最全面高二理科导数,复数,积分,法向量等复习及习题精选
高中数学导数知识点归纳的总结及例题(word文档物超所值)
为函数
_____ _ 的图象的顶点在第四象限，则其导
o
y
x
-33
)
(x
f
y'
=
()y f x ='()f x 为( )
（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数()y f x =的图像如下右)
(x f y '=
（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某
一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）
象大致形状是（ ）
2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数
()x 在区间[,]a b 上的图象可能是
y
y
y
14.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),
y=g(x)的图象可能是（ ）
15.(2008珠海一模文、理)设是函数的导函数，将和的图)('x f )(x f )(x f y =)('x f y =像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．16.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数
)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，则（
）
函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
y。
(完整版)高三复习导数专题
导 数一、导数的基本知识 1、导数的定义：)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 2、导数的公式： 0'=C （C 为常数） 1')(-=n n nxx （R n ∈） xx e e =')(a a a x x ln )('= xx 1)(ln '= exx a a log 1)(log '=x x cos )(sin '= x x sin )(cos '-=3、导数的运算法则： [()()]f x g x '+ =()()f x g x ''+ [()()]()()f x g x f x g x '''-=-[()]()af x af x ''= [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+ 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'= 4、掌握两个特殊函数 （1）对勾函数()bf x ax x=+ （ 0a > ，0b >） 其图像关于原点对称（2）三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠导数导数的概念 导数的运算导数的应用导数的定义、几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值函数的最值 常见函数的导数导数的运算法则 比较两个的代数式大小导数与不等式讨论零点的个数求切线的方程导数的基本题型和方法1、、导数的意义：（1）导数的几何意义：()k f x'=（2）导数的物理意义：()v s t'=2、、导数的单调性：（1）求函数的单调区间；()0()b]f x f x'≥⇔在[a,上递增()0()b]f x f x'≤⇔在[a,上递减（2）判断或证明函数的单调性；()f x c≠（3）已知函数的单调性，求参数的取值范围。
word版高二数学导数大题及练习题
word 版高二数学导数大题及练习题一、解答题1．已知函数2()cos sin e f x x x x -=--，[]0,x π∈． (1)求()f x 的最大值；(2)证明：2e sin e e cos 1x x x x x x x -+>+-；(3)若320()2e f x ax -++≥恒成立，求实数a 的取值范围. 2．已知函数()ln f x x =．(1)当()()sin 1g x x =-，求函数()()()T x f x g x =+在()0,1的单调性； (2)()()12h x f x b x=+-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>． 3．已知函数()21si cos n 2f x x x a x x =-++．(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围． 4．已知函数()()()1111ln k knk x f x x k-=-⋅-=-∑．(1)分别求n=1和n=2的函数()f x 的单调性； (2)求函数()f x 的零点个数．5．已知函数()()24e 1xf x x =-+．(1)求()f x 的极值．(2)设()()()f m f n m n =≠，证明：7m n +<． 6．已知函数2()e 1)(x f x ax x =-+.(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程； (2)若函数()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围； (3)若函数()f x 存在最小值，直接写出a 的取值范围.7．已知函数()e 2x f x ax =-，()22sin 1g x a x x =-+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)试判断函数()f x 的单调性与极值点个数；(2)若关于x 的方程()()0af x g x +=在[]0,π上有两个不等实根，求实数a 的最小值. 8．2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”为了进一步了解普通大众对“碳中和”及相关举措的认识，某机构进行了一次问卷调查，部分结果如下：(1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.(2)经调查后，有关部门决定加大力度宣传“碳中和”及相关措施以便让节能减排的想法深入人心.经过一段时间后，计划先随机从社会上选10人进行调查，再根据检验结果决定后续的相关举措.设宣传后不了解“碳中和”的人概率都为()01p p <<，每个被调查的人之间相互独立.①记10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ； ②现对以上的10人进行有奖答题，以①中确定的0p 作为答错的概率p 的值.已知回答正确给价值a 元的礼品，回答错误给价值b 元的礼品，要准备的礼品大致为多少元？（用a ，b 表示即可）9．已知函数2()ln f x a x x =+，其中a R ∈且0a ≠． (1)讨论()f x 的单调性；(2)当1a =时，证明：2()1f x x x ≤+-；(3)求证：对任意的*n N ∈且2n ≥，都有：222111111234⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…211e n⎛⎫+< ⎪⎝⎭．（其中e 2.718≈为自然对数的底数） 10．设函数3()65f x x x x R =-+∈，. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若关于x 的方程()f x a =有三个不等实根，求实数a 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)2max ()e f x -=- (2)证明见解析 (3)1,6a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）直接利用导数判断单调性，求出最大值； （2）利用分析法，转化为证明1e x x -＞f (x ). 令g (x )＝1e xx-，[]0,x π∈，利用导数求出g (x )≥g (2)＝-2e -，而2max ()(0)e f x f -==-，即可证明；（3）把问题转化为x cos x －sin x ＋2ax 3≥0恒成立，令h (x )＝x cos x －sin x ＋2ax 3，[]0,x π∈，二次求导后，令()6sin x ax x ϕ=-，对a 分类讨论：i. a ≤－16， ii. a ≥16，iii.－16＜a ＜16，分别利用导数计算即可求解. (1)∵2()cos sin e f x x x x -=--，[]0,x π∈，∴()cos sin cos sin 0f x x x x x x x '=--=-，∴f (x )在[0，π]上单调递减，∴2max ()(0)e f x f -==-．