第十五章 整式的乘除与因式分解1
231.因式分解公式法(一)学案(试题+参考答案)
公式法（一）【目标导航】能说出平方差公式的特征，并熟练地利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解．【复习导入】把下列各式分解因式：1．－4m3＋16m2－26m；2．(x－3)2＋(3x－9)；3．－m2n(x－y)n＋mn2(x－y)n＋1；4（2011福建福州）分解因式：225x-=. 5．y2－25【合作探究】1．由练习中4、5说出分解依据及多项式的特点：2．由乘法中的平方差公式反过来，得到因式分解中的平方差公式：【合作探究】练习：下列各多项式能否用平方差公式分解因式？为什么？(1) x2＋y2；(2) x2－y2；(3)－x2＋y2；(4)－x2－y2；(5) 14a2b2－1；(6) x4－y4.例1 把下列多项式分解因式(1) 4x2－9；(2) (x＋p)2－(x＋q)2；(3) 16－125m2；(4)－(x＋2)2＋16(x－1)2．例2 把下列多项式分解因式(1) x4－y4；(2) （2011贵州安顺）因式分解：x3－9x= ．(3)－14xy3＋0.09xy；(4)a2－b2＋a－b；(5)(p－4)(p＋1)＋3p.练习：把下列多项式分解因式(1) a2－125b2；(2) 9a2－4b2；(3) （2011广西南宁）把多项式x3-4x分解因式所得的结果是（）(A) x (x2－4) (B) x（x+4）（x－4）(C) x（x+2）（x－2）(D)（x+2）（x－2）(4)－a4＋16；(5) m4(m－2)＋4(2－m)例3 在实数范围内分解因式(1) x2－2；(2) 5x2－3.例4(1) 计算：9972－9(2)设n是整数，用因式分解的方法说明：(2n＋1)2－25能被4整除．(3) 已知x、y为正整数，且4x2－9y2=31，你能求出x、y的值吗？【课堂操练】1．9a2－ =(3a＋b)(3a－b).2．分解因式:4x2－9y2= ；3x2－27y2= ；a2b－b3= ；2x4－2y4= .3．下列各式中，能用平方差公式分解的是（）A. x2＋y2B. x2＋y4C. x2－y4D. x2－2x4．已知－(2a－b)(2a＋b)是下列一个多项式分解因式的结果，这个多项式是（）A. 4a2－b2B.4a2＋b2C. －4a2－b2D. －4a2＋b25．分解因式：(1)9a2－14b2；(2)2x3－8x；(3)(m＋a)2－(n－b)2.【课后巩固】1.把下列各式分解因式：(1) 9(m＋n)2－(m－n)2(2) p4－16(3) －(x＋2y)2＋(2x＋3y)2(4)22 ()() 44a b a b +--(5) 36a4x10－49b6y8(6) b2－(a－b＋c)2(7) (3x＋y－1)2－(3x－y＋1)2(8) 4(x＋y＋z)2－(x－y－z)2(9) (21135)2－(8635)2(10) 9×1.22－16×1.42(11) －12a2m＋1b m＋2＋20a m＋1b2m＋4(12) (x－2y)(2x＋3y)－2(2y－x)(5x－y)(13) －4a2＋(2x－3y)2(14) 2(x＋1)(x＋2)－x(x＋6)－8(15) （2011山东临沂）分解因式：9a－ab2＝．(16) (a－b)2－(b－a)4(17) (2x－1)3－8x＋4(18) 4x2－9y2－(2x＋3y)(19) －(x2－y2)(x＋y)－(y－x)3(20) （2011广西梧州）因式分解x2y－4y的正确结果是（）A．y（x＋2）（x－2）B．y（x＋4）（x－4）C．y（x2－4）D．y（x－2）2(21) a4－81b4(22) a3(a－b)2－a(a＋b)2(23) (x2－y2)＋(x－y)(24) (a－b)(3a＋b)2＋(a＋3b)2(b－a)(25) a n＋1－a n－1b4（26）（2011山东枣庄）若622=-nm，且2m n-=，则=+nm．2.求证：两个连续奇数的平方差是8的倍数．3.设n是任一正整数，代入代数式n3－n中计算时，四名同学算出如下四个结果，其中正确的结果只可能是（）A.388947B.388944C.388953D.3889494.已知：m2=n＋2，n2=m＋2(m≠n)求：m3－2mn＋n3的值．公式法（一）参考答案【复习导入】把下列各式分解因式：1．解：原式=－2m(m²－8m+13)2．解：原式=(x－3)2＋3(x－3)=（x－3）(x－6)3．解：原式=－mn(x－y)n(m－nx＋ny)4.答案:(x＋5)(x－5) .5．解：原式==(y+5)(y－5)【合作探究】1式子是两项，能写成两个式子的平方差的形式，即两项的符号一定是相反的。
(课件1)《整式的乘除与因式分解》复习
分清各类幂运算性质
重点知识 幂运算性质 同底数幂的乘法公式： m n m n a a a (m，n都是正整数) 幂的乘方公式： m n mn (a ) a (m，n都是正整数) 积的乘方公式：
(ab) a b (m是正整数)
m m m
同底数幂的除法公式： m n mn a a a (a≠0，m，n都是正 整数，并且m >n)
整式乘法
因式分解
整式除法
作业 1.计算：
(1)(2a) b 12a b
3 4
3 2
1 1 2 (2)2 x ( x 1) 3x( x ) 2 3 3
作业
2.先化简，再求值：
(2x y)
2
(2 x y)(2 x y) 4 xy
2x 1 其中 x 1, y 。 2
n
2 m 3n
逆用“积的乘方”、“幂的乘方”：
(ab) a b (m是正整数)
m m m
(a ) a
m n
mn
