中国矿业大学 概率论复习--典型考题汇总精品PPT课件
合集下载
概率论总复习ppt课件
解 令 A 灯泡能用到1000小时, B 灯泡能用到 1500小时
所求概率为
PBAP(AB) P(B)0.41
P(A) P(A) 0.8 2
2021/4/25
BA
三．全概率公式
定义
若事件组B1,…Bn,满足：
（1） （2）
B1,…Bn互不相容且P(Bi)>0，i=1,…,n
n Bi S
i 1
则称事件B1,…Bn为样本空间的一个划分
三.概率的频率定义
例2：从同一型号同一批次的反坦克弹中任抽一发反 坦克弹射击目标，观测命中情况。设A代表“命中” 这一事件，求P(A)?
1 . 事件的频率 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记
m是n次试验中事件A发生的次数。 频率 f = m/n
2. 频率的稳定性
掷一枚均匀硬币，记录前400次掷硬币试验中 频率P*的波动情况。
离散型随机变量的概念
定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或 无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量
描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率 分布或分布律，即
P ( X x k ) p k ,k 1 ,2 ,
概率分布的性质
2021/4/25
p k0 ,k 1 ,2 ,
pk 1
k 1
非负性 规范性
称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作 X~B(n,p)
0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布
2021/4/25
例6 设有同类型设备90台，每台工作相互独立，每台设 备发生故障的概率都是 0.01. 在通 情况下，一台设备发 生故障可由一个人独立维修，每人同时也只能维修一台 设备. 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设备发 生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
所求概率为
PBAP(AB) P(B)0.41
P(A) P(A) 0.8 2
2021/4/25
BA
三．全概率公式
定义
若事件组B1,…Bn,满足：
（1） （2）
B1,…Bn互不相容且P(Bi)>0，i=1,…,n
n Bi S
i 1
则称事件B1,…Bn为样本空间的一个划分
三.概率的频率定义
例2：从同一型号同一批次的反坦克弹中任抽一发反 坦克弹射击目标，观测命中情况。设A代表“命中” 这一事件，求P(A)?
1 . 事件的频率 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记
m是n次试验中事件A发生的次数。 频率 f = m/n
2. 频率的稳定性
掷一枚均匀硬币，记录前400次掷硬币试验中 频率P*的波动情况。
离散型随机变量的概念
定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或 无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量
描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率 分布或分布律，即
P ( X x k ) p k ,k 1 ,2 ,
概率分布的性质
2021/4/25
p k0 ,k 1 ,2 ,
pk 1
k 1
非负性 规范性
称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作 X~B(n,p)
0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布
2021/4/25
例6 设有同类型设备90台，每台工作相互独立，每台设 备发生故障的概率都是 0.01. 在通 情况下，一台设备发 生故障可由一个人独立维修，每人同时也只能维修一台 设备. 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设备发 生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
《概率论与数理统计》-课件 概率论的基本概念
解 以C记事件“母亲患病”,以N1记事件“第1个 孩子未患病”,以N 2记事件“第2个孩子未患病”.
已知 P(C ) 0.5, P( N1 C ) P( N2 C ) 0.5,
P(N1N2 C) 0.25, P(N1 C) 1, P(N2 C) 1. (1) P(N1) P(N1 C)P(C) P(N1 C)P(C)
6 3 3. 100 100 100
故 注意
p 17 10 3 1 12 . 100 2 25
只有当 B A 时才有 P( A B) P( A) P(B).
例7 设盒 I 有 6 只红球, 4 只白球; 盒 II 有7只红 球, 3只白球. 自盒 I 中随机地取一只球放入盒 II, 接着在盒 II 中随机地取一只球放入盒 I. (1) 然后在盒 I 中随机地取一只球 , 求取到的是红 球的概率. (2) 求盒 I 中仍有 6 只红球 4 只白球的概率.
以 B 记事件“至少有一个配对” , 则 B A1 A2 An .
