具非线性边界条件的奇异扩散方程
具混合边值条件非线性扩散方程解的Blow-up性质
具混合边值条件非线性扩散方程解的Blow-up性质非线性扩散方程，作为一类重要的抛物型偏微分方程，有深刻物理背景，是自然界中广泛存在的扩散现象的一种数学抽象，非线性扩散方程涉及了很多数学或是数学物理方面的科学研究领域，比如渗流理论及生物群体动力学等领域都提出了这类方程，其中最基本但也是相当重要的类型是以（?）u/（?）t=Δu<sup>m</sup>为代表的Newton渗流方程和以（?）u/（?）t=div(|▽u|<sup>p-2</sup>▽u)为代表的非Newton渗流方程，这两个方程共同的特点是都具有退化性，即分别在u=0和|▽u|=0时退化，由于这类具退化性的非线性方程比线性方程和不具退化性的拟线性方程更能够反映某些物理实际，因此，早在三十多年前就吸引了国内外众多的数学工作者的注意力，他们致力于有关这类方程的理论和应用方面的研究，包括解的存在性、唯一性、渐近性以及Blow-up性质等等，相应这方面的文献也有很多，可参见[1]，[2]，[3]，[8]，[19]等等。
在对解性质的研究中，Bfow一up性质的研究长期以来受到了许多数学工作者的重视，而且获得了非常丰富的研究成果.下面我们来回顾一下这方面的研究成果. 对抛物型方程解Blow一t[l，性质的研究起源于如下的具非线性源的线性扩散方程{5}.证明了指数满足一定条件下的整体解性质.1985年，后来，一些作者就相应方程（1）的一维情形的初边值问题做了细致的研究.1990年，零边值问题.在这篇文章里对初值的要求就没有那么严格，他们指出，只要初值适当地大，则该问题的解。
将在有限时间T爆破，而爆破时间T依赖于初值.具混合边值条件非线性扩散方程解的性质上述研究大多是针对零边值问题或是问题或是线性扩散而进行的，而其余类型的初边值问题的研究结果就相对地少了一些.1993年，王明新在中讨论了带有非线性边界条件的非线性抛物型方程初边值问题的整体解存在的条件.其中，界单位外法向.其主要结论是: i)当p+q=2时，该问题有整体; ii)当p+q>2且时，对于大初值，该问题的解在有限时对于小初值，该问题有整体解. 值得注意的是，一些作者将区域边界进行了分割，研究了具混合边值条件的方程解的函数法讨论了如下具非线性边界条件的线性方程其中，是中的扇形区域，且边界分段光滑是边界单位外法向该问题的所有正解在有限时间Bfow一tll〕:对足够小的初值，该问题存在整体解. 2002年，中研究了具非线性源，边界条件是线性的半线性反应扩散方程混合边值问题的有界区域，表示外法向导数，要研究方法是采用一个非线性变换.在一定的条件假设下，结合所研究的问题推导,出满足的具混合边值的抛物方程，利用最大值原理得到了一个微分不等式，从而进一步得到了光滑解的下，只要初值大于零，方程的解必然在有限时间具混合边值条件非线性扩散方程解的第一部分我们讨论如下的发展型方程的混合边值问题由于上述问题中方程的退化性，我们首先运用抛物正则化的方法得到了该问题的逼近解“:，利用经典的抛物方程的理论，我们对逼近解做了一些必要的估计，通过一个极限过程我们最终得到了该问题广义解的局部存在性.其次，利用Gronwall不等式等工具，我们得到了上述问题广义解的唯一性. 最后，受到，中方法的启发，我们对正则化问题采用相同的非线性变换少满足一些必要的条件).由先前所做的必要的估计，通过对逼近解取极限，我们得到了非线性变换在分布意义下满足的抛物方程.利用抛物型方程的极值原理及强极值原理，我们导出了一个对于证明该问题十分关键的微分不等式，从这个不等式出发，我们讨论了这一具有混合边界条件苦称走季硕士学位论文文章的第二部分讨论渗流方程如下的混合边值问题八“川+.厂（.，、.“，才），r.约任QT. 一一山一决之I=O，t)任r lx（O.T）.t)任T:x（0 .T），，（t，、.0）=之，o（，‘·任D.其中川全1.问题涉及的其他条件如第一部分所述. 我们仍采取抛物正则化方法来得到该退化性问题的逼近解。
南京大学资料
王金德
随机规划理论及其在数统计中的
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傅冬生 南京大学数学系 线性方程组的一种并行迭代解法 南京大学学报数学半年刊K理论
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边界层和内层
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1988-1990
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微局部分析在偏微分中的应用
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吴广荣 南京大学数学系 边值问题的某些存在定理 应用数学 971004
李维国 南京大学数学系 Newton方程周期解存在性的构造性证明 应用数学 971004 99