(m，n都是正整数)
典型例题
整式相关概念
)
例4.下列说法错误的是( A 0和 都是单项式； B C
D
3nxy的次数是3，系数是 3 ； 1 a 是整式； a 2 x 6 x 3是二次三项式。
3
yx
4
2x y
2
3x y ( x y) 3xy
2 2
(2)(6 xy 12 x y ) (4 x y) 4 x
2 2 2
2
重点知识
整式运算
整式加减
整式运算
整式乘除
配套练习 6.计算：
整式运算
初中数学八年级上册第十五章《整式的乘除与因式分解》简介
新课标人教版初中数学八年级上册第十五章《整式的乘除与因式分解》简介人教版《义务教育课程标准实验教科书?数学》第十五章是“整式的乘除与因式分解”。
本章的主要内容是整式的乘除运算、乘法公式以及因式分解。
本章内容建立在已经学习了的有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的基础上。
整式的乘除运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识，这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础，在后续的数学学习中具有重要意义，同时，这些知识也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学基础知识.本章共安排了4个小节，教学时间约需13课时（供参考）：15.1 整式的乘法4课时15.2 乘法公式2课时15.3 整式的除法2课时15.4 因式分解3课时数学活动小结2课时一、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构框图（二）教科书内容本章共包括4节15.1 整式的乘法整式的乘法是整式四则运算的重要组成部分。
本节分为四个小节，主要内容是整式的乘法，这些内容是在学生掌握了有理数运算、整式加减运算等知识的基础上学习的。
其中，幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础，教科书把它们依次安排在前三个小节中，教学中应适当复习幂、指数、底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的意义。
在学生掌握了幂的运算性质后，作为它们的一个直接应用，教科书在第四小节安排一般整式乘法的教学内容。
首先是单项式与单项式相乘，由于进行单项式与多项式、多项式与多项式相乘的前提是熟练地进行单项式与单项式相乘，因此，对于单项式与单项式相乘的教学应该予以充分重视。
在学生掌握了单项式与单项式相乘的基础上，教科书利用分配律等进一步引入单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，这样使整式乘法运算的教学从简到繁，由易到难，层层递进。
15.2乘法公式本节分为两个小节，分别介绍平方差公式与完全平方公式。
乘法公式是整式乘法的特殊情形，是在学习了一般的整式乘法知识的基础上学习的，运用乘法公式能简化一些特定类型的整式相乘的运算问题，教科书在本节开始首先指出了这一点。
整式的乘除与因式分解全单元的教案范文
整式的乘除与因式分解全单元的教案范文第一章：整式的乘法1.1 教学目标理解整式乘法的基本概念掌握整式乘法的基本法则能够正确进行整式乘法运算1.2 教学内容整式乘法的定义和基本概念整式乘法的基本法则整式乘法的运算步骤1.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解整式乘法的概念和法则使用多媒体教学工具，展示整式乘法的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固整式乘法的运算技巧1.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对整式乘法的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对整式乘法的应用能力第二章：整式的除法2.1 教学目标理解整式除法的基本概念掌握整式除法的基本法则能够正确进行整式除法运算2.2 教学内容整式除法的定义和基本概念整式除法的基本法则整式除法的运算步骤2.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解整式除法的概念和法则使用多媒体教学工具，展示整式除法的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固整式除法的运算技巧2.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对整式除法的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对整式除法的应用能力第三章：因式分解3.1 教学目标理解因式分解的基本概念掌握因式分解的基本方法能够正确进行因式分解运算3.2 教学内容因式分解的定义和基本概念因式分解的基本方法因式分解的运算步骤3.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解因式分解的概念和法则使用多媒体教学工具，展示因式分解的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固因式分解的运算技巧3.