高一数学补集思想在解题中的应用
2020年新高一人教A版数学必修1 补集及综合应用
解析:题图中阴影部分所表示的集合为 B∩(∁UA)={3,4,6}∩{2,4,5,6}={4,6}. 答案:{4,6}
课堂篇 探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测
5.已知全集 U=R,A={x|-4≤x<2},B={x|-1<x≤3},P= ������ ������ ≤ 0,或������ ≥
.
课堂篇 探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测
探究一补集的基本运算 例1 (1)已知全集为U,集合A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},∁UB={1,4,6}, 则集合B= ; (2)已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x<5},则 ∁UA= . 分析:(1)先结合条件,由补集的性质求出全集U,再由补集的定义 求出集合B,也可借助Venn图求解. (2)利用补集的定义,借助于数轴的直观作用求解.
课前篇 自主预习 一 二
一、全集 1.方程(x-2)(x2-3)=0的解集在有理数范围内与在实数范围内有什 么不同?通过这个问题,你得到什么启示? 提示:方程在有理数范围内的解集为{2},在实数范围内的解集为 {2, 3 ,- 3 }.在数学中很多问题都是在某一范围内进行研究.如本 问题在有理数范围内求解与在实数范围内求解是不同的.类似这些 给定的集合就是全集. 2.填空: 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素, 那么就称这个集合为全集,通常记作U .
课堂篇 探究学习 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测
探究二并集、交集与补集的综合运算 例2已知全集U=R,集合A={x|-3<x<3},集合B={m|m<1}. 求:(1)∁UA,∁UB;(2)∁U(A∩B). 分析:(1)根据补集的定义,借助于数轴写出;(2)先求A∩B,再根据补 集的定义写出. 解:(1)∵A={x|-3<x<3},B={m|m<1}. 在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示.
补集与集合的综合运算
(1)若(∁RA)∪B≠R,求a的取值范围;
(2)若A∩B≠A,求a的取值范围.
分析:本题考查集合交集、并集的运算及补集思想的应用,求解
时可先将不相等问题转化为相等问题,求出a的集合后取其补集.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
于 A 的所有元素组成的集合,称为 A 在 U 中的补集,记
作∁UA,读作“A 在 U 中的补集”.
∁UA={x|x∈U,且 x∉A}
图形语言
补集的
性质
A∪∁UA=U,A∩∁UA=⌀;∁U(∁UA)=A
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
(1)若U={x|x>0},A={x|x>3},则∁UA=
答案:{x|0<x≤3}
集的定义写出.
解:(1)∵A={x|-3<x<3},B={x|x<1}.
在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示.
∴∁UA={x|x≤-3或x≥3},∁UB={x|x≥1}.
(2)∵A∩B={x|-3<x<1},如图阴影部分所示.
∴∁U(A∩B)={x|x≥1或x≤-3}.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
sample essays, such as contract agreements,
documentary evidence, planning plans, summary reports,
party and youth organization materials, reading notes,
高一数学 补集思想在解题中的应用举例(高三)
补集思想在解题中的应用举例在集合中，大家都知道补集有这样一个性质：U A C A U =)( ，可是你知道它到底有何作用呢？本文将通过几个例题与大家谈谈其作用.【例1】已知集合A={y|y 2-(a 2+a+1)y+a(a 2+1)>0},B={y|y 2-6y+8≤0}，若A ∩B ≠φ，某某数a的取值X 围.分析：本题若直接去解，情形较复杂，也不容易求得正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，同样也可以求解.解：易解得A={y|y>a 2+1或y<a}, B={y|2≤y ≤4},我们不妨先考虑当A ∩B ＝φ时a 的X围.如图由⎩⎨⎧≥+≤4122a a ，得⎩⎨⎧-≤≥≤332a a a 或 ∴3-≤a 或23≤≤a .即A ∩B ＝φ时a 的X 围为3-≤a 或23≤≤a ,而A ∩B ≠φ时a 的X 围显然是其补集.从而,易知所求X 围为{}332|<<->a a a 或. 