. 3/4- D. 1二、填空题1. 概率论中，事件的全概率公式是 P(A) = ________，其中∑表示对所有互斥事件B_i的和。
2. 如果事件A和事件B是独立事件，那么P(A∩B) = ________。
三、计算题1. 一个工厂有3台机器，每台机器在一小时内发生故障的概率是0.01。
求在一小时内至少有一台机器发生故障的概率。
2. 一个班级有50名学生，其中30名男生和20名女生。
如果随机选择一名学生，这名学生是男生的概率是0.6。
求这个班级中男生和女生的人数。
四、解答题1. 解释什么是条件概率，并给出计算条件概率的公式。
2. 一个袋子里有10个球，其中7个是红球，3个是蓝球。
如果从袋子中随机取出一个球，观察其颜色后放回，再取出一个球。
求第二次取出的球是蓝球的概率。
答案一、选择题1. C. 5/82. B. 0.63. B. 1/2二、填空题1. P(A) = ∑P(A∩B_i)2. P(A)P(B)三、计算题1. 首先计算没有机器发生故障的概率，即每台机器都不发生故障的概率，为(1-0.01)^3。
至少有一台机器发生故障的概率为1减去没有机器发生故障的概率，即1 - (1-0.01)^3。
2. 设男生人数为x，女生人数为y。
根据题意，x/(x+y) = 0.6，且x+y=50。
解得x=30，y=20。
四、解答题1. 条件概率是指在已知某个事件已经发生的情况下，另一个事件发生的概率。
计算条件概率的公式是P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
(完整)概率复习题及答案
〈概率论〉试题一、填空题1．设A、B、C是三个随机事件。
试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生2）A、B、C 中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2．设A、B为随机事件，，，.则＝3．若事件A和事件B相互独立, ，则4。
将C，C,E,E,I，N，S等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0。
5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A=______________7。
已知随机变量X的密度为,且，则________________8。
设～，且,则_________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_________ 10。
若随机变量在(1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是11.设，，则12。
用（)的联合分布函数F（x,y）表示13。
用（）的联合分布函数F（x，y）表示14.设平面区域D由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y）在区域D上服从均匀分布，则（x，y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。
15。
已知，则＝16.设，且与相互独立,则17。
设的概率密度为，则＝18。
设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在［0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N(0，22），X3服从参数为=3的泊松分布,记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=19。
设，则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时，近似有~ 或～。
特别是，当同为正态分布时，对于任意的，都精确有~ 或～.21.设是独立同分布的随机变量序列，且,那么依概率收敛于。
22.设是来自正态总体的样本，令则当时～。
23。
设容量n = 10 的样本的观察值为(8，7，6,9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=24。
概率论复习题解答
概率论复习题一、填充题：1.设事件A 与B 互不相容，3.0)(,2.0)(==B P A P ，则=⋃)(B A P _0.5___。
2. 设事件A 与B 相互独立，8..0)(,5.0)(==B P A P ，则=⋃)(B A P 0.9 ，=-)(B A P 0.1 。
P(A)5.0)(＝B P ×(1-0.8)3．设5.0)(=A P ，4.0)(＝B P ，8.0)|(=A B P ，则=)(B A P Y 0.7 。
4．已知3.0)(,6.0)(==AB P A P ，则=-)(B A P _0.3； 0.6×(1-0.3/0.6) =+)|()|(B A P B A P ____1_____。
5. 从1，2，3，4，5中同时任取3个数，求其中至少含有1个偶数的概率为_9/10__。
6．设一射手进行5次独立射击，每次击中目标的概率0.7,恰有3次命中的概率是23353.07.0C ⨯⨯。
7.一盒晶体管内有6个正品，4个次品，作不放回抽样，每次任取一个，取两次。
则第二次才取到正品的概率 4/15 ，第二次取到的是正品的概率 3/5 。
8. 设随机变量X 服从二项分布)2.0,100(b ，则=>}1{X P 991008.0208.01⨯--。
9．设随机变量X 服从（0，1）上的均匀分布，则=<<}3421{X P __1/2____。
10.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且2/1}0{==X P ，则λ=ln2，=>}1{X P _1/2×(1-ln2)__。
11、设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-0001)(5x x ex F x，则X 的概率密度 )(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧≤>-000515x x e x，，。
12．X 为连续随机变量，对任意实数C ，=≠}{C X P __1__。
13．设μ=)(X E ，2)(σ=X D ，则=-))((X E X E __0__，=-))((X E X D 2σ。
(完整word版)概率论试题及答案
试卷一一、填空（每小题2分，共10分）１．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。
２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。
３．已知互斥的两个事件满足，则___________。
４．设为两个随机事件，，，则___________。
５．设是三个随机事件，，，、，则至少发生一个的概率为___________。