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对因式分解的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对因式分解的应用能力第四章：多项式的乘法4.1 教学目标理解多项式乘法的基本概念掌握多项式乘法的基本法则能够正确进行多项式乘法运算4.2 教学内容多项式乘法的定义和基本概念多项式乘法的基本法则多项式乘法的运算步骤4.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解多项式乘法的概念和法则使用多媒体教学工具，展示多项式乘法的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固多项式乘法的运算技巧4.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对多项式乘法的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对多项式乘法的应用能力第五章：多项式的除法5.1 教学目标理解多项式除法的基本概念掌握多项式除法的基本法则能够正确进行多项式除法运算5.2 教学内容多项式除法的定义和基本概念多项式除法的基本法则多项式除法的运算步骤5.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解多项式除法的概念和法则使用多媒体教学工具，展示多项式除法的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固多项式除法的运算技巧5.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对多项式除法的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对多项式除法的应用能力第六章：平方差公式与完全平方公式6.1 教学目标理解平方差公式和完全平方公式的基本概念掌握平方差公式和完全平方公式的运用能够运用平方差公式和完全平方公式进行整式的运算6.2 教学内容平方差公式的定义和基本概念完全平方公式的定义和基本概念平方差公式和完全平方公式的运用6.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解平方差公式和完全平方公式的概念使用多媒体教学工具，展示平方差公式和完全平方公式的运用过程提供充足的练习机会，让学生巩固平方差公式和完全平方公式的运用技巧6.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对平方差公式和完全平方公式的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对平方差公式和完全平方公式的应用能力第七章：分式的乘除法7.1 教学目标理解分式乘除法的基本概念掌握分式乘除法的运算方法能够正确进行分式乘除法的运算7.2 教学内容分式乘除法的定义和基本概念分式乘除法的运算方法分式乘除法的运算步骤7.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解分式乘除法的概念和方法使用多媒体教学工具，展示分式乘除法的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固分式乘除法的运算技巧7.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对分式乘除法的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对分式乘除法的应用能力第八章：分式的化简与分解8.1 教学目标理解分式化简与分解的基本概念掌握分式化简与分解的方法能够正确进行分式的化简与分解运算8.2 教学内容分式化简与分解的定义和基本概念分式化简与分解的方法分式化简与分解的运算步骤8.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解分式化简与分解的概念和方法使用多媒体教学工具，展示分式化简与分解的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固分式化简与分解的运算技巧8.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对分式化简与分解的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对分式化简与分解的应用能力第九章：整式与分式的综合应用9.1 教学目标理解整式与分式的综合应用的基本概念掌握整式与分式的综合应用的方法能够正确进行整式与分式的综合应用运算9.2 教学内容整式与分式的综合应用的定义和基本概念整式与分式的综合应用的方法整式与分式的综合应用的运算步骤9.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解整式与分式的综合应用的概念和方法使用多媒体教学工具，展示整式与分式的综合应用的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固整式与分式的综合应用的运算技巧9.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对整式与分式的综合应用的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对整式与分式的综合应用的应用能力第十章：复习与提高10.1 教学目标巩固本单元所学知识提高学生解决实际问题的能力培养学生的数学思维和综合运用能力10.2 教学内容复习整式、分式的乘除法、因式分解、平方差公式、完全平方公式等基本概念和运算方法通过实际问题，引导学生运用所学知识解决实际问题总结本单元的重点知识和难点知识10.3 教学方法通过练习题和实际问题，让学生巩固所学知识使用多媒体教学工具，展示实际问题的解决过程组织小组讨论，培养学生的合作学习和解决问题的能力10.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对复习内容的掌握程度设计一些综合性的题目重点解析本文全面介绍了整式的乘除法、因式分解、平方差公式、完全平方公式、分式的乘除法、分式的化简与分解、整式与分式的综合应用等基本概念、运算方法和实际应用。