【点评】一般地，我们在解题时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集求得其解，这就是“补集思想”.【例2】若下列三个方程：x 2+4ax-4a+3=0,x 2+(a-1)x+a 2=0, x 2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，试某某数a 的取值X 围.分析：本题的正面有七种情形需要考虑，而其反面只有一种，即“三个方程均无实根”.故先考虑其反面是捷径. 解：若三个方程均无实根，则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<->-<<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<--=∆<--=∆<+--=∆023*******)2(4)2(04)1(0)34(4)4(2322221a a a a a a a a a a 或 123-<<-⇔a .设A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<123a x .于是三个方程至少有一个方程有实根的实数a 的取值X 围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥-≤=123a a a A C U 或【例3】若x 、y 、z 均为实数，且62,32,22222πππ+-=+-=+-=x z c z y b y x a ，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.分析：本题直接证明不仅情形较多，而且难于找到思路.若我们能够证明其反面不能成立，则就能肯定其正面成立.证明：假设a 、b 、c 均小于等于0，则a ＋b ＋c ≤0,又a ＋b ＋c ＝x 2-2y+y 2-2z+z 2-2x+π＝(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0恒成立，∴假设错误，故原命题成立，即a 、b 、c 中至少有一个大于0.【点评】本题实际是一种反证法，反证法从某种角度看就是“补集思想”的一个应用.总之，“补集思想”在数学中的应用很广，在今后的学习中我们还将多次应用，希望同学们要熟练地应用它，这将会给你的解题带来很大的帮助.【例4】已知函数()12)2(2422+----=p p x p x x f ,在区间]1,1[-上至少存在一个实数c 使()0>c f ,某某数p 的取值X 围.分析：本题的正面情形复杂多样，需要讨论考虑.故先考虑其反面是捷径.解:设所求p 的X 围为A ，则=A C R {|p 在]1,1[-上函数()()}01222422≤+----=p p x p x x f注意到函数的图象开口向上⎪⎩⎪⎨⎧≤++-=-≤+--=∴012)1(0932)1(22p p f p p f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤=∴233|p p p A C R 或 ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-=233|p p A 【例5】m 为什么数时，方程0sin sin 2=+-m x x 无实根.分析：此题若正面解，可判别式小于0和1sin >x 讨论出的取值X 围或讨论二次函数的两种情况，列出关系式，但这需要一定的技巧.若从反面考虑取其补集，可避免讨论，迎难而解.解：原方程变形、整理：m -=-41)21(sin 2，若方程有实数解，则1sin 1≤≤-x ，49)21(sin 02≤-≤∴x ，故412≤≤-m .取其补集得， 当41>m 或2-<m 时，方程0sin sin 2=+-m x x 无实根.。
高中数学第一章集合与函数概念1.1.3集合的基本运算第2课时补集及集合的综合应用教案数学教案
第2课时补集及集合的综合应用[目标] 1.理解全集与补集的含义，会求给定子集的补集；2.能用Venn图表达集合的关系及运算；3.能利用集合的相关运算解决有关的实际应用问题，意在培养数学建模及数学运算的核心素养．[重点] 全集与补集的含义，求补集以及用Venn图表达集合的运算．[难点] 集合的综合运算及应用.知识点补集[填一填]1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.2．补集对于一个集合A，由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对文字语言于全集U的补集，记作∁U A.符号语言∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言(1)∁U U＝∅；(2)∁U∅＝U；(3)(∁U A)∪A＝U；(4)A∩(∁U A)＝∅；(5)∁U(∁U A)＝A.[答一答]1．全集是不是一个固定不变的集合？集合A的补集是不是唯一的？提示：全集不是固定不变的，它因研究问题的改变而改变；A 的补集不唯一，随全集的改变而改变．2．∁U A的含义是什么？提示：∁U A的含义：∁U A包含的三层意思①A⊆U；②∁U A是一个集合，且∁U A⊆U；③∁U A是由U中所有不属于A的元素构成的集合．