一类高阶次线性奇异边值问题的正解
带脉冲的正指数Emden-Fowler方程奇异边值问题的正解
Ｉ 单增 有界 ， 且存 在 正常数 叩 使 （ ）≤ ７Ｙ 。 ， 叩 １ ） （ 对 于 （ ． ） 有关 文 献对 ，ｚ １１ ， （ ）的情况作 了不少研 究 ， 参见 文献 Ｅ ， ， ，Ｊ 例 如 ， 特殊 情 形 ｂ＝ ｄ一 １２ ３４ 。 在 ０ ＞ ０下 ，Ｔ ｌ ｆ ｒｏ在 文献 Ｅ ３中用 打靶 法研 究 了正解 的存在 性 和唯一性 。 对 ｊ ）≠ ０的情 况结 果 ， ａ ｉ ｅｒ ａ ２ 但 （ 还 很少 ， 文献 Ｅ ， ， ，］ 徐 在文献 ［ ，］中利用 不 动点指 数方 法作 了一 些研 究 。 Ｃ＝ １ ｄ： ０的情况 ， 见 ５６ ７８ 。 ５６ 对 ＝ ， ＝
其 中位 Ｉ
一 ｚ 才） ｘ ｔ） （ 一 （１ ，
Ｉ ， Ｘ （ ） ｓ（１ ， （）∈ Ｃ Ｏ １ ， ｆ ０ ｔ （ ， ） ∈ 一 一． ￡） 户 ￡ 于 Ｔ （ ， ） （）≥ ， ∈ ０ １ ，
Ｒ， ａ≥ ０ ｂ≥ ０ Ｃ ０ ｄ≥ ０ ａ ， ，≥ ， ， ＋ｂ＞ ０ Ｃ ， ＋ｄ＞ ０ ｌ一 ＋ａ ， Ｄ ｄ＋ ｂ ＞ ０ 工∈ Ｃ（ ＋， ＋ Ｒ ｃ ， Ｒ Ｒ ） ＋为 正实数 集 ，
设 Ｐ Ｅ ，］Ｒ＋ Ｃ（ｏ１ ， ）一 ｛ ｚ：ｏ １ 一 Ｒ ， （） ｚ Ｉ Ｅ ，］ ＋ ｚ ￡ 除在 ｔ ｔ 点外都 连续 ， ｔ点 左连续 ， 在 ｔ点 的右 — 。 在 且 －
极限存 在 ） Ｐ Ｅ ，］ Ｒ ）一 ｛ ： ｏ １ ； Ｃ （ｏ １ ， ＋ ｚ Ｉ Ｅ ，］一 Ｒ ， （）除在 ｔ ｔ 点 外都 连续 ， ｔ 点 左连 续 ， 在 ｔ ＋ ￡ ＝ 在 且 点 的右 极 限存在 ｝ Ｐ 。 Ｅ ，１ Ｒ ）： ｛ ｚ：ｏ １ 一 Ｒ （）除在 ｔ ｔ ； Ｃ （ｏ １ ，＋ ｚ ｌ Ｅ ，１ ＋， — 点外 都连续 ， ｔ 在 点左 连续 ，
一类奇异二阶边值问题正解存在的充分必要条件
２ 预 备 知 识 及 引 理
设 Ｇ（ ８ 是 Ｂ （．） 札 ０时满足（） ｔ） ， ＶＰ １ 当 ＝ １ １中边界条件的 Ｇ ｅｎ函数，即 ｒｅ
Ｇ ： ： ｃ＝ 二 ； ｔ ：： ， ｓ
收稿 日期： ０ ６０ — １ 作者简介：￣ ２０—１ ． ２
：
￥（９ ２ １月生） １６ 年 １ ，女 ．硕士，副教授． 研究方 向：非线性分析及其应用
基金项 目： 国家 自 然科 学基金（０ ７０ ５： 山东省 自 １４ １７ ） 然科学基金（ ２ ０Ａ ４． Ｙ ０６ ０ ）
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２２ ８
工
程
数 学 Biblioteka 学 报 第２ 卷 ５
其 中 Ｐ＝ Ｑ ＋ Ｑ ＋
＞０ ．
引理２１ 设 ａ（ ｓ 为 Ｂ Ｐ（．） Ｇ ｅｎ函数，则对 Ｖｔ ０１，有 下列结论成立 ． ｔ） ， Ｖ １１ 的 ｒｅ ｏ∈［，］
（ 其中 ａ ， ， ， ０ Ｐ＝ ， ＋ ＋ ＞０ ，ｆ在 ｔ ０或 ｔ １处 可具有奇性） ＝ ＝ 进行 了研 究 ，得到了一些较 为深刻 的结果 。但 目前这类 文章大 多集 中在 次线性 的情况 ，如文ｆ ５，而 由 １１ —
于对超线性奇异边值 问题 的研 究有许多 困难 ，结 果是 比较少的 。最近文 ｆｌ］ ６ Ｏ对超线性的情况 一