非线性边界条件的非线性发展方程解的爆破
２１ ０ ０年 ８月
大 学 数 学
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非 线 性 边 界 条 件 的非 线 性 发 展 方 程 解 的爆 破
查 中伟
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其 中
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具有非局部边界条件的反应扩散方程爆破解的研究
具有非局部边界条件的反应扩散方程爆破解的研究具有非局部边界条件的反应扩散方程爆破解的研究引言反应扩散方程是研究自然界中物质在空间和时间上变化的一个重要数学模型。
其描述了物质在空间中扩散的过程，并包括了化学反应的影响。
在实际应用中，往往存在不同类型的边界条件，不局限于传统的局部边界条件，如Neumann边界条件和Dirichlet边界条件。
本文将研究具有非局部边界条件的反应扩散方程，探讨其解的爆破现象。
一、反应扩散方程反应扩散方程是描述物质扩散过程中发生化学反应的数学模型。
它由扩散项和反应项组成，通常表示为：∂u/∂t = D∇²u + f(u)其中，u是物质浓度或物理量，t为时间，D为扩散系数，f(u)表示反应项。
这个方程描述了物质浓度随时间和空间的变化。
二、非局部边界条件传统的反应扩散方程往往采用Neumann或Dirichlet边界条件，这些条件限制了物质在边界上的流动或浓度。
然而，在某些情况下，需要考虑具有非局部性质的边界条件。
具有非局部边界条件的反应扩散方程可以表示为：∂u/∂t = D∇²u + ∫G(x,y)f(u(y))dy其中，G(x,y)是非局部核函数，表示物质在x点与y点之间的非局部耦合。
三、爆破解现象研究表明，具有非局部边界条件的反应扩散方程的解可能出现爆破现象。
所谓爆破解，指的是在一定条件下，初始状态下的扩散方程解在有限时间内达到无穷大。
这种现象在许多实际应用中都有重要的意义，例如物质的波动传播、生物种群动力学等。
具体而言，爆破解的出现是由于非局部耦合引起的。
非局部核函数的存在使得系统中每个点与其他点之间发生的反应具有全局耦合性，这种耦合性可以使局部扰动在有限时间内传播到整个系统。
当反应项的强度超过一定阈值时，就会出现爆破现象。
四、数值模拟和实验研究为了验证具有非局部边界条件的反应扩散方程的爆破解现象，研究者们进行了数值模拟和实验研究。
在数值模拟中，研究者使用了有限差分法等数值方法，对具体的反应扩散方程进行了求解。
三类边界条件热传导方程扩散方程
表示边界Γ处（向外）的法向
f ( x ) 是给定的函数 拉普拉斯算子 梯度 表示内积
散度
散度（divergence）可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上， 散度的意义是场的有源性。当div F>0 ，表示该点有散发通量的正源（发散 源）；当div F<0 表示该点有吸收通量的负源（洞或汇）；当div F=0，表示该 点无源。 散度的运算关系： div(F ) grad( ) div( F )
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其中zcdzycdyxcdxtc?????????????????cdtc2????2222222zyx???????????傅立叶实验定律?物体在无穷小时段内沿法线方向流过一个无穷小面积的热量与物体温度沿曲面法方向的方向导数成正比物体在无穷小时段内沿法线方向流过一个无穷小面积的热量与物体温度沿曲面法方向的方向导数成正比2热传导基本方程yzodsn???u?t?nsdqdnu???注
k * u f x 0 x G Evaluation u g ( x) x
Neumann (诺伊曼边界条件)
在数学中，诺伊曼边界条件（Dirichlet boundary condition）也被称为常微 分方程或偏微分方程的“第二类边界条件”。 诺伊曼边界条件的偏微分方程表示：
交换积分次序
t2
t1
u u u u k k k dxdydzdt 0 c t x x y y z z
ADI格式中间变量的边界条件处理扩散方程1.Peaceman-Rachford
ADI 格式中间变量的边界条件处理扩散方程：(1) 02222=∂∂-∂∂-∂∂yT x T t T y x αα 1.Peaceman-Rachford ADI 格式(2b) 2121(2a) 2121*1*j xx x n yy y n j yy y j xx x T L s T L s T L s T L s j ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ 1)Dirichlet boundary condition不妨设),(),,0(t y b t y T =。