(1) 由和事件概率公式
P(B) P( A1 A2 An )
n
n
n
P( Ai ) P( Ai Aj )
P( Ai Aj Ak )
i 1
1i jn
1i jkn
(1)n1 P( A1 A2 An ),
n n 1 n(n 2)!, 1 1 2
n n 1 n
(n 2)!
于是
P(B) 1
1 2 nn
.
例4 将 6 只球随机地放入到3 只盒子中去, 求每 只盒子都有球的概率. 解 以 A 记事件 “每只盒子都有球” . A 发生分为三种情况 : (i) 3 只盒子装球数分别为 4, 1, 1, 所含的样本点数为
已知 P(C ) 0.5, P( N1 C ) P( N2 C ) 0.5,
P(N1N2 C) 0.25, P(N1 C) 1, P(N2 C) 1. (1) P(N1) P(N1 C)P(C) P(N1 C)P(C)
6 3 3. 100 100 100
故 注意
p 17 10 3 1 12 . 100 2 25
只有当 B A 时才有 P( A B) P( A) P(B).
例7 设盒 I 有 6 只红球, 4 只白球; 盒 II 有7只红 球, 3只白球. 自盒 I 中随机地取一只球放入盒 II, 接着在盒 II 中随机地取一只球放入盒 I. (1) 然后在盒 I 中随机地取一只球 , 求取到的是红 球的概率. (2) 求盒 I 中仍有 6 只红球 4 只白球的概率.
以 B 记事件“至少有一个配对” , 则 B A1 A2 An .
(1) 由和事件概率公式
P(B) P( A1 A2 An )
n
n
n
P( Ai ) P( Ai Aj )
P( Ai Aj Ak )
i 1
1i jn
1i jkn
(1)n1 P( A1 A2 An ),
n n 1 n(n 2)!, 1 1 2
n n 1 n
(n 2)!
于是
P(B) 1
1 2 nn
.
例4 将 6 只球随机地放入到3 只盒子中去, 求每 只盒子都有球的概率. 解 以 A 记事件 “每只盒子都有球” . A 发生分为三种情况 : (i) 3 只盒子装球数分别为 4, 1, 1, 所含的样本点数为
概率论与数理统计期末复习PPT课件
P(B | A) P(B | A); (3)当0 P( A) 1, 0 P(B) 1时，
P(B | A) P(B| A) 1
第11页/共50页
2) 若事件A和B相互独立，则 (1) 事件A与事件B也相互独立 (2)事件 A与事件B也相互独立； (3) 事件A与事件B也相互独立.
n
3)若A1, A2 , An相互独立,则P A1, A2 An P Ai i 1
第1页/共50页
2.概率的几何定义
设样本空间是一个有限区域。若样本点落在
内的任何区域G中的事件A的概率与区域G的测度
（或长度、或面积、或体积等）成正比，
则区域内任意一点落在区域G的概率为区域G的
测度与区域的测度的比值，即
P(
A)
G的测度 的测度
.
第2页/共50页
3.概率的公理化定义
设E是一个随机试验，为它的样本空间,
x
4 F (x)为右连续函数,即对任意的实数x, 有F (x 0) F (x).
反之, 具有以上四个性质的函数, 一定是某个随机变量的分布函数.
二、离散型随机变量
第24页/共50页
定义 设X是一个离散型随机变量，它可
能取值为 x1, x2 ,, x并k ,且取, 各个值的对应概
率为
p1, p即2 ,, pk ,,
(A)P(A | B) P(A | B) (B)P(A | B) P(A | B)
(C)P(AB) P(A)P(B)
3．计算与证明题
(D)P(AB) P(A)P(B)
(1)设A, B是任意两个随机事件,其中A的概率
不等于0和1,证明: P(B | A) P(B | A)是随机 事件A与B独立的充要条件.
P(B | A) P(B| A) 1
第11页/共50页
2) 若事件A和B相互独立，则 (1) 事件A与事件B也相互独立 (2)事件 A与事件B也相互独立； (3) 事件A与事件B也相互独立.
n
3)若A1, A2 , An相互独立,则P A1, A2 An P Ai i 1
第1页/共50页
2.概率的几何定义
设样本空间是一个有限区域。若样本点落在
内的任何区域G中的事件A的概率与区域G的测度
（或长度、或面积、或体积等）成正比，
则区域内任意一点落在区域G的概率为区域G的
测度与区域的测度的比值，即
P(
A)
G的测度 的测度
.