3．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内画“√”，错误的画“×”．(1)∁A∅＝A.( √)(2)∁N N*＝{0}．( √)(3)∁U(A∪B)＝(∁U A)∪(∁U B)．( ×)类型一补集的简单运算[例1] 已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)；B∩(∁R A)．[解]集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}．如图，将集合A，B在数轴上表示出来．易知A∪B＝{x|3≤x<7}∪{x|2<x<10}＝{x|2<x<10}，∁R A＝{x|x<3或x≥7}．∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．B∩(∁R A)＝{x|2<x<10}∩{x|x<3或x≥7}＝{x|2<x<3或7≤x<10}．求解与补集有关的运算时，首先明确全集是什么，然后根据补集即全集中去掉该集合中元素后剩余元素构成的集合求出补集，再根据补集求解与补集有关的运算.[变式训练1] 设U＝{x|x≤4}，A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤3}．求(1)(∁U A)∪B；(2)(∁U A)∩(∁U B)．解：(1)∵U＝{x|x≤4}，A＝{x|－1≤x≤2}．∴∁U A＝{x|x<－1或2<x≤4}．∴(∁U A)∪B＝{x|x<－1或2<x≤4}∪{x|1≤x≤3}＝{x|x<－1或1≤x≤4}．(2)∵U＝{x|x≤4}，B＝{x|1≤x≤3}．∴∁U B＝{x|x<1或3<x≤4}．∴(∁U A)∩(∁U B)＝{x|x<－1或2<x≤4}∩{x|x<1或3<x≤4}＝{x|x<－1或3<x≤4}．类型二Venn图的应用命题视角1：利用Venn图进行有限数集的运算[例2] 设全集U＝{x|x≤20的质数}，A∩(∁U B)＝{3,5}，(∁U A)∩B＝{7,19}，(∁U A)∩(∁U B)＝{2,17}，求集合A，B.[分析] 题目给出的关系较复杂，不易理清，所以用Venn图解答．[解]易得U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．由题意，利用如图所示的Venn图，知集合A＝{3,5,11,13}，B＝{7,11,13,19}．与集合有关的复杂题目，通常利用Venn图，将集合中元素的个数，以及集合间的关系直观地表示出来，进而根据图示逐一将文字陈述的语句“翻译”成数学符号语言，利用方程思想解决问题.[变式训练2] 设全集U＝{1,2,3,4,5}，A∩B＝{2}，(∁U A)∩B ＝{4}，∁U(A∪B)＝{1,5}，下列结论正确的是( A )A．3∈A,3∉B B．3∉A,3∈BC．3∈A,3∈B D．3∉A,3∉B解析：根据条件画出Venn图，如图，3∈A,3∉B.命题视角2：利用Venn图进行抽象集合的运算[例3] 如图，请用集合U，A，B，C分别表示下列部分所表示的集合：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ.[解]区域Ⅰ是三个集合的公共部分，因此Ⅰ＝A∩B∩C；区域Ⅱ是集合A与B的交集与集合C在U中的补集的交集，因此Ⅱ＝(A∩B)∩(∁U C)；区域Ⅲ是集合A与C的交集与集合B在U中的补集的交集，因此Ⅲ＝(A∩C)∩(∁U B)；区域Ⅳ是集合B 与C 的交集与集合A 在U 中的补集的交集，因此Ⅳ＝(B ∩C )∩(∁U A )；区域Ⅴ是集合A 与集合B ∪C 在U 中的补集的公共部分构成的，因此Ⅴ＝A ∩[∁U (B ∪C )]；同理可求Ⅵ＝C ∩[∁U (A ∪B )]，Ⅶ＝B ∩[∁U (A ∪C )]．而区域Ⅷ是三个集合A ，B ，C 的并集在U 中的补集，因此Ⅷ＝∁U (A ∪B ∪C )．利用Venn 图可以将抽象的问题转化为具体的图形，具有简单、直观的特点.[变式训练3] 已知I 为全集，集合M ，N ⊆I, 若M ∩N ＝N ，则( C )A ．∁I M ⊇∁I NB ．M ⊆∁I NC ．∁I M ⊆∁I ND ．M ⊇∁I N解析：根据条件画出Venn 图，由补集的定义及集合间的关系可迅速作出选择．类型三 集合在实际问题中的应用[例4] 2019年初，某市政府对水、电提价召开听证会，如记“对水提价”为事件A ，“对电提价”为事件B .现向100名市民调查其对A ，B 两事件的看法，有如下结果：赞成A 的人数是全体的35，其余的不赞成；赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A ，B 都不赞成的市民人数比对A ，B 都赞成的市民人数的13多1人．问：对A ，B 都赞成的市民和都不赞成的市民各有多少人？[解] 赞成A 的人数为100×35＝60，赞成B 的人数为60＋3＝63.如图所示，设对事件A ，B 都赞成的市民人数为x ，则对A ，B 都不赞成的市民人数为x 3＋1. 依题意，可得(60－x )＋(63－x )＋x ＋x 3＋1＝100，解得x ＝36，即对A ，B 两事件都赞成的市民有36人，对A ，B 两事件都不赞成的市民有13人．