1.4三角函数的图象与性质(3课时)[1]

1) y lg sin x 2) y 2 cos 3 x
新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质 (二)关于周期性 1.周期性的定义 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期. 注意：如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小的正数，那么这个最小正数 就叫做f(x)的最小正周期.
(三)奇偶性:
由诱导公式tan(-x )=-tanx,x R,x y tan x, x

2
k , k Z

2
k k z 为奇函数,图像关于原点对称
正切函数的性质与图像
正切函数的性质与图像
(四)单调性：观察图像
正切函数在 ， ，k Z中为递增函数，由周期性知， 2 2
B
y
1
描图：用光滑曲线 将这些正弦线的 终点连结起来
O1
A O
-1
3
2 3

4 3
5 3
2
x
终边相同角的三角函数值相等 即： sin(x+2k)=sinx, kZ
y=sinx x[0,2]
f ( x 2k ) f ( x) 利用图象平移
y=sinx xR
正弦、余弦函数的图象
正弦、余弦函数的图象
（2） 画出函数y= - cosx，x[0, 2]的简图：
x
cosx - cosx
y
1

2
0 1 -1

2
-1 1
3 2
2 1 -1
0 0
0 0
y=cosx，x[0, 2]

o
-1
2

3 2
2
x
y= - cosx，x[0, 2]
例2.用五点法作函数
y 1

2

o -1
2

3 2
2
x
y=sinx x[0,2] y=sinx xR
y
1
正弦曲 线
2
-4
-3
-2
-
o
-1
3
4
5
6
x
正弦、余弦函数的图象
如何由正弦函数图像得y 到余弦函数图像？
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
四.单调性：
正弦函数在 [ 在[

2
2k ,

2
2k ]( k Z )上是单调递增的 从 1到1; ,

2
2k ,
3 2k ]( k Z )上是单调递减的 从1到 1 , 2
余弦函数在区间 2k ,2k ]( k Z)上是单调递增, 从 1到1 : [ 在区间[2k ,2k ]( k Z)上是单调递减, 从1到 1

2 y cos x : 定义域为R，值域[ 1,1]
2k ; 最小值-1, 此时x

2
2 k ;
最大值1,此时x 2k ; 最小值-1, 此时x 2k ;
复习回顾
y 1 -6 -5 -4 -3 -2 - -1 y 1 -6 -5 -4 -3 -2 - -1 o 2 3 4 5 6 x

3
)
P36.ex.1.2
1 3) y 3sin( x ), x R 一般 3 5 结论：
函数y A sin( x )及y A cos( x ), x R ( A, , 为常数, A 0, 0)的周期T 2

新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质 (三)关于奇偶性（复习）
附加.判断下列函数的奇偶性
1) y 2 cos 2 x
2) y sin x 1
1.4.3 正切函数 的图象和性质
复习回顾
一.正弦余弦函数的作图： 几何描点法（利用三角函数线） 五点法作简图
二.周期性：
2 函数y A sin( x )和y Acos( x )，x R的周期T | |
正切函数在 k， k ，k Z中是增函数。 2 2
思考：在整个定义域内是增函数么？
正切函数的性质与图像
（五）定义域、值域:
k （六）关于对称点对称轴：从图象可以看出：无对称轴。 ( , 0) 直线 为渐近线,对称点为零点及函数值不存在的点，即 2 x k k Z 2
2

正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象
y
(0,1) 1
3 ( ,0) 2
( 2 ,1) 2 3 4
余弦曲 线
5 6
-4
-3
-2
-
(o ,0) 2 -1

( ,-1)
x
正弦、余弦函数的图象
( ,1) 2 1 ( ,1) 2 ( ,0) ( 2 ,0) ( ,1) ( 2 ,0) (0,0) ( ,0) 2 o x 3 2 (0,0) ( ,0) 2 ( 2 ,1) 2 ( 2 ,0) 2 (0,0) -1 ( ,0) (3 ,-1) ( ,1) ( 2 ,0) 3 2 (0,0) ( ,0)2 3,1) ( 3 ( 2 ,0) ( ,1) ( ( 3 ( ,0) 2 2 ,1) ,1) ( 2 ,0) 2 (0,0) 2( 3,1) (0,0) ( ( ,0) ( 2 ,0) 2 3 ,-1) 2 ,1) ( (0,0) 32 ,-1) ( ,1) ( 2 ,0) ( ,0) 3 ( (0,0) 2 ( 2 ,0) ( ,0) ( (222,-1) ,-1) ( 2 ,1) 五点法—— (0,0)
y 2cos( x ), x [0, 2 ] 的简图. 3

例3.利用正弦函数和余弦函数的图象， 求满足下列条件的x的集合：
1 5 1 (2) cos x ，x (0, ) (1) sin x 2 2 2
作业：P46 A组： 1; B组：1 作下列函数的简图 ⑴ y=|sinx|， ⑵y=sin|x|
( ,0)
2
3
4
5
6
3 ( ,-1) 2
x
y
(0,1) 1 -4 -3 -2 -
(o ,0)
3 ( ,0)
( 2 ,1) 2 3 4
余弦曲 线
5 6

2
-1
2
( ,-1)

新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质 (一)关于定义域
例1.求下列函数的定义域：
应用提升
例1（书上P44例6有变动） 求函数y tan x 的定义域，值域，并指出它的周期性， 3 2 奇偶性，单调性，对称中心，作出它的大致草图
解：
1 定义域： | x 2k ，k Z} {x 3
周期：T 2
值域：R
奇偶性：非奇非偶
5 1 单调区间：（ 2k， 2k），k Z 3 3
2 对称中心：(k- , 0), k Z 3
应用提升
13 17 例2.比较tan 与tan 的大小? 4 5
应用提升 练习1：试着画出y | tan x | 和y tan | x |
并讨论它们的单调性，周期性和奇偶性. 练习2.如果、 ( , )且 tan cot , 2
一般地, •如果对于函数f( x )的定义域内任意一个x, 都有f(- x )= f( x )，那么就说f( x )是偶函数 •如果对于函数f( x )的定义域内任意一个x, 都有f(- x )= -f( x )，那么就说f( x )是奇函数 结论：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶 函数
新课讲解. 例4.下列函数是奇函数的为： D
复习回顾
y
y=sinx

1 -6 -5 -4 -3 -2 - -1 y 1 -6 -5 -4 -3 -2 - -1 o 2 3 4 5 6 x
y=cosx
2 3 4 5 6 x
五.定义域 、值域及取到最值时相应的x的集合:
y sin x : 定义域为R，值域[ 1,1] 最大值1,此时x
2．P46习题A组6,7,8,9；B组2 做本子上
y
五点画图法
正弦、余弦函数的图象
例1 （1）画出函数y=1+sinx，x[0, 2]的简图：
x
sinx
0 0 1
y
2

2
0 1
3 2
2 0 1 步骤： 1.列表 2.描点 3.连线
1 2
-1 0
1+sinx
y=1+sinx，x[0, 2] 1
2
o -1
2

x 3 2 2 y=sinx，x[0, 2]
新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质 2.求函数的周期 例2.求下列函数的周期：
1) y 3cos x 2) y sin 2 x 1 3) y 2sin( x ), x R 2 6
---定义法
新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质 例3.求下列函数的周期： ---利用结论
1) y sin( x 2) y cos 3 x
那么必有（ ） A. 3 C. 2 B. 3 D. 2
应用提升
例3.求函数y tan x 1 3 tan x 的定义域
例4.试讨论函数y log a tan x的单调性