线性规划问题最优解的判定

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必修五——线性规划无数个最优解问题、乘1问题-答案

2•解：满足约束条件必修五一一线性规划无数个最优解问题、乘 1问题答案和解析【答案】【解析】1•解：作出不等式组 Z + yMl 表示的平面区域，x?y >?1< 2得到如图的△ ABC 及其内部，其中 A （ 1，0），B （ 0，1），C （3，4）设 z=F （x , y ） =ax+by （a > 0, b >0）,将直线 l : z=ax+by 进行平移，当I 经过点C 时，目标函数z 达到最大值即当且仅当a=b=1时，+的最小值为7故选：D9目作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ ABC 及其内部，再将目标函数 z=ax+by 对应的直线进行平移，可得当 x=3, y=4时，z 最大值为3a+4b=7•然后利用常数代换结合基本不等式，可得当且仅当 a=b=1时，色+的最小值为7.■a b本题给出二元一次不等式组，在已知目标函数z=ax+by 最大值为7的情况下求” +的最小值.着重考查了运用基本不等式求最值和简单的线性规划等知识，属于中档题.I 的可行域如下图所示Xn••• z 最大值=F (3 , 4) =3a+4b=7, 可得 (3a+4b ) =1 因此, (3a+4b ) (■ + ) = (25+)b 7A 十 b(25+24) >X 49=,7■-01 5* 丫1 2 3n 刃•••.表示可行域内一点（X, y）与P （1, 5）连线的斜率又T k pA= =1, k PB= =-3,•••「的范围是（-汽-3）U （1 , + a）f?i|故选A画出满足约束条件的可行域，分析目标函数的几何意义，数形结合即可分析出目标函数的取值范围.本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中分析出目标函数的几何意义是表示可行域内一点（x, y）与P （1 , 5）连线的斜率是解答的关键.3•解：由约束条件｛¥二0 作出可行域如图，]y?x | 1 <0ly?2x + 4>0|由z=y-ax （a^0, 得y=ax+z,•/ a MQ•要使z=y-ax （a MQ取得的最优解（x, y）有无数个，a不能为负值，当a> 0时，直线y=ax+z与线段AC所在直线重合时，使z=y-ax取得最大值的最优解有无数个；直线y=ax+z与线段BC所在直线重合时，使z=y-ax取得最小值的最优解有无数个.综上，要使z=y-ax （a MQ取得的最优解（x, y）有无数个，贝U a=1或2. 故选：C.由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，结合可行域即可看出使z=y-ax （a MQ取得的最优解（x, y）有无数个的a值.本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.4•解：依题意，满足已知条件的三角形如下图示：令z=0,可得直线x+my=0的斜率为-,111结合可行域可知当直线x+my=0与直线AC平行时，线段AC上的任意一点都可使目标函数z=x+my取得最小值，而直线AC的斜率为=-1 ,3^1所以-=-1，解得m=1,ki故选C.增加网友的解法，相当巧妙值得体会！请看：依题意，1+3m=5+2m v 3+m，或1+3m=3+m v 5+2m，或3+m=5+2m v 1+3m解得m €空集，或m=1，或m €空集，所以m=1，选C.评析：此解法妙在理解了在边界处取到最小值这个命题的内蕴，区域的三个顶点中一定有两个顶点的坐标是最优解，故此两点处函数值相等，小于第三个顶点处的目标函数值，本题略去了判断最优解取到位置的判断，用三个不等式概括了三种情况，从而解出参数的范围，此方法可以在此类求参数的题中推广，具有一般性！将目标函数z=x+my化成斜截式方程后得：y=- x+_z，若m>0时，目标函数值Z与直线族：ip priiy=- x+ z截距同号，当直线族y=- x+ z的斜率与直线AC的斜率相等时，目标函数z=x+myrn Jii取得最小值的最优解有无数多个；若m v 0时，目标函数值Z与直线族：y=- x+ z截距异号，Pl III当直线族y=- x+ z的斜率与直线BC的斜率相等时，目标函数z=x+my取得最小值的最优解in rn|有无数多个，但此时是取目标函数取最大值的最优解为无数个，不满足条件.目标函数的最优解有无数多个，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式；②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反；③根据分析结果，结合图形做出结论④根据斜率相等求出参数.5.解：由题意，使目标函数Z=ax-y (a > 0)取得最大值，而y=ax-z即在Y轴上的截距最小；所以最优解应在线段AC上取到，故ax-y=0应与直线AC平行.■/ k AC=「L=,4?1| 3• I a=,i故选：A.由题设条件，目标函数Z=ax-y (a >0),取得最大值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，故最大值应该在边界AB上取到，即ax-y=0应与直线AB平行；进而计算可得答案.本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的逆用题型，知最优解的特征，判断出最优解的位置求参数.6•解：■/目标函数P=ax+y,/• y=_ax+P.故目标函数值Z是直线族y=-ax+P的截距，当直线族y=-ax+P的斜率与边界AC的斜率相等时，目标函数z=ax+y取得最大值的最优解有无数多个，此时，-a=^=-[,5?1 2即a=',① 将目标函数的解析式进行变形，化成 ③根据分析结果，结合图形做出结43 2 1 *1 -2 -3-4-5域.故选B .给出平面区域如图所示，其中A (5, 3),B (1, 1),C (1, 5),若使目标函数z=ax+y (a> 0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为目标函数的最优解有无数多个，处理方法一般是：斜截式②分析Z 与截距的关系，是符号相同，还是相反论④根据斜率相等求出参数.7.解：■/ z=x+ay 则y=- x+ z ,为直线y=- x+在y 轴上的截距要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，则截距最小时的最优解有无数个.•「a >0把x+ay=z 平移，使之与可行域中的边界 AC 重合即可，• -a=-1「a=1 故选 D .先根据约束条件画出可行域，由z=x+ay ，利用z 的几何意义求最值，要使得取得最小值的最优解有无数个，只需直线z=x+ay 与可行域的边界 AC 平行时，从而得到a 值即可. 本题主要考查了简单线性规划的应用、二元一次不等式(组)与平面区域等知识，解题的关键是明确 z 的几何意义，属于中档题. 8•解：由x , y 满足线性约束条件联立L =^.，解得C ( 2, 1). > —V ■由可行域可知：当目标函数经过点 ••• 2a+b=1 (a >0， b >0)， ••丄+：=( 当且仅当b=2a=时，取等号,2••丄半的最小值为8. 故选B .由约束条件作出可行域，并找出目标函数取得最大值时的条件，进而利用基本不等式的性质即可求出.本题考查线性规划的有关内容及基本不等式的运用，确定 2a+b=1，正确运用基本不等式是关键.9.解：由题意，z=mx+y ( m > 0)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，最优解应在线段AC 上取到，故mx+y=0应与直线AC 平行y JX，作出可行$5 ■ y V >04一<23 -2一1XX 1 1 1 >-5 -4 -3£[1 ;3 4 5C 时z 取得最大值1,-2-3 --4 —+ 后=8，-5-4 5借助与图形找到此时z的最小值即在取得最值的最优解有无穷多个时，目标函数通平移直y=-x+，由图象可知当直线* I.y=-」x+，经过点b bz最大, 「k A,57]• •• -m=-,20故选C.目标函数Z=mx+y，取得最大值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上，目标函数的截距取得最大值，故最大值应在左上方边界AC上取到，即mx+y=0应与直线AC平行；进而计算可得m的值.本题考查线性规划的应用，目标函数的最优解有无数多个，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反③根据分析结果，结合图形做出结论④根据斜率相等求出参数.10•解：满足约束条件（¥?如「2y?x > 0 y?3<0.因为z=mx+y在平面区域上取得最小值的最优解有无穷多个，所以m=.只有过点（0, 0）时，z=mx+y有最小值0. 故选B.先有z=mx+y在平面区域fv?2x _0 上取得最小值的2y?x > 0Lx + y?3<0.最优解有无穷多个找出m=.再把对应的平面区域画出,2可.本题考查的知识点是简单线性规划的应用. 常与线性约束条件中的某一条线平行.11•解：作出不等式组f上0对应的平面区域x?y>0> 0* V > 0如图:由z=ax+by ( a> 0, b > 0) 得y=^x+, b b则直线的斜率k=- v 0,截距最大时，z也最大.A时，直线y=- x+，的截距最大，此时9 E由l(3x?>f?2 = O,解得卜二I■ 0 ty - I即A (1,1),此时z=a+b=2,的平面区域如图.•.1+1= （i+i）（・」）= 1 b JH>2；U 〒Z北“京当且仅当口，，即卩a=b=1时取等号，此时m=2,y=sin （mx+电）=sin （2x+i）的图象向右平移聖后的表达式为：y=sin[2 （史）+]=sin2x.J J * 6 Bl故选：B.作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，确定z取最大值点的最优解，利用基本不等式的性质，利用数形结合即可得到结论.本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义先求出最优解是解决本题的关键，利用基本不等式的解法和结合数形结合是解决本题的突破点.同时考查三角函数的图象的平移变换.。