利用Venn 图解决生活中的问题时，先把生活中的问题转化成集合问题，借助于Venn 图的直观性把它表示出来，再根据集合中元素的互异性求出问题的解.[变式训练4] 某班共有学生30人，其中15人喜欢篮球运动，10人喜欢乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜欢，求喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数．解：设全集U ＝{全班30名学生}，A ＝{喜欢篮球运动的学生}，B ＝{喜欢乒乓球运动的学生}，设既喜欢篮球运动又喜欢乒乓球运动的人数为x ，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为15－x ，喜欢乒乓球运动但不喜欢篮球运动的人数为10－x ，则有(15－x )＋x ＋(10－x )＋8＝30，解得x ＝3.所以15－x ＝15－3＝12，即喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为12.1．设全集为R，集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|－1<x≤5}，则A∩(∁R B)＝( C )A．{x|－3<x<0} B．{x|－3<x<－1}C．{x|－3<x≤－1} D．{x|－3<x<3}解析：∵A＝{x|－3<x<3}，∁R B＝{x|x≤－1，或x>5}，∴A∩(∁R B)＝{x|－3<x≤－1}．2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( D )A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}解析：∵U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}．∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．3．已知全集U＝R，A＝{x|1≤x<b}，∁U A＝{x|x<1，或x≥2}，则实数b＝2.解析：∵∁U A＝{x|x<1，或x≥2}．∴A＝{x|1≤x<2}．∴b＝2.4．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,3}，集合B＝{3,4,6}，集合U，A，B的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合用列举法表示为{4,6}．解析：题图中阴影部分所表示的集合为B∩(∁U A)＝{3,4,6}∩{2,4,5,6}＝{4,6}．5．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x <2}，B ＝{x |－1<x ≤3}，P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤0，或x ≥52，求A ∩B ，(∁U B )∪P ，(A ∩B )∩(∁U P )． 解：将集合A ，B ，P 分别表示在数轴上，如图所示．∵A ＝{x |－4≤x <2}，B ＝{x |－1<x ≤3}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}，∁U B ＝{x |x ≤－1，或x >3}．又P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤0，或x ≥52， ∴(∁U B )∪P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≤0，或x ≥52. 又∁U P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0<x <52， ∴(A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1<x <2}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0<x <52＝{x |0<x <2}． ——本课须掌握的两大问题1．在进行集合间的基本运算时，除了紧扣定义和性质，还要注意以下方法与技巧：(1)进行集合运算时，可按照如下口诀进行：交集元素仔细找，属于A 且属于B ；并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一；全集U 是大范围，去掉U 中A 元素，剩余元素成补集．(2)解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求(∁U A )∩B 时，先求出∁U A ，再求交集；求∁U (A ∪B )时，先求出A ∪B ，再求补集．(3)若所给集合是有限集，可先把集合中的元素一一列举出来，然后再结合交集、并集、补集的定义求解．另外，此类问题在解答过程中常常借助Venn图来求解．若所给集合是无限集(数集)，在进行运算时常借助数轴，把已知集合表示在同一数轴上，再根据交集、并集、补集的定义求解，解题过程中要注意端点问题．2．解决有关集合的实际应用题时，要学会将文字语言转化为集合语言．