因式分解(完全平方公式)
完全平方公式【例题选讲】例1（1）把229124b ab a +-分解因式．（2）把22816y x xy +-分解因式．（3）把2411x x ++分解因式．（4）把xy y x 4422-+分解因式．练习：把下列各式分解因式： （5）．1692+-t t （6）．412rr +- （7）．236121a a +- （8）．42242b b a a +-例2．把下列各式分解因式： （9）．122++n n m m（10）．222nm mn --（11）．ax y ax y ax ++2232 （12）．22224)1(4)1(a a a a ++-+ 练习：把下列各式分解因式： （13）．n n m m y y x x 42242510+- (14)．222y xy x -+-(15)21222+-x x (16)161)(21)(2+---y x y x(17)n n m m y y x x 2245105-+-例3．把下列各式分解因式： (18)．222)1(4+-a a(19)．2)(4y x y x --练习：把下列各式分解因式： (20)．222)41(+-m m (21)．222224)(b a b a -+ (22)．)(42s t s s -+- (23)．1)3)(2)(1(++++x x x x例4(24)．已知054222=+++-b b a a 求b a ,的值．【课堂操练】一．填空：（25）．-2x （ ）+29y =（x - 2)（26）．+-244x x =-2(x 2) （27）．++x x 32 =+x ( 2)（28）．++22520r r =（ +52)r 二．填空，将下列各式填上适当的项，使它成为完全平方式（222b ab a ++）的形式： （29）．+-x x 2（30）．++2241y x （31）．242x xy -+ （32）．++24414b a （33）．++469n m （34）．+-x x 52三．把下列各式分解因式： （36）．244x x +- （37）．49142++x x（38）．9)(6)(2++-+n m n m（39）．n n n x x x 7224212+-++【课后巩固】一．填空1．（ ）2+=+22520y xy （ ）2． 2．=+⨯-227987981600800（ -- 2)= ． 3．已知3=+y x ，则222121y xy x ++= ．4．已知0106222=++-+y x y x 则=+y x ．5．若4)3(2+-+x m x 是完全平方式，则数m 的值是 ．6．158-能被20至30之间的两个整数整除，那么这两个整数是 ． 二．把下列各式分解因式： 7．32231212x x y xy -+ 8．442444)(y x y x -+9．22248)4(3ax x a -+10．2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+- （11）．2222224)(b a c b a --+ （12）．22222)(624n m n m +-（13）．115105-++-m m m x x x三．利用因式分解进行计算： （14）．419.36.7825.03.2541⨯-⨯+⨯ （15）．2298196202202+⨯+ （16）．225.15315.1845.184+⨯+四．（17）．将多项式1362+x 加上一个单项式，使它成为一个整式的平方．五．（18）．已知212=-b a ，2=ab 求：42332444b a b a b a -+-的值．（19）．已知n b a m b a =-=+22)(,)(，用含有m ，n 的式子表示：（1）a 与b 的平方和；（2）a 与b 的积； （3）b aa b +．【课外拓展】（20）．已知△ABC 的三边为a ,b ,c ,并且ca bc ab c b a ++=++222求证：此三角形为等边三角形．（21）．已知c b a ,,是△ABC 三边的长，且0)(22222=+-++c a b c b a 你能判断△ABC 的形状吗？请说明理由．（22）．求证：不论为x,y 何值，整式5422+-xy y x 总为正值．答案：【例题选讲】例1（1）【解】229124b ab a +-=2(23)a b - （2）【解】22816y x xy +-=2(4)xy - （3）【解】2411x x ++=21(1)2x + （4）【解】xy y x 4422-+=2(2)x y - 练习：（5）．【解】1692+-t t =2(31)t -（6）．【解】412r r +-=21(1)2r -（7）．【解】236121a a +-=2(16)a - （8）．【解】42242b b a a +-=222()a b - 例2．（9）．【解】122++n nm m=2(1)n m +（10）．【解】222n m mn --=2()m n -- （11）．