(2)要证2e sin e e cos 1x x x x x x x -+>+-，只要证21cos sin e e x x x x x -->--，即证1e xx -＞f (x )， 令g (x )＝1e x x -，[]0,x π∈，则()2e xx g x -'=，故g (x )在（0，2）上单调递减；g (x )在（2，π）上单调递增，所以g (x )≥g (2)＝-2e -，又 f (x )≤-2e -，且等号不同时取到，所以2e sin e e cos 1x x x x x x x -+>+- (3)()3220f x ax -≥++e ，等价于x cos x －sin x ＋2ax 3≥0，令h (x )＝x cos x －sin x ＋2ax 3，[]0,x π∈，则()2sin 66sin h x x x ax x ax x '=-+=（-），令()6sin x ax x ϕ=-，则()6cos x a x ϕ=-'，i.当a ≤－16时，()0x ϕ'，所以()ϕx 在[0，π]上递减，所以()(0)0x ϕϕ=， 所以()0h x '≤，所以h (x )在[0，π]上递减，所以h (x )≤h （0）＝0，不合题意． ii.当a ≥16时，()0x ϕ'，所以()ϕx 在[0，π]上递增，所以()(0)0x ϕϕ= 所以()0h x '≥，所以h (x )在[0，π]上递增，所以h (x )≥h （0）＝0，符合题意． iii.当－16＜a ＜16时，因为(0)610a ϕ=-<'，()160a ϕπ=+>'，且()x ϕ'在[0，π]上递增，所以0x ∃[]0,π∈，使得()00x ϕ'=，所以当0(0,)x x ∈时，()0x ϕ'<，此时()ϕx 在（0，x 0）上递减，所以()(0)0x ϕϕ<=，所以()0h x '<，所以h (x )在（0，x 0）上递减，所以h (x )＜h （0）＝0，不合题意．综上可得： 1,6a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 2．(1)单调递增 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接求导，判断出导数大于0，即可得到单调性；（2）直接由1x ，2x 是函数()1ln 2h x x b x=+-的两个零点得到1212122ln x x x x x x -=，分别解出1211212ln x x x xx -=，2121212ln x x x x x -=，再换元令12x t x =构造函数()12ln l t t t t=--，求导确定单调性即可求解. (1)由题意，函数()()sin 1ln T x x x =-+，则()()1cos 1T x x x'=--+，又∵()0,1x ∈，∴11x>，()()10,1,cos 11x x -∈-<，∴()0T x '>，∴()T x 在（0，1）上单调递增． (2)根据题意，()()1ln 02h x x b x x =+->， ∵1x ，2x 是函数()1ln 2h x x b x =+-的两个零点，∴111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=． 两式相减，可得122111ln22x x x x =-，即112221ln 2x x x x x x -=， ∴1212122ln x x x x x x -=，则1211212ln x xx x x -=，2121212ln xx x x x -=． 令12x t x =，()0,1t ∈，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=+=．记()12ln l t t t t =--，()0,1t ∈，则()()221t l t t-'=． 又∵()0,1t ∈，∴()0l t '>恒成立，∴()l t 在()0,1上单调递增，故()()1l t l <，即12ln 0t t t --<，即12ln t t t-<．因为ln 0t <，可得112ln t t t->，∴121x x +>．【点睛】本题关键点在于对双变量的处理，通过对111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=作差，化简得到1212122ln x x x x xx -=， 分别得到12,x x 后，换元令12x t x =，这样就转换为1个变量，再求导确定单调性即可求解． 3．(1)10y +=； (2)[)1,+∞. 【解析】 【分析】（1）将1a =-代入函数()f x 中，得出函数()f x 的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；（2）根据已知条件可以将问题转化为恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法求函数的最值即可求解. (1)当1a =-时，()2cos 1sin 2f x x x x x =--+()2cos 10000sin 012f =⨯--+=-，所以切点为0,1，()1sin cos x f x x x '=-++，∴(0)01sin 0cos00f '=-++=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为(0)0k f '==， 所以曲线()y f x =在点0,1处的切线的斜率切线方程为()()100y x --=⨯-，即10y +=.(2)由()21si cos n 2f x x x a x x =-++，得()s 1co i s n f x x a x x '=--+因为函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 设()()1c s os in g x f x x a x x '==--+，则()cos 1sin g x a x x '=--. 因为si (n 0)001cos00g a =--+=， 所以使()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 则至少满足()00g '≤，即10a -≤，解得1a ≥. 下证明当1a ≥时，()0f x '≤恒成立，因为3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 0x ≥， 因为1a ≥，所以()sin 1cos f x x x x '≤--+.记s ()cos n 1i h x x x x =--+，则π()1sin 14cos h x x x x ⎛⎫'=-=+ ⎝-⎪⎭.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<；当π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>. 所以函数()h x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在π3π,24⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增.因为ππ(),h h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭33001044， 所以()h x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)0h =. 即()()1sin cos 0f x h x x x x '≤=--+≤在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.所以a 的取值范围为[)1,+∞.4．(1)当1n =时，函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；当2n =时，()f x 在()0,∞+上单调递增； (2)1个. 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间得解；（2）求出()()1nx f x x-'=，再对n 分奇数和偶数两种情况讨论得解.(1)解：由已知，得()()()()()()2311111ln 123n nx x x f x x x n-⎡⎤----=---+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦． ①当1n =时，()()ln 1f x x x =--，()11f x x'=-．由()110f x x '=->，得01x <<；由()110'=-<f x x，得1x >．因此，当1n =时，函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．