2018届高考数学黄金考点精析精训考点03简单的逻辑联结词全称题词与存在题词理

考点3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【考点剖析】1.最新考试说明：（1）考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，能用“或”、“且”、“非”表述相关的命题．（2）考查对全称量词与存在量词意义的理解，叙述简单的数学内容，并能正确地对含有一个量词的命题进行否定．2.命题方向预测：全称命题、特称命题的否定、真假的判断及逻辑联结词是高考的热点，常与其他知识相结合命题．题型一般为选择题，属容易题．相关内容往往与充要条件等轮番出现在高考题中，有时与相关内容同时考查．3.课本结论总结：一个关系逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．两类否定1．含有一个量词的命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)．(2)特称命题的否定是全称命题特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)．2．复合命题的否定(1) ¬ (p∧q) ⇔(¬p)∨(¬q)；(2) ¬ (p∨q) ⇔(¬p)∧(¬q)．三条规律(1)对于“p∧q”命题：有假则假；(2)对“p∨q”命题：有真则真；(3)对“¬p”命题：与“p”命题真假相反．4.名师二级结论：（１）命题的否定形式：(1) ¬ (p ∧q ) ⇔ (¬p)∨(¬q)； (2) ¬ (p ∨q ) ⇔ (¬p)∧(¬q)． 5.课本经典习题：(1)新课标A 版选修2-1第17页，例4题 写出下列命题的否定，并判断它们的真假： （1）p ：y=sinx 是周期函数； （2）p ：３＜２；（3）p ：空集是集合A 的子集。

(2) 新课标A 版选修2-1第24页，例3题及第25页，例4题： 例3 写出下列全称命题的否定：（1）p ：所有能被3整除的整数都是奇数； （2）p ：每一个四边形的四个顶点共圆； （3）p ：对任意2,x z x ∈的个位数字不等于3． 解答：（1）¬p：存在一个能被3整除的整数不是奇数； （2）¬p：存在一个四边形的四个顶点不共圆； （3）¬p： 200,x z x ∈∃个位数字等于3． 例4写出下列特称命题的否定：（1）p ：022,0200≤++∈∃x x R x ；（2）p ：有的三角形是等边三角形； （3）p ：有一个素数含三个正因数． 解答：（1）¬p：022,2>++∈∀x x R x ； （2）¬p：所有的三角形都不是等边三角形； （3）¬p：每一个素数都不含三个正因数．【经典理由】全称命题与特称命题是新增内容，它们的否定是学生不太容易理解的，同时又是高考的常考点，在教学中应引起足够的重视． 6.考点交汇展示： (1)全称与特称与函数交汇 例1若“0,,tan 4x x m π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦”是真命题，则实数m 的最小值为 . 【答案】1(2)全称与特称与不等式交汇例2【2016高考浙江】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ） A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x < B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x < C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x < D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x < 【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ．【考点分类】热点1简单的逻辑联结词1.【2017山东，理3】已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是（A ） ∧p q （B ）⌝∧p q （C ） ⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q【答案】B2.设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ⋅=，0b c ⋅=，则0a c ⋅=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝ 【答案】A【解析】若0,0=⋅=⋅，则⊥⊥,，故//，故命题P 是假命题；若//,//，则//，故命题q 是真命题，由复合命题真假的判断知p q ∨是真命题；故选A 。

3.已知命题.,:,:22y x y x q y x y x p ><-<->则若；命题则若在命题 ①q p q p q p q p ∨⌝⌝∧∨∧）④（③②);(;;中，真命题是（ ） A①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】C【方法规律】1.“p ∨q ”、“p ∧q ”、“¬q”形式命题真假的判断步骤：(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p ∨q ”、“p ∧q ”、“¬q”形式命题的真假．2. 正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是关键，解题时应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．其步骤为：①确定复合命题的构成形式；②判断其中简单命题的真假；③判断复合命题的真假． 【解题技巧】1.判断含有含有逻辑联结词的命题的真假，一定要先确定命题的形式，再判断简单命题的真假，最后按真值表进行．2.真值表可记为:有真“或”为真，有假“且”为假． 【易错点睛】1.已知命题，写出复合命“p ∨q ”，“ p ∧q ”时，一定要注意所写命题要符合真值表．2.准确理解逻辑联结词“或”的含义：“p ∨q ”为真命题时，包括三种情形：p 真q 假，p 假q 真，p 真q 真．