涉及交叉有限集的元素个数问题往往用Venn图法处理较为方便．学习至此，请完成课时作业5学科素养培优精品微课堂补集思想的应用开讲啦对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论之间关系不明确，难以从正面入手的数学问题，在解题时，应从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，化难为易、化隐为显，从而将问题解决，这就是“正难则反”的解题策略．“正难则反”策略运用的是补集思想，也是处理问题的间接化原则的体现．运用补集思想求参数的取值范围的步骤：①否定已知条件，考虑反面问题；②求解反面问题对应参数的范围；③对反面问题对应参数的范围取补集．[典例] 已知集合A＝{x|x2－5x－6＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}，若B∪A≠A，求实数a的取值范围．[分析] B∪A≠A，说明B⃘A，这时我们可以先由B∪A＝A，求出实数a的取值范围，再利用“补集思想”求解．[解] 若B ∪A ＝A ，则B ⊆A .∵A ＝{x |x 2－5x －6＝0}＝{－1,6}，∴集合B 有以下三种情况：①当B ＝∅时，Δ＝a 2－4(a 2－12)<0，即a 2>16，∴a <－4或a >4. ②当B 是单元素集合时，Δ＝a 2－4(a 2－12)＝0，∴a ＝－4或a ＝4.若a ＝－4，则B ＝{2}⃘A ；若a ＝4，则B ＝{－2}⃘A .③当B ＝{－1,6}时，－1,6是方程x 2＋ax ＋a 2－12＝0的两个根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝－1＋6，a 2－12＝－1×6，a 的值不存在．综上可得，当B ∪A ＝A 时，实数a 的取值范围为{a |a <－4或a >4}．故若B ∪A ≠A ，则实数a 的取值范围为{a |－4≤a ≤4}．[名师点评] 值得注意的是在使用补集思想解题时，需要明确全集是什么，子集是什么，否则就会出错．[对应训练] 已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0，x ∈R }，B ＝{x |x <0，x ∈R }，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．解：由题知A ≠∅，所以设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ≤－1或m ≥32. 若A ∩B ＝∅，则方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，故⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，x 1＋x 2＝4m ≥0，x 1x 2＝2m ＋6≥0，解得m ≥32. 因为集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ m ≥32相对于集合U 的补集为{m |m ≤－1}， 所以实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}．。
高中数学第一章集合与函数概念1.1.3.2补集及集合运算的综合应用aa高一数学
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【跟踪训练 1】 (1)设集合 U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝
{1,3,5}，则∁UM＝( )
A．{2,4,6}
B．{1,3,5}
C．{1,2,4}
D．U
(2)若全集 U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合 A＝{x∈R|－
2≤x≤0}的补集∁UA 为( )
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解法二：借助 Venn 图，如图所示．
由图可知 B＝{2,3,5,7}．
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拓展提升 求集合补集的基本方法及处理技巧
(1)基本方法：定义法． (2)两种处理技巧 ①当集合用列举法表示时，可借助 Venn 图求解； ②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴， 利用数轴分析求解．
A．{x∈R|0<x<2} B．{x∈R|0≤x<2}
C．{x∈R|0<x≤2} D．{x∈R|0≤x≤2}
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解析 (1)因为集合 U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，所 以∁UM＝{2,4,6}．
(2)借助数轴(如图)易得∁UA＝{x∈R|0<x≤2}．
②若 A≠∅，则需满足2a－2≥1， a≤2，
解得32≤a<2，综上所述 a≥32.