线性规划的定义及解题方法

线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。

它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。

线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。

本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。

一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。

它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。

通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。

在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。

这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。

例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。

这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。

二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。

决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。

2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。

3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。

例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。

4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。

它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。

线性规划问题的解

第二步：最优性检验。
第三步：从一个基本可行解转换到相邻的目标函
数值更大的基本可行解，列出新的单纯形表。
第四步：重复第二、三两步，一直到计算结束为止。
§1-6 .初始可行基的求法
一、大M法
在上一节例 1-9 中，化为标准形式后约束条件的系数矩阵中含有单位矩阵，以此作初始基，使求初始基可行解和建立初始单纯形表都十分方便。但时常化为标准形后的约束条件的系数矩阵中不存在单位矩例1-10 用单纯形法求解线性规划问题
s.t.
AX b X 0
B ( p1 , p2 ,, pm ) 中，不妨设是一个可行基，则系数矩阵Ａ可分块为（Ｂ，Ｎ）。对应于Ｂ的基变量为，X B ( x1 , x2 ,, xm ) T ，非基变量为 X N ( xm1 , xm 2 ,, xn ) T ，Ｎ T T ＝ ( pm1 , pm2 ,, pn ) 。并令C T (C B , CN ) ，其中 B 为基变量 X B的系数列向量， N 为非基变量的系数列向量。于是原问题可化为 XB T T T Max Z C X (CB , CN ) X N
0 x （4i aij 0 ,
0,这表明可能找到另一顶点（基可行解）目标函数值也达到最大
因而的取值可无限增大不受限制， z 也可无限增大,表明线性规划问题有无界解。
(1)
二、单纯形法的矩阵描述在线性规划问题的标准型： T z C X Max
p6 , p7是人为添加上去的，它相当于在上述问题的约
1 0 0 0 1 0 0 0 1
p 4 p6 p7
“ -M” 称为“罚因子”，即只要人工变量取值大于零，目标函数就不可能实现最优。因而添加人工变量后，例110的数学模型的标准形式就变为 max z 3x1 x3 0 x4 0 x5 Mx6 Mx7

线性规划原理与解法

c1 b1 a1,m 1 xm 1 a1,m 2 xm 2 ... a1n xn
z c1b1 c2b ... cmbm
cm1 ci ai,m1
i 1
m
cm 1 c1a1, m 1 c2 a2, m 1 ... cm am , m 1 xm 1 c c a i i ,m 2 m 2

i 1

对增广矩阵作初等行变换将基变为单位阵
1 0 0
x2 0 ... 0 a1, m 1 ... a1n b : 1 1 ... 0 a2, m 1 ... a2 n b xm 2 ...... x : m 1 bm 0 ... 1 am, m 1 ... amn : x n
第一节线性规划求解原理
5）若约束条件为“≥”，“≤”和“=”的混合性，则综合应用以上方法，确定初始基。
max z 3 x1 4 x2 例： x1 2 x2 ≤8 4 x ≤16 1 s.t. 4 x2 ≤12 x1 , x2≥0 max z 3x1 4 x2 0 x3 0 x4 0 x5 =8 x1 2 x2 x3 4 x x4 =16 1 s.t. x5 12 4 x2 x1 , x2 , x3 , x4 , x5≥0
xi bi
j m 1
a x (i 1, 2,..., m)
ij j
n
x1 b1 a1,m1 xm1 a1,m2 xm2 ... a1n xn x2 b2 a2,m1 xm1 a2,m2 xm2 ... a2 n xn ...... xm bm am,m1 xm1 am,m 2 xm 2 ... amn xn

关于线性规划整数最优解问题

, ,
:
P:
。
当 ( 3 ) 发生时继续运用对偶单纯形法解
,
P:
,
重复上述过程若可行解区域有界或有整
。
,
数点时则有限次运用割平面方程必得出整数最优解或断定无整数最优解 2
割平面程序有限性证明
从线性规划整数最优解的割平面方法中可以看出每进行一次切割就需要加进一个松
box
J
P
,
:
x m a
s
,
一习
j C
R
j `二 x
、一
名
、
t j b
、
,二 l
,
一 m
,
一
j 任
名几
R
一
几
~ l
,
j x
》
O
…
,
n
S,
》0
1
,
运用对偶单纯形法解新规划间题卫可能发生下面三种情况之一
( ) 1 得到整数最优解 2 ) 断定原规划问题无最优解 ( (3 ) 需要确定另外切割得新规划问题
:
l 乒 l。 l l
。
一
一
时
,
b。
川的第
、补
0 b
。
( )是一
`
个固定的整数
, ,
( ) 的第二个分量认 ( 呈 l 式青况
。
由于在迭代过程中保持了单纯形表中列向量
二三性

“五招”破解线性规划整数最优解问题

可行域内打上斜线，方便地观察出可行域很
内的整点，再将目标函数从直线ｆ。的整点平
图１
的交点
移，先到达的整点就是整数最优解．时对最此应的点是可行域内最接近１整点．上的如
Ａ
（，是理论最优解对应目标函数的理了４）
，
论大４７５｛专但行域内平移时，先通过的整点为（，）所最值Ｓ＝× × ＝詈由值＋× ４＋号３，最２４，
Ｊ
图，将引例中的直线ｆ７５＝４０＋Ｙ３｛向可：
以这就是这个问题的整数最优解．当靠近ｚ。的几个整点与ｆ。的距离非常
４ｘ＋３一２０＝０，一３～２：０ｙ
＼一
Ｄ
／／
＂
／＼Ｎ７＋ｙ０，ｘ５＝、
接近直线ｚ的整点逐个代人目标函数，过通验算，出整数最优解．求
方法２网格线法
将整个坐标系画在几何方格纸上，在或
＋５ｖ＝３４检验，只有当＝２时Ｙ＝４适合
题意．问题得解．故
如果一次不能够达到，以依次将目标可
函数值换成附近其他整数，重复上述方法，直到求出问题的整数最优解．本质上，这种方法是通过增加附加条件，逐渐缩小可行域的手段来求得整数最优解的．
∈ Ｎ＋
求Ｓｘ＋５＝７ｖ的最大值．分析：先首我们将，Ｙ∈