第2页/共50页
3.概率的公理化定义
设E是一个随机试验，为它的样本空间,
x
4 F (x)为右连续函数,即对任意的实数x, 有F (x 0) F (x).
反之, 具有以上四个性质的函数, 一定是某个随机变量的分布函数.
二、离散型随机变量
第24页/共50页
定义 设X是一个离散型随机变量，它可
能取值为 x1, x2 ,, x并k ,且取, 各个值的对应概
率为
p1, p即2 ,, pk ,,
(A)P(A | B) P(A | B) (B)P(A | B) P(A | B)
(C)P(AB) P(A)P(B)
3．计算与证明题
(D)P(AB) P(A)P(B)
(1)设A, B是任意两个随机事件,其中A的概率
不等于0和1,证明: P(B | A) P(B | A)是随机 事件A与B独立的充要条件.
中国矿业大学周圣武概率论与数理统计116页PPT
1
1/4 27/64 27/64 9/64 1/64
2
2/4
3
3/4
袋中白 球数m p
1
1/4
2
2/4
3
3/4
抽到白球数x x=0 x=1 x=2 x=3 27/64 27/64 9/64 1/64 8/64 24/64 24/64 8/64
袋中白 球数m p
1
1/4
2
2/4
3
3/4
抽到白球数x x=0 x=1 x=2 x=3 27/64 27/64 9/64 1/64 8/64 24/64 24/64 8/64 1/64 9/64 27/64 27/64
Ak
1 n
n i1
Xik
P k
证 X1,X2, ,Xn 独立、 同分布
X1k,X2 k, ,Xn k 独立、 同分布
E (X i k ) E (X k ) k , i 1 ,2 , ,n
辛钦大数定律
Ak
1 n
n i1
Xik
Pk
矩估计的基本思想：令
Akk k1,2,
⑴若X为连续型随机变量，设概率密度为
3 12
1, 1, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 2
试求θ的矩估计值。
解
n 16,
A1x11611
27
4
1 E ( X ) 1 2 3 ( 1 2 ) 3 3
令 A1 1,
3 3 7
4
θ的矩估计值为 ˆ 5 12
称为θ的矩估计量。
例1 设总体X 的概率密度为
(1)x, 0x1 其中 1
f(x)
0,
概率论与数理统计课件(中国矿业大学)第二章
n 1000 2000 3000 4000 5000 pn 0.632 0.865 0.950 0.982 0.993 买3000张彩票中奖率已达到95%，再多买2000张 中奖的概率仅增加了4.3%！
例5 80台同类型设备，各台工作相互独立，发生故
障的概率 p 0.01 ，有两种配备维修工人的方法：①
3 k1 2 5 5
,
k =1，2，3，…灯，每盏信号灯以概率
允许汽车通过,变量
表示汽车停车次数(设各信号灯的工作是相互独立的）,
求 的分布律。
解 由题意可知
，则 的分布律为
将
带入可得 的分布律为
二、常用的离散型随机变量及其分布（重点）
Ⅰ. (0—1)分布 定义1.如果随机变量 的分布律为
证明 由
得
对于任意固定的 故有
Ⅲ.泊松分布
若随机变量 X 的分布律
P{X k} k e
k!
k 0,1, 2,
其中 0是常数 , 称 X 服从参数为 的泊松分布,
记为 X ~ () （或X ~ p()).
注：二项分布是最重要的离散型概率分布之一，当
n 1时，即为（0—1）分布；当 n很大，p很小 时，
X 32 2 2 1 1 1 0
X X (e) e出现正面的个数 RX {0,1,2,3}
A1 {X 1} A2 {X X 1}
定义：设E是随机试验，它的样本空间为 X=X(e)是定义在样本空间上的实值单值函数， 称 X 为随机变量。
注：如果e本身是数，则令 X = X(e) = e，那么X就
0
P(X =k)≥0,
P(X k) 1
即
a≥0 ,
k
k
a
中国矿业大学《高等数学》课件-第三章
由罗尔定理知至少存在一点
即定理结论成立 .
