一、项目名称非线性反应扩散方程理论与应用
非线性扩散方程(组)解的爆破性质的开题报告
非线性扩散方程（组）解的爆破性质的开题报告题目：非线性扩散方程（组）解的爆破性质摘要：非线性扩散方程在数学、物理和生物学等领域中具有重要的应用价值。
它们的解可能会出现爆破现象，即在有限时间内解的某些分量增长至无限大。
因此，研究非线性扩散方程解的爆破性质具有重要的理论和实际意义。
本文将综述现有的研究成果，特别是针对某些特定的非线性扩散方程和组的爆破性质所做的研究，以及现有的一些主要方法，如拟线性化、对称化、变时空尺度方法等。
同时，本文还将重点阐述研究中存在的一些难点与未解决的问题，并提出未来进一步研究的方向和展望。
关键词：非线性扩散方程、爆破、拟线性化、对称化、变时空尺度方法正文：1. 研究背景非线性扩散方程是描述许多自然现象和数学模型的基本方程之一。
在水平扩散、生物分子扩散方面有广泛的应用，如植物对水、盐分的吸收、黑熊脂肪分布等。
在空间物理、地球物理及地貌演化中也有应用。
然而，由于非线性现象的出现，使得非线性扩散方程解的行为变得异常复杂。
一些解可能不能在有限时间内收敛，甚至出现分量爆破现象。
这种现象在一些物理和生物学上的问题中也出现过，例如二氧化氮氧化防止、恶性肿瘤细胞增长等。
因此，研究非线性扩散方程解的爆破性质，既有理论价值也有实际应用价值。
2. 研究方法目前关于非线性扩散方程解的爆破性质的研究主要有以下几种方法。
（1）拟线性化方法。
通过将非线性扩散方程扩展为常微分方程组，并在某些条件下将其线性化，进而研究方程解的爆破问题。
（2）对称化方法。
基于对称性与守恒律的概念，通过构造守恒量或守恒律来分析方程解的渐近行为，进而研究方程解的爆破问题。
（3）变时空尺度方法。
基于方程的自相似性质，通过构造合适的时空尺度对变量进行变换，在新的变量下研究方程解的渐近行为，进而研究方程解的爆破问题。
3. 研究成果与展望目前，针对某些特定的非线性扩散方程和组，已经做了一些研究，并取得了一定的进展。
例如常见的Fisher方程、KPP方程以及Lotka-Volterra方程等模型。
非线性反应扩散方程的广义条件对称
（． １ 西北大学 数学系 ，西安 ７ ０ ２ ； ２ 西北大学 信息学院 ，西安 ７ ０ ２ ） １ １７ ． １ １７
摘要 ：非线性反应扩散方程是一类在物理、生物 、种群上有较多应用的方程 ，考虑其 在幂 函数 扩散下所允许的一
类二阶广义条件对称 ，通过广义条件对称 。借助数学软件 Ｍａ ｌ，求得相应方程及其满足的对称群 ，通过对称群 ｐｅ 进一步得到精确解 。
其中： 满足方程 （ ） ｒ 且 （ ＝０ ｆ ，， ； （） ｕ ）＋ （）ｘ＋ Ｕ ２ ；／ ＝０ ， －ｌ … “ ＝ ： Ｇ ｕＵ ２ ＇ 导ｉＩ １６ ２Ｉ ５。 （
） “ ” ； 表示 Ｆｅｈｔ ｒ ｅ ｃ
２ 求 解 过程
利用数学软件 Ｍ ｐ ，由方程 （ 可 以得到 Ｇ ＝ 疗 一 ａｌ ｅ ４） （） 一
， ， ｎ ｃｘ 一 ）（）２ （２Ａ２ｓ） ） 【 － ｓＡ＋ － －２）（） 一暑ｌ ｃ ｅ ｉｘｃｘ Ａ ｃＡ２ ｎ ｅ ｐ ａｏｘ）
其 中 ：Ｃ ， Ｃ 为任意 常数 。 。 ２ 例 ２ 方程 Ｕ＝ｔ＂ ｔ ｇｌ －ｌ 一删 一 ＋Ｈ＂ ２ ，允许 Ｇ Ｓ ７： 一 －２ １ －Ｕ ＋口 Ｃ ７ 一 ＋一
下
（ ６）
