大学概率论总复习-.
概率论与数理统计总复习 公式概念定理
概率论与数理统计总复习第一章 概率论的基本概念 1. 事件的关系及运算互不相容事件：AB =Φ 即A,B 不能同时发生。
对立事件：A B =Ω且AB =Φ 即A B B ==Ω-差事件：A B - 即 A 发生但B 不发生的事件切记：()A B AB A AB AB B -==-=-2. 概率的性质 单调性：若BA ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-加法定理：)()()()(AB P B P A P B A P -+=)()()()()(AB P C P B P A P C B A P -++=)()()(ABC P CA P BC P +--例1 设,,()0.7,()0.4,A C B C P A P A C ⊃⊃=-= ()0.5P AB =，求()P AB C -。
解：()()()P A C P A P AC -=-()()P A P C =- （AC C =）故 ()()()0.70.40.3P C P A P A C =--=-=由此 ()()()P AB C P AB P ABC -=-()()P AB P C =- （ABC C =）0.50.30.2=-=注：求事件的概率严禁画文氏图说明，一定要用概率的性质计算。
3. 条件概率与三个重要公式 乘法公式全概率公式1()()(/)ni i i P A P B P A B ==∑贝叶斯公式（求事后概率）例2、（10分）盒中有6个新乒乓球，每次比赛从其中任取两个球来用，赛后仍放回盒中，求第三次取得两个新球的概率。
解：设A i ——第2次摸出i 个新球(i =0,1,2), B ——第3次摸出两个新球∵ A 0，A 1，A 2构成Ω的一个划分 ∴ 由全概率公式 其中故;)/()()(A B P A P AB P =()(/)(/)()i i i P B P A B P B A P A =2()()(|)kkk P B P A P B A ==∑201102244224012222666186(),()()151515C C C C C C P A P A P A C C C ======202002334242012222666631(|)(|)(|)151515C C C C C C P B A P B A P B A C C C ======4()0.1625P B ==4. 事件的独立性A 与B 独立→P (AB )=P (A )P (B ) → P (B/A )= P (B )A 与B 互不相容→ AB=φ→ P (A ∪B )=P (A )+P (B )注：n （>2）个事件两两独立与相互独立的区别！例3若A 与B 独立，且A 与B 互不相容，则P (A )P (B )=____第二、三章 随机变量及其分布1. 5中常见分布及其对应模型和相互关系；2. 联合分布函数、边缘分布函数、联合分布律、边缘分布律、联合概率密度、边缘概率密度之间的关系；3. 随机变量落在某区间（域）的概率 ()(),()()x X X x P X x f t dt P X x f t dt +∞-∞≤=≥=⎰⎰5.随机变量函数的分布1） 公式法{(,)}(,)GP X Y G f x y d σ∈=⎰⎰()(,)()()()(,)()()X Y i i X Y X Y X Y P X Y k P X i Y k i P X i p Y k i f z f x z x dx f x f z x dx +∞+∞+-∞-∞⎧+====-===-⎪⎪⎨⎪=-=-⎪⎩∑∑⎰⎰与独立与独立[()](),()0,X Y f h y h y y f y αβ'⎧⋅<<=⎨⎩其他()()()y g x X x h y f x ==⇒2） 分布函数法注意画图分段讨论 6.随机变量的独立性 若 X 、Y 相互独立⇔ ⇔(,)()()X Y F x y F x F y =试考虑其它等价条件注：若 X 、Y 相互独立()()()E XY E X E Y ⇒= 反之不成立。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。
-频率和概率的关系，概率的基本性质。
-古典概型和几何概型的概念。
-条件概率和乘法定理。
-全概率公式和贝叶斯公式。
-随机变量和概率分布函数的概念。
-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。
2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。
-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。
-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。
3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。
-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。
4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。
-样本统计量和抽样分布的概念。
-点估计和区间估计的概念。
-假设检验的基本思想和步骤。
-正态总体的参数的假设检验和区间估计。
5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。
-矩估计的原理和方法。
-最小二乘估计的原理和方法。
-一般参数的假设检验和区间估计。
