第十二章 第一节 相似三角形的判定及有关性质
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质相似三角形是初中数学中重要的概念之一，它们具有相同的形状但是大小不同。
在初中数学学习中，我们需要学会如何判定两个三角形是否相似，以及相似三角形具有哪些性质。
本文将对相似三角形的判定方法与性质进行详细介绍。
一、相似三角形的判定要判定两个三角形是否相似，有三种常用的方法：AA判定法、SAS判定法和SSS判定法。
1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
具体而言，如果两个三角形中的两个角分别相等，即对应角相等，那么这两个三角形就是相似的。
2. SAS判定法：如果两个三角形中，一个角相等，并且两个边的比值相等，那么这两个三角形相似。
具体而言，如果两个三角形中，某个角相等，并且两边之比也相等，那么这两个三角形就是相似的。
3. SSS判定法：如果两个三角形的三边之比相等，则这两个三角形相似。
具体而言，如果两个三角形的对应边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。
以上三种判定法是判断相似三角形最常用的方法，通过使用其中的任意一种判定法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似。
二、相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质，包括比例关系、角度关系和面积关系。
1. 边的比例关系：相似三角形的对应边之比相等。
如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比值是相等的。
例如，若两个相似三角形的两个边的比值分别为a:b，c:d，那么它们的第三边的比值也是相等的，即比值为a/c=b/d。
2. 角度关系：相似三角形的对应角相等。
如果两个三角形相似，那么它们的对应角是相等的。
具体而言，如果一个角分别相等，则这两个三角形的对应角也相等。
3. 面积关系：相似三角形的面积比等于边长比的平方。
如果两个三角形相似，那么它们的面积比等于边长比的平方。
具体而言，若两个相似三角形的对应边的长度比为a:b，那么它们的面积比为a^2:b^2。
相似三角形的性质在数学中应用广泛。
例如，在测量中，我们可以利用相似三角形的边长比关系求取难以测量的长度。
相似三角形的性质及应用(知识点串讲)(解析版)
专题12 相似三角形的性质及应用知识网络重难突破知识点一相似三角形的性质①对应角相等，对应边成比例．②周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方．③对应高线长之比、对应角平分线长之比、对应中线长之比都等于相似比．【典例1】（2020•衢州模拟）如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q．平行四边形ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积为．【点拨】由四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，易证得△BCP∽△BER，△ABP∽△CQP∽△DQR，又由点R为DE的中点，可求得各相似三角形的相似比，继而求得答案．【解析】解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴AD＝BC＝CE，AB∥CD，AC∥DE，∴平行四边形ACED的面积＝平行四边形ABCD的面积＝6，△BCP∽△BER，△ABP∽△CQP∽△DQR，∴△ABC的面积＝△CDE的面积＝3，CP：ER＝BC：BE＝1：2，∵点R为DE的中点，∴CP：DR＝1：2，∴CP：AC＝CP：DE＝1：4，∵S△ABC＝3，∴S△ABP＝S△ABC＝，∵CP：AP＝1：3，∴S△PCQ＝S△ABP＝，∵CP：DR＝1：2，∴S△DQR＝4S△PCQ＝1，∴S阴影＝S△PCQ+S△DQR＝．故答案为：．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【典例2】（2019秋•河北区期末）如图在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）如AF＝3，AG＝5，求△ADE与△ABC的周长之比．【点拨】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE＝∠AGC＝90°，从而可证明∠AED＝∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；（2）依据△ADE∽△ABC，利用相似三角形的周长之比等于对应高之比，即可得到结论．【解析】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°，∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠ACB，∵∠EAD＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；（2）由（1）可得△ADE∽△ABC，又∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∴△ADE与△ABC的周长之比＝＝．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．【变式训练】1．（2020春•甘州区校级月考）两个相似三角形面积比是4：9，其中一个三角形的周长为24cm，则另一个三角形的周长是（）cm．A．16 B．16或28 C．36 D．16或36【点拨】根据相似三角形的性质求出相似比，得到周长比，根据题意列出比例式，解答即可．【解析】解：∵两个相似三角形面积比是4：9，∴两个相似三角形相似比是2：3，∴两个相似三角形周长比是2：3，∵一个三角形的周长为24cm，∴另一个三角形的周长是16cm或36cm，故选：D．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．2．（2019秋•慈溪市期末）如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（）A．28°B．32°C．42°D．