3、两角和差的正切
两角和与差的正切公式 课件
＝－ 3.
● 3．六个和与差三角函数公式之间的逻辑关系
题型一 两角和与差的正切公式的应用 例1 已知 tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求 tan 2α，
tan 2β，tan(2α＋π4)． 【解】 tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝1t－antaαn＋αβ＋＋βttaannαα－－ββ
● 【名师点评】 对于这类问题，以下两个步骤缺一不可： ● (1)根据题设条件求角的某一三角函数值； ● (2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．
题型二 两角和与差的正切公式活用 例2 求下列各式的值
(1)1t＋ant7a5n°7－5°ttaann1155°°； (2)1＋3－3ttaann1155°°； (3)tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20°·tan 40°. 【解】 (1)原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝ 3. (2)原式＝1t＋ant6a0n°6－0°ttaann1155°°＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1.
● 【名师点评】 (1)解答此类题型一般要用诱导公式把角化正、化小、化切为弦(统一函数 名称)，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．
● (2)公式的变形运用：
● 只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，就要有灵活应用公式T(α±β)的意识，从而不难获 得解题思路．
题型三 给值求角 例3 已知 tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且 α，β∈(0，π)，
● 做一做
tan 70°＋tan 50°－ 3tan 70°tan 50°等于( )
A. 3
B.
3 3
C．－
3 3
第3课时两角和与差的正切公式 课件(34张)
2．能否为例 3(1)归纳出一个一般结论？若能，试证明． [解] 一般结论：若 α－β＝45°(α，β≠k×180°＋90°，k∈Z)，
则 tan α－tan β－tan αtan β＝1. 证明：∵tan 45°＝tan(α－β)＝1t＋antαan－αttaannββ，
∴1＋tan αtan β＝tan α－tan β，
NO.3 当堂达标·夯基础
1．若 tan α＝3，tan β＝34，则 tan(α－β)等于( )
A．3
B．－3
C．13
D．－13
C
[tan(α－β)＝1t＋antαan－αttaannββ＝1＋3－3×34 34＝31.]
12345
2．若 tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则 tan α＝( )
(2)[解] ∵ 3tan A＋ 3tan B＝tan Atan B－1，
∴ 3(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1， ∴1t－antAan＋AttaannBB＝－ 33，
∴tan(A＋B)＝－
3 3.
又 0＜A＋B＜π，∴A＋B＝56π，∴C＝π6. ∵tan B＋tan C＋ 3tan Btan C＝ 3，tan C＝ 33， ∴tan B＋ 33＋tan B＝ 3，tan B＝ 33， ∴B＝π6，∴A＝23π， ∴△ABC 为等腰钝角三角形．
1．将例 3(1)中的角同时增加 1°结果又如何？ [解] ∵tan 45°＝tan(68°－23°) ＝1t＋ant6a8n°6－8°ttaann2233°°， ∴1＋tan 68°tan 23°＝tan 68°－tan 23°， 即 tan 68°－tan 23°－tan 68°tan 23°＝1.
核心素养
3.1.2 两角和与差的正切公式(张奕辉用)
π 4 = tan α − 1 tan(α − ) = 4 1 + tan α tan π 1 + tan α 4 3 − −1 = 4 = −7. 3 1 + (− ) 4
0 + tan45 解： 1 tan105 = tan(60 + 45 ) = （） =−2 − 3. 1− tan60 ⋅ tan45
tan45 + tan30 = 2 + 3. （） 2 tan75 = tan(45 +30 ) = 1− tan45 ⋅ tan30
3 π （3）已知 sin α = − , α 是第四象限角，求 tan(α − )的值. 5 4
=1+ tan(α + β )(1− tanα tan β ) + tanα tan β =1+ tan = 2.
π
解 (1+ tanα)(1+ tan β ) =1+ tanα + tan β + tanα ⋅ tan β ：
π
4
(1− tanα tan β ) + tanα tan β.