【解】ax y ax y ax ++2232 =22(21)ax x y xy ++=2(1)ax xy +（12）．【解】22224)1(4)1(a a a a ++-+ =22(12)a a +- =4(1)a - 练习： （13）．【解】n n m my y x x 42242510+-=222(5)mn xy -(14)．【解】222y xy x -+-=2()x y -- (15)【解】21222+-x x =212()2x - (16)【解】16)(2)(2+---y x y x =221[()]4x y --=11()()22x y x y -+--(17)【解】n n m m y y x x 2245105-+- =4225(2)m m n n x x y y --+ =225()m n x y -- 例3．(18)．【解】222)1(4+-a a =22[2(1)][2(1)]a a a a ++-+ =22(1)(1)a a -+-(19)．【解】2)(4y x y x -- =2244xy x y -- =2(2)x y --练习：(20)．【解】222)41(+-m m =2211[()][()]44m m m m ++-+ =2211()()22m m -+-(21)．【解】222224)(b a b a -+=222222(2)(2)a b ab a b ab +++-=22()()a b a b +-(22)．【解】)(42s t s s -+- =(54)s s t --(23)．【解】1)3)(2)(1(++++x x x x =22(3)(32)1x x x x ++++ =222(3)2(3)1x x x x ++++ =22(31)x x ++ 例4(24)．【解】因为054222=+++-b b a a ，所以22(1)(2)0a b -++=.即1, 2.a b ==-【课堂操练】一、填空：（25）．答案：6,3xy y （26）．答案：4,2 （27）．答案：1x +，2 （28）．答案：4,2. 二、（29）．答案：14（30）．答案：xy （31）．答案：214y （32）．答案：22a b （33）．答案：326m n （34）．答案：254三．把下列各式分解因式： （36）．【解】244x x +-=2(2)x -（37）．【解】49142++x x =2(7)x +（38）．【解】9)(6)(2++-+n m n m =2(3)m n +- （39）．【解】n n n x x x7224212+-++=22(6)n x x -【课后巩固】一、填空1．答案:2,25x x y + 2．答案:800,798,43．答案:924．答案:-2 5．答案：7或-1 6．答案：26、24二．把下列各式分解因式： 7．【解】32231212x x y xy -+=232x(x y )-8．【解】442444)(y x y x -+ =42244224(2)(2)x x y y x x y y ++-+ =22222()()()x y x y x y ++- 9．【解】22248)4(3ax x a -+ =2223[(4)16]a x x +-=2223[(4)16]a x x +-=223(2)(2)a x x +-10．【解】2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-=2[3()2()]a b a b -++=2(5)a b -（11）．【解】2222224)(b a c b a --+=22222222(2)(2)a b c ab a b c ab +-++--=222222[()][()]a b c a b c +---=()()()()a b c a b c a b c a b c +++--+-- （12）．【解】22222)(624n m n m +- =222226[()4]m n m n -+-=226()()m n m n -+-（13）．【解】115105-++-m m m x x x=125(21)m x x x --+ =125(1)m x x --三．利用因式分解进行计算：（14）．【解】419.36.7825.03.2541⨯-⨯+⨯ =1(25.378.6 3.9)4+- =1(25.378.6 3.9)4+- =25（15）．【解】2298196202202+⨯+=2(20298)+=90000（16）．【解】225.15315.1845.184+⨯+=2(184.515.5)+=40000 四．（17）．【解】12x ±五．（18）．【解】42332444b a b a b a -+-=2222(44)a b a ab b --+=222(2)a b a b --而22=-b a ，2=ab .所以42332444b a b a b a -+-=222(2)a b a b --=-144⨯=-1. （19）．【解】（1）因为nb a m b a =-=+22)(,)(，所以22222,2a ab b m a ab b n ++=-+=.即22.a b m n +=+所以a 与b 的平方和为m n +. （2）由（1）可知：1()4ab m n =- 所以a 与b 的积为1()4m n - （3）由（1）（2）可知，22.a b m n +=+1()4ab m n =- 所以b a a b +=22a b ab+=1()4m nm n +-44m nm n+=-【课外拓展】 （20）．证明：因为cabc ab c b a ++=++222，所以222222222a b c ab bc ca ++=++.即222()()()0a b b c c a -+-+-=. 所以0,0,0a b b c c a -=-=-=所以a=b=c.此三角形为等边三角形． （21）．【解】△ABC 是等边三角形．理由是： ∵0)(22222=+-++c a b c b a∴2222220a b c ba bc ++--= ∴22()()0a b b c -+-= 所以0,0,a b b c -=-= 所以a=b=c.∴△ABC 是等边三角形． （22）．证明：5422+-xy y x =2(2)110xy -+≥>.即不论为x,y 何值，整式5422+-xy y x 总为正值．。