52°【点拨】先求出∠B，根据相似三角形对应角相等就可以得到．【解析】解：∵∠A＝110°，∠C＝28°，∴∠B＝42°，∵△ABC∽△DEF，∴∠B＝∠E．∴∠E＝42°．故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的性质的运用，全等三角形的对应角相等，是基础知识要熟练掌握．3．（2019秋•奉化区期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB，若AB＝3BD，则S△ADE：S△EFC的值为（）A．4：1 B．3：2 C．2：1 D．3：1【点拨】由题意可证四边形BDEF是平行四边形，可得BD＝EF，AD＝2EF，通过证明△ADE∽△EFC，可求解．【解析】解：∵AB＝3BD，∴AD＝2BD，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴BD＝EF，∴AD＝2EF，∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED＝∠C，∠FEC＝∠A，∴△ADE∽△EFC，∴S△ADE：S△EFC的＝（）2＝4：1，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．4.（2020•下城区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD＝9，那么BC的长是（）A．4 B．6 C．2D．3【点拨】证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质求出CD、BD，根据勾股定理求出BC．【解析】解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴＝，＝，∴＝，即＝，解得，CD＝6，∴＝，解得，BD＝4，∴BC＝＝＝2，故选：C．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5.（2019•纳溪区模拟）如图，已知矩形ABCD，AB＝6，BC＝10，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE相交于I，与BD相交于H，则四边形BEIH的面积为（）A．6 B．7 C．8 D．9【点拨】延长AF交DC于Q点，由矩形的性质得出CD＝AB＝6，AB∥CD，AD∥BC，得出＝1，△AEI∽△QDE，因此CQ＝AB＝CD＝6，△AEI的面积：△QDI的面积＝1：16，根据三角形的面积公式即可得出结果．【解析】解：延长AF交DC于Q点，如图所示：∵E，F分别是AB，BC的中点，∴AE＝AB＝3，BF＝CF＝BC＝5，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，AB∥CD，AD∥BC，∴＝1，△AEI∽△QDE，∴CQ＝AB＝CD＝6，△AEI的面积：△QDI的面积＝（）2＝，∵AD＝10，∴△AEI中AE边上的高＝2，∴△AEI的面积＝×3×2＝3，∵△ABF的面积＝×5×6＝15，∵AD∥BC，∴△BFH∽△DAH，∴＝＝，∴△BFH的面积＝×2×5＝5，∴四边形BEIH的面积＝△ABF的面积﹣△AEI的面积﹣△BFH的面积＝15﹣3﹣5＝7．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．6.（2020•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）设，①若BC＝12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．【点拨】（1）由平行线的性质得出∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，即可得出结论；（2）①由平行线的性质得出＝＝，即可得出结果；②先求出＝，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．【解析】（1）证明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE，∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC；（2）解：①∵EF∥AB，∴＝＝，∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，∴＝，解得：BE＝4；②∵＝，∴＝，∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．知识点二相似三角形的应用【典例3】（2019秋•解放区校级期中）一块直角三角形木板的面积为1.5m2，一条直角边AB为1.5m，怎样才能把它加工成一个无拼接的面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用所学的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗不计，计算结果中的分数可保留）【点拨】结合相似三角形的判定与性质进而得出两个正方形的边长，进而求出面积比较得出答案．【解析】解：由AB＝1.5m，S△ABC＝1.5m2，可得BC＝2m，由图甲，过点B作Rt△ABC斜边AC上的高，BH交DE于P，交AC于H．由AB＝1.5m，BC＝2m，得AC＝＝2.5（m），由AC•BH＝AB•BC可得：BH＝＝1.2（m），设甲设计的桌面的边长为xm，∵DE∥AC，∴Rt△BDE∽Rt△BAC，∴＝，即＝，解得x＝（m），由图乙，若设乙设计的正方形桌面边长为ym，由DE∥AB，得Rt△CDE∽Rt△CBA，∴＝，即＝，解得y＝（m），∵x＝，y＝，∴x＜y，即x2＜y2，∴S正方形甲＜S正方形乙，∴第二个正方形面积大【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确表示出正方形的边长是解题关键．【变式训练】1．（2019秋•嘉兴期末）如图，小明在打乒乓球时，为使球恰好能过网（设网高AB＝15cm），且落在对方区域桌子底线C处，已知小明在自己桌子底线上方击球，则他击球点距离桌面的高度DE为（）A．15cm B．20cm C．25cm D．30cm【点拨】证明△CAB∽△CDE，然后利用相似比得到DE的长．