②当2n =时，()()()21ln 12x f x x x ⎡⎤-=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()()()21111x f x x x x -'=-+-=．因为()0f x '≥在()0,∞+恒成立，且只有当1x =时，()0f x '=，所以()f x 在()0,∞+上单调递增． (2)解：由()()()()()()2311111ln 123n nx x x f x x x n-⎡⎤----=---+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 得()()()()()()()()211111111111111nnn n x x f x x x x x x x x-----⎡⎤'=---+-++--=-=⎣⎦--． 当n 为偶数时，()0f x '≥在()0,∞+恒成立，且只有当1x =时，()0f x '=， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增．因为()10f =，所以()f x 有唯一零点1x =． 当n 为奇数时，由()()10nx f x x-'=>，得01x <<；由()()10nx f x x-'=<，得1x >．因此，()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减． 因为()10f =，所以()f x 有唯一零点1x =．综上，函数()f x 有唯一零点1x =，即函数()f x 的零点个数为1． 5．(1)极小值为71e 12-+，()f x 无极大值； (2)证明见解析﹒ 【解析】 【分析】(1)根据f (x )的导数判断f (x )的单调性，根据单调性即可求其极值； (2)由函数单调性指数函数性质可得x ＜72时，f (x )＜1，设m ＜n ，则若()()()f m f n m n =≠，则m ＜72，n ＞72，由()()1f m f n =<可求742n <<﹒当m ≤3时，易证7m n +<；当732m <<时，构造函数()()()7p m f m f m =--，根据p (m )单调性即可证明7m n +<﹒ (1)()()227e x f x x =-'，由()0f x '=，得72x =．当7,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当7,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>．∴()f x 的单调递减区间为7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故()f x 的极小值为771e 122f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()f x 无极大值．(2)由(1)可知，()f x 的极值点为72，f (x )在7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∵当x →－∞时，2e 0x →，∴f (x )→1， 故当x ＜72时，f (x )＜1.设m n <，则若()()()f m f n m n =≠，则m ＜72，n ＞72， 则()()1f m f n =<，则()274e 1142n n n -+<⇒<<． ①当3m ≤时，7m n +<，显然成立．②当732m <<时，77,42m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，()()()()214274e 3e m m f m f m m m ---=---．设()()()7p m f m f m =--，则()()()214227e em mp m m -=--'． 设()2142e e x xh x -=-，73,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为增函数，则()702h x h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭．∵732m <<，∴270m -<，()0p m '>，则()p m 在73,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，∴()()()()77()()77022p m p f m f m f n f m p ⎛⎫<⇒--=--<= ⎪⎝⎭，∴()()7f n f m <-．又∵7,42n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，77,42m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，且()f x 在7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴7n m <-，即7m n +<． 综上，7m n +<． 6．(1)1y = (2)1(,)2-∞ (3)10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】（1）先求导后求出切线的斜率'(0)0f =，然后求出直线上该点的坐标即可写出直线方程；（2）根据函数的单调性和最值分类讨论；（3）分情况讨论，根据函数的单调性和极限求解. (1)解：由题意得：22'e 121)e 2)()((x x ax x a f x ax x x ax =-++-=+- '(0)0f =，(0)1f =故曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程1y =. (2)由（1）得要使得()f x 在0x =处取得极大值，'()f x 在0x <时应该'()0f x >，'()f x 在0x >时应该'()0f x <，'e 2(1)()x x x ax f a =+-故①0a <且120aa-<，解得0a < ②0a >且120a a->，解得102a <<当0a =时，'()e x f x x =-，满足题意； 当12a =时，'21(e )2x f x x =，不满足题意； 综上：a 的取值范围为1(,)2-∞. (3)可以分三种情况讨论：①0a ≤②102a <<③12a ≥ 若0a ≤，()f x 在12(,)a a --∞上单调递减，在12(,0)aa-单调递增，在(0,)+∞上单调递减，无最小值；若102a <<时，当0x <时，x 趋向-∞时，()f x 趋向于0；当0x > ，要使函数取得存在最小值121221212112()[(41)0e ()]e a aaa a a a f a a a a a a -----=-=-≤+，解得104a <≤，故 12a x a -=处取得最小值,故a 的取值范围10,4⎛⎤⎥⎝⎦. 若12a ≥时，()f x 在x 趋向-∞时，()f x 趋向于0，又(0)1f =故无最小值； 综上所述函数()f x 存在最小值， a 的取值范围10,4⎛⎤⎥⎝⎦.7．(1)答案见解析 (2)e π-- 【解析】 【分析】（1）求出()f x '，分类讨论，分0a ≤和0a >讨论()f x 的单调性与极值； （2）利用分离参数法得到sin 1e x x a -=，令()()sin 10e xx h x x π-=≤≤，利用导数判断 ()h x 的单调性与最值，根据直线y a =与函数()h x 的图像有两个交点，求出实数a 的最小值.(1)()e 2x f x ax =-，则()e 2x f x a '=-.①当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增，此时函数()f x 的极值点个数为0；②当0a >时，令()20e x f x a '=-=，得()ln 2x a =，当()ln 2x a >时，()0f x '>，则()f x 在()()ln 2,a +∞上单调递增，当()ln 2x a <时，()0f x '<，则()f x 在()(),ln 2a -∞上单调递减，此时函数()f x 的极值点个数为1.综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增，极值点个数为0；当0a >时，()f x 在()()ln 2,a +∞上单调递增，在()(),ln 2a -∞上单调递减，极值点个数为1.(2)由()()0af x g x +=，得sin 1x x a e -=. 