最优化计算方法-第5章(线性规划)

第五章线性规划线性规划（Linear Programming，简记为LP）是数学规划的一个重要的分支，其应用极其广泛．1939年，前苏联数学家康托洛维奇（Л.B.Kah ）在《生产组织与计划中的数学方法》一书中，最早提出和研究了线性规划问题．1947年美国数学家丹泽格（G. B. Dantzig）提出了一般线性规划的数学模型及求解线性规划的通用方法─单纯形方法，为这门科学奠定了基础．此后30年，线性规划的理论和算法逐步丰富和发展．1979年前苏联数学家哈奇扬提出了利用求解线性不等式组的椭球法求解线性规划问题，这一工作有重要的理论意义，但实用价值不高．1984年在美国工作的印度数学家卡玛卡(N. Karmarkar)提出了求解线性规划的一个新的内点法，这是一个有实用价值的多项式时间算法．这些为线性规划更好地应用于实际提供了完善的理论基础和算法．第一节线性规划问题及其数学模型一、问题的提出例1 某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知条件如表所示。

问应如何安排计划使该工厂获利最多？ⅠⅡ现有资源设备原材料A 原材料B 14248台时16kg12kg每件利润23ⅠⅡ现有资源设备原材料A 原材料B 1402048台时16kg12kg每件利润23解: 设x 1、x 2 分别表示在计划期内产品Ⅰ、Ⅱ的产量。