如“A x ∈或B x ∈”包括：“A x ∈或B x ∉”， “A x ∉或B x ∈”， “A x ∈或B x ∈”三种情况． 热点2 全称量词与存在量词1.【2018届广西钦州市高三上学期第一次】命题，则的否定是（ ）A. ，则B. ，则C. ，则D. ，则【答案】D 【解析】，则的否定是，则,全称命题的否定是换量词，否结论，不改变条件. 故选D ；2.命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ）A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n >B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n >D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n > 【答案】D.【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D. 3.【2018届衡水金卷全国高三大联考】已知命题：，，则命题为（ ）A. ，B. ，C.，D.，【答案】D【解析】含有一个量词的命题的否定写法是“变量词，否结论”， 故为，.故选D.【方法规律】全(特)称命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全称命题的否定是将全称量词改为存在量词，并把结论否定；特称命题的否定是将存在量词改为全称量词，并把结论否定；而命题的否定是直接否定其结论． 【解题技巧】含有一个量词的命题的否定：全称命题)(,:x p M x p ∈∀；它的否定)(,:00x p M x p ⌝∈∃⌝，它是一个特称命题． 特称命题)(,:00x p M x p ∈∃；它的否定)(,:x p M x p ⌝∈∀⌝，它是一个全称命题． 【易错点睛】1.注意对全称命题的否定与特称命题的否定的区别，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题．2．“否命题”与“命题的否定”不是同一概念，“否命题”是对原命题“若p 则q”既要否定条件，又要否定其结论，其为“若⌝p 则⌝q”；而“命题的否定”即非p ，只是否定其结论，如命题“若p 则q”的否定命题为：“若p 则⌝q”。

热点3 简单命题、全称命题、特称命题真假的判断1.【2018届河北省邢台市高三上学期第一次】已知函数()1ln g x x x =-+，给出下列两个命题：命题():0,p x ∃∈+∞， ()244x x g x -+=.命题:q 若()()2a x g x +>对()0,x ∈+∞恒成立，则0a >. 那么，下列命题为真命题的是（ ）A. p q ∧B. ()p q ⌝∧C. ()p q ∧⌝D. ()()p q ⌝∧⌝ 【答案】B【解析】设函数()1(0),xg x x x>'-=当()0,1x ∈时， ()()0,g x g x >'∴在()0,1上递增.当()1,x ∈+∞时， ()()0,g x g x <'∴在()1,+∞上递减. ()()max 10.g x g ∴==又()2224420,441ln .x x x x x x x -+=-≥∴-+≥--因为不等式左右的函数取得最值的条件不同， 2441ln .x x x x ∴-+≠--故p 为假命题.曲线()()2f x a x =+表示经过定点（-2,0）斜率为a 的直线，结合函数()g x 的图象，可知0.a >故q 为真命题.从而()p q ⌝∧为真命题. 本题选择B 选项.2.原命题为“若12n n n a a a ++<，n N +∈，则{}n a 为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A ）真，真，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假 【答案】A3.已知命题p ：x ∈R ，2340-+≤x x ，则下列说法正确的是（ ）A ．p ⌝：x ∈R ，2340-+>x x ，且p ⌝为假命题B ． p ⌝：x ∈R ，2340-+>x x ，且p ⌝为真命题C ． p ⌝：x ∈R ，2340-+>x x ，且p ⌝为假命题D ．p ⌝：x ∈R ，2340-+>x x ，且p ⌝为真命题【答案】D【解析】否命题，既否定假设，又否定结论.二次函数2340x x -+=的判别式为2(3)447∆=--⨯=-<0 则二次函数大于0恒成立.故选D.【方法规律】要肯定一个全称命题是真命题，须对所有可能情形予以考察，穷尽一切可能；但要说明一个全称命题是假命题时，则只需举一个反倒即可．【解题技巧】1．一个命题真假的判断除了符合真值表，重要的是简单命题真假的判断，那么拿握这个命所涉及的相应的知识是至关重要的，没有相应的知识，就不能准确的判断一个命题的真假．２．如果一个含有否定词的命题真假不好判断，则可以根据互为逆否的两个命题是同真同假的，来判断它的逆否命题的真假．【易错点睛】1．判断一个命题的真假，首先要注意区分是特称命题还是全称命题．２．对简单命题真假的判断则主要决定于该命题所涉及到的相关的知识的理解与掌握．【热点预测】1.【2018届广东省深圳市南山区高三上学期入学】命题“实数的平方都是正数”的否定是( )A. 所有实数的平方都不是正数B. 所有的实数的平方都是正数C. 至少有一个实数的平方是正数D. 至少有一个实数的平方不是正数 【答案】D【解析】命题“实数的平方都是正数”的否定是所有实数的平方不都是正数,即至少有一个实数的平方不是正数，选D.2.已知命题p ：00x ∃>，0ln 0x <.则p ⌝为( ). A ．0x ∀>，ln 0x ≥ B ．0x ∀≤，ln 0x ≥ C ．00x ∃>，0ln 0x ≥ D ．00x ∃≤，0ln 0x < 【答案】B【解析】p ：00x ∃>，0ln 0x <.则p ⌝:0ln ,0≥>∀x x . 3. 已知命题p 、q ，“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】：当p ⌝为真时为，p 为假，则p q ∧为假，故是充分的，但当p q ∧为假时，q 为假时它也成立，p 可能为真，此时p ⌝为假．故不必要，因此选A ．4.