令()()sin 10xx h x x e π-=≤≤， 因为关于x 的方程()()0af x g x +=在[]0,π上有两个不等实根，所以直线y a =与函数()sin 1xx h x e -=的图像在[]0,π上有两个交点. ()1cos sin 14x x x x x h x e eπ⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭'==， 令()0h x '=，则sin 42x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭[]0,x π∈，所以2x π=或x π=， 所以当02x π<<时，()0h x '>；当2x ππ<<时，()0h x '<， 所以()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()max 02h x h π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 又()01h =-，()e h ππ-=-， e 1π-->- 所以当)e ,0x a -⎡∈-⎣时，直线y a =与函数()h x 的图像有两个交点，所以实数a 的最小值为e π--.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；(4)利用导数研究零点问题，考查数形结合思想的应用．8．(1)列联表见解析，没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关； (2)①0310p =；②()73a b + 【解析】【分析】（1）对满足条件的数据统计加和即可，然后根据给定的2K 计算公式，将计算结果与195%0.05-=所对应的k 值比较大小即可；（2）①利用独立重复试验与二项分布的特点，写出10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，再利用导数求出最值点；②利用独立重复试验的期望公式代入可求出答案.(1)由题中表格数据完成22⨯列联表如下：()22800125250150275800 3.463 3.841275525400400231K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯. 故没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关.(2)①由题得，()()733101f p C p p =-，()0,1p ∈， ∴()()()()()763236321010C 3171C 1310f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=--⎣⎦. 令()0f p '=，得310p =，当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>；当3,110p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '<， ∴当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调选增；当3,110p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调递减， ∴()f p 的最大值点0310p =. ②本题求要准备的礼品大致为多少元，即求10个人礼品价值X 的数学期望. 由①知答错的概率为310， 则()33101731010E X a b a b ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故要准备的礼品大致为73a b +元.9．(1)答案见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】【分析】（1）求得()'f x ，对参数a 进行分类讨论，即可求得不同情况下函数的单调性； （2）构造函数()ln 1g x x x =-+，利用导数研究函数单调性和最值，即可证明； （3）根据（2）中所求得2211ln 1n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，结合累加法即可求证结果. (1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞，22()2a a x f x x x x'+=+=， ①当0a >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；②当0a <时，令()0f x '=，解得x =当0x <<220a x +<，所以()0f x '<，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，当x >220a x +>，所以()0f x '>，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. 综上，当0a >时，函数()f x 在(0,)+∞上调递增；当0a <时，函数()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. (2)当1a =时，2()ln f x x x =+，要证明2()1f x x x ≤+-，即证ln 1≤-x x ，即ln 10x x -+≤，设()ln 1g x x x =-+，则1()x g x x -'=，令()0g x '=得，可得1x =，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<．所以()(1)0g x g ≤=，即ln 10x x -+≤，故2()1f x x x ≤+-.(3)由（2）可得ln 1≤-x x ，（当且仅当1x =时等号成立）， 令211x n =+，1,2,3,n =，则2211ln 1n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 故2211ln 1ln 123⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…222111ln 123n ⎛⎫++<++ ⎪⎝⎭…21111223n +<++⨯⨯…()11n n +- 1111223⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…11111lne 1n n n ⎛⎫+-=-<= ⎪-⎝⎭， 即222111ln[111234⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…211]lne n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 故222111111234⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (2)11e n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考察利用导数研究含参函数单调性，以及构造函数利用导数证明不等式，以及数列和导数的综合，属综合困难题.10．(1)单调递增区间为(-∞，)+∞；单调递减区间为( (2)55a -<+【解析】【分析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>得增区间，由()0f x '<得减区间；（2）由（1）中所得函数的单调性，得极值，可结合函数的图象得其与直线y a =三个交点时的a 的范围．(1)由已知可得：2()36f x x '=-，令()0f x '=，即2360x -=，解得1x =1x = 所以当x x <()0f x '>，当x <()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间为(-∞，)+∞；单调递减区间为(.(2)由（1）可知()y f x =的图象的大致走势及走向，如图所示，又(2542f -=-2542f =+ 所以当542542a -<+y a =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，方程()f x a =有三个不等实根.。
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在解题中常用的有关结论（需要熟记）：
(1)曲线 y f (x) 在x x0 处的切线的斜率等于 f (x0 ) ，切线方程为 y f (x0 )(x x0 ) f (x0 ) (2)若可导函数 y f (x) 在 x x0 处取得极值，则 f (x0 ) 0 。反之，不成立。 (3)对于可导函数 f (x) ，不等式 f (x) 0（） 0 的解集决定函数 f (x) 的递增（减）区间。
若对 x1 I1 ， x2 I2 ，使得 f (x1 ) g(x2 ) ，则 f (x)max g(x)max .