１ （ Ｅ￣ Ｑ “Ｈ” ＋２ ｎ ） ‘ ＋ 地 一ｓ ＋（ｓ 一Ｉ ＋１ 一 ｓ ＝０ ｎｕ＋ ＋ ＋（ Ｚ ｓ Ｑ‘ ’ Ｈ ｎ ２ ＇ ． ２） Ｑ） Ｉ １ Ｓ ２ ｕ
（） ７
“。
假设 Ｑ （） （）， 同样具有 幂 函数形式 ，即Ｑ（） ｌ （） ２ ，可 以得 到下列情 况成立 。 ＝ａｕ ， “ ＝Ｑｕ
关键词 ：非线性反应扩散方程 ；广义条件对称 ；精确解
非线性化学
M
v jia j ( X (t))
j 1
M
v jia1j/ 2 ( X (t))j (t),
j 1
(i 1,...,N )
Wkl
为k和l两个不同状态之间的转移概率
*
4),主方程（Master Equation）
由P(k,t)可得到随机变量的各阶矩
n
m=1为x平m 均值i1: xi P(xi )
n
m=2时x的二i1阶xi矩P(<xix)2>和平均值平方的差为方差
（表示涨落）
2 x2 x 2
如果改变后的微分方程与原来的微分方程在 相空间中的拓扑结构是等价的，则称方程的解 是结构稳定的；反之如果是拓扑不等价的，则 称方程的解是结构不稳定的。
*
4). 分岔理论(结构稳定性分析)
c) 分岔现象
当控dd制Xti 参 量fi (μX1连, X续2 改, X变n，; 1通, 过2 ,μ ,c时m )，体系的 定态性态(平衡点或闭轨的数目和性质，及稳定 性)发生突然变化(及体系失去结构稳定性)，则 称体系在μ c处出现了分岔， μ c称为分岔值或 临界值。
*
2、非线性态—态动力学
▪时空随机共振
Zhong S, Xin HW J. Phys. Chem. A 105(2), 410, 2001
▪色噪声作用下的随机共振
Zhong S, Xin HW Chem. Phys. Lett. 333(1-2), 133, 2001
▪耦合体系的随机共振
Jiang YJ, Xin HW Phys. Rev. E 62(2), 1846, 2000
f1( X1, X 2 )
参考态ddX为t2 (x1fs2,(xX2s1),；X 2受) 到小扰动后：
扩散反应问题
扩散反应问题
扩散反应问题是一个重要的研究领域，它涉及到材料科学、化学科学、物理科学等多个学科，并融合了多种学科中的理论和实际研究。
扩散反应是一种物理现象，即物质或能量从一个位置到另一个位置的过程，也称为传播过程。
它可以发生在液体、气体、溶液、固体或其他系统中。
扩散反应的主要机制是温度场热量传输和浓度场物质传输。
扩散反应涉及到许多科学原理，有些原理已经有了充分的实验和理论研究，而有些原理尚未被完全弄清楚。
关于扩散反应机制的研究一般基于两个假设：一是局部的物理性质，如温度和浓度，影响整个系统的物质扩散；二是系统本身的能量状态，影响物质扩散的速度和方向。
研究扩散反应的方法有多种，如分子动力学模拟、热力学模拟和实验模拟等。
它们都是研究扩散反应机制的重要手段，可以用来探究物质扩散过程中发生的化学反应，以及物质在系统中的迁移和扩散规律。
扩散反应在很多领域都有重要的应用，如显微镜中的染料波，汽车的排气系统，电子设备的冷却装置，以及高科技系统中的光学、声学和电学，等等。
扩散反应对于科学和工程的发展具有重要意义，它为某些科学领域的研究和技术应用提供了重要的理论支撑。
扩散反应在未来的研究中还有很大的潜力可以挖掘，有很多有趣的实验和理论研究可以去挑战，如研究扩散反应的非平衡态、非线性态、极端状态等物理现象，也可以用于研究材料微纳米结构的原理，
这样可以为相关科学领域的应用提供更多有用的建议。