二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。
每小题2分，共20分）1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。
(A) 取到2只红球(B) 取到1只白球(C) 没有取到白球(D) 至少取到1只红球2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。
(A) 随机事件(B) 必然事件(C) 不可能事件(D) 样本空间3. 设A、B为随机事件，则（）。
(A) A (B) B(C) AB(D) φ4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。
(A) 与互斥(B) 与不互斥(C) (D)5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。
(A) (B)(C) (D)6. 设相互独立，则（）。
(A) (B)(C) (D)7.设是三个随机事件，且有，则（）。
(A) 0.1 (B) 0.6(C) 0.8 (D) 0.78. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。
(A) p2(1–p)3 (B) 4 p (1–p)3(C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)39. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。
(A) (B)(C) (D)10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。
(A) P(A B) = P (C) (B) P (A) + P (B) –P (C) ≤1(C) P (A) + P (B) –P (C) ≥1 (D) P (A) + P (B) ≤P (C)三、计算与应用题（每小题8分，共64分）1. 袋中装有5个白球，3个黑球。
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概率论与数理统计复习题一．事件及其概率1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式：(1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。
解：(1) ABC A B C =⋃⋃ (2) ABC A B C =⋃⋃ (3) A B C ⋃⋃ (4) BC AC AB ⋃⋃2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ⋃-。
解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ⋃=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。
3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ⋃=，求(),()P B P A B -。
解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =⋃-=-==。
4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ⋃。
解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==⋃=+-= ()()()()0.2P AB P A B P A P AB =-=-=。
5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ⋃⋃。
解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ⋃⋃=-⋃⋃=-=-=。
6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率；(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。
解：(1) 24210215C P C ==；(2) 1146210815C C P C ==。
7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。
解：1215310112C C P C ==。
8. 从(0,1)中任取两数，求两数之和小于0.8的概率。
解：10.80.820.321P ⨯⨯==。
9. 甲袋中装有5只红球，15只白球，乙袋中装有4只红球，5只白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问从乙袋中取出红球的概率为多少？解：设A =“从甲袋中取出的是红球”，B = “从乙袋中取出的是红球”，则： 1312(),(),(|),(|),4425P A P A P B A P B A ==== 由全概率公式得：17()()(|)()(|)40P B P A P B A P A P B A =+=。
10. 某大卖场供应的微波炉中，甲、乙、丙三厂产品各占50%、40%、10%，而三厂产品的合格率分别为95%、85%、80%，求(1) 买到的一台微波炉是合格品的概率；(2) 已知买到的微波炉是合格品，则它是甲厂生产的概率为多大？解：(1) 设321,,A A A 分别表示买到的微波炉由甲、乙、丙厂生产，B 表示买到合格品，则123123()0.5,()0.4,()0.1,(|)0.95,(|)0.85,(|)0.8,P A P A P A P B A P B A P B A ====== 由全概率公式得31()()(|)0.895iii P B P A P B A ===∑；(2) 1111()()(|)0.47595(|)()()0.895179P A B P A P B A P A B P B P B ====。
二．一维随机变量及其数字特征1. 已知X 的概率密度函数1,02()0,kx x f x else+<<⎧=⎨⎩，求1,,2k P X EX ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭。
解：201()(1)221,2f x dx kx dx k k +∞-∞=+=+=⇒=-⎰⎰21211912216P X x dx ⎧⎫⎛⎫>=-+=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎰，2012123EX x x dx ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭⎰。
2. 设)1.0,3(~B X ，求{}2,{1}P X P X =≥。