（11）已知 f (x) 在区间I1 上的值域为 A,， g(x) 在区间I2 上值域为 B， 若 对 x1 I1 , x2 I2 ，使得 f (x1 ) = g(x2 ) 成立，则 A B 。
(4)函数 f (x) 在区间 I 上递增（减）的充要条件是： x I f (x) 0 ( 0) 恒成立 (5)函数 f (x) 在区间 I 上不单调等价于 f (x) 在区间 I 上有极值，则可等价转化为方程
f (x) 0 在区间 I 上有实根且为非二重根。（若 f (x) 为二次函数且 I=R，则有 0 ） 。 (6) f (x) 在区间 I 上无极值等价于 f (x) 在区间在上是单调函数，进而得到 f (x) x2
考点一：导数几何意义：
角度一 求切线方程
(π)
1．(2014·洛阳统考)已知函数 f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，a＝f′ 4 ，f′(x)是 f(x)的导函数，则
过曲线 y＝x3 上一点 P(a，b)的切线方程为( )
A．3x－y－2＝0 C．3x－y－2＝0 或 3x－4y＋1＝0 解析：选 A 由 f(x)＝3x＋cos 2x＋sin
高二数学选修2 2导数与积分单元测试(理科)
高二数学选修2 2导数与积分单元测试（理科）高二数学选修2-2导数与积分单元测试（理科）高二数学月考试卷（理科）一、单项选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）.3?) 由两个坐标轴包围的图形区域为（）25A 4b。
2c。
d、三,21．曲线y?cosx(0?x?2、已知函数f(x)=ax＋c,且a.1二f?(1)=2,则a的值为（）b、 2c.－1d。
03、函数y?cos2x在点(a．4x?2y04,0）处的切线方程为（）b．4x?2y0c、 4x？2y0d.4x？2y02?x2(0?x?1)4、设f(x)??，则?f(x)dx等于（）0 2? x（1？x？2）a345bcd不存在4565.函数f（x）？Xlnx，然后（）（a）在(0,?)上递增；（b）在(0,?)上递减；(c)在(0,)上递增；（d）在(0,)上递减1E1DX的大小关系是（）？01xam？nbm？ncm？无法确定6、m?1exdx与n=?e7.已知函数f（x）？十、斧头？（a？6）x？1有最大值和最小值，那么实数a的值范围是（）（a）-1(b)-3（d） a2（c）a68、32? 4.2edx的值等于（）42424?2x4?2(a)e?e(b)e?e(c)e?e?2(d)e?e?2第1页，共8页9、定积分ａ10（1？X2）DX等于（）1??1ｂｃｄ424210.曲线f（x）？x3？十、2点P处的切线平行于直线y？4x？1，那么点P的坐标是（）a.(1,0)b.(2,8)c.(1,0)和(?1,?4)d.(2,8)和(?1,?4)11.如果f'（x0）？？2.那么limh?0f(x0?h)?f(x0?h)?（）哈2b。
？四c.?6d.?812.已知函数y？xf？（x）的图像显示在右侧（其中f'（x）是函数f（x）的导数）。
在以下四张图片中，y？F（x）的图像大致是（）-2二、填空（这个大问题有4个小问题，每个小问题5分，总共20分）。
高二理科导数练习题
高二理科导数练习题1. 求函数f(x) = (x^3 + 2x^2 - 7x)的导数。
解：首先我们可以将f(x)展开成多项式形式：f(x) = x^3 + 2x^2 - 7x。
对于多项式函数来说，求导的方法比较简单，只需要将指数部分乘以原来的系数，并且指数减1。
所以，f'(x) = 3x^2 + 4x - 7。
2. 求函数g(x) = e^x - 2sin(x)的导数。
解：对于指数函数和三角函数的组合函数来说，求导需要使用链式法则。
首先，求得e^x的导数为e^x，求得sin(x)的导数为cos(x)。
根据链式法则，g'(x) = (e^x)(1) - (2)(cos(x)) = e^x - 2cos(x)。
3. 求函数h(x) = ln(x^2 + 1)的导数。
解：对于对数函数的导数求解，需要使用到求导的基本公式。
根据基本公式，ln的导数为1/x。
所以，h'(x) = 1/(x^2 + 1) * (2x) = 2x/(x^2 + 1)。
4. 求函数k(x) = (2x + 3)^3的导数。
解：对于幂函数的导数求解，需要使用到求导的链式法则。
首先，我们可以将k(x)展开成多项式形式：k(x) = 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27。
对于多项式函数来说，求导的方法比较简单，只需要将指数部分乘以原来的系数，并且指数减1。
所以，k'(x) = 24x^2 + 72x + 54。
5. 求函数m(x) = sqrt(x^2 + 1)的导数。
解：对于平方根函数的导数求解，需要使用到求导的基本公式。
根据基本公式，sqrt的导数为1/(2sqrt(x))。
所以，m'(x) = 1/(2sqrt(x^2 + 1)) * (2x) = x/(sqrt(x^2 + 1))。
这些是高二理科导数的练习题，希望对你的学习有所帮助。
请多加练习，加深对导数的理解和应用。
高二理科数学第二学期期末复习题专题一 导数与积分
廷中高二理科数学第二学期期末复习题专题一——导数与积分班别：_____________ 姓名：_____________ 座号：____________一、选择题1、若000(2)()13lim x f x x f x x ∆→+∆-=∆，则'0()f x =（ ） A ．23 B ．32C ．3D ．2 2、一个物体的位移s (米)和与时间t (秒)的关系为242s t t =-+，则该物体在4秒末的瞬时速度是 （ ）A ．12米/秒B ．8米/秒C ．6米/秒D ．8米/秒3、若1 N 的力能使弹簧伸长1 cm ，现在要使弹簧伸长10 cm ，则需要花费的功为( )A ．0.05 JB ．0.5 JC ．0.25 JD ．1 J4、若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则( )A ．1,1a b ==B ．1,1a b =-=C ．1,1a b ==-D ．1,1a b =-=-5、函数3y x ax b =++在(1,1)-上为减函数，在(1,)+∞上为增函数，则（ ）A ．1,1a b ==B ．1,a b R =∈C ．3,3a b =-=D ．3,a b R =-∈6 、曲线1,4,22===y x y x y 所围成图形的面积为( )A ．34B ．32C ．31D ．38 7、如图，直线l 和圆C ，当l 从0l 开始在平面上绕O 点按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图象大致是（ ）8、曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是（ ）A ．5B ．25C ．35D ．09、已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件 C ． 9万件 D ．7万件10、若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =A ．64B ．32C ．16D ．