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拓展提升
利用补集求参数问题的方法
(1)解答本题的关键是利用 A ∁RB，对 A＝∅与 A≠∅进行 分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域端 点的问题．
(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视， 还要注意补集是全集的子集．
补集思想在解题中的应用
补集思想在解题中的应用发表时间：2011-10-27T14:42:55.047Z 来源：《学习方法报●语数教研周刊》2011年第6期供稿作者：杨梅[导读] 有些数学问题，若直接从正面解决，或解题思路不明朗，或需要考虑的因素太多，若用补集思想考虑其对立面往往会另有捷径.云南永胜第一中学数学组杨梅有些数学问题，若直接从正面解决，或解题思路不明朗，或需要考虑的因素太多，若用补集思想考虑其对立面往往会另有捷径.本文就补集思想在数学解题中的作用作一些探讨.评：在高中数学教学中，我们时常会遇到这样一些问题，若要直接解决会较为困难，若通过问题的转化考虑它的反面情形，则解题目标与思路会变得更集中与明确．“正难则反”有时会给我们的解题带来意想不到的妙处．评：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”．例3、有5张卡片，它们的正、反面分别写有数字0与1, 2与3, 4与5，6与7, 8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？分析：本题需要先选卡片，再选数字，然后排列，因此这是一道：既取又排的排列综合问题，若用直接法，应采用“先选后排”的原则，而且还要注意特殊位置、特殊元素优先考虑的原则，做到逻辑合理严密，层次清楚，不重不漏．所以，在正面问题分类较多，较复杂或计算量较大的情况下，不妨从反向问题入手，试一试看是否简捷些评：在有些数学问题，如：有限制条件的排列、组合问题，不等式中求字母取值范围问题，等等，特别是涉及“至多”或“至少”、“存在”、“含”或“不含”问题，若正面复杂，反面简单，只要逆向分析，进行排除，就能使问题得到简捷的解答，同时这也是解有些选择填空题的有效途径．评:逆向思维是从已有习惯思维的反方向去思考问题，在正向思维受阻时逆向思维往往能起到柳暗花明又一村的作用，补集思想就是一种常见的逆向思维.总之，“补集思想”在数学中的应用很广，在今后的学习中我们还将多次应用，希望同学们要熟练地应用它，这将会给你的解题带来很大的帮助．。
运用正难则反的补集思想解题
运用正难则反的补集思想解题例1 已知A={x|x2+(k+2)x+1=0，x∈R}，若A∩R+= ，求k的取值范围。
解析：若从正面直接求k的范围，则有三种情况，分别求出较繁，而通过补集来求解则极为简捷。
因为方程x2+(k+2)x+1=0的根不可能为零，且两根必定同号，故A∩R+≠的条件是⊿=(k+2)2-4≥0，x1+x2=-(k+2)>0，解得k≤-4。
所以，当A∩R+= 时，k的取值范围是k>-4。
例2.若关于方程a x2-4x+a+1=0至多有一个非负实数根，求实数a的取值范围。
解析：(1)先求问题的反面，再求其补集。
(i)a=0时,方程-4x+1=0,x=1/4,符合题意.(ii)a不=0时,判别式=16 -4a(a+1)>=0,得-1/2-根号17 /2<=a<=-1/ 2+根号17 /2即全集U={a|-1/2-根号17 /2<=a<=-1/2+根号17 /2,a不=0} 如果二个根都是非负根,则有:x1+x2=4/a>=0,得a>0x1x2=(a+1)/a>=0,得a>0或a=<-1即:a>0,设为A={a|a>0}故:至多有一个非负实数根,a的取值范围是:A在U中的补集={a|-1/2-根号17/2<=a<0}综合(i)(ii)得:-1/2-根号17/2<=a<=0“否命题”与“命题的否定形式”区别格式：原命题是“若p则q”否命题是“若非p，则非q”，命题的否定形式是“若p则非q”。
区别：否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论。
注意：对“全”、“都”的否定，只需在其前面加一个“不”即可，而对“一定”的否定却不一样，不是“不一定”，而是“一定不”例1. 原命题：（1）若一个三角形为锐角三角形，则它的三个内角都为锐角；（2）菱形的对角线互相垂直；（3）面积相等的三角形是全等三角形。
高中新课程数学(新课标)必修一《1.1.3-2补集及集合的综合应用》课件
解析：由∁UM⊇N，知集合N有两种情况，如下图．所
以选A.