5.已 知 A ， ， 是 非 直 角 ∆ ABC 的 三 内 角 ， B C 求 证 ： A + tan B + tan C = tan A tan B tan C . tan
2
正切： 正切： 符号上同 下反
注 意 遇到
两角和与差的正弦余弦和正切公式推导过程
两角和与差的正弦余弦和正切公式推导过程首先，我们假设有两个角α和β，它们的和为α+β，差为α-β。
我们将利用这两个和与差来推导公式。
1.两角和的正弦公式的推导：首先，根据三角恒等式sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ，我们可以将α+β的正弦表示为两个正弦的和的形式。
然后，利用三角恒等式可以写出cos(-β)=cosβ，sin(-β)= -sinβ，我们可以将α+(-β)的正弦再次表示为两个正弦的和的形式。
即，sin(α+β) = sinαcosβ+ cosαsinβ = sinαcos(-β) + cosαsin(-β)。
这样，我们可以得到：sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ = sinαcos(-β) +cosαsin(-β)。
2.两角和的余弦公式的推导：首先，根据三角恒等式cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ，我们可以将α+β的余弦表示为两个余弦的和的形式。
然后，利用三角恒等式可以写出cos(-β)=cosβ，sin(-β)= -sinβ，我们可以将α+(-β)的余弦再次表示为两个余弦的和的形式。
即，cos(α+β) = cosαcosβ- sinαsinβ = cosαcos(-β) - sinαsin(-β)。
这样，我们可以得到：cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ = cosαcos(-β) -sinαsin(-β)。
3.两角差的正弦公式的推导：首先，根据三角恒等式sin(α-β) = sinαcos(-β) - cosαsin(-β)，我们可以将α-β的正弦表示为两个正弦的差的形式。
然后，利用三角恒等式可以写出cos(-β)=cosβ，sin(-β)= -sinβ，我们可以将α-(-β)的正弦再次表示为两个正弦的差的形式。
即，sin(α-β) = sinαcos(-β) - cosαsin(-β) = sinαcosβ + cosαsinβ。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝ (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝ (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝ (4)S (α－β)：sin(α－β)＝ (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝ ； (6)T (α－β)：tan(α－β)＝ . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝(2)C 2α：cos 2α＝ ＝ ＝ ； (3)T 2α：tan 2α＝ . 3．常用的公式变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. [小题能否全取]1．(2011·福建高考)若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选Dsin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6. 2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( ) A ．－22B.22C.32D ．1解析：选B 原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝22. 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )A ．－53 B ．－19C.19D.53解析：选B cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－19.4．(教材习题改编)若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎫α＋π4＝________ 解析：由已知条件sin α＝－1－cos 2α＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝－7210. 答案：－72105．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝25，则tan α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝25， 即5tan α＋5＝2－2tan α. 则7tan α＝－3，故tan α＝－37.答案：－371.两角和与差的三角函数公式的理解：(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．典题导入[例1] (2011·广东高考)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． [自主解答] (1)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2. (2)∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65， ∴2sin α＝1013，2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝65. 即sin α＝513，cos β＝35.∴cos α＝1213，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×35－513×45＝1665.由题悟法两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．以题试法1．(1)已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________.(2)(2012·济南模拟)已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝( ) A ．－3 B ．－17C ．－43D ．－7解析：(1)cos 2α2sin ⎝⎛⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45.∴原式＝－75.(2)依题意得，sin α＝255，故tan α＝2，tan 2α＝2×21－4＝－43，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝1－431＋43＝－17. 答案：(1)－75 (2)B典题导入[例2] (2013·德州一模)已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值． [自主解答] (1)∵f (x )＝2cos 2x2－3sin x ＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∴周期T ＝2π，f (x )的值域为[－1,3]．(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13. ∵α为第二象限角，∴sin α＝223.∴cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.由题悟法运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．以题试法2．(1)(2012·赣州模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋cos α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值为( )A.45 B.35 C.32D.35(2)若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．解析：(1)由条件得32sin α＋32cos α＝435， 即12sin α＋32cos α＝45. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45. (2)－1＝tan 3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β. ∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2， 即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 答案：(1)A (2)2典题导入[例3] (1)(2012·温州模拟)若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.(2)(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． [自主解答] (1)由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2.故tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43.(2)因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425， cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝725， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4＝2425×22－725×22＝17250. [答案] (1)43 (2)17250由题悟法1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； 2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3．常见的配角技巧： α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)； α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]； π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α；α＝π4－⎝⎛⎭⎫π4－α.以题试法3．设tan ()α＋β＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.1318 B.1322 C.322D.16解析：选C tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322.[典例] (2012·广东高考)已知函数f (x )＝2cos⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－5π6＝1617，求cos(α＋β)．