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第２卷 第 期 ５ ２
２¨ 年 ０ 月 ０８ ４ Ｄ
工
程
数
学
学
报
Ｖ １２ Ｎ ． ｏ ５ ｏ２ ．
Ａｐ ． ０ ８ ｒ ２０
ＣＨＩ ＮＥＳ Ｊ Ｅ ＯＵＲＮＡ Ｌ ＯＦ ＥＮＧＩ ＮＥＥＲＩ ＮＧ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
一类奇异椭圆方程的正解
一类奇异椭圆方程的正解椭圆方程有着悠久的历史，也是数学中最常见的方程形式之一。
它的解法也有很多，本文就要聚焦在一类奇异椭圆方程的正解，以下将详细阐述。
椭圆方程可以用常见的Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示，这样的椭圆方程中A、C具有不等式约束，即AC>0，而且当B2-4AC<0时，则椭圆方程称为「奇异椭圆方程」。
即使当B2-4AC大于0时，当 a=0时，椭圆方程也可以被视为一种奇异椭圆方程。
首先，要求解一类奇异椭圆方程，一般采用求根法，从而得到一类奇异椭圆方程的正解。
可以将原本的奇异椭圆方程分解为两个完全平方式，记为X2+2PX+Q=0和Y2+2RY+S=0，可以利用公式Δ=(P2+Q)2-4(QRS-P2S)求解得出Δ≤0，即两个完全平方式没有实根。
接下来，一类奇异椭圆方程的正解可以通过另一种方法求得，即将行列式M＝｛A B/2 D/2B/2 C E/2D/2 E/2 F｝表示为（A B/2 D/2）（C E/2 F）－（B/2 E/2）（B/2 E/2），求出M＝0，由此得出X＝－P±（QRS-P2S）1/2Y，Y＝－R±（QRS-P2S）1/2X。
至此，可以得出一类奇异椭圆方程的正解，即X＝－P±（QRS-P2S）1/2Y，Y＝－R±（QRS-P2S）1/2X。
此外，有时候为了方便求解，也可以将一类奇异椭圆方程转化为比较简单的方程式，即将奇异椭圆方程所对应的各变量用某种转化方法，从而将奇异椭圆方程转换为一般椭圆方程，转化得到的方程式也可以成为一类奇异椭圆方程的正解。
总而言之，一类奇异椭圆方程的正解可以通过种种方法得出，即求根法和行列式法，也可以将奇异椭圆方程转化为一般椭圆方程，从而得出正解。
虽然求解过程可能比较复杂，但是只要熟练掌握相关的解法，就可以顺利求出一类奇异椭圆方程的正解。
一类高阶奇异非线性微分方程组边值问题正解存在性和多重性
ｌ（ ５—１ｐ（） ＜＋一 ， ５ ） ｓ ｉ＝１２ ，
（ ） 极 限
ｌ ｍ ｍ ｉ ａ ｎ
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ｉ ＝ ｌｍ 扣 ｍｉ ｎ 号
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Ｌ ｎｊｎ Ｉ Ｗａ － ｕ （ ｐ ｒ ｅ ｔｆＭａｈｍａｉ， ｏ ｇ ｏ ｇ Ｕ ｉ ｒ ｔ ， ｉｇ ａ ｇ７ ５ ０ Ｇ ｎ ｕ Ｃ ｉａ Ｄｅａｔ ｎ ｏ ｔｅ ｔ Ｌ ｎ ｄ ｎ ｎｖ ｓ ｙ Ｑ ｎ ｙ ｎ ４ ０ ０， ａ ｓ ， ｈｎ ） ｍ ｃ ｅｉ