从以上可以看出，扩散反应是一个复杂的研究领域，它有着丰富的理论和实际的研究内容，可以提供重要的理论支撑和应用建议。
它的发展将深刻地影响整个科技领域的发展，可以进一步提升人类生活和经济发展的效率。
一类非线性反应扩散方程有限差分格式的稳定性分析
第 ２期
徐琛梅 等 ： 类非 线性 反应 扩散 方程 有限 差分格 式 的稳定性 分析 一
・ｌｌ・ ５
法 ， 有 限差分方 程用 变分 的形式 写 出 ； 后讨论 将 最 该 有 限差分 格式 的稳 定性 问题 。
本 文 首先对 这个特 殊的一维 反应扩 散方程进 行完全 离散 ， 得到 非线性 的有限差 分格式 ； 引人 再 步长 函数空 间 ， 在这个 函数空 间 中 ， 用变分 近似 利
作者简介： 徐琛梅 （９５一） 女 ， １６ ， 河南周 口人 ， 副教授， 主要从 事微分方程数值解 的研究工作。
近似 法 ， 讨论 其 稳 定性 还 是相 当简单 的。为 了简 单起见 ， 面就 以特 殊 的一 维反 应 扩散 方 程 的初 下
学、 生物 、 工程 技术 、 至社 会 经济 等都 存在 大 量 甚 重要 的非线性 问题 ， 且这 些 问题 最 终都 是 用非 并
边值问题为例来说 明这个问题。对于高维的情
ｌ ｍ ｏ ｈ ｎ ｔ ｉ ｅ ｅ ｃ ｃ ｅ ｓ ｄ ｓ ｕ ｓ ｄ ｂ ａ ｓｏ ａ ａｉｎ ｌａ ｐ ｏ ｉ ｔ ｎ ｍｅｈ ｄ Ｔｈ ｅ ｆ ｒｔ ｅｆ ｉｅ ｄｆ ｒｎ ｅ ｓ ｈ ｍｅ ｉ ｉｃ ｓｅ ｙ ｍｅ ｎ ｆｖ ｒ ｔｏ ａ ｐ ｒ ｘｍａ ｉ ｔｏ ． ｅ ｉ ｆ ｉ ｏ ａ ｐ ｏ ｃ ｓ ｄ ｉ ｘｒ ｏ ｄ ｎ ｒ ｉ ｌｎ ｓ ｎ ｖ ｉａ ｉｉ ｎ ｇ ｉ ｉ ｇ ｔｅ ｓａ ｉ ｔ ｏ ｄ ｔ ｎ ｏ ｅ ｐ ｒ ａ ｈ ｕ ｅ ｓ ｅ ｔａ ｒ ｉ ａ ｙ ｓｍｐ ｅ ｅ ｓ ａ ｄ ａ ａｌｂ ｌｔ ｉ ａｎ ｎ ｈ ｔｂ ｌ ｙ ｃ ｎ ｉ ｏ ｆｔ ｙ ｉ ｉ ｈ
物理学中的非线性方程
Fisher方程的一种求解方法 摘要： 本文利用Riccati方程映射法求解广义Fisher方程。首先求解n等于1和2的方程，在这基础上，利用幂变换求得方程在高次情况下的精确解，最后对所求得的解进行简单的讨论。本文所用的方法简单而初等，能够推广到其他一些高次方程的求解。
关键词：广义Fisher方程；Riccati方程映射法；幂变换；精确解 1 Fisher 方程 在相当长的一段时间里，非线性物理问题的研究都处于难以深入的境地。二十世纪六七十年代，计算机逐渐发展起来，人们利用现代工具有效的解决了一些问题，才实现了开启非线性物理学的大门。求解非线性动力学方程，长期以来都是物理学家和数学家研究的重要课题。随着研究方法不断地涌现和计算机代数系统的快速发展，非线性方程的解日趋丰富。1975—1978年，Aronson和Weinberger系统地研究了如下的非线性问题[1,2]
)(22ufxutu
， （1）
这里要求非线性函数)(uf满足如下的泛定条件 ]1,0[)(1Cuf，0)1()0(ff， （2）
在相应的限制下, 文献[1,2]给出了非线性方程（1）解的渐近行为已相当普遍和深人的讨论。所得重要结论之一表明, 在任意局域的初始扰动下, 方程（1）的解将发展成为具有确定波速的局域行波。这种性质的行波是耗散系统中的一种孤波。 非线性扩散方程（1）的研究具有广泛而深刻的物理背景。核反应中的中子增殖, 液晶等凝聚态物质中波动的传播, 成核相变中动态物理过程的描述, 生物物理中神经传导和种群遗传等问题均联系着方程（1）的研究。 方程（1）最简单的特殊形式是取非线性函数)1()(uuuf，这时方程（1）成为