证毕
A
B
C
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
推论: 若函数
在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点
格朗日中值公式 , 得
在 I 上为常数 .
令
则
推论2:
若函数
在区间(a , b)内每一点 x 处都有
则
和
最多相差一个常数,
即
(其中C为常数).
线 ” 问题 ,
在他去世后的1720 年出版了他的关于圆
锥曲线的书 .
则 ”.
他在15岁时就解决了帕斯卡提出
二、几个初等函数的麦克劳林公式
第三节
一、泰勒公式的建立
三、泰勒公式的应用
应用
目的－用多项式近似表示函数.
理论分析
近似计算
泰勒公式
第三章
特点:
一、泰勒公式的建立
以直代曲
然后使用洛必达法则.
8. 洛必达法则最好能与求极限的其他方法结合使用.
思考与练习
1. 设
是未定式极限 , 如果
是否
的极限也不存在 ? 举例说明 .
极限不存在 ,
原式
分析:
说明3)
分析:
3.
原式
洛
则
4. 求
解: 令
原式
洛
洛
求下列极限 :
解:
5.
洛
则
原式 =
解: 令
(用洛必达法则)
(继续用洛必达法则)
类似的例子如,
3) 若
例如,
极限不存在
不能用洛必达法则 !
中国矿业大学 概率论与数理统计PPT课件
11
第11页/共93页
③事件的积
且
A与B的积事件
表示事件A和B同时发生， 即： 当且仅当A与B同时发生时， 发生。通常简记为AB。
A B
12
第12页/共93页
④事件的差 但
A与B的差事件
A-B 表示事件A发生但事件B不发生
⑤互斥事件(互不相容) ，则称A,B为互不相容事件
即：A、B不能同时发生。
一门数学分支。
3
第3页/共93页
第一章 随机事件及其概率
一、随机事件及其运算 二、频率与概率 三、等可能概型 四、条件概率 五、事件的相互独立性
4
第4页/共93页
第一章
第一节 随机事件及其运算
一、随机试验 二、随机事件与样本空间 三、事件间的关系及其运算（重点）
5
第5页/共93页
一、随机试验
例：E1 : 抛一枚硬币，观察出现正反面情况。 E2 : 将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面的情况。
2. 性质： 0≤
≤1
20
20
第20页/共93页
30 若
两两互不相容
历史上著名的统计学家蒲丰和皮尔逊曾进行过 大量掷硬币的试验，所得结果如下：
试验者
次数 正面的次数 正面的频率
蒲丰
4040
2048
0.5069
皮尔逊 12000
6019
0.5016
皮尔逊 24000
12012
0.5005
结论：当n较小时，频率呈偶然性，波动性很大；
②随机现象： 在一定条件下，可能出现这样的结果 也可能出现那样的结果；
例 抛一枚硬币，落下时正面朝上或反面朝上； （结果不可事先预言）
[理学]概率论与数理统计课件中国矿业大学第六章
![[理学]概率论与数理统计课件中国矿业大学第六章](https://img.taocdn.com/s3/m/f51aca4b02768e9951e7384a.png)
有限总体及其分布来描述。 例如，研究某批灯泡的寿命时，这批灯泡中每个 灯泡的寿命是我们所关心的指标.
此总体就可以用随机变量X 或其分布函数 F (x)表示.
F(x) P{X x}
5
二 、样本
样本：在总体中抽取的部分个体。( X1, X 2, , X n )
第六章
一 、统计量的定义及常用的统计量 二 、几种常用的分布 三 、正态总体统计量的分布
11
一、统计量的定义及常用的统计量 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进
行“加工”这，就要构造一些合适的依赖于样本 的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信 息集中起来。
这种不含任何未知参数的样本的函数称为统 计量。它是完全由样本决定的量.