Ａｂ ｔａ ｔ：Ｉ ｈ ｓｐ ｐ ｒ ｙ ａ ｐ ｙ ｎ ｈｅｆｘ ｄ ｐ ｉｔｔ ｅ ｒ ｍ ，ｗｅ ｓｕ ｙ ｔ ｅ ｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ｏ ｉｉｅ ｓ ｌ ｔｏ ｓ ｓｒ ｃ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ，ｂ ｐ ｌ ｉ ｇ ｔ ｅ ｏｎ ｈ ｏ ｅ ｉ ｔ ｄ ｈ ｘ ｓｅ ｃ ｆｐ ｓｔｖ ｏｕ ｉ ｎ ０ ｆ２ｐ一２ｑ ｏ ｄ ｒｄｆｅ ｅ ｔ ｌｅ ｕ ｔｏ ｙ ｔ ｍｓｗｉ ｗｏ ｄ ｆ ｒ ｎ ｒ ｍｅ ｅ ｓ ｒ ｅ ｉ ｒ ｎ ｉ ｑ ａｉｎ ｓ ｓｅ ｔ ｔ ｉ ｅ ｅ ｔｐａ ａ ｔｒ ，ｗｅ ｓ ｏ ｔ ｔｔｅ ｓ ｓｅ ａ ｆ ａ ｈ ｆ ｈ ｗ ｈａ ｈ ｙ ｔｍｓ ｈ ｓ
错 目正解 及 多 解 的 存 在 Ｉ ： 生
ｔ ∈ （ １ ０， ）
（ １ 【 ＝ Ａ ｔｕ ｔ ｖ ｔ ） 一 ） ） ｆ（ ， （ ），（ ） ，
｛ ’，（（，） ∈ｏ） Ｉ， ＝ｇ，）（ ， （ １ （（ ｔ Ｍ ‘、ｔ ） ‘ ＝２／ ｉ１ ｒ ）、 － ＿ ） ，
奇异三点边值问题的正解
奇异三点边值问题的正解袁邢华;蒋巧云【摘要】The existence of positive solutions for a class of second-order three-point boundary value problem was ob-tained by applying the fixed point index theory under some conditions concerning the eigenvalues of relevant linear operator. When compared with other conditions in superlinear and sublinear problems , this conditions are almost the best. so results in this paper extend and improve the main results in early references.%应用不动点指数方法，在与相应线性算子第一特征值有关的条件下，得到一类奇异三点边值问题正解的存在性结果。
在超线性和次线性问题中，这类条件比其他形式的条件更优，所得结果推广和改进了已有文献中的主要结果。
【期刊名称】《南通大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)002【总页数】4页(P91-94)【关键词】边值问题;不动点指数;正解;存在性【作者】袁邢华;蒋巧云【作者单位】南通大学理学院，江苏南通 226007;南通大学理学院，江苏南通226007【正文语种】中文【中图分类】O175.15本文研究二阶奇异三点边值问题正解的存在性，其中η∈（0，1），α∈[0，+∞），并且允许a（t）在t=0 和t=1 处奇异.多点边值问题在弹性稳定性理论中有着广泛的应用，它的研究始于Il′in 和Moiseev[1]，此后Cupta 等人相继就解的存在性得到了一些结果[2-3].文献[4]首次考虑了边值问题的正解的存在性，但非线性项不具有奇性.在这些工作中，很多应用拓扑度、锥上的不动点定理等得到边值问题正解存在性的结论.本文在与相应的线性算子第一特征值有关的条件下，应用锥理论和不动点指数方法获得了三点边值问题（1）正解的存在性结果，本质地推广和改进了文献[4]中的主要结论.