6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。
-回归分析的一般原理。
-简单线性回归的估计和检验。
7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。
-秩相关系数的计算和检验。
8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。
-正态总体参数的拟合优度检验。
-贝叶斯估计的基本思想和方法。
9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。
-时间序列预测的方法和模型。
-质量控制的基本概念和控制图的应用。
以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。
概率论与数理统计总复习
概率论与数理统计总复习1、研究和揭示随机现象 统计规律性的科学。
随机现象：是在个别试验中结果呈现不确定性，但在大量重复试验中结果又具有统计规律性的现象。
2、互斥的或互不相容的事件：A B φ⋂=3、逆事件或对立事件：φ=⋂=⋃B A S B A 且4、德∙摩根律：B A B A ⋂=⋃，B A B A ⋃=⋂5、在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值/A n n 称为事件A 发生的频率，并记为()n f A 。
6、概率的性质（1）非负性：(A)0P ≥； （2）规范性：(S)1P =；（3）有限可加性：设A 1，A 2，…，A n ，是n 个两两互不相容的事件，即A i A j ＝φ，(i ≠j), i , j ＝1, 2, …, n , 则有∑==ni i n A P A A P 11)()...(（4）()0P φ=；（5）单调不减性：若事件A ⊂B ，则P(B)≥P(A) （6）对于任一事件A ，P(A)≤1 （7）差事件概率：对于任意两事件A 和B ，()()()P B A P B P AB -=-（8）互补性（逆事件的概率）：对于任一事件A ，有 P(A )=1-P(A) （9）加法公式：P(A ⋃B)＝P(A)＋P(B)－P(AB))()()()()()()()(321323121321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P +---++=⋃⋃7、古典概型中的概率: ()()()N A P A N S =①乘法原理：设完成一件事需分两步， 第一步有n 1种方法，第二步有n 2种方法， 则完成这件事共有n 1n 2种方法。
例：从甲、乙两班各选一个代表。
②加法原理：设完成一件事可有两类方法，第一类有n 1种方法，第二类有n 2种方法，则完成这件事共有n 1+n 2种方法。
概率论与数理统计总复习参考
定义7 （概率的统计定义） 定义8 （概率的公理化定义） 设试验E的样本
空间为Ω，对任意事件A，赋予一实数 P(A)，若
它满足
非负性公理：0≤P(A) ≤1;
规范性公理：P(Ω)=1;
可列可加性公理：若A1, A2, …两两互斥, 则
P ( Ai ) P ( Ai ).
二、随机事件的关系与运算
1. 事件的关系
(1) 包含关系 若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含于B，
记为 A B.
(2) 互斥（互不相容）： 若两个事件A、B不可能同时发生，则称事件A与B互斥 （互不相容）. 必然事件与不可能事件互斥; 基本事件之间是互斥的.
2. 事件的运算
(1) 事件的并（和） 若C表示“事件A与事件B至少有一个发生”这一事件，
fY
(
y)
f
X
[h(
y)] | 0,
h(
y)
|,
y ,
其他.
第三章 二维随机变量及其分布
1. 二维随机变量
(X, Y )：X, Y 是定义在同一样本空间 上的两个随机变量.
2. 联合分布函数、性质 F(x, y) =P{X x, Y y}, (任意实数x, y).
3. 边缘分布函数 FX (x) = F(x, +), FY (y) = F(+, y).
P p1
p2 … pn …
注 ：如果 g( xk ) 中有些项相同，则需将它们 作适当并项.
(2) 连续型随机变量函数的分布 (i) 定义法
FY ( y) P{Y y} P{g( X ) y}
{ x|g( x) y} f X ( x)dx.
概率论复习知识点总结
? P( Ai B) ?
P(Ai )P( B Ai ) ?
n
P(Ai )P( B Ai )
P(Ai )P( B Ai ) ? P(B)
,i
? 1,2,?
,n
i?1
?例1.16，1.17，作业：三、14，15
第1章要点
七、事件的相互独立性
P(AB)= P(A)P(B)
?注意几对概念的区别： ?互不相容与互逆 ?互不相容与相互独立 ?相互独立与两两相互独立 ?作业：一、8；二、8，9； 三、17，19
P(A∪B) = P(A) + P(B)–P(AB)．
例1.4；作业: 一、4，11 ； 二、3，5，6
第1章要点
四、古典概型与几何概型 ?古典概型概率计算公式：
P( A) ? 事件A中所包含样本点的个数 ? k
? 中所有样本点的个数 n
作业：三、6，8
第1章要点
五、条件概率与乘法公式 ?若P(A)>0
p
p(1? p)
np
np(1 ? p)
?
?
( a ? b) 2 (b ? a )2 12
θ
θ2
μ
σ2
第4章要点
四、协方差及相关系数 ?定义式：Cov( X,Y) ? E[(X ? EX)(Y ? EY)]
? XY ?