12max 23z x x =+..s t 1228x x +≤1416x ≤2412x ≤12,0x x ≥二、线性规划问题的标准型112211112211211222221122123max ..,,0n nn n n n m m m mn n mn z c x c x c x s t a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x x x x =+++⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪+++=⎪≥⎩，，其中1,,0m b b ≥11max ..,1,2,,0,1,2,,nj jj nij j i j j z c x s t a x b i mx j n=====≥=∑∑ 12(,,,)T n c c c =c 12(,,,)Tn x x x =x 12(,,,)Tm b b b =b 111212122212n nm m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 12[,,,]n = p p pmax ..()Tz s t ⎧=⎪=≥⎨⎪≥⎩c x Ax b b x 001max ..()Tnj j j z s tx =⎧=⎪⎪=≥⎨⎪⎪≥⎩∑c xp bb x 00对于不是标准形式的线性规划问题，可以通过下列方法将线性规划的数学模型化为标准形式：（1）目标函数的转换对min z 可以化max()z -（2）右端项的转换对0i b <，给方程两边同时乘以1-（3）约束条件的转换约束条件为≤方程左边加上一个变量,称为松弛变量约束条件为≥方程左边减上一个变量,称为剩余变量（4）变量的非负约束变量j x 无限制时，令,,0j j j j j x x x x x ''''''=-≥变量0j x ≤时，令j jx x '=-例将下列线性规划模型转化为标准形式12312312312312min 23..7232500x x x s t x x x x x x x x x x x -+-⎧⎪++≤⎪⎪-+≥⎨⎪--=-⎪≥≥⎪⎩，解（1）变量的非负约束令345x x x =-1245max 233x x x x -+-..s t 612457x x x x x ++-+=712452x x x x x -+--=12453225x x x x -++-=§2 两变量线性规划问题的图解法例1 求下列线性规划的解12121212max ..284300z x x s t x x x x x x =+⎧⎪+≤⎪⎪≤⎨⎪≤⎪≥≥⎪⎩，解（1）画可行域c A B D C 2x 1x O （2）画出目标函数的梯度向量：（3）作目标函数的一条等值线,120x x z +=将等值线沿梯度方向移动当等值线即将离开可行例2 求下列线性规划的解12121212max 2..284300z x x s t x x x x x x =+⎧⎪+≤⎪⎪≤⎨⎪≤⎪≥≥⎪⎩，解（1）画可行域c A B D C 2x 1x O （2）画出目标函数的梯度向量：（3）作目标函数的一条等值线,1202x x z +=将等值线沿梯度方向移动当等值线即将离开可行域时与可行域“最后的交点点为问题的最优解例3 求下列线性规划的解12121212max ..2200z x x s t x x x x x x =+⎧⎪-≤⎪⎨-≥-⎪⎪≥≥⎩，c2x 1x O无解例4 求下列线性规划的解12121212min 3..123600z x x s t x x x x x x =-⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪≥≥⎩++，2x 1x O线性规划问题的性质：（1）线性规划的可行域为凸集，顶点个数有限．若可行域非空有界，则可行域为凸多边形．（2）线性规划可能有唯一最优解，可能有无数多个最优解，也可能无解最优解．无最优解可能是目标函数在可行域上无界，也可能可行域为空集．（３）若线性规划有最优解，则最优解必可在可行域的某个顶点达到．若两个顶点都为最优解，那么这两点连线上的所有点都是线性规划的最优解．§3 线性规划解的概念及其性质1 线性规划解的概念考虑线性规划问题max ..()Tz s t ⎧=⎪=≥⎨⎪≥⎩c x Ax b b x 00定义.1 矩阵A 中任何一组m 个线性无关的列向量构成的可逆矩阵B 称为线性规划的一个基矩阵与这些列向量对应的变量称为基变量(basis variable ）其余变量称为基对应的非基变量(nonbasis variable ）B 若设一个基为12(,,)m B p p p = ，12,,,m x x x ——为基B 对应的基变量1,,m n x x + ——为基B 对应的非基变量1B m x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1m N n x x x +⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12(,,,)m m n ++= N p p p (,)=A B N 从而令=Ax b 则(,)N x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B x B N b11B Nx B b B Nx --=-B N Bx Nx b+=令0N x =则1B x B b-=10B b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦——基本解（basis solution ）满足10B b -⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦,=≥0Ax b x 的基本解——基本可行解（basis feasible solution ）对应的基称为可行基（feasible basis ）．B 可以写成即:定义4 若基本可行解中所有基变量都为正，这样的基本可行解称为非退化解（non-degenerate solution）．若基本可行解中某基变量为零，这样的基本可行解称为退化解（degenerate solution）．例1212112max ..28400z x x s t x x x x x =-⎧⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥≥⎩，标准化得：12123141234max ..28400,00z x x s t x x x x x x x x x =-⎧⎪++=⎪⎨+=⎪⎪≥≥≥≥⎩，，12341210(,,,)1001⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A p p p p 子阵是否为基基变量非基变量基本解目标函数值134(,)=B p p 34,x x 12,x x (0,0,8,4)是231(,)=B p p 31,x x 24,x x (4,0,4,0)312(,)=B p p 12,x x 34,x x (4,2,0,0)424(,)=B p p 24,x x 13,x x (0,4,0,4)-4514(,)=B p p 14,x x 23,x x (8,0,0,4)-是是是是042基本可行解1x O(4,0)(4,2)(0,4)(8,0)2x 顶点2 解的判别定理定理1 最优解的判别准则设B 为线性规划LP 的一个基，1(1)0-≥B b 1(2)T T--≥0Bc B A c 则基对应的基本可行解1-⎡⎤⎢⎥⎣⎦0B b 是LP 的最优解．