解：2233{2}(0.1)(0.9)0.027,{1}1{0}10.90.271P X C P X P X ===≥=-==-=。
3. 设三次独立随机试验中事件A 出现的概率相同，已知事件A 至少出现一次的概率为6437，求A 在一次试验中出现的概率p 。
解：三次试验中A 出现的次数),3(~p B X ，由题意：{}416437)1(1)1(101}1{33003=⇒=--=--==-=≥p p p p C X P X P 。
4. 某种灯管的寿命X （单位：小时）的概率密度函数为21000,1000()0,x f x x else ⎧>⎪=⎨⎪⎩，(1) 求{1500}P X >；(2) 任取5只灯管，求其中至少有2只寿命大于1500的概率。
解：(1) 2150010002{1500}3P X dx x +∞>==⎰； (2) 设5只灯管中寿命大于1500的个数为Y ，则2~5,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故54121232{2}1{0}{1}15333243P Y P Y P Y ⎛⎫⎛⎫≥=-=-==--⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
5. 设~(,), 1.6, 1.28,X B n p EX DX ==求,n p 。
解： 1.6,(1) 1.288,0.2EX np DX np p n p ===-=⇒==。
6. 设~(2)X π，求2{2},(23)P X E X X ≥+-。
解：2{2}13P X e -≥=-，()222(23)()232342437E X X E X EX EX DX EX +-=+-=++-=++-=。
7. 设]6,1[~-U X ，求{}24≤<-X P 。
解：1,16()70,x f x else⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩，{}73710)(24211424=+==≤<-⎰⎰⎰----dx dx dx x f X P 。
8. 设X 服从)5,1(-上的均匀分布，求方程210t Xt ++=有实根的概率。
解：1,15()60,x f x else⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩，52211{0}{40}62P P X dx ∆≥=-≥==⎰。
9. 设~[1,3]X U ，求1,,EX DX E X ⎛⎫⎪⎝⎭。
解：2311,13(31)111112,,(),ln 32123220,x EX DX f x E dx X x else⎧≤≤-⎪⎛⎫======⎨ ⎪⎝⎭⎪⎩⎰。
10. 设某机器生产的螺丝长度~(10.05,0.0036)X N 。
规定长度在范围12.005.10±内为合格，求螺丝不合格的概率。
解：螺丝合格的概率为{}9544.01)2(2)2()2(06.012.006.005.1006.012.012.005.1012.005.10=-Φ=-Φ-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<-=+<<-X P X P 故螺丝不合格的概率为0456.09544.01=-。
11. 设)4,0(~N X ，30002+-=X Y ，求EY 、DY 及Y 的分布。
解：230003000,416,~(3000,16)EY EX DY DX Y N =-+===。
12. 设X 与Y 独立，且),1,1(~N X ),3,1(~N Y 求(2),(2)E X Y D X Y --。
解：(2)21,(2)47E X Y EX EY D X Y DX DY -=-=-=+=。
13. 设1~(4),~4,,0.6,2XY X Y B πρ⎛⎫= ⎪⎝⎭求(32)D X Y -。
解：(32)941225.6XY D X Y DX DY ρ-=+-=。
14. 设]2,1[~-U X ，求X Y =的概率密度函数。
解：{}}{)(y X P y Y P y F Y ≤=≤= (1) 当0<y 时，0)(=y F Y ；(2) 当10≤≤y 时，y dx y F yy Y 3231)(==⎰-； (3) 当21≤<y 时，31310)(11+=+=⎰⎰---y dx dx y F y y Y ； (4) 当2>y 时，1)(=y F Y ；故0,2,013()1,1231,2Y y y y F y y y y <⎧⎪⎪≤≤⎪=⎨+⎪<≤⎪⎪>⎩，2,0131()(),1230,Y Y y f y F y y else⎧≤≤⎪⎪⎪'==<≤⎨⎪⎪⎪⎩。
三．二维随机变量及其数字特征1. 已知),(Y X 的联合分布律为：(1) 求a ；(2) 求{}0,1,{1|5}P X Y P Y X >≤==； (3) 求Y X ,的边缘分布律； (4) 求XY ρ；(5) 判断,X Y 是否独立。
解：(1) 0.1a =; (2) 0.3,0.2；(3) :0.5,0.5;:0.3,0.5,0.2X Y ；(4) 0,0.6,()0cov(,)0,0XY EX EY E XY X Y ρ===⇒==； (5)0.10.40.20.1≠，不独立。
2. 已知),(Y X 的联合分布律为：且X 与Y 相互独立，求： (1) b a ,的值； (2) }0{=XY P ； (3) ,X Y 的边缘分布律； (4) ,,,EX EY DX DY ； (5) Z XY =的分布律。
解：(1) 111296,1118993a ab b ==⇒==;(2) 45{0}1{0}199P XY P XY ==-≠=-=； (3) 11112:,,;:,63233X Y ； (4) 22222251353222,,(),,,()6636339EX EX DX EX EX EY EY DY EY EY ===-====-=；(5) 151{1},{0},{2}993P Z P Z P Z =-=====。
3. 已知),(Y X 的概率密度函数为(),02,01(,)0,c x y x y f x y else+≤≤≤≤⎧=⎨⎩，求：(1) 常数c ；(2) 关于变量X 的边缘概率密度函数)(x f X ； (3) )(Y X E +。
解：(1)21200011(,)()23123f x y dxdy dx c x y dy c x dx c c c c +∞+∞-∞-∞⎛⎫=+=+=+==⇒= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰；(2) 10111(),02()(,)3320,X x y dy x x f x f x y dy else+∞-∞⎧⎛⎫+=+<<⎪ ⎪==⎝⎭⎨⎪⎩⎰⎰；(3) 916)(31),()()(1022=+=+=+⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-dy y x dx dxdy y x f y x Y X E 。