关于锥理论和不动点指数的概念和性质参见专著[5].本文是文献[6－7]工作的继续.1 预备知识与引理本文取Banach 空间C[0，1]，范数由‖u‖ =定义.令P={u∈C[0， 1]u（t）≥0，t∈[0， 1]}于是P为C[0，1]中的正锥.本文中序关系是由P 导出的.Br={u∈C[0，1] ‖u‖≤r}（r＞0）表示半径为r 的开球，本文假设：（H1）a：（0， 1）→[0，∞）连续， a（t）≠0，并且（H2）f：[0，+∞）→[0，∞）连续.（H3）0＜α ＜令显然 G（t， s）在[0，1]×[0， 1]上连续，且由（H3）可得G（t， s）≥0（0≤t，s≤1）.注意到αt＞0，有令由函数G（t，s）的表达式可得这说明G（t， s）≥δG（τ， s），∀τ， t，s∈[0， 1]令K={u∈P u（t）≥δ‖u‖}，其中δ由式（2）给出，容易验证K 是C[0，1]中的锥且K⊂P.定义由Ascoli－Arzela 定理和文献[8]第五章的定理2.1 不难得到以下引理：引理1 A，T：P→P（或K）是全连续算子.引理2 设（H1），（H3）成立，那么由上面定义的算子T 有r（T）≠0，且T 存在相应于第一特征值λ1=r（T）－1 的正的特征向量u*∈K\{θ}.若（H1）～（H3）成立，算子 A 在 K\{θ}中有一个不动点u，不难验证u∈C[0，1]∩C2[0，1]且u 满足式（1），即u 是奇异二阶三点边值问题（1）的正解.又由文献[9]得：引理3 设P 是Banach 空间E 中的锥，T：E→E 是全连续算子且 T（P）⊂P，若存在u∈P\{θ}，λ ＞0 使得Tu≥λu，则 r（T）≥λ，其中 r（T）是算子 T 的谱半径.2 主要结论定理1 假设（H1）～（H3）成立，如果其中λ1 是算子T 的第一特征值，则三点边值问题（1）至少存在一个正解.证明：由式（3）可知，存在 r1＞0，使得设u*是算子T 相应于λ1 的正特征向量，于是u*=λ1Tu*.对任意的u∈∂Br1∩K，根据式（5），有不妨设A 在∂Br1∩K 上没有不动点（否则定理得证）.现在证明如若不然，存在u0∈∂Br1∩K 和τ0≥0 使得u0－Au0=τ0u*.于是τ0＞0，并且u0=Au0+ τ0u*≥τ0u*.令τ*=sup{τ u0≥τu*}，容易知道τ*≥τ0 ＞0 和u0≥τ*u*.由 T（K）⊂K可见因此根据式（6），有u0=Au0+ τ0u*≥λ1Tu0+ τ0u*≥（τ*+ τ0）u*，这与τ*的定义矛盾，故式（7）成立，于是由文献[5]中的推论2.3.1，可得由式（4）可知，存在r2＞r1 和0＜σ ＜1，使得f（u）≤σλ1u，∀u≥r2令T1u=σλ1Tu（∀u∈C[0， 1]），则 T1：C[0，1]→C[0，1]是有界线性全连续算子且 T1（K）⊂K.令明显有M ＜+∞.再令W={u∈C[0，1]u=μAu，0≤μ≤1}下面我们证明W 是有界集.对任意的u∈W，令那么有因此（（I－ T1）u）（t）≤M，t∈[0， 1].因为λ1 是 T 的第一特征值且 0＜σ＜1，所以（r（T1））－1＞1.从而逆算子（I－ T1）－1 存在并且可以表示为由 T1（K）⊂K 知（I － T1）－1（K）⊂K，因此 u（t）≤（I－ T1）－1M，t∈[0， 1]，从而 W 是有界集.取 r3＞max{r2，sup W}，那么由不动点指数的同伦不变性有由式（8）、（9）得从而A 在Br3∩K\B r1∩K 存在非零不动点，这就说明边值问题（1）至少存在一个正解.