8二、填空题11、函数232ln y x x =-的单调减区间为12、 f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为_____________13、若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是_____________ 14、将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S =梯形的周长）梯形的面积,则S 的最小值是______________ 15 、设曲线11x y x +=-在点（3，2）处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = 16、下列运算正确的是__________________ ①(x+211)1x x +='；② (x 2cosx)′=-2xsinx ；③20sin 4xdx =⎰π；④⎰-222cos ππxdx =2π； ⑤e 1e dx )e (e x 10x +=+-⎰；⑥4πdx )x 1(112=-⎰-；⑦12e +⎰三、解答题17、 已知曲线f (x ) = a x 2 ＋2在x=1处的切线与2x-y+1=0平行（1）求f (x )的解析式 ；（2）求由曲线y=f (x )与3y x =，0x =，2x =18、已知函数32()f x ax x bx =++(其中常数a ,b ∈R),()()()g x f x f x '=+是奇函数.（1）求()f x 的表达式；（2）求()g x 的单调区间；（3）求()g x 在区间[1,2]上的最大值和最小值。
高二数学期末复习卷(导数、立体几何、解析汇报几何、简易逻辑、积分、复数)
上饶中学2017—2018学年凌云年级第十七周周练卷（理科零班、奥赛）数学试卷考试范围：选修2-1、2-2、4-4、4-5 命题人：吕峰 审题人：高二数学组一、选择题1.已知复数z 在复平面内对应点是(1,2),若i 虚数单位,则11z z +=- ( ) A. 1i -- B. 1i -+ C. 1i - D. 1i +2.已知命题:,23x x p x R ∀∈<;命题32:,1q x R x x ∃∈=-,则下列命题中为真命题的是( )A. p q ∧B. p q ⌝∧C. p q ∧⌝D. p q ⌝∧⌝3.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是( )A.甲B.乙C.丙D.丁 4.设函数32()3f x x tx x =-+,在区间[]1,4上单调递减,则实数t 的取值范围是( ) A. 51(,]8-∞ B. (,3]-∞ C. 51[,)8+∞ D. [)3,+∞ 5设若函数有大于零的极值点,则( ) A.B.C.D.6.已知函数1()xf x x a e ⎛⎫=-⎪⎝⎭,曲线(x)y f =上存在两个不同点,使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直,则实数a 的取值范围是( )A. ()2,e -+∞ B. ()2,0e - C. 21,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. 21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 7.如图,在直三棱柱111ABC A BC -中，190,2,1ACB AA AC BC ∠====,则异面直线1AB 与AC 所成角的余弦值是( )A. B. C. D.8.在平行六面体1111ABCD A BC D -中,底面是边长为1的正方形,若1160A AD A AB ∠-∠=且13A A =,则1AC 的长为( )A. B. C. D.9.若抛物线22(0)y px p =>上一点到焦点和抛物线对称轴的距离分别为10和6,则抛物线方程为( )A. 24y x = B. 236y x = C. 24y x =或236y x = D. 28y x =或232y x =10.在平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点F 作x 轴的垂线,交C 于点P ,若2,cos OP OF OPF ⋅=∠=uu u r uu u r 则椭圆C 的方程为( )A.22143x y += B. 22142x y += C. 2214x y += D. 2212x y += 11.设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P ,使()220OP OF F P +⋅= (O 为坐标原点),且123PF PF =,则双曲线的离心率为()A.12B.1C.D.1 12.给出下列四个命题:(1)若p q ∨为假命题,则,p q 均为假命题;(2)命题“[)21,2,0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件可以是1a ≥;(3)已知函数2211()f x x x x -=+,则(2)6f =;(4)若函数2143mx y mx mx -=++的定义域为R ,则实数m 的取值范围是3(0,)4. 其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3二、填空题13.已知命题“x R ∃∈,使214(2)04x a x +-+≤”是假命题,则实数a 的取值范围是 __________14.若向区域{(,)|01,01}x y x y ≤≤≤≤内投点,则该点落在由直线y x =与曲线y 围成区域内的概率为__________15.已知正方体的1111ABCD A BC D -棱长为2,点M ,N 分别是棱BC ,11C D 的中点,点P 在平面1111A B C D 内,点Q 在线段1A N 上,若PM =则P Q 、长度的最小值为__________16.已知函数2,0()1,0xe xf x x ax x ⎧≤⎪=⎨++>⎪⎩,()()1F x f x x =--,且函数()F x 有两个零点,则实数a 的取值范围为__________三、解答题17.[选修4-4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2cos {22sin x y αα==+ (α为参数),直线l 的参数方程为{132x y t==+ (t 为参数),在以坐标原点O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ,且点A的极坐标为()1θ,其中1,2θπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭1.求曲线C 的极坐标方程及1θ的值;2.射线OA 与直线l 相交于点B ,求AB 的值18.[选修4—5:不等式选讲] 已知函数(),f x x x a a R =-∈ 1.若(1)(1)1f f +->,求a 的取值范围;2.若0a >,对(],,x y a ∀∈-∞,都有不等式5()4f x y y a ≤++-恒成立,求a 的取值范围19.在四棱锥P ABCD -中, PA ⊥平面ABCD ,ABC ∆是正三角形, AC 与BD 的交点为M ,又PA AB 4,AD CD,CDA 120===∠=︒,点N 是CD 中点1.平面PMN ⊥平面PAB2.求二面角B PC D --的余弦值20.在平面直角坐标系中,已知抛物线28y x =, O 为坐标原点,点M 为抛物线上任意一点,过点M 作 x 轴的平行线交抛物线准线于点P ,直线PO 交抛物线于点N 1.