如果（2a ）中直接取),(21*+=n b ty b T 只有一阶精度 )(t O ∆精度 （???）(2a)减2(b)，导出的边界条件 ())(25.05.011*,n k n k yy n k n k k b b b tL b b T -∆-+=++ (3)有二阶精度。
2) Neumann boundary condition 不妨设),(),,0(t y c t y xT =∂∂。
如果直接用21*0*2x 2+=∆-n k c T T 只有一阶精度(???) 半离散的(2a)减2(b)：())(25.05.011n *n n yy n T T tL T T T -∆-+=++ (4)对x 求导())(25.05.011,*n k n k yy n k n k k b c c tL c c x T -∆-+=∂∂++ (5)2. Douglas-Gunn ADI 格式（fully implicit ）()()()(6b) 1(6a)11y *1*n j yy j n yy y n j yy y xx x j xx x T L s T T L s T L s L s T L s j -=-++=-+1) Dirichlet boundary condition从 (6b) 直接得() 1y 1*b n b yy n b yy y T L s T L s T --=+ （7）2) Neumann boundary condition（7）对x 求导。
非线性反应扩散方程的广义条件对称及其精确解的开题报告
非线性反应扩散方程的广义条件对称及其精确解的开题报告题目：非线性反应扩散方程的广义条件对称及其精确解背景：非线性反应扩散方程是一类常见的数学模型，在物理、化学、生物等领域都有应用。
该方程的解析解求解一直是热门研究方向之一。
广义条件对称性作为求解非线性偏微分方程的常用工具，已经在该方程的求解中得到了很好的应用。
研究目标：本文研究非线性反应扩散方程的广义条件对称及其精确解。
通过对该方程的特殊条件对称性和广义条件对称性进行研究，可以得到相应的守恒律和非守恒律，并且可以得到方程的精确解。
同时，借助于相似变量和求解微分方程的方法，可以进一步求解具有组合型非线性反应的方程。
研究内容：1.介绍非线性反应扩散方程及其应用背景。
2.分析非线性反应扩散方程的特殊条件对称性，求得其守恒律和非守恒律。
3.研究非线性反应扩散方程的广义条件对称性，求得其守恒律和非守恒律，并建立相应的守恒定理。
4.借助相似变量和求解微分方程的方法，求解具有组合型非线性反应的方程，并得到该方程的精确解。
5.给出一些具体的例子，并讨论其在实际应用中的实际意义。
研究方法：本文主要采用李群方法研究非线性反应扩散方程的条件对称性，并通过求取守恒律和非守恒律，建立相应的守恒定理。
同时，借助相似变量和求解微分方程的方法，求解具有组合型非线性反应的方程，并得到该方程的精确解。
研究意义：本文的研究对于深入理解非线性反应扩散方程的特殊条件对称性和广义条件对称性，以及求解该方程的精确解具有重要的理论意义。
同时，非线性反应扩散方程在许多领域中都有广泛的应用，通过研究该方程的精确解，可以更好地解决相关领域的实际问题，进而具有实践意义。
两参数的反应扩散方程Robin问题的奇摄动
假设 ：
重尺度 法 ，近来许 多 学者做 了大量 的工作 ¨ ］ 。奇 摄动反 应 扩散 方 程 在 催化 过 程 、理论 物理 、燃 烧 、 传导理 论等 方面都 有 很广 泛 的应 用 背景 。莫嘉 琪 在 １８ ９ ９年利用 微 分 不 等 式 理 论 研 究 了一 类 反 应 扩 散 方程 Ｊ ，在 ２０ ０６年 讨 论 了 一类 具 有 边 界摄 动 的 反 应扩 散方 程 ，Ｂ ｒｅ 在 ２０ ａｔｒ ｉ ０ ６年 讨 论 了一 个无 界 区域 的吸 收型 的反 应 扩 散 方程 Ｊ ，作 者在 ２ ０ ０ ８年
正 常数 。
Ｖ（，，）∈ ［ ， ］× ×Ｒ ，其 中 为任意大的 ｔ Ｍ ０Ｔ 一
１ 外 部 解
首 先考 虑原 问题 的外 部解
上述文 献 的基础上 用 一个特 殊 的奇摄 动方 法 ，研究
一
类带 有 两参 数 的 非 线 性 反 应 扩 散 方 程 初 边 值 问
研 究 了一 类 非 局 部 的反 应 扩 散 方 程 ］ ，本 文 是 在
［ １ 当 ０ ， 日］ 时 ０； ［ ］ 的系 数 ， ｇ 和 ｈ关 于它们 的 自变量 在 ｆ， 对 应 的 区域 内为充分 光 滑 的函数 ； ［ ‘］ 存在一个正常数 使得 （，， ）＞ ￡ “ ， ｄｕ
的外部解 的展 开式 ；其 次 ，在边 界附近建立局部坐 标系 ，并利 用伸 长变量得 到 了第 一边 界层校 正项 的渐近展 开
式 。依次地求 出展 开式 的各 项系数 ；然后引入二次 伸长变 量求 出第 二边 界层校 正项 。在 这基础 上得 到了原 问题 解的形式渐 近展开式 ；最后 ，在适当的条件假设下 ，利用微 分不 等式理 论 ，证 明了原初 边值 问题解 的存 在性 及