【解析】解：∵AB∥DE，∴△CAB∽△CDE，∴＝，而BC＝BE，∴DE＝2AB＝2×15＝30（cm）．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．2．（2019秋•鹿城区月考）如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB＝8m，CD＝12m，则点M离地面的高度MH为（）A．4 m B．m C．5m D．m【点拨】根据已知易得△ABM∽△DCM，可得对应高BH与HD之比，易得MH∥AB，可得△MDH∽△ADB，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．【解析】解：∵AB∥CD，∴△ABM∽△DCM，∴＝＝＝，（相似三角形对应高的比等于相似比），∵MH∥AB，∴△MCH∽△ACB，∴＝＝，∴＝，解得MH＝．故选：B．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比；解决本题的突破点是得到BH与HD的比．3．（2019秋•滨江区期末）如图，小华同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，使斜边DF与地面保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝30cm，EF＝15cm，测得边DF离地面的高度AC＝120cm，CD＝600cm，则树AB的高度为420cm．【点拨】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长，再加上AC的长即可求得树高AB．【解析】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴BC：EF＝DC：DE，∵DE＝30cm，EF＝15cm，AC＝120cm，CD＝600cm，∴，∴BC＝300cm，∴AB＝AC+BC＝120+300＝420cm，故答案为：420．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．4.（2020•秦皇岛一模）如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC 高9m．①计算小亮在路灯D下的影长；②计算建筑物AD的高．【点拨】解此题的关键是找到相似三角形，利用相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例求解．【解析】解：①∵EP⊥AB，CB⊥AB，∴∠EP A＝∠CBA＝90°∵∠EAP＝∠CAB，∴△EAP∽△CAB∴∴∴AB＝10BQ＝10﹣2﹣6.5＝1.5；②∵FQ⊥AB，DA⊥AB，∴∠FQB＝∠DAB＝90°∵∠FBQ＝∠DBA，∴△BFQ∽△BDA∴＝∴∴DA＝12．【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出建筑物AB的高与小亮在路灯D下的影长，体现了方程的思想．巩固训练1．（2019秋•连州市期末）两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（）A．45cm，85cm B．60cm，100cm C．75cm，115cm D．85cm，125cm【点拨】根据题意两个三角形的相似比是15：23，可得周长比为15：23，计算出周长相差8份及每份的长，可得两三角形周长．【解析】解：根据题意两个三角形的相似比是15：23，周长比就是15：23，大小周长相差8份，所以每份的周长是40÷8＝5cm，所以两个三角形的周长分别为5×15＝75cm，5×23＝115cm．故选：C．【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．2．（2018秋•临安区期末）如图，在△ABC中，BC＝8，高AD＝6，点E，F分别在AB，AC上，点G，H 在BC上，当四边形EFGH是矩形，且EF＝2EH时，则矩形EFGH的周长为（）A．B．C．D．【点拨】通过证明△AEF∽△ABC，可得，可求EH的长，即可求解．【解析】解：如图，记AD与EF的交点为M，∵四边形EFGH是矩形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AM和AD分别是△AEF和△ABC的高，∴∴∴EH＝，∴EF＝，∴矩形EFGH的周长＝2×（+）＝故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．3．（2019秋•庐阳区校级期中）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△DOE：S△AOC的值为（）A．B．C．D．【点拨】由已知条件易求BE：BC＝1：5；证明△DOE∽△AOC，得到DE：AC的值，由相似三角形的性质即可解决问题．【解析】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：4，∴BE：EC＝1：4，∴BE：BC＝1：5，∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，∴DE：AC＝BE：BC＝1：5，∴S△DOE：S△AOC＝（）2＝，故选：D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证出BE：BC＝1：5是解决问题的关键．4．（2020•上城区一模）如图，△ABC中，D，E两点分别在边AB，BC上，若AD：DB＝CE：EB＝3：4，记△DBE的面积为S1，△ADC的面积为S2，则S1：S2＝16：21．【点拨】过点E、C分别作EF⊥AB于点F，CG⊥AB于点G，根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．【解析】解：过点E、C分别作EF⊥AB于点F，CG⊥AB于点G，∴EF∥CG，∴△BEF∽△BCG，∴，∵CE：EB＝3：4，∴，∴，∴＝＝，∴S1：S2＝16：21，故答案为：16：21．【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．5．（2019秋•江干区期末）如图，已知▱ABCD中，E是BC的三等分点，连结AE与对角线BD交于点F，则S△BEF：S△ABF：S△ADF：S四边形CDFE＝1：3：9：11．