定理2 假设（H1）～（H3）成立，如果其中λ1 是算子T 的第一特征值，则三点边值问题（1）至少存在一个正解.证明：由式（10）可知，存在 R ＞r，使得 f（u）≥λ1u，∀u≥δR，其中δ在式（2）中给出，类似于定理1 前半部分的证明可得由式（11）可知，存在0＜r＜1，使得对任意的u∈B¯r∩K，由式（13）有因而 A u≤λ1Tu，∀u∈r∩K.假设 A 在∂Br∩K 上没有不动点（否则定理得证）.现在证明如若不然，存在u1∈∂Br∩K 和μ0≥1 使得Au1=μ0u1，因此μ0＞1，μ0u1=Au1≤λ1Tu1.由引理 3可得 1＜μ0≤λ1r（T） =1，矛盾.因此式（14）成立.由文献[5]中的引理2.3.1，有由式（12）、（15）得从而A 在BR∩K\B ¯r∩K 存在非零不动点，这就说明边值问题（1）至少存在一个正解.例如，考虑三点边值问题这里，α =1，，a（t）=1.注意到对∀u∈P 有和由常微分方程两点边值问题的理论知r（T1）=π2，从而可推出这比其他形式的条件估计得更精确.参考文献：[1]Il′in V A， Moiseev E I.Nonlocal boundary value problem of the first kind for a Sturm-Liouville opeartor in its differential and finite difference aspects［J］.Differential Equations， 1987，23（7）：803-810.[2]Cupta C P.Solvability of a three-point nonlinear boundary value problem for a sceond order ordinary differential equation［J］.J Math Anal Appl，1992， 168（2）：540-551.[3]Ma R.Existence theorems for a second order three-point boundary value problem［J］.J Math Anal appl， 1997， 212（2）：430-442.[4]Ma R.Positive solutions of a nonlinear three-point boundary value problem［J］.Electron J Diff Eqns， 1999， 34：1-8.[5]Dajun G，Lakshmikantham V.Nonlinear problems in abstract cones ［M］.New York：Academic Presss Inc， 1988.[6]袁邢华，蒋巧云.弱紧型条件下Banach 空间中一类非线性Volterra 型积分方程解的存在性［J］.南通大学学报：自然科学版， 2008， 7（2）：77-81.[7]蒋巧云，袁邢华.一族耦合Kaup-Newell 方程及其相伴可积哈密顿系统［J］.南通大学学报：自然科学版，2011，10（3）：83-86.[8]郭大钧，孙经先.非线性积分方程［M］.济南：山东科技出版社，1987.[9]Nussbaum R D.Eigenvectors of nonlinear postive operator and the linear Krein-Nutman theorem in fixed point theory［M］.New York：Springer-Verlag， 1980.。