第15章 整式的乘除与因式分解测试卷(含答案)
第15章 整式的乘除与因式分解 测试卷注意事项：本卷共八大题，计23小题，满分150分．考试时间120分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内，每一小题；选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分． 1．若32144mnx y x y x ÷=，则m 、n 满足条件的取值为 （ ）． A ．m ＝6，n ＝1 B ．m ＝5，n ＝1 C ．m ＝5，n ＝0 D ．m ＝6，n ＝0 2．下列各式可以用平方差公式的是（ ）．A ．(4)(4)a c a c -+-B ．(2)(2)x y x y -+C ．(31)(13)a a ---D ． 11()()22x y x y --+ 3．下列各式中是完全平方公式的是（ ）．A ．224a x + B ．2244x ax a +-- C ．2444x x ++ D ． 2412x x ++-4．在（1）623[()]a a -⋅-；（2）34)(a a -⋅；（3）2332)()(a a ⋅-；（4）43()a --中，计算结果为12a -的有（ ）．A ．（1）和（3）B ．（1）和（2）C ．（2）和（3）D ．（3）和（4）5．为了应用平方差公式计算()()a b c a b c -++-，必须先适当变形，下列各变形中，正确的是（ ）．A ．()()a c b a c b +--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦B ．()()a b c a b c -++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦C ．()()b c a b c a +--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦D ．()()a b c a b c --+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 6．下列多项式相乘的结果为1242--x x 的是（ ）．A ．)4)(3(-+x xB ．)6)(2(-+x xC ．)4)(3(+-x xD ．)2)(6(-+x x 7．计算24(1)(1)(1)(1)x x x x -++-+的结果是（ ）．A ．0B ．2C ．－2D ．－5 8． 下列多项式中，含有因式)1(+y 的多项式是（ ）． A ．2232x xy y --B ．22)1()1(--+y yC ．)1()1(22--+y yD ．1)1(2)1(2++++y y9．如图：（如图①）在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②），通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）．图 ① 图 ② A ． a 2－b 2 ＝（a ＋b ）（a －b ） B ．（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2C ．（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2D ．（a ＋2b ）（a －b ）＝ a 2＋ab －2b 210．观察下列等式：170=，771=，4972=，34373=，240174=，…，由此可判断1007的个位数字是（ ）．A ．3B ．7C ．1D ．9二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）11．不等式22(21)(21)x x --+≤2(3)x -的解集是_______________．12．已知2ma =，16nb =，则382m n+＝____________．13．已知)3)(8(22q x x px x +-++的展开式中不含2x 项和3x 项，则q p +的值＝______.14．如图，从直径是2x y +的圆中挖去一个直径为x 的圆和两个直径为y 的圆，则剩余部分的面积是_______________． 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．化简：（1）82()()mn mn ÷ （2） )9()15()3(24322y x xy y x -⋅-÷16．用乘法公式计算：（1）49.850.2⨯； （2）2298．四、（本题共2小题，每小题8分，共16分）17．已知x 是有理数，y 是无理数，请先化简下面的式子，再在相应的圆圈内选择你喜欢的数代入求值：2()(2)x y y x y -+-．18．利用简便方法计算：222111(1)(1)(1)234--- (22)11(1)(1)910--五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．因式分解：（1）x x x 2718323+- （2）()222164x x -+20．先化简，再求值：22(1)(2)22()ab ab a b ab ⎡⎤+--+÷-⎣⎦；其中3,2a b 4==-3．13-，， 121.223，，， 1.50-，六、（本题满分12分）21．一个正方形的一边增加3cm ，另一边减少3cm ，所得到的长方形与这个正方形的每一边减少1cm 所得到的正方形的面积相等，求原来正方形的面积． 七、（本题满分12分）22．如图，图1是一个长为2 m 、宽为2 n 的长方形， 沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形， 然后按图2的形状拼成一个正方形。