【点拨】由E是BC的三等分点，得到＝，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，根据相似三角形的性质得到＝＝设S△BEF＝k，S△ABF＝3k，S△ADF＝9k，求得S△ABF+S△ADF＝S四边形ABCD＝S△BEF+S四边形CDFE＝12k，得到S四边形CDFE＝12k﹣k＝11k，于是得到结论．【解析】解：∵E是BC的三等分点，∴＝，在▱ABCD中，∵AD∥BC，AD＝BC，∴△ADF∽△EBF，∴＝＝，∴S△BEF：S△ABF：S△ADF＝1：3：9，设S△BEF＝k，S△ABF＝3k，S△ADF＝9k，∴S△ABF+S△ADF＝S四边形ABCD＝S△BEF+S四边形CDFE＝12k，∴四边形CDFE＝12k﹣k＝11k，∴S△BEF：S△ABF：S△ADF：S四边形CDFE＝1：3：9：11，故答案为：1：3：9：11．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及面积的计算方法；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．6．（2020•晋安区一模）如图，利用镜子M的反射（入射角等于反射角），来测量旗杆CD的长度，在镜子上作一个标记，观测者AB看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合，若观测者AB的身高为1.6m，量得BM：DM＝2：11，则旗杆的高度为8.8m．【点拨】根据题意抽象出相似三角形，然后利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．【解析】解：根据题意得：△ABM∽△CDM，∴AB：CD＝BM：DM，∵AB＝1.6m，BM：DM＝2：11，∴1.6：CD＝2：11，解得：CD＝8.8m，故答案为：8.8．【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是根据实际问题抽象出相似三角形，难度不大．7．（2019秋•竞秀区期末）如图，路灯距地面的高度PO＝8米，身高1.6米的小明在点A处测量发现，他的影长AM＝2.4米，则AO＝9.6米；小明由A处沿AO所在的直线行走8米到点B时，他的影子BN 的长度为0.4米．【点拨】如图，设OA＝x，BN＝y．利用相似三角形的性质构建方程组即可解决问题．【解析】解：如图，设OA＝x，BN＝y．∵EB∥OP∥F A，∴△MAF∽△MOP，△NBE∽△NOP，∴＝，＝，∴＝，＝，解得x＝9.6，y＝0.4，故答案为9.6，0.4．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．8．（2019秋•开江县期末）如图，学校操场旁立着一杆路灯（线段OP）．小明拿着一根长2m的竹竿去测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地点A竖起竹竿（线段AE），这时他量了一下竹竿的影长AC正好是1m，他沿着影子的方向走了4m到达点B，又竖起竹竿（线段BF），这时竹竿的影长BD正好是2m，请利用上述条件求出路灯的高度．【点拨】根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】解：由于BF＝DB＝2m，即∠D＝45°，∴DP＝OP＝灯高．在△CEA与△COP中，∵AE⊥CP，OP⊥CP，∴AE∥OP．∴△CEA∽△COP，∴．设AP＝xm，OP＝hm，则，①，DP＝OP＝2+4+x＝h，②联立①②两式，解得x＝4，h＝10．∴路灯有10m高．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．9．（2019秋•余杭区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上且AE•AB＝AD•AC，连结DE，BD．（1）求证：△ADE∽△ABC．（2）若点E为AB中点，AD：AE＝6：5，△ABC的面积为50，求△BCD的面积．【点拨】（1）由已知得出AE：AC＝AD：AB，由∠A＝∠A，即可得出：△ADE∽△ABC．（2）设AD＝6x，则AE＝5x，AB＝10x，由已知求出AC＝＝x，得出CD＝AC﹣AD＝x，得出＝，由三角形面积关系即可得出答案．【解析】（1）证明：∵AE•AB＝AD•AC，∴AE：AC＝AD：AB，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC．（2）解：∵点E为AB中点，∴AE＝BE，∵AD：AE＝6：5，∴设AD＝6x，则AE＝5x，AB＝10x，∵AE•AB＝AD•AC，∴AC＝＝＝x，∴CD＝AC﹣AD＝x，∴＝，∵△ABC的面积为50，∴△BCD的面积＝×50＝14．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积关系等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．10．（2018秋•江干区期末）如图，在菱形ABCD中，点E在BC边上（不与点B、C重合），连接AE、BD 交于点G．（1）若AG＝BG，AB＝4，BD＝6，求线段DG的长；（2）设BC＝kBE，△BGE的面积为S，△AGD和四边形CDGE的面积分别为S1和S2，把S1和S2分别用k、S的代数式表示；（3）求的最大值．【点拨】（1）证明△BAG∽△BDA，利用相似比可计算出BG＝，从而得到DG的长；（2）先证明△ADG∽△EBG，利用相似三角形的性质得＝（）2＝k2，＝＝k，所以S1＝k2S，根据三角形面积公式得到S△ABG＝，再利用菱形的性质得到S2＝S1+﹣S＝k2S+kS﹣S＝（k2+k﹣1）S；（3）由于＝＝1+﹣，然后根据二次函数的性质解决问题．【解析】解：（1）∵AG＝BG，∴∠BAG＝∠ABG，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠BAG＝∠ADB，∴△BAG∽△BDA，∴＝，即＝，∴BG＝，∴DG＝BD﹣BG＝6﹣＝；（2）∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝AD＝kBE，AD∥BC，∵AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，∠ADG＝∠BEG∴△ADG∽△EBG，∴＝（）2＝k2，＝＝k，∴S1＝k2S，∵＝＝k，∴S△ABG＝，∵△ABD的面积＝△BDC的面积，∴S2＝S1+﹣S＝k2S+kS﹣S＝（k2+k﹣1）S；（3）∵＝＝1+﹣＝﹣（﹣）2+，∴的最大值为．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．也考查了菱形的性质．。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质相似三角形是数学几何中的一个重要概念，它在解决实际问题和证明定理时起着关键作用。
