整式的乘法和因式分解

整式的乘法
注意：单项式的乘法的关键是通过乘法的交换律和结合律，把它转化为幂的运算．单项式与多项式的乘法可以采用我们已经熟悉的有理数运算中乘法分配律的应用类比理解，并且指导运算．多项式与多项式的乘法，先将一个多项式的每项分别与另外一个多项式的每项相乘，再把所得的积相加，运算中利用单项式与单项式的乘法和合并同类项．运算时需要按照一定的顺序进行，防止漏项和符号出错．
1.单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数.
2.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式.多项式中每个单项式叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫多项式的次数.
3.整式的概念：单项式和多项式统称整式.
注意：凡是分母含有字母的代数式都不是整式，也不是单项式和多项式.
4.单项式与单项式相乘的法则：把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式.
注意：（1）①积的系数等于各因式系数的积；
②相同字母相乘是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”计算；
③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，要注意不要丢掉这个因式；
④单项式乘以单项式的结果仍是单项式；
⑤单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用.
（2）单项式乘法中，若有乘、乘法等混合运算，应按“先乘、再乘法”的顺序进行.
例1.计算：
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）
（9）（10）
（11）（12）
（13）（14）
（15）
例2.计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）（n是正整数）
例3.先化简，后求值：，其中.
例4.已知，求的值.
5.单项式与多项式相乘的法则：使用单项式乘以多项式的每项，再把所得的积相加.
注意：（1）法则中“每项”是指含有性质符号的项；
（2）单项式乘以多项式，它的积仍为多项式，项数与原多项式（没有同类项）的项数相同，不要漏乘项；
（3）乘积中符号的确定与括号法则基本一致，括号前的单项式系数为正数，去括号后多项式各项的符号都不变，否则都改变；
（4）对混合运算应该注意运算顺序，并且有同类项时，必须合并同类项，从而得到最简结果；
（5）由法则可以看出：单项式与多项式相乘就是根据乘法分配律把问题转化为单项式的乘法，它的思路是
例5.计算:
（1）（2）
（3）（4）
例6.计算：
（1）（2）
例7.解程：
（1）
（2）
例8.先化简，后求值：，其中
.
例9.化简：．（n是正整数）
6.多项式与多项式相乘的法则：使用多项式的每项分别乘以多项式的每项，再把所得的积相加.
例10.计算：
(1) (2)
(3) （4）
(5) (6)
例11.计算：
(1) (2)
(3) (4)
例12.计算：
（1）（2）
例13.计算：
（1）（2）
例14.先化简，后求值:
(1) ,其中
(2) ,其中
例15.按如图的程序计算：
若开始输入n值为，则最后输出结果是__________.
例16.已知：二次三项式和的乘积中不含项和项．求p,q的值．
例17.计算：
（1）（2）
（3）
（4）
例18.解答题：
（1）已知代数式与的值相等，求x．
（2）解不等式．
（3）已知：．求m、n的值．
因式分解
1．分解因式的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做分解因式．
2．因式分解的基本法有：
(1) 提取公因式法；
(2) 公式法；
(3) 分组分解法；
(4) 十字相乘法．
例1.单项式与的公因式为___________.
例2.若4x2+2(m+1)x+25是完全平式，则m的值等于___________.
例3.若x2+x+m=(x-n)2，则m+n=_________.
例4.在多项式m2+n2，-a3+b3，x4+4y2，-4s2+9t2中，可以使用平差公式分解因式的有___________. 例5.若x2-mx-28=(x+4)(x-7)，则m=___________.
例6.若的值为0，则的值为___________.
例7.若，则___________.
例8.程的解为___________.
例9.若=，则=___________.
例10.因式分解：
（1）=___________.
（2）=___________.
（3）=___________.
（4）=___________.
（5）=___________.
（6）=___________.
（7）m2+5n-mn-5m=___________.
（8）bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=___________.