12
定义1 设 X1, X 2,, X n 是来自总体X 的一个样本，
g (X1, X 2,, X n ) 为一实值连续函数，其不包含任何
未知参数，则称 g (X1, X 2,, X n ) 为一个统计量。 g (x1, x2,, xn ) 为 g (X1, X 2,, X n ) 的观测值。 注：g (X1, X 2,, X n ) 仍为随机变量。
i 1
n
n
ki
(
e )
e n
ki
i 1
n (1)
i1 ki !
i1 ki !
n
ki
e n i1
n
ki!
i 1
8
例2 设总体X ~ N (, 2 ),求样本 X1, X2 ,, Xn 的联合密度函数。
解: 由已知,总体X的密度函数为
f (x)
样本容量：样本中所含个体的数目n 。
定义 为了准确地进行判断，对抽样有所要求：
此总体就可以用随机变量X 或其分布函数 F (x)表示.
F(x) P{X x}
5
二 、样本
样本：在总体中抽取的部分个体。( X1, X 2, , X n )
第六章
一 、统计量的定义及常用的统计量 二 、几种常用的分布 三 、正态总体统计量的分布
11
一、统计量的定义及常用的统计量 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进
行“加工”这，就要构造一些合适的依赖于样本 的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信 息集中起来。
这种不含任何未知参数的样本的函数称为统 计量。它是完全由样本决定的量.
12
定义1 设 X1, X 2,, X n 是来自总体X 的一个样本，
g (X1, X 2,, X n ) 为一实值连续函数，其不包含任何
未知参数，则称 g (X1, X 2,, X n ) 为一个统计量。 g (x1, x2,, xn ) 为 g (X1, X 2,, X n ) 的观测值。 注：g (X1, X 2,, X n ) 仍为随机变量。
i 1
n
n
ki
(
e )
e n
ki
i 1
n (1)
i1 ki !
i1 ki !
n
ki
e n i1
n
ki!
i 1
8
例2 设总体X ~ N (, 2 ),求样本 X1, X2 ,, Xn 的联合密度函数。
解: 由已知,总体X的密度函数为
f (x)
样本容量：样本中所含个体的数目n 。
定义 为了准确地进行判断，对抽样有所要求：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2010.07 三 P33
参考答案与评分标准
2011.01 三 P35
答案与评分标准
三、中心极限定理
2011.07 独立同分布
答案与评分标准
2011.01 （二项分布相关的中心极限定理）
四、极大似然估计、矩估计
2011.07
答案与评分标准
2009.01 P28（六）较难
五、假设检验与区间估计
① z 0 时 FZ (z) 0
y x y
② 0 z 1时
xy z
FZ (z) 3xdxdy
G
G x
z1
z
x
1
x
dx 3xdy dx 3xdy
0
0
z
xz
3 z 1 z3 22
③ z 1 时 FZ (z) 1
所以
0,
FZ
(
z)
3 2
z
1 2
z3,
1,
z 0, 0 z 1,
重点1：单总体均值双边检验（方差已知、未知）
2013.01 某车间生产铜丝铜，丝的主要质量指标是折断力 X 的大小。由资料可认为 X ~ N (570,82 ) 今换了一批原料， 从性能上看，估计折断力的方差不会有变化，现抽出10 个样品，测得其折断力（斤）为
572 578 570 568 572 570 570 572 596 584
z 1.
故 Z = X -Y 的概率密度为
f
Z
(
z)
3 2
(1
z
2
),
0 z 1,
0,
others.
作业
• P88 4 • 十年考题： • 2007年7月第三题
2e(x2 y) , f (x, y)
0, 1)求P{X+Y<1}
x 0, y 0 else
2)求Z=X+2Y的概率密度
检验其折断力大小有无差别。 （ =0.05）
⑵ 求μ的置信水平为0.95的置信区间。
解 此问题就是已知方差 2 82
检验假设 H0 : 570 H1 : 570
检验统计量 拒绝域为
X -0 ~ N (0,1) / n
| z | | x -0 | z / 2
由已知可得 x 575.2 , n 10 计算 | z | | x -0 | 5.2 10 2.055
2013.01 设随机变量( X ,Y )的概率密度为
f
(x,
y)
3x,
0,
0 x 1,0 y x, others.