一类超线性四阶奇异边值问题的正解
ｚ（ ０） 一 ｚ（ ）一 ０， ０ 一 ｚ （ ） 一 ０ １ ｚ（） １
（） １
（） ２
其中， 厂满足 假设 （ ： Ｈ） 厂∈ （ ０ １ ×Ｅ ，ｏ ×Ｅ ，３ ，０ 。 ） ， （ ， ） ０ ｃ ） ０ Ｃ ） Ｅ ，。 ） 且存 在 常数 、 、ｚ （ ＜ ≤ ， 一 １ ｘ 、 ０ ｚ ｉ ， ２ ＋ ２ １ ， 得对 于 ｔ∈ （ ， ） ｚ， ∈ （ ，。 ， ，１ ＞ ）使 ０１， ０ 。 ） 有
一
文章 编 号 ：６ ２３ ６ （０ ８ ０ —０７０ １ ７—７ ７ ２ ０ ） １０ ９—４
关 键 词 ： 阶 奇 异边 值 问题 ； 线性 ； 解 ； 四 超 正 锥
中 图分 类 号 ： ７ ． Ｏ１ ５ ８ 文献标志码 ： Ａ
Ｐｏ ｉｉ ｅ Ｓ ｌ ｔｏ ｓｏ ａ ｓ ｏ ｕ ｔ ｒ ｅ ｙ ｅ －ｉ ｅ ｒ ｓｔｖ ｏ ｕ ｉ ｎ ｆ ａ Ｃｌ ｓ ｆＦｏ ｒ ｈ Ｏ ｄ ｒ Ｈ ｐ ｒｌｎ ａ Ｓ ｎ ｕ ａ ｕ ａ ｙ Ｖａ ｕ ｏ ｌ ｍ ｓ ｉ ｇ ｌｒ Ｂｏ ｎｄ ｒ ｌ ｅ Ｐｒ ｂ ｅ
ｃｏ ｎｅ．
Ｋｅ ｏ ｄ ：ｆ ｕ ｔ ｒ ｅ ｉ ｇ ｌ ｒｂ ｕ ｄ ｒ ａ ｕ ｒ ｂ ｅ ；ｈ ｐ ｒｌ ｅ ｒ ｐ ｓｔ ｅ ｓ ｌ ｔ ｎ ；ｃ ｎ ｙ ｗ ｒ ｓ ｏ ｒｈ ｏ ｄ ｒ ｓ ｕ ａ ｏ ｎ ａ ｙ ｖ ｌ ｅｐ ｏ ｌｍｓ ｙ ｅ －ｉ ａ ｏ ｉｉ ｏ ｕ ｉ ｓ ｏ ｅ ｎ ｎ ｖ ｏ
显然函数ｆｔ ，） （， 一∑ ∑ Ｐ ￡ 满足上述超线性条件（ ）其中： （ ∈Ｃ０１， （ ＞ ｚ （ ｚ ） Ｈ 。 Ｐ ￡ （，）Ｐ ） ）
一类高阶边值问题正解的存在唯一性
Ｖ ｏ ． Ｎｏ． １ ３ｌ １
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ｊｎ ０ ７ ａ ．２ ０
文章编号 ：００５ ６ （０ ７０ ．０ ４０ １０ ．８２ ２ ０ ｝ １ ３．４ ０
一
类 高 阶边 值 问题 正解 的存 在 唯 一性
邓 义华 ， 彭 白 玉
（ 衡阳师 范学 院 数学系 ， 湖南 衡 阳 ４ １０ ） ２ ０ ８
在唯一 正解 的条 件 ． 为此 ， 虑如 下 ２ 考 ｎ阶方程 的定解 问题 ：
， 、
ｆ 一１“（“（）： 厂 （ ） ， Ｖｔ∈ ［ ，］ （ ） ）ｔ （ ｔ） ０１ ，
、
【 ２ （）： （ ’１ （ ’０ ２ （）：０ ，
ｋ：０ １…， 一１ ，， ， ， ｌ
Ｆ（ ＝ （（） （ ＝ （）ｕ ） ，Ｖ ∈［１ ｕ￡ ／ ￡， ￡ ｌ ￡，（ｄ ） ） ） Ｇ ， ｙ ｙ ￡ ０］ ） ，，
其 中 Ｇ ｔｓ 为相应 问题 的 Ｇｅｎ函数 （ ，） ｒｅ
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第 ３ 卷第 １ ｌ 期
２０ ０ ７年 １ 月
江西师范大学学报 （ 自然科学版 ）
Ｊ ＲＮ ＬＯＦＪＡ Ｘ ＲＭＡ Ｉ Ｅ ＳＴ Ｎ ＵＲ Ｌ Ｓ Ｉ Ｎ Ｅ ＯＵ Ａ Ｉ ＮＧ Ｉ ＮＯ Ｌ ＵＮ Ｖ Ｒ Ｉ Ｙ（ ＡＴ Ａ Ｃ Ｅ Ｃ ）
Ｐ且 Ｕ ， 义 定