[尝试解题] (1)∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，ω>0的最小正周期T ＝10π＝2πω，∴ω＝15. (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫15x ＋π6，而α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－5π6＝1617， ∴2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＋π6＝－65， 2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5β－5π6＋π6＝1617， 即cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－35，cos β＝817， 于是sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.——————[易错提醒]—————————————————————————— 1.在解答本题时有两点容易失误：(1)忽略角α，β的范围，求解cos α，sin β的值时出错；(2)在利用两角和的余弦公式时由于对公式记忆不准确导致错误.2.解决三角函数问题时，还有以下几点容易失误：(1)对公式记忆不准确而使公式应用错误；(2)三角公式不能灵活应用和变形应用；(3)忽略角的范围或者角的范围判断错误.—————————————————————————————————————— 针对训练1．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13，则sin A 的值为________．解析：由题意知，C －A ＝π2，且C ＋A ＝π－B ，故A ＝π4－B 2，则sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－B 2＝22⎝⎛⎭⎫cos B 2－sin B 2， 则sin 2A ＝12(1－sin B )＝13，又sin A >0，则sin A ＝33. 答案：332．已知sin(2α－β)＝35，sin β＝－1213，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求cos 2α的值． 解：∵π2＜α＜π，∴π＜2α＜2π.∵－π2＜β＜0，∴0＜－β＜π2，π＜2α－β＜5π2，而sin(2α－β)＝35＞0，∴2π＜2α－β＜5π2，cos(2α－β)＝45.又－π2＜β＜0且sin β ＝－1213，∴cos β＝513，∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β] ＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β ＝45×513－35×⎝⎛⎭⎫－1213＝5665.1．(2012·重庆高考)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：选A 由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3.2．(2012·南昌二模)已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的值是( ) A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1解析：选C cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－1. 3． (2012·大同模拟)已知θ为第二象限角，sin ()π－θ＝2425，则cos θ2的值为( )A.35B.45 C ．±35D ．±45解析：选C ∵θ为第二象限角， ∴θ2为第一、三象限角． ∴cos θ2的值有两个，由sin(π－θ)＝2425，可知sin θ＝2425，∴cos θ＝－725，∴2cos 2θ2＝1825.∴cos θ2＝±35.4．已知函数f (x )＝x 3＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为4，则函数g (x )＝3sin 2x＋b cos 2x 的最大值和最小正周期为(A ．1，πB ．2，πC.2，2πD.3，2π解析：选B 由题意得f ′(x )＝3x 2＋b ， f ′(1)＝3＋b ＝4，b ＝1. 所以g (x )＝3sin 2x ＋b cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 故函数的最大值为2，最小正周期为π.5． (2013·合肥模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B.235C.45D ．－45解析：选D 由条件知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＋sin α＝⎝⎛⎭⎫32cos α＋12 sin α＋sin α＝3⎝⎛⎭⎫32sin α＋12cos α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 6．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.53解析：选A 将sin α＋cos α＝33两边平方，可得1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝53.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋cos α＝－153，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)·(cos α＋sin α)＝－53. 7．(2012·苏锡常镇调研)满足sin π5sin x ＋cos 4π5cos x ＝12的锐角x ＝________.解析：由已知可得 cos 4π5cos x ＋sin 4π5sin x ＝12，即cos ⎝⎛⎭⎫4π5－x ＝12，又x 是锐角，所以4π5－x ＝π3，即x ＝7π15.答案：7π158．化简2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝________. 解析：原式＝tan(90°－2α)·12sin 2αcos 2α＝sin (90°－2α)cos (90°－2α)·12sin 2αcos 2α ＝cos 2αsin 2α·12sin 2αcos 2α＝12. 答案：129．(2013·烟台模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________. 解析：依题设及三角函数的定义得：cos β＝－13，sin(α＋β)＝45. 又∵0<β<π，∴π2<β<π，π2<α＋β<π，sin β＝223，cos(α＋β)＝－35. ∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－35×⎝⎛⎭⎫－13＋45×223＝3＋8215. 答案：3＋821510．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝12，求tan 2α和sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值． 解：∵tan α＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43， 且sin αcos α＝12，即cos α＝2sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴5sin 2α＝1，而α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝55，cos α＝255. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×255＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝45－15＝35， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 11．已知：0<α<π2<β<π，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45. (1)求sin 2β的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值． 解：(1)法一：∵cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin β＝22cos β＋22sin β＝13， ∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin 2β＝29，∴sin 2β＝－79. 法二：sin 2β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2β＝2cos 2⎝⎛⎭⎫β－π4－1＝－79. (2)∵0<α<π2<β<π， ∴π4<β<－π4<34π，π2<α＋β<3π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β－π4>0，cos (α＋β)<0. ∵cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin (α＋β)＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝223，cos (α＋β)＝－35. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos (α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝－35×13＋45×223＝82－315. 12．(2012·衡阳模拟) 函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π－x 2，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (α)＝2105，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值． 解：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π－x 2＝sin x 2＋cos x 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4， 故f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π. (2)由f (α)＝2105，得sin α2＋cos α2＝2105， 则⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＝⎝⎛⎭⎫21052， 即1＋sin α＝85，解得sin α＝35，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α＝1－sin 2α＝ 1－925＝45， 故tan α＝sin αcos α＝34， 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝34＋11－34＝7.。
两角和与差的正弦、余弦与正切公式
2
(sin
2
A.a>b>c
C.c>a>b
(2)已知
56°-cos 56°),c=
1-ta n 2 39°
,则 a,b,c 的大小关系是(
1+ta n 2 39°
B.b>a>c
D.a>c>b
π
cos(α-6 )+sin
4 3
α= 5 ,则
π
si(nα+6 )=
.