人教版八年级数学上册教案第十五章整式的乘除与因式分解
人教版八年级数学上册教案第十五章整式的乘除与因式分解一、教学目标1.理解整式的乘法和除法运算的意义和性质；2.掌握整式的乘法和除法的计算方法；3.掌握整式的因式分解方法；4.能够应用所学知识解决相关问题。
二、教学重点1.整式的乘法和除法的计算方法；2.整式的因式分解方法。
三、教学难点整式的因式分解方法。
四、教学准备1.教材《人教版八年级数学上册》；2.录音机、磁带。
五、教学过程1. 导入通过以往学习知识的回顾，复习整式的基本概念和运算法则。
2. 整式的乘法(1) 同底数相乘两个整式的乘法，当因式中的字母及其指数相同时，可以进行相乘。
例如：(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2(2) 不同底数相乘两个整式的乘法，当因式中的字母及其指数不同时，先用代数公式展开，再进行合并同类项。
例如：(a+b)(a+c)=a2+ac+ab+bc3. 整式的除法整式的除法是整式的乘法的逆运算。
通过列竖式进行计算，将被除式视作整式的公因式进行除法运算。
例如：(3x2+4x+5)÷(x+2)4. 整式的因式分解(1) 提取公因式法根据整式的乘法运算法则，将整式中所有的项进行拆分，提取公因式。
例如：6xy+9y=3y(2x+3)(2) 公式法利用一些公式和运算性质进行因式分解。
例如：x2+5x+6=(x+3)(x+2)(3) 分组法将待分解的整式中的项进行分组，然后对每个组进行公因式提取。
例如：2x3+xy+3x2y+3y=x(2x2+y)+3y(x2+1)=x(2x2+y)+3y(x2+1)5. 综合练习通过完成一些练习题，巩固和运用所学的整式的乘除和因式分解知识。
六、课堂小结1.整式的乘法和除法是根据乘法和除法的运算法则进行计算的；2.整式的因式分解可以通过提取公因式、使用公式和进行分组等方法进行。
七、课后作业1.完成课后习题；2.预习下一章节内容。
第十五章整式乘除与因式分解知识点归纳
第十五章 整式乘除与因式分解----知识点归纳一、幂的运算：1、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=∙（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
如：532)()()(b a b a b a +=+∙+同底数幂的乘法法则可以逆用：即n m nm p a a aa ∙==+ 如：⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=⋅==+++434352526617x x x x x x x x x x可以根据已知条件，对原来的指数进行适当地“分解”。
2、幂的乘方法则：mnnm aa =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m m npa a aa )()(=== 如：23326)4()4(4==3、积的乘方法则：n nnb a ab =)(（n 是正整数）。
积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=∙∙∙- 积的乘方法则可以逆用：即()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎩⎨⎧-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅===⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=.,111)1(1;,11)1(1,a b n n a a a a a b a a a a ab b a n nn n nn n n n nn 为奇数，为偶数，常见： 4、同底数幂的除法法则：nm nmaa a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m >同底数幂相除，底数不变，指数相减。
如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷同底数幂的除法法则可以逆用：即n m nm p a a aa ÷==-如：已知3,537==x x ，则353537374=÷=÷==-x x x x 5、零指数； 10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。
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（ 第十五章 整式的乘除与因式分解 ）
一、填空题（每小题2分，共24分） 1. 若x=3.2，y=6.8，则x 2
+2xy+y 2
= .