)1(22uuxutu
， （3）
方程（3）是熟知的Fisher方程，下文将会给出求解过程。1936年Fisher提出该方程后，Kolmigoroff，Petrovski和Piscounoff对方程（2）进行过严格的探讨。半个多世纪以来，围绕Fisher方程有大量的工作出现，其中由Ablowitz和Zeppetella首次求得（2）式的孤波解[3]，受到他们的启发，Abdelkader考虑了广义的Fisher方程[4]
非经典反应扩散方程全局吸引子的分型维数
四川 师 范大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｉ ｃ ｈ ｕ ａ ｎ Ｎ ｏ ｒ ｍ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
Ｍａ ｒ ．， ２ ０１ ３
第３ ６卷
第 ２期
Ｖ０ １ ． ３ ６． Ｎ ｏ ． ２
非经典反应扩散方程全局吸 引子的分型维数
赵娟 霞， 汪 璇
（ 西北师范大学 数学与信息科学学院 ， 甘肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ７ ０ ）
摘要 ： 研究 了具有衰退记忆的非经典反应扩散方程的周期边值 问题 ， 通过应用一些最新结果 ， 运用半 群 理论的方法和分型维数定理 ， 获得 了该方程 当非线性 项 ｇ （ “ ） 满足临界增长条件且 ｇ （ ）∈Ｃ （ Ｒ， Ｒ） 时其 全 局吸引子的分形维数是有限的 ， 对文献的一些结果作了改进和推广．
关键词 ： 非经典反应扩散方程 ；全局吸 引子 ；分型维数 ； 临界指数 ；衰退记 忆
中图 分 类 号 ： Ｏ １ ７ ５ ． ８ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ １ — ８ ３ ９ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２— ０ ２ １ １ —０ ５
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ １ —８ ３ ９ ５ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ２ ． ０ １ １
维数 是 有 限的．
∞
Ｊ ０
Ｊ （ ｓ ） △“ （ ， ｔ —ｓ ） ｄ ｓ ＋ ｇ （ “ ）＝ 厂 （ ） ，
ｚ ￡ （ ， ｔ ） ＝ ｕ ｏ （ ， ｔ ） ， ∈Ｒ。 ， ｔ ≤０ ， ∈Ｒ ， ｔ∈ Ｒ，（ １ ）
流体的不稳定性
流体的不稳定性引言流体的不稳定性是流体力学中重要的研究课题之一。
在自然界和工程应用中，我们经常会遇到各种液体或气体的流动现象。
然而，有些流体系统在某些条件下会出现不稳定性，导致流动变得混乱或者无法预测。
本文将从理论和实践两个方面探讨流体的不稳定性，并介绍一些常见的不稳定性现象及其应用。
流体运动的基本方程在研究流体的不稳定性之前，我们首先要了解流体运动的基本方程。
根据流体力学的基本原理，流体的运动可以用以下方程描述：1.连续方程：描述了质量守恒的原理，即流体在任意一个给定的时间点，质量的变化量等于从流体系统出入的质量流量。