1(1,2,,)σ--== TBj j j c B p c j n 为变量对应的检验数j x 112[0,,0,,,]σσσ-++-= ，T TBm m n c B A c 显然基变量对应得检验数为零．定理2 无穷多个最优解的判别定理在线性规划的最优解中，某个非基变量对应的检验数为零，则线性规划有无数多最优解．定理3 无界解的判别定理设B 为线性规划的一个可行基，若基本可行解中s x 对应的检验数0σ<s ，且1-≤0s B p 则线性规划具有无界解（或称无解）．某非基变量§3.4 单纯形表设B 为线性规划的一个基，x 为对应的可行解，则=Ax b两边同乘得1-B 11--=B Ax B b两边同乘得T Bc 11T T --=BBc B Ax c B b T z =c xTz -=c x 11T T --+-=TBBz c B Ax c x c B b 11(T T --+-=)TBBz c B A c x c B b1111()T TT z ----⎧+-=⎨=⎩BBc B A c x c B b B Ax B b 11111T T Tz ----⎡⎤⎡⎤-⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦0BBc B b c B A c x B A B b 定义矩阵1111TT----⎡⎤-⎢⎥⎣⎦T BBc B b c B A c B bB A 为基B 对应的单纯形表（table of simplex ）,记为()T B1111()T T----⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦T BBc B b c B A c T B B bB A 检验数函数值基变量的值各变量的系数100T b -=Bc B b 101020(,,,)--= T TBn c B A c b b b 10201-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ b b B b则单纯形表可写成000101011102()⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B n n m m mn b b b b b b T b b b 1112121222111112(,,)---⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦n n n m m mn b b b b b b B A B p B p bb b上例中1212112max ..28400z x x s t x x x x x =-⎧⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥≥⎩，标准化得：121231412max ..28400z x x s t x x x x x x x =-⎧⎪++=⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩，12341210(,,,)1001⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A p p p p 子阵是否为基基变量非基变量基本解目标函数值134(,)=B p p 34,x x 12,x x (0,0,8,4)是231(,)=B p p 31,x x 24,x x (4,0,4,0)312(,)=B p p 12,x x 34,x x (4,2,0,0)424(,)=B p p 24,x x 13,x x (0,4,0,4)-4514(,)=B p p 14,x x 23,x x (8,0,0,4)-是是是是042基本可行解1x O(4,0)(4,2)(0,4)(8,0)2x 顶点13410(,)01⎡⎤==⎢⎥⎣⎦B p p 231(,)=B p p 12341210(,,,)1001⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A p p p p T(0,0)=B C 10()T⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦c T B b A 34011008121041001z x x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦23140101()4021141001x x ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥z T B 121101--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B 31401014021141001z x x ⎡⎤⎢⎥−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦T(0,1)=B C单纯形表的特点：1、基变量对应的检验数为零2、基变量的系数构成单位阵§5旋转变换（基变换）设已知12(,,,,,)= r m j j j j B p p p p T()=B 1 r m j j j z x x x 1sn x x x 0001001011110102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦sn s n r r rs rn m m ms mn b b b b b b b b b b b b b b b b为了将s x 变为基变量，而将r j x 变为非基变量，必须使表中的第s 列向量变为单位向量，变换按下列步骤进行：（1）将()T B 中第r 行，第s 列的元素化为1．01(,,,,,1,,) rj r rnr rs rs rs rsb b b b b b b b （2）将()T B 中第s 列的的其余元素化为0．0101(,,,,,0,,)---- is rn is rj is r is r i i ij in rs rs rs rsb b b b b b b b b b b b b b b b由此得出变换后矩阵中各元素的变换关系式如下，其中,01== ，，，rjrj rsb b j nb ,,01,01=-≠== ，，，，，，is rjij ij rsb b b b i r i m j nb 变换式称为旋转变换rs b 称为旋转元，r称为旋转行称为旋转列，s s x 称为入基变量，称为出基变量，r j x {,}r s定理3.5.1,01== ，，，rj rj rsb b j n b ,,0,01=-≠== ，，，，，is rj ij ij rsb b b b i r i m j n b 在变换之下，将基12(,,,,,)= r m j j j j B p p p p 的单纯形表变为基12(,,,,,)= m j s j j B p p p p 的单纯形表第6节单纯形法基本思路是：线性规划(通常是求最小值的形式)若有最优解，其必定在可行域(在相应几何空间中是一个凸多面体)的顶点达到，故从某一个顶点出发，沿着凸多面体的棱向另一顶点迭代，使得目标函数的值增加,经过有限次迭代，将达到最优解点.1.入基变量及出基变量的确定入基变量的确定由上面可知，目标函数用非基变量表示的形式为01n j jj m z z x σ=+=-∑若某检验数0j σ<则j x 的系数大于零，将j x 由零变为非零，目标函数值增大．所以，为了使的取值目标函数值增加，可以将某检验数0j σ<对应的非基变量j x 中的某个变为基变量．