Cov( X ,Y) ( D( X ) ? 0, D(Y ) ? 0) D( X ) D(Y)
第1章要点
二、事件运算满足的定律 ?事件的运算性质和集合的运算性质相同，设 A，B，C为 事件，则有 ?交换律：A? B ? B ? A, AB ? BA ?结合律：( A ? B ) ? C ? A ? (B ? C ), ( AB)C ? A(BC ) ?分配律：( A ? B)C ? ( AC) ? (BC ),
概率论与数理统计复习汇总
第二章：随机变量及其相关内容
基本概念：随机变量、分布律、概率密度、分布函数 随机变量：设随机试验的样本空间为 S = {e}, X = X (e) 是定义在样本空间 S 上的
实值单值函数，称 X = X (e) 为随机变量. ( 样本点到数的对应法则) 随机变量的分类：离散型随机变量和连续型随机变量(基于 r.v. 的取值类型) 离散型随机变量 取值为有限个或者无限可列个的随机变量 分布律 若 r.v. X 的取值为 x1, x2 , , xn , 对应概率值为 p1, p2 , , pn , ，即
(1) 任取一件产品为次品的概率是多少？ (2) 已知取得的产品为次品，求此次品来自甲厂生产的概率是多少？ 2. 人们为了了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票 价格的基本因素，比如利率的变化. 现假设人们经分析评估知利率下降的概率为 60%，利率不变的概率为 40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该
一个划分.或者 B1, B2 , , Bn 为一个完备事件组.
全概率公式：设设 S 为随机试验 E 的样本空间， B1, B2, , Bn 为一个完备事件组，
则有 P( A) = P(B1)P( A B1) + P(B2 )P( A B2 ) + + P(Bn )P( A Bn )
Bi 称为原因， A 称为结果；全概率公式由原因找结果； 贝叶斯公式： 由结果找造成的原因
运算规律：德摩根律 AB = A ∪ B; A ∪ B = AB
加法原理： n1 + n2 + + nm (分类)，乘法原理： n1 ⋅ n2 ⋅ ⋅ nm (分步)
概率论与数理统计总复习-
一. 二维离散型r.v.
概率统计-总复习-13
1. 联合分布律（2个性质）
P(Xxi,Yyj)pij,
2.联合分布函数（5个性质）
F ( x , y ) P X x , Y y
3.联合分布律与联合分布函数关系
F(x,y)pij, xixyjy
4. 边缘分布律与边缘分布函数
n
Xi
n
E( Xi )
i1 i1
D
n
Xi
n
D( Xi )
i1 i1
X1,,Xn 相互独立
常见离散r.v.的期望与方差
概率统计-总复习-27
分布 概率分布
期望 方差
参数p的 0-1分布
P (X 1 )p ,P (X 0) q
2. 联合分布函数（5个性质）
xy
F(x,y) p(u,v)dvdu
3.联合密度与联合分布函数关系 2F( x,y) p( x,y)
xy
4.边缘密度与边缘分布函数
p (x) p( x,y)dy p ( y) p( x,y)dx
X
Y
FX( x) F(x, ) FY ( y ) F(, y)
5.全概率公式：分解 P(B) P(Ai)P(B|Ai),B
i1
6.贝叶斯公式
P(Aj |B)
P(Aj )P(B| Aj )
,j
P(Ai )P(B|Ai )
i1
四. 概率模型
概率统计-总复习-6
1.古典概型： 摸球、放球、随机取数、配对
2. n重伯努利概型：
概率论期末总复习必考题型
复习重点题目第一章p13例2、p14例5、习题一20、25第二章p34 例7、8；习题二15、24。
第三章p58 例2、例5、p61 例5、p63 例1、习题三5。
第四章习题四13、14、15、16。
第七章P139 例4、P148 例2、习题七P157 1、P159 13。
第八章例4、例5、习题八3、6。
例 1.5.2 设袋中装有r 只红球，t 只白球，每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入 a 只与所取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球 4 次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。
解以A i(i 1,2,3,4)表示事件“第i次取到红球”，则A3, A4 分别表示事件“第三、四次取到白球” 。
所求概率为：P( A1 A2 A3 A4 ) P(A4 | A1 A2 A3)P( A3 | A1A2 )P( A2 |A1)P(A1)t a t r a rr t 3a r t 2a r t a r t例 1.5.4 八支枪中，有三支未经试射校正，五支已经试射校正。
校正过的枪射击时，中靶的概率为0.8，未校正的枪射击时，中靶的概率为0.3，今从8 支枪中任取一支射击中靶。
问所用这枪是校正过的概率是多少？解设事件8 8 10 45A ={射击中靶}B 1={ 任取一枪是校正过的 }, B 2 ={任取一枪是未校正过的 }, B 1, B 2构成完备事件组 ,则 P(B 1) 5/8,P(B 2) 3/8,P(A |B 1) 0.8,P(A|B 2) 0.3， 故所求概率为P(B 1 | A) P(B 1)P(A|B 1)/[P(B 1)P(A|B 1) P(B 2)P(A|B 2)] 40/49 0.816习题一、20．已知在 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取两次，每次任取一 只，作不放回抽样。
求下列事件的概率： （1）两只都是正品； （2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品； （4）第二次取出的是次品。
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fn ( A)
r n
事件A出现的次数r 试验的总次数n
2. 频率的稳定性
随机事件A在相同条件下重复多次时，事件 A 发生的频率在一个固定的数值p附近摆动， 随着试验次数的增加更加明显.