试求随机变量 Z X Y 的概率密度。
解 FZ (z) P{X Y z}
f (x, y)dxdy x yz
结合概率密度的非零区域可得
y x y
xy z
G x
z1
⑵ μ的置信水平为0.95的置信区间为
(x
s n
t
/
2
(n
1))
(63.5
15 36
t0.025
(35))
(58.425, 68.575)
重点2、方差与均值的检验
• 2010.01 P32
重点3、均值的单边检验 重点4、方差的单边检验
例5 某零件的长度 X ~ N (, 2 ), , 2未知，实测
/ n 8
查表 z 2 1.96 | z | z 2 1.96 所以落在了拒绝域之内，拒绝H0 ，接受H1 认为折断力大小有差别。
例6 某次考试的考生成ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ X ~ N (, 2 ), , 2未知，
从中随机地抽取36位考生的成绩，平均成绩为63.5分，
标准差 s =15分，⑴ 问在显著水平0.05下是否可以认为
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
33
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
其中10个零件的长度量为：8.1，7.9，8.2，8.0，
8.2，7.8，7.9，8.2，8.1，8.0，问是否有理由认
为零件的长度大于8.0？ （=0.05)
解 先提出假设 H0 : 0 8.0 H1 : 8.0
拒绝域为
t
x -0
s/ n
t (n 1)
计算 t 1.0284
查表得 t (n 1) t0.05 (9) 1.8331 所以 t t0.05 (9)
概率论与数理统计 总复习---典型考题
2013.06.27
一、全概率公式与贝叶斯公式
2010.07二P33（典型题、简单）
答案及评分标准
2011.01 P34（非典型题、难度中等）
答案及评分标准
2012.01（难度中等—结合其它公式）
答案及评分标准
二、联合概率密度、边缘概率密度、 独立性判别
解 提出假设 H0： 2 80；H1： 2 80
2 (n 1)s2 ~ 2 (n 1)
2 0
拒绝域为
2
(n 1)s2
2 0
2 (n 1)
其中
2
9S 2
σ
2 0
9121.8 13.7 80
六、其它
• 2009.05 P30 四 • 2007.07 P22 三 • 2013.01 第 五题
全体考生的平均成绩为70分？ ⑵ 求μ的置信水平为
0.95的置信区间。
解 ⑴ 先提出假设 H0 : 0 70 H1 : 70
拒绝域为
|t
|
| x -0
s/ n
|
t / 2 (n
1)
计算 | t | 2.6
2010年7月P33
t0.025 (35) 2.0301 | t | 2.6
故落在拒绝域之内，拒绝H0 ，接受H1 即不能认为全体考生的平均成绩为70分。
故没有落在拒绝域之内，拒绝 H1 ，接受H0 不能认为零件的标准长度大于8.0。
例7 电工器材厂生产一批保险丝，取10根测得其熔化 时间为 42, 65, 75, 78, 59, 57, 68, 54, 55, 71. 问是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差小于等
于80 ? (=0.05) , 熔化时间 X ~ N (, 2 )
参考答案与评分标准
2011.01 三 P35
答案与评分标准
三、中心极限定理
2011.07 独立同分布
答案与评分标准
2011.01 （二项分布相关的中心极限定理）
四、极大似然估计、矩估计
2011.07
答案与评分标准
2009.01 P28（六）较难
五、假设检验与区间估计
① z 0 时 FZ (z) 0
y x y
② 0 z 1时
xy z
FZ (z) 3xdxdy
G
G x
z1
z
x
1
x
dx 3xdy dx 3xdy
0
0
z
xz
3 z 1 z3 22
③ z 1 时 FZ (z) 1
所以
0,
FZ
(
z)
3 2
z
1 2
z3,
1,
z 0, 0 z 1,
重点1：单总体均值双边检验（方差已知、未知）
2013.01 某车间生产铜丝铜，丝的主要质量指标是折断力 X 的大小。由资料可认为 X ~ N (570,82 ) 今换了一批原料， 从性能上看，估计折断力的方差不会有变化，现抽出10 个样品，测得其折断力（斤）为
572 578 570 568 572 570 570 572 596 584
z 1.