求证:直线MN 过定点G ,并求出此定点坐标 2.若,,M G N 三点满足4MG GN =,求直线MN 的方程21.已知函数21()ln (0)2f x x a x a =-> 1.若2a =,求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程2.若()f x 在区间(1,)e 上恰有两个零点,求a 的取值范围参考答案一、选择题1.答案：C 解析：2.答案：B 解析：3.答案：B解析：∵乙、丁两人的观点一致,∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假;若乙、丁两人说的是真话,则甲、丙两人说的是假话,由乙说真话推出丙是罪犯的结论;由甲说假话,推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论,矛盾;∴乙、丁两人说的是假话,而甲、丙两人说的是真话;由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯. 4.答案：C 解析： 答案： A解析： 解:由题意得知, 令则故解得又函数有大于零的极值点,所以所以6.答案：D 解析：7.答案：D 解析：8.答案：A 解析：9.答案：C 解析： 10.答案：B 解析： 11.答案：D解析：取2PF 的中点A ,则由()220OP OF F P +⋅=得220OA F P ⋅=,即2OA F P ⊥;在12PF F ∆中, OA 为12PF F ∆的中位线,所以12PF PF ⊥,所以22212(2)PF PF c +=;又由双曲线定义知122PF PF a -=,且12PF =,所以1)2c a =,解得1e =,故应选D . 12.答案：C 解析：二、填空题 13.答案：(0,4)解析： 14.答案：16解析：曲线围成区域面积为:3121200211)()|326x dx x x =-=⎰15.1解析：16.答案：1a < 解析：三、解答题17.答案：1.由题意知,曲线C 的普通方程为()2224x y +-=,∵,x cos y sin ρθρθ==,∴曲线C 的极坐标方程为()()2224,cos sin ρθρθ+-= 即4?sin ρθ=由ρ=得sin θ=∵,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴23πθ=2.由题,易知直线l的普通方程为0x -= ∴直线l的极坐标方程为0cos sin ρθθ-=. 又射线OA 的极坐标方程为()20,3θρπ=≥ 联立,得2,03cos sin 0p p θθπ⎧=≥⎪⎨⎪+-=⎩解得ρ=∴点B的极坐标为23π⎛⎫ ⎪⎝⎭B A AB ρρ∴=-==解析：18.答案：1. (1)(1)111f f a a +-=--+>若1a ≤-,则111a a -++>,得21>,即1a ≤-时恒成立;若11a -<<,则1(1)1a a --+>,得12a <-,即112a -<<-; 若1a ≥,则(1)(1)1a a ---+>,得21->,即不等式无解. 综上所述, a 的取值范围是1(,)2-∞-.2.由题意知,要使得不等式恒成立,只需max min 5[()][]4f x y y a ≤++-, 当(],x a ∈-∞时, 22max(),[()]()24a a f x x ax f x f =-+==∵5544y y a a ++-≥+, ∴当5[,]4y a ∈-时, min555444y y a a a ⎡⎤++-=+=+⎢⎥⎣⎦则2544a a ≤+,解得15a -≤≤,结合0a >,所以a 的取值范围是(0,5] 解析：19.答案：1.证明:在正三角形ABC ∆中, AB BC =,在ACD ∆中, AD CD =,又BD BD =,所以ABD BCD ∆≅∆,所以M 为AC 的中点,又点N 是CD 中点,所以//MN AD 因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA AD ⊥,又120CDA ∠=︒,AD CD =所以30DAC ∠=︒又60?BAC ∠=,AD AB ⊥,又PA AD ⊥,所以AD ⊥平面PAB ,已证//MN AD , 所以MN ⊥平面PAB ,2.如图所示以A 为原点, ,,AB AD AP 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系。
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第一部分 复数1．概念： (1) z =a +bi 是虚数⇔b ≠0； (2) z =a+b i 是纯虚数⇔a =0且b ≠0； (3) a +b i=c +di ⇔a =c 且c =d ；2．复数的代数形式及其运算：设z 1= a + bi , z 2 = c + di ，则： (1) z 1±z 2 = (a + b )± (c + d )i ；(2) z 1.z 2 = (a +bi )·(c +di )＝（ac -bd ）+ (ad +bc )i ；(3) z 1÷z 2 ==-+-+))(())((di c di c di c bi a i d c ad bc dc bd ac 2222+-+++ (z 2≠0) ;第二部分 导数及其应用 1.函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率．2.常见函数的导数公式： ①'C0=； ②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=；⑤a a a xx ln )('=；⑥xx ee =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=； ⑧x x 1)(ln '=3.导数运算法则：()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦；()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦；()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦．4.在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增；若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减．5.求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．6.求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是：()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值；()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．