复旦大学课程教学大纲

复旦大学课程教学大纲

课程代码 MATH120008.09 编写时间 2011年08月更新课程名称 数学分析（I）

英文名称 Mathematical Analysis（I）

学分数 5 周学时 6

任课教师* 谢锡麟 开课院系**力学与工程科学系预修课程 仅需普通高中相关数学基础；无特别先有基础要求。

课程性质：

本课程可谓所有基础科学（包括数学、力学、物理、化学、生物等）、技术科学（包括航空航天、环境、材料、信息等）等专业最为基础和重要的数学基础课程，提供微积分的基本内容。从知识体系的发展而言，微积分融合线性代数（这点特别反映在《数学分析（Ⅱ）》中）作为核心基础，一方面将为后续复变函数、实分析与泛函分析、常微分方程与偏微分方程、概率统计、微分几何等系统的数学知识体系的发展提供实质性的基础；另一方面，微积分和线性代数亦是理论力学、连续介质力学（包括流体力学、弹性力学）、振动力学、控制力学等力学知识体系的发展的坚实基础。

总体而言，本一年制的数学分析课程将结合面对的对象（适用于非数学类的几乎所有的专业），提供系统的微积分知识体系，不仅注重微积分知识体系的核心基础特点，而且注重知识体系的现代化发展，力求学生具有坚实的基础并具有基于其上的自我学习的能力。在教学的广度与深度上，我们力求课程所授的知识体系具有国内外一流化水平，且切实注重学生的实际接受水平。

本课程《数学分析（I）》将主要提供一元微积分的内容，包括常微分方程最为基础的若干思想及方法。

教学目的：

2005年，学校在百年校庆时提出“走以内涵发展的道路”，以及现今所致力于探索和推广的“通识教育、精英教育”的理念，结合力学以及数学间相辅相成、紧密相连的关系，而考虑本门课程的具体教学。

以下反映一些基本的观点，这将指导具体的教学。

✧虽然数学分析是数学课程，但我们学习的是“认识自然的系统的思想和方法”——

许多实践和成就表明，数学对于我们认识自然是极其有效的——许多数学机制具有鲜明的力学和物理背景。事例1：二阶导数联系于法向（向心）加速度，故转轨设计的原则应该是保证二阶导数连续。由于二阶导数无法直观观测，所以数学本身起到了认识自然规律的作用。事例2：我们在多元微分学中将严格证明众所周知的阿基米德浮力定律。所以，正如许多著名数学家所认为的，数学分析并不仅仅是严密的逻辑过程，她最为本质的一面是提供认识自然的思想及方法！对于一元微积分的教学，我们就将结合力学、物理等事例剖析数学在认为自然上的作为。注：限于作者学识，将数学联系与非自然世界尚需积累。

✧我们学习数学是需要她指导我们各种实践的，然而数学在实践过程中所“表现出来”

的作为将非常“客观”地取决于我们对于数学的认识！籍此，本课程教学将极力屏弃“应试的习气”，需要学生对于基本理论（思想和方法）及其基本应用都应努力追求“正本清源”，对于各部分知识需要知道其理论的发展以及理论所能提供的应用范畴。

✧微积分知识体系呈“辐射性”发展。微积分的核心思想：通过引入极限的思想，动

态逼近程度的一种刻画方式（点列极限以及函数极限），就可按数学逻辑推演出整个微积分体系（包括微分学、积分学以及级数）。我们学习微积分，需要牢牢把握极限这一唯一的核心概念；在此观点下，导数是一种特定的极限，积分、级数也是特定的极限，由此这些知识的学习体现“温故而知新”的效果，而非总是在不断地学习“全新”的内容，这将非常有益于我们对具体知识以及整个知识体系的掌握，有助于追求对知识体系的“融会贯通”。

课程基本内容简介：

《数学分析（I）》将主要提供一元微积分的内容，包括一元微分学和一元积分学。一元微积分，又可称为一维Euclid空间上的微积分，主要对象为自变量空间和值域空间都为一维Euclid空间的函数（映照）。另将包括常微分方程最为基础的若干知识。

具体内容请见教学内容安排部分。

基本要求：

✧讲述上将努力做到“格物致知、正本清源”，叙述清楚理论的发展：（1）（抽象）概

念的引入（数学问题归结的缘由）；（2）核心引理或定理的严格证明（数学逻辑过程）；（3）理论的应用。在理解清楚理论的基础上努力考虑习题。

✧大学程度的高等数学，某种程度上而言是“一种思想的演绎”——我们可以基于不

同的途径开展理论，或者经不同途径获得相同的结果。对于微积分的掌握一定程度上反映在充分理解的基础上形成自己的风格——使用知识时个人所反映出的不同风格。课程叙述中将尽量反映自己对知识本质的体会，引导学生充分理解和掌握。

✧基于现所用教程：北京大学 张筑生著《数学分析新讲》（第1、2册）

主要参考：

（1） 复旦陈纪修等《数学分析》（第二版）（上册）——基本概念及习题参考 （2） 菲赫金哥尔茨《微分分教程》——主要参考其理论的应用事例

（3） 卓里奇《数学分析》（上册）——综合参考

（4） 阿黑波夫等《数学分析讲义》——主要为程度参考

本课程的叙述讲尽量汲取上述优秀教程各自的特点和长处；教学的广度和深度上希望能同上述教程相当。

教学方式:

讲授为主（全程板书）；习题课隔周周日晚进行。另，通过学习小组等形式为有兴趣的同学提供进一步的知识。

教材和教学参考资料：

作者 教材名称 出版社 出版年月

张筑生 《数学分析新讲》（第1，2册） 北京大学出版社 1999

陈纪修等 《数学分析》 复旦大学出版社 2009

菲赫金哥尔茨

等 《微分分教程》（第8版）

俄罗斯数学教材选译

高等教育出版社 2006

V.A.卓里奇 《数学分析》（上）（第4版）

俄罗斯数学教材选译

高等教育出版社 2006

阿黑波夫等 《数学分析讲义》（第3版）

俄罗斯数学教材选译

高等教育出版社 2006