3. 概率的统计定义
对任意事件A，在相同的条件下重复进行 n 次试验，事件A 发生的频率随着试验次 数的增大而稳定地在某个常数p附近摆动, 那么称p为事件A的概率，记为
(1)
二维均匀分布
f (x,
y)
1 , A
(x, y) D
0,
其它
(2) 二维正态分布
f (x, y)
1
e
1 2(1
2
)
(
x
1
2 1
)2
2
(
x
1 )( y 1 2
2
)
(
y
2
2 2
)2
2 1 2 1 2
p)nk …
pn
(3) 泊松分布 X ~ P( )
P(X k) k e
k!
(k 0,1, 2,L )
6. 连续型随机变量的概率密度函数
x
F ( x) f (t)dt
随机变量X的概率密度函数
x
(1) 数学符号：
F(x)
f (t)dt
随机变量X的分布函数
P( Ak )
C
k n
pk (1
p)nk
(k 0,1, 2,L , n)
第四章 随机变量及其分布
第一节 随机变量及其分布函数 第二节 离散型随机变量 第三节 连续型随机变量
第四章 基本知识点 1. 随机变量
用数值来表示试验的结果，即将样本空间数量化
2. 随机变量的类型 (1) 离散型随机变量 (2) 非离散型随机变量
第五章 基本知识点
1. 二维随机变量(X, Y)的联合分布函数
F(x, y) P(X x,Y y)
2. 联合分布函数表示矩形域概率
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F( x2 , y2 ) F( x2 , y1 ) F( x1, y2 ) F( x1, y1 )
全集
全集
空集
子集 A B
并集 A B
交集 A B
差集 A B
补集
A
第二章 事件的概率
第一节 概率的概念 第二节 古典概型 第三节 几何概型 第四节 概率的公理化定义
第二章 基本知识点
1. 随机事件的频率
设随机事件A在n次随机试验中出现了r次， 则称这n次试验中事件A出现的频率为：
P( An )
n1 n1
则称P(A)为事件A的概率
8. 概率的性质
性质1 P() 0 不可能事件的概率为零 性质2 P( A) 1 P( A) 逆事件的概率
性质3 性质4
互不相容事件概率的有限可加性
对任意有限个互斥事件A1，A2，… An ，
U 有：P
n
Ak
概率 事件A的概率
频率的稳定值 P( A) p
事件A
准确的数值
当试验次数足够大时
事件A的频率
事件A的概率
近似地代替
4. 古典概型：
古典概型的基本特征：
(1) 有限性：试验的可能结果只有有限个；
样本空间Ω是个有限集
1,2,L ,n
(2) 等可能性：各个可能结果出现是等可能的.
基本事件的概率均相同
3. 随机变量的分布函数 设X是随机试验E的一个随机变量，称定义域
为(, ) , 函数值在区间[0, 1]上的实值函数
F( x) P( X x) ( x )
为随机变量X的分布函数.