相似三角形的判定是基于其边比和角相等的条件，而相似三角形的性质则涉及到各个角的对应关系和边的比例关系。
本文将详细介绍相似三角形的判定方法和性质。
一、相似三角形的判定方法在确定两个三角形是否相似时，常用的判定方法有以下几种：1. AA判定法（角-角判定法）：如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们是相似三角形。
具体来说，如果两个三角形的一个角相等，且对应边的夹角也相等，那么它们是相似的。
2. SSS判定法（边-边-边判定法）：如果两个三角形的三边分别成比例，那么它们是相似三角形。
具体来说，如果两个三角形的对应边的长度之比相等，那么它们是相似的。
3. SAS判定法（边-角-边判定法）：如果两个三角形的一个角相等，且两个角的对边成比例，那么它们是相似三角形。
这些判定方法是相似三角形性质的基础，通过判定可以确定两个三角形是否相似。
二、相似三角形的性质1. 两个相似三角形的对应角相等，即相应的角相等。
这是相似三角形定义的直接性质，对应角相等是相似三角形的必要条件。
2. 两个相似三角形的对应边成比例。
如果两个三角形相似，则它们的对应边的长度之比等于任意两个对应边的长度之比。
具体来说，设两个相似三角形的对应边分别为AB和A'B'、AC和A'C'、BC和B'C'，则有AB/A'B' = AC/A'C' = BC/B'C'。
3. 两个相似三角形的高线成比例。
如果两个相似三角形的高线分别为h和h'，那么h/h'等于相应的边的长度之比。
4. 两个相似三角形的面积之比等于对应边长度之比的平方。
设两个相似三角形的面积分别为S和S'，对应边的长度之比为k，则有S/S' = k^2。
5. 两个相似三角形的周长之比等于对应边长度之比。
高中数学1-1相似三角形的判定及有关性质课件
AD AE 等. AB AC
∴BC=6,∴DC=4,∴S△BDE∶S△BCA=DE2∶AC2=1∶9.
答案：(1)∠ADE=∠B(或∠AED=∠C或 AD AE )(答案不唯一)
AB AC
（2）4
1∶9
4.直角三角形的射影定理 定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例 中项 ；两直角边分别是它们在斜边上 射影 与 斜边 的比例中 项.
答案：（1）3
（ 2） 1 m
2
2.平行线分线段成比例定理 (1)定理
三条平行线截两条直线，所得的 对应 线段成比例.
(2)推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延
长线）所得的对应线段 成比例 .
【即时应用】
(1)如图，AD∥BE∥CF,且AB∶BC=2∶3,
则EF∶DF=_______.
定理2
定理3
两边对应 成比例 且夹角 相等 ，两三角形相似.
三边对应 成比例 ，两三角形相似.
（4）直角三角形相似的判定
两个直角三角形有一个锐角对
应相等
两个直角三角形的两条直角边
对应成比例 一个直角三角形的斜边和一条
相似
直角边与另一个直角三角形的
斜边和一条直角边对应成比例
(5)性质
①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比
（2）AC、AB在斜边BC上的射影为DC、DB， 由射影定理得：AC2=CD·BC, AB2=BD·BC, ∴CD∶BD=AC2∶AB2=1∶4. 答案：(1)
9 5
(2)1∶4
平行线分线段成比例定理
【方法点睛】
1.平行线等分线段定理的理解及应用 平行线等分线段定理及推论1、推论2是证明线段相等或求线段 长度的重要理论依据之一,在应用这个定理时一定要看清条件 中是否是一组平行线已截得相等的线段，若是就可以用该定理.
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质相似三角形是指有着对应角度相等、对应边比例相等的两个三角形。
在解决几何问题中，判定两个三角形是否相似是非常重要的，因为相似三角形的性质可以帮助我们得到许多有用的结论。
本文将讨论相似三角形的判定方法以及其性质。
一、相似三角形的判定方法1. AA相似判定法:当两个三角形的两个对应角相等时，这两个三角形是相似的。
例如：若∠A1 = ∠A2且∠B1 = ∠B2，则△A1B1C1~△A2B2C2。
2. SSS相似判定法:当两个三角形的三边对应成比例时，这两个三角形是相似的。
例如：若A1B1/A2B2 = B1C1/B2C2 = C1A1/C2A2，则△A1B1C1~△A2B2C2。
3. SAS相似判定法:当两个三角形的两边成比例，且夹角对应相等时，这两个三角形是相似的。
例如：若A1B1/A2B2 = B1C1/B2C2且∠A1 = ∠A2，则△A1B1C1~△A2B2C2。
二、相似三角形性质1. 边比例性质:若△ABC~△A'B'C'，则AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'。
也就是说，相似三角形的边长之比保持不变。
2. 高比例性质:若△ABC~△A'B'C'，则AA'为两个三角形的对应边之比，BB'为对应边之比，CC'为对应边之比。
也就是说，相似三角形的高线段之比与对应边之比相等。
3. 角度性质:若△ABC~△A'B'C'，则∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，∠C = ∠C'。
也就是说，相似三角形的对应角度相等。
4. 面积比例性质:若△ABC~△A'B'C'，则△ABC的面积与△A'B'C'的面积之比等于对应边的平方之比。
也就是说，相似三角形的面积之比等于对应边的平方之比。
相似三角形的判定及有关性质
板块三 模拟演练· 提能增分
板块四 限时· 规范· 特训
第 1讲
相似三角形的判定及有关性质
1.了解平行线截割定理. 2.会证明并应用直角三角形射影定理.