{}min 0j s j σ=<则s x 可选作为入基变量．即：在负检验数中，列标最小的检验数对应的非基变量入基．２．出基变量的确定在确定出基变量时应满足两个原则：（1）目标函数值不减；（2）保证新的基本解为基本可行解．0min 0,0i is is b b i m b θ⎧⎫=>≤≤⎨⎬⎩⎭min ,00i is is b r i b i m b θ⎧⎫==>≤≤⎨⎬⎩⎭，2 单纯形法设已知一个初始可行基及B T()B 基变量指标集合为{}1,,B m J j j = 非基变量的指标集合为{}1,2,,\N BJ n J =单纯形法若所有()00j N b j J ≥∈，则停止，最优解为0,1,,0,ij i j N x b i m x j J **⎧==⎪⎨=∈⎪⎩否则转（2）．（1）最优性检验（2）选入基变量{}0min 0,j N s j b j J =<∈若()01~is b i m ≤=,则停止,(LP)无最优解，否则转(3)（3）选出基变量0min 0,0i is is b b i m b θ⎧⎫=>≤≤⎨⎬⎩⎭0min ,00i is is b r i b i m b θ⎧⎫==>≤≤⎨⎬⎩⎭，（4）作{},r s 旋转运算,01rj rj rsb b j n b == ，，，,,01,01is rj ij ij rsb b b b i r i m j n b =-≠== ，，，，，，得B 的单纯形表()()ijT B b =，以ij b 代替ij b ，转(1)例1 求线性规划问题的解解标准型为:121231425max 2328416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥12121212max 2328416.412,0z x x x x x s t x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩12123142512345max 2328416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥⎩-20-381612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢0T()B =0345[,,]B p p p =00T()T c B bA ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦-20-381612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣0T()B =8/116/408-3441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 01/20⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢1/4-41x08-3441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 01/20⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/4-1x 4/212/40140244011/201001/40002-15z x 12345x x x x x 3/21/80⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/8-1x 32x 1/2例2求线性规划问题的解解标准型为:121231425max 228416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥12121212max 228416.412,0z x x x x x s t x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩12123142512345max 228416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥⎩-10-281612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢0T()B =0345[,,]B p p p =00T()T c B bA ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦-10-281612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣0T()B =8/116/404-2441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 01/40⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢1/4-41x0-2441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 00⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/4-1x 4/212/4080244011/201001/400015z x 12345x x x x x 100⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/8-1x 32x 41/42-1/2080244011/201001/400015z x 12345x x x x x 100⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/8-1x 2x 2T 0803280101/410101/2-004-12z 12345x x x x x 00⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣01x 2x 42-1/25x 11212x k x k x =+12120,1,1k k k k ≤≤+=全部最优解为§7 两阶段法第二阶段从初始可行基开始，用单纯形法求解原问题．（LP ）max ..(0)0T z c x s t Ax b b x ⎧=⎪=≥⎨⎪≥⎩（ALP ）max ..0()T w s t z ⎧=-⎪-=⎪⎨+≥⎪⎪≥⎩00T e y c x A =b b x y x 第一阶段引入人工变量，构造辅助问题，求辅助问题的最优解，得出原问题的初始可行基及对应的基本可行解．（ALP）12112211112211121122222211212312max..0 ,,,,0mn nn nn nm m mn n m mn mw y y ys t z c x c x c xa x a x a x y ba x a x a x y ba x a x a x y bx x x x y y y=----⎧⎪----=⎪⎪++++=⎪++++=⎨⎪⎪++++=⎪⎪≥⎩，，，，，121111211112122122212000000100()010001m m m m i i i in i=1i i i n n n m m m mn b a a a c c c b a a a T B b a a a b a a a ===⎡⎤----⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑。