2.动量方程：描述了运动流体中动量守恒的原理，即流体所受到的力等于动量的变化率加上外力的作用。
3.能量方程：描述了能量守恒的原理，即流体的热量和机械能的变化率等于流体所受到的热源和机械功。
这些基本方程为我们研究流体的不稳定性提供了理论依据。
流体不稳定性的理论流体的不稳定性可以分为线性不稳定性和非线性不稳定性两种。
线性不稳定性在流体的线性不稳定性中，流体会在微扰下发生可逆的线性变化。
这种不稳定性通常由线性稳定性分析方法来判断，其中最著名的方法是雷诺判据和光晕法。
雷诺判据雷诺判据是以法国数学家雷诺命名的。
在流体的线性不稳定性研究中，雷诺判据是一种常用的判据，用来判断流体流动是否稳定。
它的表达式为：$$Re = \\frac{{UL}}{\ u}$$其中，Re是雷诺数，U是流体的流速，L是流体的特征长度，u是流体的运动粘度。
当雷诺数小于临界值时，流体流动是稳定的；当雷诺数大于临界值时，流体流动是不稳定的，会出现涡旋或波动等现象。
光晕法光晕法是一种通过观察光晕扩散现象来判断流体流动是否稳定的方法。
当流体流动是稳定的时候，形成的光晕通常是圆形或者近似圆形；而当流体流动是不稳定的时候，形成的光晕会出现不规则的扩散现象。
非线性不稳定性非线性不稳定性通常指的是流体在微扰下经过非线性变化后发生的不稳定现象。
一类非线性反应扩散方程整体解的渐近性态
) 为式 ( 7 ) 的 右端 (, + )
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定 义 映射
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非线性反应扩散问题两网格混合有限元法的数值分析
ｗ 别 为 Ｖ 和 Ｗ 的 离 散 子 空 间． 分
和 Ｗ 分 别
采用 标准 的混合 有 限元 空间 即 ｋ阶 的 ＲＴ 空 间Ｌ 或 ５
ｋ阶 的 Ｂ ｅｚ－Ｄｏ ｇａ Ｍａｎ 空 间 （ Ｄ ） ． ｒｚｉ ｕ ｌｓ ｒｉ Ｂ Ｍ 设 置 变 量 ＝ 一 Ｋ ｐ，则 问 题 （ ） 解 （ “ １的 户， ） ∈Ｗ × 即 为 下 列 变 分 问 题 的解 ：
究． 值 算例 结 果表 明 ， 混合 有 限元 方法相 比，两 网格 混合 有 限元方 法在 不降低 解 的精 度 阶数 的 条件 数 与
下 ， 高 了计 算速 度． 提
关 键 词 ： 混 合 有 限 元 ； 网格 ； 线 性 两 非 中 图 分 类 号 ：０２ １ ８ 文 献 标 识 码 ：Ａ ４ ． 文 章 编 号 ： １ ７ — １ ９ ２ １ ） ２ ０ ３ ０ ６ １ １ Ｘ（０ ２ ０ —０ ５ — ２
限元 算法 并从 数值 角度 进行 分析 ．
０ 引 言
１ 混 合 有 限元 法
反 应 扩 散 方 程 在 实 际 生 产 和科 研 中 有 许 多 应 用 ， 文、 水 物理 、 学 、 化 生物 学 和人 口动力 学 中众 多 的
数 学 模 型 就 是 反 应 扩 散 方 程 ， 类 方 程 描 述 了 水 污 这 考 虑 渗 流 力 学 中 的下 列 非 线 性 反 应 扩 散 问 题
展式 将 粗 网格上 的解 外 推到 细 网格上 去． 文献 Ｅ － ｚｉ 将
两重 网格 算 法结 合特 征线 法用 于求 解对 流 占优 的对 流 扩 散 问 题 ， 大 地 提 高 了 计 算 效 率． 艳 萍 教 极 陈 授 ［ 等对 一类 非线 性 反应 扩散 问题 给 出 了混合 有 ３