板块一 知识梳理· 自主学习
[必备知识] 考点 1 平行线等分线段定理 名称 定理 推论 1 推论 2 的线段相等 经过三角形一边的中点与另一 边平行的直线 经过梯形一腰的中点，且与底 边平行的直线 条件 一组平行线在一条直线上截得 结论 在其他直线上截得的线段也 相等
(2)Rt△ADB 中，DE⊥AB，由射影定理可得 BD2＝BE· AB，同理 CD2＝CF· AC， ∴BD2· CD2＝BE· AB· CF· AC. 又在 Rt△BAC 中，AD⊥BC，∴AD2＝BD· DC， ∴AD4＝BE· AB· CF· AC，又 AB· AC＝BC· AD. 即 AD3＝BC· CF· BE.
平分
第三边
平分 另一腰
考点 2 平行线分线段成比例定理 1．定理：三条平行线截两条直线，所得的 对应线段 成比例． 2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段 成比例． 考点 3 相似三角形的判定及性质 1．相似三角形的判定 (1)定义：对应角 相等 三角形 相似． ，对应边 成比例 的两个三角形叫做相似三角形． (2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线) 相交
考向
射影定理的应用
例 3 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90° ，AD⊥BC 于 D，DF⊥AC 于 F，DE⊥AB 于 E，试证明：
(1)AB· AC＝BC· AD； (2)AD3＝BC· CF· BE.
[证明] (1)在 Rt△ABC 中，AD⊥BC， 1 1 ∴S△ABC＝2AB· AC＝2BC· AD. ∴AB· AC＝BC· AD.
知识讲解—相似三角形的判定及有关性质
条件二：∠2=∠ACB.
条件三： ，即 .
【变式2】已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，
Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．
【答案】因△ADQ与△QCP是直角三角形，虽有相等的直角，但不知AQ与PQ是否垂直，所以不能用两个角对应相等判定．而四边形ABCD是正方形，Q是CD中点，而BP=3PC，所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定．具体证明过程如下：
∴
【变式4】如右图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H.
求证：(1)DG2＝BG·CG；
(2)BG·CG＝GF·GH.
【答案】(1)DG为Rt△BCD斜边上的高，
∴由射影定理得DG2＝BG·CG.
(2)∵DG⊥BC，∴∠ABC＋∠H＝90°，
2有时需要用到方程的思想.
3在复杂图形中分解出射影定理的基本图形来使用它的性质进行证明，是一种常用的证明线段等积式的方法，必要时需结合代换线段或线段的等积式来解决问题.
【典型例题】
类型一、平行截线定理的应用
例1.如图，D、E、F分别为△ABC边BC、CA、AB上的点， 。连结DE、CF。求证：DE和CF互相平分。
要点三、射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项。
如右图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，
则AD2=BD·DC，AB2=BD·BC，AC2=CD·BC。
要点诠释：
1根据射影定理，已知“直角三角形斜边上的高”图形中六条线段中的任意两条，就可求出其余四条线段，
∴DE和CF互相平分
第一节 相似三角形的判定及有关性质
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第一节 相似三角形的判定及有关
性质
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考纲下载 1．了解平行线截割定理． 2．会证明并应用直角三角形射影定理．
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1．平行线的截割定理 (1)平行线等分线段定理 定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等 么在其他直线上截得的线段也 相等 ． 推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 ，那
[例 1]
[听前试做]
△CDF的面积 由 CD∥AE，得△CDF∽△AEF，于是 △AEF的面积
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CD2 AB2 ＝ AE ＝AE ＝9.
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平行线截割定理的作用 平行线截割定理一方面可以判定线段成比例； 另一方面， 当不能直 接证明要证的比例成立时， 常用这个定理将两条线段的比转化为另外两 条线段的比．
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[例 2] (2015· 沈阳模拟 )如图，AB 为⊙O 的直径，直线 CD 与 ⊙O 相切于 E，AD 垂直 CD 于 D，BC 垂直 CD 于 C，EF 垂直 AB 于 F，连接 AE，BE.
证明：(1)∠FEB＝∠CEB； (2)EF2＝AD· BC.
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证明：∵AD⊥BC， ∴△ADB 为直角三角形， 又∵DE⊥AB，由射影定理知，AD2＝AE· AB. 同理可得 AD2＝AF· AC， ∴AE·AB＝AF· AC.