单纯形法解题步骤

三、单纯形法的解题步骤第一步：作单纯形表.）（1）把原线性规划问题化为标准形式；）（2）找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵；）（3）目标函数非基化；）（4）作初始单纯形表.第二步：最优解的判定.(1) 若所有检验数都是非正数，即，则此时线性规划问题已取得最优解.(2) 若存在某个检验数是正数，即，而所对应的列向量无正分量，则线性规划问题无最优解.如果以上两条都不满足，则进行下一步.第三步：换基迭代.，并确定所在列的非基变量为进基变量.（1）找到最大正检验数，设为（2）对最大正检验数所在列实施最小比值法，确定出主元，并把主元加上小括号.主元是最大正检验数所在列，用常数项与进基变量所对应的列向量中正分量的比值最小者；替换出基变量，从而得到新的基变量.也就是主元所在（3）换基：用进基变量（4）利用矩阵的行初等变换，将主元变为1，其所在列其他元素都变为零，从此得到新的单纯形表；（5）回到第二步，继续判定最优解是否存在，然后进行新一轮换基迭代，直到问题得到解决为止.例3 求.解（1）化标准型：令，引进松弛变量，其标准型为求（2）作单纯形表：在约束方程组系数矩阵中的系数构成单位矩阵，故取为基变量，目标函数已非基化了，作初始单纯形表并“换基迭代”（见表6.8）.表 6.8（3）最终结果：此时检验数均为非正数，线性规划问题取得最优解，最优解为标函数取得最优值.目性规划问题的最优解为：.原线目标函数的最优值为14，即.例4 用单纯形方法解线性规划问题.求.解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵（1、2行，3、4列构成），取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出，,代入目标函数, 经整理后，目标函数非基化了.作单纯形表，并进行换基迭代（见表6.9）.最大检验数，由最小比值法知：为主元，对主元所在列施以行初等变换，基变量出基，非基变量进基.表 6.9目前最大检验数，其所在列没有正分量，所以该线性规划问题没有最优解.例5用单纯形方法解线性规划问题.求解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵，取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出，,代入目标函数，经整理得,目标函数已非基化.作单纯形表，并进行换基迭代(见表6.10).最大检验数，由最小比值法知：为主元，对主元所在列施以行初等变换，基变量出基，非基变量x2进基，先将主元化为1，然后再将主元所在列的其他元素化为零.表 6.10至此，检验数均为非正数，故得基础可行解.原问题的最优解为：.最优值为6，即.如果我们再迭代一次，将基变量出基，非基变量进基（见表6.11）.表 6.11可得到另一个基础可行解,原问题的最优解为：，最优值仍为6，说明该线性规划问题有无穷多最优解，其最优解均为6.如何知道线性规划问题有无穷多最优解呢？这主要反映在单纯形表中.如果非基变量所对应的检验数为0，我们可对此列继续进行换基迭代，就可以得到另一个基础可行解.以此作下去，可得到许多基础可行解，即相对应的最优解有无穷多个.（4） 011 0。