第三部分积分和微分2、微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)如果()()F x f x '=，且()f x 在],[b a 上可积，则()()()()bba af x dx F x F b F a ==-⎰，【其中()F x 叫做()f x 的一个原函数，因为()()()()F x C F x f x ''+==】3、常用定积分公式⑴0dx c ⎰=（c 为常数） ⑵1dx x c ⎰=+ ⑶1(1)1x x d x c αααα+⎰=+≠-+⑷1ln dx x c x ⎰=+ ⑸x x e dx e c ⎰=+ ⑹(0,1)ln x xa a dx c a a a ⎰=+>≠⑺sin cos xdx x c ⎰=-+ ⑻c o ss i n x d x x c ⎰=+ ⑼1sin cos (0)axdx ax c a a ⎰=-+≠ ⑽1c o s s i n (0)a x d x a xc aa ⎰=+≠4、定积分的性质 ⑴⎰⎰=babadxx f k dx x kf )()(（k 为常数）； ⑵⎰⎰⎰±=±bababadxx g dx x f dx x g x f )()()()(；⑶()()()bc baacf x dx f x dx f x dx=+⎰⎰⎰（其中)a c b <<;第二课时空间向量的数量积 1、夹角定义：,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作==,，则AOB ∠叫做向量与向量的夹角，记作><,规定：π>≤≤<,0特别地，如果0,>=<，那么a 与b 同向；如果π>=<,，那么a 与b 反向；如果090,>=<b a ，那么与垂直，记作⊥。
2、数量积（1）设,是空间两个非零向量，我们把数量><b a b a ,cos ||||叫作向量,的数量积，记作⋅，即⋅＝><b a b a ,cos |||| （2）夹角：2cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+．（3）运算律⋅=⋅；)()(⋅=⋅λλ；⋅+⋅=+⋅)(（4）模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则2||a a a a =⋅=+2||b b b b =⋅=+．（5）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB ==，或2,2121)()A B d = （6）00212121=++⇔=⋅⇔⊥z z y y x x 3、平面的法向量如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥，如果α⊥，那么向量叫做平面α的法向量。
法二、设1n ,2n 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧（同等异补），则二面 角l αβ--的平面角的余弦值121212cos cos ,||||n n n n n n α=<>=.12||||n n n n .1n n高二下学期期中测试题（理科）第Ⅰ卷（选择8题，共40分） 一、 选择题：（每小题5分，共40分，每小题所给的四个选项中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在第Ⅰ卷后的表格内.）1 设，那么A ．B ．C ．D ．2. 若函数在点P 处取得极值，则P 点坐标为 A ．（2,4）B ．（2,4）、（－2，－4）C ．（4,2）D ．（4,2）、（－4，－2）3．0a =是复数),(R b a bi a ∈+为纯虚数的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分条件也非必要条件4．复数534+i的共轭复数是（ ） A ．34-i B ．3545+i C ．34i + D ．3545-i 5．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.7126在曲线上切线倾斜角为的点是A.(0,0)B.(2,4)C.D.7.复数(2)z i i =+在复平面内的对应点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限x x x f cos sin )(+=x x x f sin cos )(-='x x x f sin cos )(+='x x x f sin cos )(+-='x x x f sin cos )(--='xx x f 4)(+=2x y =4π)161,41()41,21(8．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π4二、填空题（共6题，30分）1．复数234z i i i i =+++的值是___________。
2.有下列命题：①；②；③； 其中是真命题的有：__ _____．（把你认为正确命题的序号都填上）3．若(2i)i i a b -=-，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则22a b += ．4．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．5.抛物线在点（1,4）处的切线方程是 .三、解答题：（本大题共3小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）1．（本小题满分15分）已知函数，其中，，又在处的切线方程为，求函数的解析式. 解：2)(v u v v u v u '-'='e x x lg 1)(ln ='x x 2cos 1)(tan ='24x y =b x x ax x f ++-=233)(R b a ∈,0≠a )(x f y =1=x 012=++y x )(x f2. 设函数.（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值； （Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.3．（本小题满分13分）如图4，四边形为正方形， 平面，，于点， ，交于点. （1）证明：（2）求二面角的余弦值。
18.（１）平面，，又，，平面，，又，平面，即；（２）设，则中，，又，，由（１）知，又，，，同理，如图所示，以D 为原点，建立空间直角坐标系，则，，，，3()3(0)f x x ax b a =-+≠()y f x =(2,())f x 8y =,a b ()f x ABCD PD ⊥ABCD 030DPC ∠=AF PC ⊥F //FE CD PD E CF ADF ⊥平面D AF E --PD ⊥ABCD PD AD ∴⊥CD AD ⊥PD CD D =AD ∴⊥PCD AD PC ∴⊥AF PC ⊥PC ∴⊥ADF CF ADF ⊥平面1AB =Rt PDC ∆1CD =DPC ∠=2PC ∴=PD =CF DF ⊥DF ∴=AF ==12CF ∴==//FE CD 14DE CF PD PC ∴==DE ∴=3344EF CD ==(0,0,1)A E 3,0)4F P (0,1,0)C ABCD EFP设是平面的法向量，则，又，所以，令，得，由（１）知平面的一个法向量，设二面角的平面角为，可知为锐角，，即所求．(,,)m x y z =AEF m AE m EF ⎧⊥⎨⊥⎩3(3(0,,0)4AE EF ⎧=⎪⎨=⎪⎩3034m AE x zm EF y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩4x =z =m =ADF (,0)PC =D AF E --θθ||cos |cos ,|||||m PC m PC m PC ⋅=<>==⋅θ=。