)
答案 (1)D
4
(2)
5
解析 (1)a=cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°
1
D.
2
.
答案 (1)B (2)D (3) 3
解析 (1)根据两角和的正弦公式展开得 sin
3
θ= sin
2
3
θ+ cos
2
θ=1,即
π
3sin(θ+ )=1,解得
6
π
θ+sin(θ+ )=sin
3
1
θ+ sin
2
π
3
sin(θ+ )= .故选
6
3
B.
(2)∵t=2sin 18°,
2cos2 27°-1
.
1+cos
5.积化和差公式
sin αcos
1
β=
2
sin( + ) + sin(-) ,
cos αsin
1
β=2
sin( + )-sin(-) ,
cos αcos
1
β=2
3、两角和差的正切
（2）认真做好类型题的归纳总结，注意变式训练的拓 展，为质疑和补充做准备。
（3）注意点评展示任务，展示人书写要认真迅速。 （4）本组内若有其它个性问题，请一并解决。
展示 与评价
问题
展示小组
评价小组
两角和的正切 公式推导 第三组
第六组
要求：1、书面展示不仅展示结果，还要有方法总结。 2、非展示同学结合展示点评，迅速记录，认真纠错，及时提问和 补充观点。 3、点评同学对展示内容从板书规范、内容正确性及规律归纳合理 性上做点评，并打分。
例1：
(2) tan 45
tan(30
15 )
tan 30 tan15 1 tan 30 tan15
1 tan 30 tan15 tan 30 tan15
tan 30 tan15 tan 30 tan15 1
方法总结： 公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多 的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，
[预习导引] 1．两角和与差的正切公式
(1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ . (2)T(α－β)：tan(α－β)＝1t＋antαan－αttaannββ .
注意：
（1）公式成立的条件： k , k Z, k , k Z, k ,
tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出 第三个．
变式训练 1 求下列各式的值．
cos (1)cos
75°－sin 75°＋sin
75°； 75°
(完整版)两角和与差的正弦余弦正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式教学目标1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．（重点)2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．（难点）3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、易错点)［基础·初探］教材整理1 两角和与差的余弦公式阅读教材P128“思考”以下至“探究"以上内容,完成下列问题。
cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于________．【解析】逆用两角和的余弦公式可得cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos（75°＋15°)＝cos 90°＝0.【答案】0教材整理2 两角和与差的正弦公式阅读教材P128“探究"以下内容，完成下列问题．1．公式2.重要结论－辅助角公式y＝a sin x＋b cos x＝错误!sin（x＋θ)(a，b不同时为0）,其中cos θ＝错误!，sin θ＝错误!．判断(正确的打“√”，错误的打“×”）(1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．（）（2）存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ）(3）对于任意α,β∈R，sin（α＋β）＝sin α＋sin β都不成立．（）(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°。
( ）解：(1）√.根据公式的推导过程可得．(2)√.当α＝45°,β＝0°时，sin（α－β）＝sin α－sin β.（3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β）＝sin α＋sin β成立．(4）√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确．【答案】(1)√(2)√（3）×(4)√教材整理3两角和与差的正切公式阅读教材P129“探究”以下至“例3”以上内容，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×")（1)存在α,β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( ）（2）对任意α，β∈R，tan（α＋β）＝错误!都成立．( )（3）tan(α＋β）＝错误!等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．( )解:（1)√。
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三.质疑再探
要点三 和(差)角的正切公式的综合应用 例 3 已知△ABC 中， tan B＋tan C＋ 3tan Btan C＝ 3， 且 3tan A＋ 3tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC 的形状．
5π π 又∵0<A＋B<π，∴A＋B＝ 6 ，∴C＝6， 3 ∵tan B＋tan C＋ 3tan Btan C＝ 3，tan C＝ 3 ， 3 3 ∴tan B＋ 3 ＋tan B＝ 3，tan B＝ 3 ， π 2π ∴B＝ ，∴A＝ ， 6 3 ∴△ABC 为等腰钝角三角形．
方法总结： 公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多 的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)， tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出 第三个．
变式训练 1
求下列各式的值．
cos 75° －sin 75° (1) ； cos 75° ＋sin 75° (2)tan 36° ＋tan 84° － 3tan 36° tan 84° .