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2个注意点——运用平行线分线段成比例定理的注意点 (1)平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例 ，在运 用平行线分线段成比例定理时要注意平行线的不同位置， 以及在三角形 与四边形中的灵活应用． (2)证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三角形相似 的条件(如角相等，有相等的比例式等)，常考虑相似三角形的性质构造 比例或利用中间比求解． 1个技巧——等积式证明方法 证明等积式，化成比例式，用分子、分母四个字母构造三角形， 或等号同侧四个字母构造三角形， 证此两三角形相似． 不能构成三角形 或三角形不相似需转化．
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在△ABC中，过点 作DE⊥BC于E， 中 过点D作 ⊥ 于 ， ∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC， ＝ ＝ ， ＝ ， 又∵AF⊥BC，∴DE∥AF， ⊥ ， ∥ ，
∴ ∴DE＝ ＝
， .
在Rt△DEC中，∵DE2＋EC2＝DC2， △ 中 即( 即 ∴x＝ ＝ )2＋( )2＝12，
＝1， ， ，即AC＝ ＝ .
解：∵a∥b∥c， ∥ ∥ ， ∴ ，
又∵AB＝BC＝1， ＝ ＝ ， ∴B′C′＝ ′ ′ .
2．在△ABC中，∠BAC的外角平分线 交BC的延长线于点 ． 的外角平分线AD交 的延长线于点 中 的外角平分线 D，求证： ，求证： .
证明： 证明：过C作CF∥AB交AD于F， 作 ∥ 交 于 ， 如图所示， 如图所示，则＝ ，
又∵∠AFC＝∠FAE＝∠FAC ∵∠ ＝ ＝ 得：AC＝CF， ＝ ， ∴＝ .
3．如图，已知D在AB上，且DE∥ ．如图，已知 在 上 ∥ BC交AC于E，F在AD上，且AD2 交 于 ， 在 上 ＝AF·AB，求证：△AEF∽△ACD. ，求证： ∽ ∴△AEF∽△ACD. ∽
证明： 证明：∵DE∥BC， ∥ ， ∴ .
1.理解相似三角形的定义与性质，了解平行 理解相似三角形的定义与性质， 理解相似三角形的定义与性质 截割定理. 截割定理 2.会证明和应用直角三角形射影定理 会证明和应用直角三角形射影定理. 会证明和应用直角三角形射影定理
1．平行线等分线段定理 ．
2．平行线分线段成比例定理 ．
3．相似三角形的判定 ．
[思路点拨 思路点拨] 思路点拨 （1）欲证△BAC∽△EFC，可先证 ）欲证△ ∽ ， . （2）欲证∠ADE=∠EBC，可先证△ADE∽△FBE. ）欲证∠ ∠ ，可先证△ ∽
[课堂笔记 设AB＝AC＝3a， 课堂笔记] 课堂笔记 ＝ ＝ ， 则AE＝BD＝a，CF＝ ＝ ＝ ， ＝ (1) 为公共角， 又∵C为公共角， 为公共角 故△BAC∽△EFC， ∽ ， 由∠BAC＝90°得∠EFC＝90°， ＝ ° ＝ ° ∴EF⊥BC. ⊥ a. ，
【证明】 ∵△ABC≌△BAD， 证明】 ≌ ， ∴∠ACB＝∠BDA，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 分) ＝ ∴∠ ，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(3分 四点共圆， ∴A、B、C、D四点共圆， 、 、 、 四点共圆 ∴∠CAB＝∠CDB.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 分) ＝ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(5分 ∴∠ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 又∵△ABC≌△BAD， ≌ ， ∴∠CAB＝∠DBA，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 分) ＝ ∴∠ ，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(8分 ∴∠DBA＝∠CDB， ＝ ∴∠ ， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(10分 ∴AB∥CD.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 分) ∥ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄
[自主体验 自主体验] 自主体验 如图， 是圆 内两弦AB和 是圆O内两弦 如图，E是圆 内两弦 和 CD的交点，直线EF∥CB，交AD的 的交点，直线 ∥ ， 的交点 的 延长线于点F， 与圆交于点 与圆交于点G. 延长线于点 ，FC与圆交于点 求证： △ 求证：(1)△DFE∽△EFA； ∽ ； (2)△EFG∽△EFC. △ ∽
∵AD2＝AF·AB， ， ∴ ∴ ， ，
∴EF∥CD， ∥ ， ∴△AEF∽△ACD. ∽