课堂反思
1.幂的运算是初中代数运算的重点和必考点，但是它的容简单，只需要深刻地记忆幂的运算的相关性质，并且适量地解决经典题型，要求学生熟练掌握.
2.整式的乘法属于基本容，只要熟练地掌握运算法则并且能够准确地解题即可.
3.因式分解是初中代数运算的重点和必考点，要求学生熟练掌握，需要灵活地运用因式分解的各种法准确地解题.
课后训练
1.下列4个算式：
(1)(2)
(3)(4)
其中,计算错误的有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
2.你认为下列各式正确的是( )
A．B．C．D．
3.下列运算正确的是( )
A．3a+2b=5ab B．a3a2=a5 C．a8÷a2=a4D．（－2a2）3=－a6
4.下列计算正确的是( )
A．x4·x4=x16B．(a3)2·a4=a9C．(ab2)3÷(－ab)2=－ab4D．(a6)2÷(a4)3=1 5．计算：的结果是( )
A．B．C．D．
6．下列运算中，结果是的是( )
A．B．C．D．
7.已知是大于1的自然数,则等于( )
A. B. C. D.
8.已知a=，b=，c=，那么a、b、c 的大小关系是（）
A. a＞b＞c
B. b＞c＞a
C. a＜b＜c
D. c＞a＞b
9.的计算结果是( )
A.B．
C． D.
10.下列计算中正确的是( )
A.
B．
C.
D．
11.三个连续偶数，中间一个为k，则这三个数的积为( )
A. B. C. D.
12.使的积中不含和的项，则p、q的值分别为( )
A．B．
C． D.
13.计算：的结果是( )
A．B．
C.D．
14.若，，则的值为( )
A．B．C．D．
15.若，则________．(使用幂的形式表示）
16.计算：；的结果是．
17.已知，，则．
18.如果等式，则的值为．
11.因式分解：
（1）______________.
（2）______________.
（3）______________.
（4）=______________.
（5）______________.
（6）______________.
（7）______________.
（8）______________.
（9）______________.
12.计算：
(1)()15×(315)3（2）(m为偶数,)
（3）（4）
（5）（n是正整数）（5）
（6）（6）
（7）（8）
（9）（10）
（10）（11）
（12）
13.解程：．
14.求证：代数式的值与x的值无关．
15.若，解关于的程．
16.若.
17.已知（1）求的值；（2）求的值.
18.求使得成立的所有的值.
19.若a、b、c都是正数，且a2=2，b3=3，c4=4，比较a、b、c的大小.
20.已知，求代数式[－3.5（x+y）]3·（x－y）·[－2（x+y）（x －y）]2的值.
21.已知a2+a=－1，求a2005+a3006+a4007的值.
22.一长体的高是厘米，底面积是平厘米，则它的体积是_______立厘米．
23.一种细菌的半径是厘米，用科学计数法表示为分米
24.︱x︱＝(x－1)0，则x = .
25.汛期来临前，滨海区决定实施“海堤加固”工程.某工程队承包了该项目，计划每天加固60米.在施工前，得到气象部门的预报，近期有“台风”袭击滨海区，于是工程队改变计划，每天加固的海堤长度是原计划的1.5倍，这样赶在“台风”来临前完成加固任务.设滨海区要加固的海堤长为a米，则完成整个任务的实际时间比原计划时间少用了天.（使用含有a的代数式表示）
26.阅读下列一段话，并且解决后面的问题.观察下面一列数：1，2，4，8，…我们发现，这列数从第二项起，每一项与它前一项的比值都是2.我们把这样的一列数叫做等比数列，这个共同的比值叫做等比数列的公比.
（1）等比数列5，―15，45，…的第4项是；
（2）如果一列数a1,a2,a3,…是等比数列，且公比是q,那么根据上述规定有
所以
则a n= .(用a1与q的代数式表示)
（3）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项和第4项.。