集合论
样本空间Ω
样本点ωi
随机试验
试验结果
数量化
对应
函数论 实数集 (, ) 实数 x (, )
(c) 事件 P(a X b) F(b) F(a)
b
a f ( x)dx
8. 常用连续型分布：
1
(1) 均匀分布
f
(x)
b
a
0
a xb 其它
X ~ R (a, b)
(2) 指数分布
e x
f (x)
x 0 ( 0为常数） X ~ E( )
3. 二维离散型随机变量(X, Y)的联合概率分布：
XY
y1 L y j L
x1
p11 L p1 j L
M
M L ML
xi
pi1 L pij L
M
M L ML
4. 二维连续型随机变量的联合概率密度函数
xy
F ( x, y)
f ( x, y)dydx
5. 常见的二维连续型随机变量的联合密度函数
n
P( Ak )
k1 k1
P( A B) P( A) P(B) P( AB) 加法定理
性质5 若A B，则：P(B A) P(B) P( A) 且 P( A) P(B) 差事件的概率
性质6 加法定理的推广形式
P(A B C) P( A) P(B) P(C )
1
P( A1 ) P( A2 ) L
P( An )
, n
Ai {i }
5. 概率的古典定义 对于古典概型：
(1) 设所有可能的试验结果构成的样本空间为：
1,2,L ,n
(2) 事件 A k1 ,k2 ,L ,kr
其中k1, k2,L , kr为1, 2, …, n中的r个不同的数 则定义事件A的概率为：
则有：
P( Ak | B)
P( Ak )P(B | Ak )
n
(k 1, 2,L , n)
P( Ai )P(B | Ai )
i 1
5. 事件独立的定义
P(B｜A) = P(B)
A与B相互独立的 充要条件
P( AB) P( A)P(B)
6. 事件的独立性的推广
(1) 事件A，B，C两两独立： (a) P(AB) = P(A)P(B)
概率论 总复习
第一章 随机事件
第一节 样本空间和随机事件 第二节 事件关系和运算
第一章 基本知识点 1. 概率论
概率论就是研究随机现象的统计规律性的数学学科
2. 确定性现象与随机现象
3. 随机试验
(1) 试验在相同的条件下可重复进行 (2) 每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前
可以确定试验的所有可能结果 (3) 每次试验前不能准确预言试验后会出现哪种结果．
P( A) r n
事件A包含的基本事件r 的基本事件n
6. 几何概型
古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性
1. 基本特征：
(1) 有一个可度量的几何图形Ω
(2) 试验E看成在Ω中随机的一点ω
事件A＝“随机点落在Ω中的子区域SA中”
P( A)
SA ||
S
的几何度量
A
的几何度量
1,2,L ,n,L
7. 随机事件
仅含一个样本点的随机事件称为基本事件． 含有多个样本点的随机事件称为复合事件．
8. 必然事件Ω
一次随机试验中，必然会发生的随机事件.
9. 不可能事件Φ
一次随机试验中，不可能会发生的随机事件.
10. 事件关系和运算 概率论 事件 事件之间的关系 事件的运算
长度、面积或体积
7. 概率的公理化定义 设随机试验的样本空间为Ω，若对任一 事件A，有且只有一个实数P(A)与之对应， 满足如下公理：
(1) 非负性： 0 P( A) 1
(2) 规范性： P() 1
(3) 完全可加性：对任意一列两两互斥事件A1，
U A2，…，有：P
An
(d) P(ABC) = P(A)P(B)P(C)
则称事件A，B，C相互独立.
7. 贝努利试验
在n重独立重复试验中，若每次试验只有两种可
能的结果：A及 A ，且A在每次试验中发生的概
率为p，则称其为n重贝努利试验，简称贝努利 试验.
8. 二项概率： 贝努利定理
设在一次试验中事件A发生的概率为 p (0<p<1) ， 则A在n次贝努利试验中恰好发生 k次的概率为
(2) 连续型随机变量的分布函数表示事件： (a) 事件 P( X b) F(b) (b) 事件 P( X b) 1 P( X b) 1 F(b) (c) 事件 P(a X b) F(b) F(a)
7. 事件的概率与概率密度函数的关系： b (a) 事件 P(X b) F(b) f ( x)dx (b) 事件 P( X b) 1 P( X b) 1 F(b) b 1 f ( x)dx
P( AB) P(BC ) P( AC ) P( ABC )
A
B
C
第三章 条件概率与事件的独立性
第一节 条件概率 第二节 全概率公式 第三节 贝叶斯公式 第四节 事件的独立性 第五节 伯努利试验和二项概率 第六节 主观概率
第三章 基本知识点
1. Байду номын сангаас件概率的定义
设A，B为同一随机试验中的两个随机事件 , 且 P(A) > 0， 则称已知A发生条件下B发生 的概率为B的条件概率，记为
若干样本点构成事件A