已知命题:,sin()sin p x R x x π∀∈-=；命题:,q αβ均是第一象限的角，且αβ>，则sin sin αβ>，下列命题是真命题的是( )A ．p q ∧⌝B ．p q ⌝∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ∧ 【答案】A ．【解析】由三角函数的诱导公式知x x sin )sin(=-π，得命题:,sin()sin p x R x xπ∀∈-=为真命题；又因为取0420=α，060=β，αβ>，但s i n s i nαβ>不成立，所以命题q 为假命题．进而根据复合命题的真值表易知，非p 是假命题，非q 是真命题．最后判断四个结论的真假即可．5. 设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】选项①，给定向量a 和b ，只需求得其向量差b a -即为所求的向量c ， 故总存在向量c ，使c b a +=，故①正确；选项②，当向量b ,c 和a 在同一平面内且两两不共线时，向量b ,c 可作基底， 由平面向量基本定理可知结论成立，故可知②正确； 选项③，取a =（4，4），μ=2，b =（1，0），无论λ取何值，向量λb 都平行于x 轴，而向量μc 的模恒等于2， 要使a =λb +μc 成立，根据平行四边形法则，向量μc 的纵坐标一定为4， 故找不到这样的单位向量c 使等式成立，故③错误；选项④，因为λ和μ为正数，所以λb 和μc 代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量a 不一定能用两个单位向量的组合表示出来， 故不一定能使a =λb +μc 成立，故④错误．故选B. 6．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定．．是( ) A ．所有不能被2整除的整数都是偶数 B ．所有能被2整除的整数都不是偶数 C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数 【答案】D【解析】：命题“所有能被2整除的数都是偶数”是一个全称命题， 其否定一定是一个特称命题，故排除A ，B ； 结合全称命题的否定方法，我们易得：命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应为： “存在一个能被2整除的整数不是偶数” 故选D7.【2018届湖南省益阳市、湘潭市高三9月调研】已知命题p ：若复数z 满足()()5z i i --=，则6z i =；命题q ：复数112i i ++的虚部为15i -，则下面为真命题的是（ ） A.()()p q ⌝⌝∧ B. ()p q ⌝∧ C. ()p q ⌝∧ D. p q ∧【答案】C8．已知命题.,:,:22y x y x q y x y x p ><-<->则若；命题则若在命题 ①q p q p q p q p ∨⌝⌝∧∨∧）④（③②);(;;中，真命题是（ ） A①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】C【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为2214x y =<=,所以命题q 为假命题,则q ⌝为真命题,所以根据真值表可得②③为真命题,故选C.9．设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则（ ） A ．:,2p x A x B ⌝∃∈∈ B ．:,2p x A x B ⌝∃∉∈ C ．:,2p x A x B ⌝∃∈∉ D ．:,2p x A x B ⌝∀∉∉【答案】C【解析】：设x Z ∈,集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ∀∈∈， 则:,2p x A x B ⌝∃∈∉.选C.10．下列命题中假命题有 （ ）①m R ∃∈，使2431()(2)m m f x m x m-+=++是幂函数； ②R θ∃∈，使3sin cos 5θθ=成立； ③a R ∀∈，使220ax y a ++-=恒过定点；④0x ∀>，不等式24a x x+≥成立的充要条件2a ≥. A.3个 B.2个 C.1个 D.0个【答案】B 【解析】①中，令121m m++=，即210m m ++=，其1430∆=-=-<，所以方程210m m ++=无解，故①错； ②中，由3sin cos 5θθ=得：6sin 215θ=>不成立，故②错； ③中，由220ax y a ++-=得：(1)220x a y ++-=，所以220ax y a ++-=恒过定点(1,1)-，故③正确；④中，当2a ≥时，24a x x +≥≥成立，反之，当24a x x+≥成立，则22242(1)2a x x x ≥-+=--+恒成立，所以2a ≥，故④正确.故选B11．【2018届河南省新乡市延津县高级高三9月月考】已知命题p ：关于x 的不等式1(0,1)x a a a >>≠ 的解集是{}0x x ，命题q ：函数()2lg y ax x a =-+ 的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p∧q 为假命题，则实数a 的取值范围为________________．【答案】(1,12) 【解析】若关于x 的不等式1(0,1)x a a a >>≠的解集为{}0x x ，则1a >，即:1p a >；若函数()2lg y ax x a =-+的定义域为R ，则20{ 140a a >∆=-<，解得12a >；若p q ∨为真命题， p q ∧为假命题，则,p q 一真一假，则1{ 12a a >≤或1{ 12a a <>，即112a <<；故填1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. 12．【2018届山西省45校高三第一次联考】若命题，，则命题：__________．【答案】*,1x x N e x ∃∈≤+13.【2018届齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高三第一次联考】设命题:p 幂函数22a a y x --=在()0,+∞上单调递减。