答案：A
已知方程x2＋ax＋1＝0，x2＋2x－a＝0，x2＋2ax＋2 ＝0，若三个方程至少有一个方程有实根，求实数a的取值 范围．
解：设三个方程的判别式分别为Δ1，Δ2，Δ3，假若 三个方程均无实根，则有：
Δ1＝a2－4<0， பைடு நூலகம்Δ2＝4＋4a<0， Δ3＝4a2－8<0，
4．已知集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,3,4}，B＝{4,5}， 则A∩(∁UB)＝________.
答案：{2,3}
5．设全集为R，A＝{x|x<－4或x>1}，B＝{x|－2<x<3}，
求：(1)A∩B；(2)(∁RA)∩B；(3)A∪(∁RB)． 解：(1)A∩B＝{x|1<x<3}，
(2)∵∁RA＝{x|－4≤x≤1}， ∴(∁RA)∩B＝{x|－2<x≤1}． (3)∵∁RB＝{x|x≤－2或x≥3}， ∴A∪(∁RB)＝{x|x≤－2或x>1}．
类型一 补集的运算 【例1】 设U＝{x|－5≤x<－2，或2<x≤5，x∈Z}，A ＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，求∁UA、∁UB. 思路分析：先确定集合U、集合A的元素，再依据补集 定义求解．
解：设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}
＝mm≤－1，或m≥32
.
若方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1、x2均非负，
则
m∈U， x1＋x2＝4m≥0，⇒m≥32. x1x2＝2m＋6≥0
∵mm≥32
在U中
解：如下图，将全集U和集合A，B在数轴上标出．
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1 “补集思想”在解题中的应用
在集合运算中，大家都知道这样一个性质：U A C A U =)( ，可是你知道它到底有何作用呢？本文将通过几个例题与大家谈谈其作用。
例1、已知集合A={y|y 2-(a 2+a+1)y+a(a 2+1)>0},B={y|y 2-6y+8≤0}，若A ∩B ≠φ，求实数a 的取值范围。
分析：本题若直接去解，情形较复杂，也不容易求得正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，同样也可以求解。
解：易解得A={y|y>a 2+1或y<a}, B={y|2≤y ≤4},
范围。
如图
由⎩⎨⎧≥+≤412
2a a ，得⎩⎨⎧-≤≥≤332
a a a 或 ∴3-≤a 或23≤≤a .
即A ∩B ＝φ时a 的范围为3-≤a 或23≤≤a .而A ∩B ≠φ时a 的范围显然是其补集,从而,易知所求范围为{}
332|<<->a a a 或. 评注：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”。
例2、若下列三个方程：x 2+4ax-4a+3=0,x 2+(a-1)x+a 2=0, x 2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围。
分析：本题的正面有七种情形需要考虑，而其反面只有一种，即“三个方程均无实根”。
故先考虑其反面是捷径。
解：若三个方程均无实根，则有⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<<->-<<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<--=∆<--=∆<+--=∆023*******)2(4)2(04)1(0)34(4)4(2322221a a a a a a a a a a 或 123-<<-⇔a 。
设A=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-<<123a x 于是三个方程至少有一个方程有实根的实数a 的取值范围为
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-≥-≤=123a a a A C U 或 例3、若x 、y 、z 均为实数，且62,32,22222πππ+-=+-=+
-=x z c z y b y x a ，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于
0.
分析：本题直接证明不仅情形较多，而且难于找到思路。
若我们能够证明其反面不能成立，则就能肯定其正面成立。
证明：假设a 、b 、c 均小于等于0，则a ＋b ＋c ≤0,
又a ＋b ＋c ＝x 2-2y+y 2-2z+z 2-2x+π＝(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0恒成立∴假设错误，故原命题成立，即a 、b 、c 中至少有一个大于0.。