Ｍ（ ， Ｐ Ｕ ； ）：ｉ ｛ ∈ Ｒ Ｉ ｎ ｆ Ｕ≤ Ａ ｝ ｍ（ ， Ｐ ｖ ， ｕ ； ）：ｓｐ ／ Ｒ Ｉ ｖ≤ Ｕ ， ｕ｛ １∈ ， ｕ ｝
ｄ ｕ ； （ ， Ｐ）：Ｉ ｎ ； Ａ； Ｐ）：ｓｐ ｄ Ａ Ａ Ｐ）Ｉｕ ∈ Ｐ， ｕ — Ａｖ ， Ａ（ Ｐ， ｕ ｛ （ ｕ， ； ， Ａ ｝
一类奇异边值问题正解的存在性和多重性
１ ｕ， １ ） （ ｓ
（ Ｊ（ （ （ ） ， ［】 １ ｆ ： ） ｆ０ ， ． ） Ｇ ＝ ） （ ∈， （ ） 厂 ｌ １
ｇ） （ ｎ 件 ∈， ， ［１ ０］
首 先给 出下列假 设
第３ 第１ ３卷 期
２１ ０ ２年 １ 月
Ｖ １ ３ Ｎｏ１ ｏ． ． ３
Ｊｎ ２ １ ａ． ０２
井 冈山大学 学报（ 自然科学 版）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｉｇ ａ ｇｈ ｎＵｎｖ ｒｉ Ｎａｕａ ｃｅ ｃ） ｏ ｒａ ｏ ｎ ｇｎ ｓａ ｉｅｓｙ（ ｔｒｌ ｉ ｅ Ｊ ｔ Ｓ ｎ １ ８
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这 里
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收 稿 日期 ：０６— ７— ９ ２ ０ ０ ０
中图分类号 ： １５ ８ Ｏ ７ ． 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：０ ０—２６ （０ ７ ０ ０ ０ ０ １０ １２ ２ ０ ）２— ０ １— ４
近年来 ， 非线性奇异边值问题正解的存在性 问题引起 了国内外学者 的广泛兴趣和深入研究． ［ ］ 文 １ 讨论 了四阶奇异边值 问题的正解 ； ［ ］ 文 ２ 在一种非常特殊 的情况下 ， 得到了一类高阶奇异方程存在正解 的充分条件 ； ３ 进一步证明了文［ ］ 文［ ］ ２ 的条件实 际上是充要条件； 最近 ， ［ ］ 文 ４ 在非线性项不带奇性的
（２ Ｈ ）存在 正 常数 ｋ ＜ ｋ ， 得 （） ＝ ｋ ｔ ， ｔ ＝ ｋ ｔ， （ ，） 且 当 Ｏ ＂ ｔ ：使 ｔ ｌ ）卢（） （ ２ ） Ｖｔ∈ ０ １ ， （ ｌ （）≤ ‘’ｔ （）≤ ‘’ｔ ， ‘一 （）≤一 。（）≤ 一卢 。（）时 ， （） 一 。 ｔ ’ ‘ ’ｔ ‘ ’ｔ 有
使得 对 于 ｔ∈ （ ，） ，２ ， ，２ ２∈ （ ， ）有 ０ １ ，０ ，４ … 一 ０∞ ， （ ）当 ０ ＜ Ｃ≤ １时 ， １ 有 厂ｔ ０ ２… ，２一）≤／ ｔ Ｘ，２… ，２２ （， ， ， ２ ． ， ０ ， ）≤ ｃｏ（，０ ２… ，２２ （Ｃ 一 Ａ ｔ ， ， ） ｆ 一
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２
安徽大学 学报 （自然科学版 ）
第３ ２卷
其 中
＝
二
１ 结 果
定理 １ 假设条件 （ ） ） 和（ 成立 ， 则奇异边值 问题（ ） ２ 有 Ｃ ［ ，］ ０ １ 正解的 １ 和（ ） 。 ０ １ ｎ ｃ （ ，） 充要条件是下列积分条件成立
ｔ ０ ２ … ，２ ２ ， ， ， ） 一
（ ）当 Ｃ≥ １时 ， ２ 有 ｃｏ（，０Ｘ ， ，２ ２ ｔ ，２… ）≤／ ｔＣ０ ， ，２一）≤ 厂ｔ ０ ２… ，２２ ｆ 一 ． ， ，２ … ２ （， ， ， ） （ Ｘ 一