2. 计算：(-a b)3
·(a b 2)2
= ; (3x 3
+3x)÷(x 2
+1)= . 3. (a +b)(a -2b)= ;(a +4b)(m+n)= . 4. (-a +b+c)(a +b-c)=[b-( )][b+( )].
5. 多项式x 2
+kx+25是另一个多项式的平方，则k= . 6．当x_______时，(x －4)0
等于______. 7. ( 23 )2002×(1.5)2003÷(－1)2004
＝________.
8. ( )(5a +1)=1-25a 2
，(2x-3) =4x 2
-9. 9. 99×101=( )( )= . 10.利用因式分解计算：
2
2248
25210000
= . 11.如果（2a ＋2b ＋1）(2a ＋2b －1)=63，那么a ＋b 的值为 . 12.计算：12
-22
+32
-42
+52
-62
+72
-82
+92
-102
= . 二、选择题（每小题3分，共24分）
13.从左到右的变形，是因式分解的为 ( ) A.m a +mb-c=m(a +b)-c B.(a -b)(a 2
+a b+b 2
)=a 3
-b 3
C.a 2
-4a b+4b 2
-1=a (a -4b)+(2b+1)(2b-1) D.4x 2
-25y 2=(2x+5y)(2x-5y) 14.下列运算正确的是 ( ) A.x 2
+x 2
=2x 4
B.a 2·a 3= a 5
C.(-2x 2)4
=16x 6
D.(x+3y)(x-3y)=x 2
-3y 2
15.下列各式中，相等关系一定成立的是 ( ) A.(x-y)2
=(y-x)2
B.(x+6)(x-6)=x 2
-6
C.(x+y)2
=x 2
+y 2
D.6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(x-6)
16.(x+2)(x-2)(x 2
+4)的计算结果是 ( )
A.x 4
+16
B.-x 4
-16
C.x 4
-16
D.16-x 4
17.19922
-1991×1993的计算结果是 ( ) A.1
B.-1
C.2
D.-2
18.对于任意的整数n ，能整除代数式(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)的整数是 ( ) A.4 B.3 C.5 D.2
19. a
3m+1
可写成 （ ）
A. (a 3)m+1
B. (a m )3+1
C. a ·a 3m
D. (a m )
2m+1
20.如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的
正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积 为4，若用x ，y 表示小矩形的两边长(x ＞y)，请观察 图案，指出以下关系式中，不正确的是 ( ) A.x+y=7 B.x-y=2
C.4xy+4=49
D.x 2+y 2
=25 三、计算题（每小题4分，共16分）
21.(1)232425()()()a a a ⋅÷ (2)0
2
1(2)()2
---
(3)(9)(9)x y x y -++- (4)2
[(34)3(34)](4)x y x x y y +-+÷-
四、解答题（22题12分，23、24题各5分，共22分） 22. 分解因式：(1)2
1
4
x x -+
(2)22(32)(23)a b a b --+
(3)2222x xy y z -+- (4)1(1)x x x +++
23.一条水渠其横断面为梯形，如图所示，根据图中的长度求出横断面面积的代数式，并
计算当a =2，b=0.8时的面积.
24. 已知a ，b 是有理数，试说明a 2+b 2
-2a -4b+8的值是正数.
五、解答题（25题6分，26题8分，共14分） 25.计算(
101×91×8
1×…×21×1)10·(10×9×8×7×…×3×2×1)10
26.如图所示，有一个形如四边形的点阵，第1层每边有两个点，第2层每边有三个点，第3层每边有四个点，依此类推.
(3)写出n 层的四边形点阵的总点数；
(4)如果某一层共有96个点，你知道它是第几层吗？ (5)有没有一层点数为100？。