三.运用拓展
要点一 利用和(差)角的正切公式求值 例 1 求下列各式的值： 3＋tan 15° (1) ； 1－ 3tan 15° (2)tan 15° ＋tan 30° ＋tan 15° tan 30° .
要点二 例2 利用和(差)角的正切公式求角
若 α，β 均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求 α＋β.
抢答
(2)原式＝tan 120° (1－tan 36° tan 84° )－ 3tan 36° tan 84° ＝tan 120° －tan 120° tan 36° tan 84° － 3tan 36° tan 84° ＝tan 120° ＝－ 3.
要点二 例2
利用和(差)角的正切公式求角
若 α，β 均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求 α＋β.
要求：1、书面展示不仅展示结果，还要有方法总结。 2、非展示同学结合展示点评，迅速记录，认真纠错，及时提问和 补充观点。 3、点评同学对展示内容从板书规范、内容正确性及规律归纳合理 性上做点评，并打分。
[预习导引] 1．两角和与差的正切公式 tan α＋tan β (1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝ . 1－tan αtan β tan α－tan β (2)T(α－β)：tan(α－β)＝ . 1＋tan αtan β
三.运用拓展
要点一 利用和(差)角的正切公式求值 例 1 求下列各式的值： 3＋tan 15° (1) ； 1－ 3tan 15° (2)tan 15° ＋tan 30° ＋tan 15° tan 30° .
要点二 例2 利用和(差)角的正切公式求角
若 α，β 均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求 α＋β.
小组讨论：要求：
（1）小组长认真负责，确保人人参与，热烈讨论，时 间3分钟。 （2）认真做好类型题的归纳总结，注意变式训练的拓
展，为质疑和补充做准备。
（3）注意点评展示任务，展示人书写要认真迅速。 （4）本组内若有其它个性问题，请一并解决。
展示 与评价
问题
展示小组 评价小组
两角和的正切 公式推导 第三组 第六组
1 t an t an t an( )
． ．
(2)T(α－β)的变形： tan α－tan β＝
tan( )(1 tan tan )
tan( ) tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝ ．
tan αtan β＝
t an t an 1 t an( )
展示与评价
问题
展示小组 评价小组
例1两角和的 正切公式及变 形的应用 第二组 第四组
例2.利用和差 角的正切公式 求角 第五组 第一组
要求：1、书面展示不仅展示结果，还要有方法总结。 2、非展示同学结合展示点评，迅速记录，认真纠错，及时提问和 补充观点。 3、点评同学对展示内容从板书规范、内容正确性及规律归纳合理 性上做点评，并打分。
§2.3 两角和与差的正切函数(一)
西峡一高 张洪志
一.设疑质探
请同学们预习课本，提出 本节课的学习目标
[学习目标] 1．能利用两角和与差的正、余弦公式推导出 两角和与差的正切公式． 2．能利用两角和与差的正切公式及常见变形 进行化简、求值、证明．
二.解疑合探
其中，应该注意满足什么条件 ？
例1：
t an 30 t an 15 ( 2) t an 45 t an( 30 15 ) 1 t an30 t an15 1 t an30 t an15 t an30 t an15
t an30 t an15 t an30 t an15 1
注意：
（ 1）公式成立的条件： k , k Z , k , k Z , k , 2 2 2
(2)当遇到tan , tan , tan( )的值若不存在，不能直 接运用公式， 要用诱导公式或其它方 法解决。
2．两角和与差的正切公式的变形 (1)T(α＋β)的变形： tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan α＋tan β＝ tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝ tan(α＋β) tan αtan β＝.
作业:P122 练习题(1) (2) (3) (4) B组
（1） (2)
同学们再见！
2016年
5月12日
ห้องสมุดไป่ตู้
规律方法 此类题是给值求角题，解题步骤 如下：(1)求所求角的某一个三角函数值，(2) 确定所求角的范围(一般将范围限定在相应的 三角函数的一个单调区间内)，从而确定所求 角的大小．
变式训练 2 已知 tan α，tan β 是方程 x2＋3 3x＋4＝0 的两根， π π π π 且－2<α<2，－2<β<2，求角 α＋β.