有关两线段的比值的问题，除了应用平行线分线段 有关两线段的比值的问题， 成比例定理外，也可利用相似三角形的判定和性质求解 成比例定理外，也可利用相似三角形的判定和性质求解. 解题中要注意观察图形特点,巧添辅助线 对解题可起到事 解题中要注意观察图形特点 巧添辅助线,对解题可起到事 巧添辅助线 半功倍的效果. 半功倍的效果
三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件， 三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件， 结合图形选择恰当的方法.一般的思考程序是：先找两对 结合图形选择恰当的方法 一般的思考程序是： 一般的思考程序是 内角对应相等；若只有一个角对应相等， 内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的 两邻边是否对应成比例；若无角对应相等， 两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就要证明三边 对应成比例. 对应成比例
已知：如图△ 已知：如图△ABC中，AB＝AC， 中 ＝ ， 分别在AB、 、 ∠BAC＝90°，D、E、F分别在 、AC、 ＝ ° 、 、 分别在 BC上，AE＝ 上 ＝ ＝ BC. AC，BD＝ ， ＝ AB，且CF ，
求证： 求证：(1)EF⊥BC； ⊥ ； (2)∠ADE＝∠EBC. ∠ ＝
如图，在梯形 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°， 中 ∥ ， ＝ ° E是AB边的中点，连结 、EC，求证：ED＝EC. 是 边的中点 连结ED、 ，求证： ＝ 边的中点，
[思路点拨 思路点拨] 思路点拨
[课堂笔记 过E点作 ∥BC交DC于F点． 课堂笔记] 点作EF∥ 交 于 点 课堂笔记 点作 ∵在梯形ABCD中，AD∥BC， 在梯形 中 ∥ ， ∴AD∥EF∥BC. ∥ ∥ 的中点， ∵E是AB的中点， 是 的中点 ∴F是DC的中点． 是 的中点． 的中点 ∵∠ADC＝90°，∴∠ ＝ ° ∴∠DFE＝90°.∴EF⊥DC， ∵∠ ＝ °∴ ⊥ ， 的垂直平分线． ∴EF是DC的垂直平分线．∴ED＝EC. 是 的垂直平分线 ＝
4．直角三角形相似的判定 ．
5．相似三角形的性质定理 ．
Байду номын сангаас．直角三角形的射影定理和逆定理 ．
1．如图所示，已知a∥b∥c，直线 ， ．如图所示，已知 ∥ ∥ ，直线m， n分别与直线 、b、c交于点 、B、 分别与直线a、 、 交于点 交于点A、 、 分别与直线 C和A′、B′、C′.如果 ＝BC＝1， 和 ′ 如果AB＝ ＝ ， ′ ′ 如果 A′B′＝ ′ ′ 求B′C′. ′ ′ ，
证明： ∵ ∥ ， 证明：(1)∵EF∥CB， ∴∠DEF＝∠DCB. ＝ ∴∠ ∵∠DCB和∠DAB都是弧 上的圆周角， 和 都是弧DB上的圆周角 ∵∠ 都是弧 上的圆周角， ∴∠DAB＝∠DCB＝∠DEF. ＝ ∴∠ ＝ ∵∠DFE＝∠EFA， ＝ ∵∠ ， ∴△DFE∽△EFA. ∽
(2)由(1)知：△DFE∽△EFA， 由 知 ∽ ， ∴ ，即EF2＝FA·FD.
由割线定理得FA·FD＝FG·FC. ＝ 由割线定理得 ∴EF2＝FG·FC， ， 即 .
又∵∠EFG＝∠EFC， ∵∠ ＝ ， ∴△EFG∽△EFC. ∽
以解答题的形式考查平行线分线段成比例定 理、相似三角形、射影定理在解决平面几何中的 相似三角形、 应用是高考对本节内容的常规考法.09年江苏高 应用是高考对本节内容的常规考法 年江苏高 考将上述定理与圆相结合命题,是一个新的考查 考将上述定理与圆相结合命题 是一个新的考查 方向. 方向
[考题印证 考题印证] 考题印证 (2009·江苏高考 江苏高考)(10分)如图， 如图， 江苏高考 分 如图 在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD. 中 在四边形 ≌ 求证： ∥ 求证：AB∥CD.
如图， 如图，在△ABC中，D、F分别 中 、 分别 在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC， 、 上 ⊥ ， ⊥ ， BD＝DC＝FC＝1，求AC. ＝ ＝ ＝ ， [思路点拨 思路点拨] 思路点拨
[课堂笔记 在△ABC中，设AC为x， 课堂笔记] 课堂笔记 中 为 ， ∵AB⊥AC，AF⊥BC，FC＝1， ⊥ ， ⊥ ， ＝ ， 根据射影定理得： 根据射影定理得：AC2＝FC·BC，即BC＝x2. ， ＝ BF·FC＝(BC－FC)·FC， 再由射影定理得： 再由射影定理得：AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC， ∴AF＝ ＝ .
(2)由(1)得EF＝ 由 得 ＝ 又 ∴ .
a，故 ， ，
，
∵∠DAE＝∠BFE＝90°，∴△ADE∽△FBE， ＝ ∵∠ ＝ ° ∽ ， ∴∠ADE＝∠EBC. ＝ ∴∠
应用射影定理有两个条件：一是直角三角形， 应用射影定理有两个条件：一是直角三角形，二 是斜边上的高，两者缺一不可 是斜边上的高，两者缺一不可.