故 Z = X -Y 的概率密度为
f
Z
(
z)
3 2
(1
z
2
),
0 z 1,
0,
others.
作业
• P88 4 • 十年考题： • 2007年7月第三题
2e(x2 y) , f (x, y)
0, 1)求P{X+Y<1}
x 0, y 0 else
2)求Z=X+2Y的概率密度
检验其折断力大小有无差别。 （ =0.05）
⑵ 求μ的置信水平为0.95的置信区间。
解 此问题就是已知方差 2 82
检验假设 H0 : 570 H1 : 570
检验统计量 拒绝域为
X -0 ~ N (0,1) / n
| z | | x -0 | z / 2
由已知可得 x 575.2 , n 10 计算 | z | | x -0 | 5.2 10 2.055
2013.01 设随机变量( X ,Y )的概率密度为
f
(x,
y)
3x,
0,
0 x 1,0 y x, others.
试求随机变量 Z X Y 的概率密度。
解 FZ (z) P{X Y z}
f (x, y)dxdy x yz
结合概率密度的非零区域可得
y x y
xy z
G x
z1
⑵ μ的置信水平为0.95的置信区间为
(x
s n
t
/
2
(n
1))
(63.5
15 36
t0.025
(35))
(58.425, 68.575)
重点2、方差与均值的检验
• 2010.01 P32
重点3、均值的单边检验 重点4、方差的单边检验
例5 某零件的长度 X ~ N (, 2 ), , 2未知，实测
/ n 8
查表 z 2 1.96 | z | z 2 1.96 所以落在了拒绝域之内，拒绝H0 ，接受H1 认为折断力大小有差别。
例6 某次考试的考生成ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ X ~ N (, 2 ), , 2未知，
从中随机地抽取36位考生的成绩，平均成绩为63.5分，
标准差 s =15分，⑴ 问在显著水平0.05下是否可以认为
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
33
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
其中10个零件的长度量为：8.1，7.9，8.2，8.0，
8.2，7.8，7.9，8.2，8.1，8.0，问是否有理由认
为零件的长度大于8.0？ （=0.05)
解 先提出假设 H0 : 0 8.0 H1 : 8.0
拒绝域为
t
x -0
s/ n
t (n 1)
计算 t 1.0284
查表得 t (n 1) t0.05 (9) 1.8331 所以 t t0.05 (9)
概率论与数理统计 总复习---典型考题
2013.06.27
一、全概率公式与贝叶斯公式
2010.07二P33（典型题、简单）
答案及评分标准
2011.01 P34（非典型题、难度中等）
答案及评分标准
2012.01（难度中等—结合其它公式）
答案及评分标准
二、联合概率密度、边缘概率密度、 独立性判别
解 提出假设 H0： 2 80；H1： 2 80
2 (n 1)s2 ~ 2 (n 1)
2 0
拒绝域为
2
(n 1)s2
2 0
2 (n 1)
其中
2
9S 2
σ
2 0
9121.8 13.7 80
六、其它
• 2009.05 P30 四 • 2007.07 P22 三 • 2013.01 第 五题
全体考生的平均成绩为70分？ ⑵ 求μ的置信水平为
0.95的置信区间。
解 ⑴ 先提出假设 H0 : 0 70 H1 : 70
拒绝域为
|t
|
| x -0
s/ n
|
t / 2 (n
1)
计算 | t | 2.6
2010年7月P33
t0.025 (35) 2.0301 | t | 2.6
故落在拒绝域之内，拒绝H0 ，接受H1 即不能认为全体考生的平均成绩为70分。
故没有落在拒绝域之内，拒绝 H1 ，接受H0 不能认为零件的标准长度大于8.0。
例7 电工器材厂生产一批保险丝，取10根测得其熔化 时间为 42, 65, 75, 78, 59, 57, 68, 54, 55, 71. 问是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差小于等
于80 ? (=0.05) , 熔化时间 X ~ N (, 2 )