：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ｅ２２（ ，０ ２ … ，２ ２ Ａ － ｔ ， ， ）≤／ ｔ ０ ， ， ２ ２ ．ｆ 一 ， ，２ … Ｃ ）≤ 一＾ ，０ ２ … ，２ ２ Ｘ一 （ ， ， ） ｔ 一
第３ ２卷 第 ２期
一
类高阶次线性奇异边值 问题 的正解
邓 义华
（ 阳师范学 院 数学 系， 衡 湖南 衡 阳 ４ １０ ） ２ ０ ８
摘
要： 研究 一类 含有所有偶数 阶导数 的高阶奇异边值 问题的正解 ．通 过构造合适 的辅助 函数 ， 并
对问题进行适 当的转化 ， 然后利用算子 的不动 点理 论 ， 得到 了该奇异边值 问题在非线性项满 足次线性条 件时存在某类正解 的充分必要 条件． 关键词 ： 正解 ； 奇异边值 问题 ； 次线性 ； 不动点
０ 上 ｔ １ ）（一） ，１ ） ＜ ＜ ， 一 ，１ ， 一 ｄ ∞ ｔ ｔ （ … （ ）ｔ
，
（ ３ ）
证明 必要性． 设 ∈ Ｃ ［ ，］ｎ ｃ ０ １ 是奇异边值问题（ ） ２ 的正解 ， １ 积分得 ０ １ ２ ，） （ １ 和（ ） 对（ ）
ｃ ’ ，０ ２ … ，２ ２ （ ， ， ）≤／ ｔ ０ｃ ， ，２一）≤ ｃ ＾ ，０ ， ，２ ２ ｔ 一 ．， ， （ ２ … ２ ＾ （ ，２ … ） ｔ 一
：
ｎ 一
ｔ， ０， ２，… ， ２
一
２
）≤ ，０ ２ … ，Ｘ ）≤ ｃ ， ， Ｃ２ ２ 一
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２０ ０ ７年 ３月
安徽大学学报 （ 自然科学版 ）
Ｊ ｕｎ ｌｏ ｈ ｉＵｎｖｒｉ ｔｒｌＳ ｉｎ ｅＥ ｉｏ ｏ ｒａ ｆ Ａｎ ｕ ｉｅｓｙ Ｎａｕａ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｔ ｉ
Ｍａ ｃ ０ ７ ｒｈ２ ０ Ｖｏ ． ２ Ｎｏ ２ １３ ．
）Ｇ Ｓ（一） ， 一） ｄ ， ∈０］ … （ ，１ ｓ…ｓ ｓ ｓ 一 Ｖ ［ ｓ Ｓ ， （ ） ｌ １ ｄ ，
基 金项 目： 阳师范学 院青年基 金资助项 目（０ ５ １ ） 衡 ２０ Ａ ２
作者简 介 ： 邓义华 （９ １ ， ， １７ 一）男 湖南郴州人 ， 阳师范学院讲师 ， 士 衡 硕
情形 下讨论 了含 有所 有偶 数 阶导 数 的高 阶边值 问题 的正解 ， 对 非线 性 项 带 奇性 的情 形 目前 还 没 有研 但
究． 本文考虑了一类含有所有偶数阶导数的高阶微分方程的奇异边值问题 ， 得到了该 问题存 在 ｃ ［ ， ０
１ （ ，）正 解 的充要 条件 ． ］ｎ Ｃ ０ １ 为此 假设 『 一１ （ ｔ ， ｔ ，一 （ ） … ， 一１ ‘ （） … ， 一１ （ ） （ ）＝ ｎ （） ” ｔ ， （ ） ｔ ， （ ）
【 （ ） ＝ ‘ （ ） ＝０ ｋ＝０ １ … ， （ ０ １ ， ， ， ｎ一１ ‘ （） ， （ ， ） （ ） ｔ ） ｔ∈ ０ １ １ （） ２
其中． 厂 不恒为零且满足下面的条件 ： （ ） ｆ∈Ｃ （ ，）×（ ， ［ ， ）且存在常数 Ａ ， 一∞ ＜Ａ ≤０≤ ， ＝１２ … ， 一 ） （０１ ０ ∞），０ ∞） ， （ ｆ ，， ｎ １ ，