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由（）２的约束方程组解出ｚ，ｚ —ｚ即是唯一的最
优解，且为退化解．
例１考虑下列线性规划问题：。］
ｍａ＝一ｚｘ１＋３一ｚｘ３４ｒ１ｚｚ一２＋ｚ５＝３
定理２可进一步推广到有多个检验数为０的还情形．
（）ｍ｛＞，１，一ｏ１＝ｉＩｎ０等：ｏ＝，一， …）
即ｂ＝Ｏｆ
其中，０ ∑ｃ，ｚ一ｆ＝ｃ一 ∑西．ｆｃ
ｉｌ＝ｆｌ＝
贝一（，，０一，，，，，）０ … 一，，Ｈ … ０ … Ｏ为
又根据（）２的第￡约束方程有个
∞ ＋一０且＞０从而必有 ∞ 一＝０，，
变的验量检数
一ｏｍｌ，，蚤ｃ（￣，＜ … ）
收稿日期：０６８７修回日期：０６—１２０～Ｏ —２：２００—２７
Ａ — ｂ
≥ ０
ｚ。 ∑ ≤ｚ＋＝ｚ＋，。＜ｚ。
ｊ：卅１
其中
ｎｎａ１２ … ｎ１ｎ
所以是唯一的最优解．
另一方面，设是唯一的非退化最优解，存若
ｎ２１ｎ２２ … ｎ２
Ａ＝＝
在某个非基变量的检验数九一０则可构造：，
ｎｍ１ｎｍ２ … ｎ
ｒｉ＝ｂ一ｔ
，
Ｒ
ｂ１６２ｂ＝＝
● ● ●
ｊ，。：
【＝０，， ∈Ｒ志，≠
当￡＞Ｏ充分小时，为可行解，且 ≠ ，时此
设Ａ的秩ｒＡ）（一 ≤ 。若（）最优解，由单纯１有则
ｚ＝ｚ＋ ∑ ，＋一ｚ。，一。￡。
ｊ＝Ｉ＋１
形法，经过一系列迭代运算后，可得到线性规划问题
的最优形式：
这与是唯一最优解的假设矛盾，而必有ｊＯ从＜， ∈Ｒ证毕．定理１２若（）非基变量检验数恰存在一．２中
基于单纯形法讨论并获得了线性规划问题存在唯一最优解和无穷多个最优解的判别方法
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第２１卷第２期２００７年３月
长
沙大
学
学
报
Ｊ０ＵＲＮＡＬ０ＦＣＨＡＮＧＳＨＡＵＮＩＲＴＶＥＳＩＹ
Ｖ１１Ｎ２ｏ．ｏ．２Ｍａ．２ＯＯ７ｒ
线性规划问题最优解的判定
范国兵，罗太元
（湖南财经高等专科学校。南长沙湖４ＯＯ）１２５
摘
要：于单纯形法，论并获得了线性规划问题存在唯一最优解和无穷多个最优解的判别方法。基讨
作者简介：国兵（９６，，范１７一）男湖南宁乡人，南财经高等专科学校讲师，士．究方向：用数学湖硕研应
维普资讯
总第７６期
范国兵．太元：罗线性规划问题最优解的判定
给定线性规划问题
ｉ量下标集，设＜Ｏ ∈ 令现，Ｒ，取＝（，，任１２ … ） ≠ ，有＝０ ∈Ｒ，若，则由（）２的约束方程可解得＝，盾．以必存矛所在某个非基变量＞Ｏ从而九＜Ｏ此时，，
关键词：线性规划；纯形法；单最优解中图分类号：２１１（２．ｊ文献标识码：Ａ文章编号：０８— ６１２０）２— ０４２１０４８（０７０００一Ｏ
若非退化，则该条件还是必要的．
１引言
ｍｘ —ｚ＋ ∑ ａｚ。
：，１抖
个＝０其余＜Ｏ且满足，，
（Ｉ）：＞０，一１ … ， ≠ ｛，ｍ）
（Ｚ）
ｆ瓦一一一（一１…，）＋ ∑ ４，，一ｂ一（ｌ
ｆ
，卅一＋
Ｓｔ．．，≥ ０（， — ｍ＋１ … ，，）
Ｉ３１２２９＋２４２６— ２一ｚ＋ｚ＋ｘ— ｘ２
ｓ．．￡
２无穷多个最优解的判定
定理２１设ｚ．一（。一，，，，），： … … ０是非退ｂ
ｊ：ｚ一２一。ｚＩ。３＋５ｚ一＋ｚ＋ｚ一４４ｚ：Ｉ，，， ≥０ｚｚ …ｚ。。
表１例１最优单纯形表之一
化最优解，且存在某个非基变量检验数一０其余，
＜０（， ∈Ｒ，ｓ， ≠ ）若对应的列向量不是单位
２唯一最优解的判定
定理１１．＝（，２ … ，，，，）（）一，０ … ０为１ｂ
和（）２的唯一最优解的充分条件是，２中所有非基（）
（）（）１和２唯一的退化最优解．
证明：设＝（，，，）任一的最优解，１２ … 是于是对每个＜Ｏ ∈Ｒ，，有，，一０否则ｚ）ｏ（＜ｚ，