甘肃省武威第六中学2020高三数学上学期第五次过关考试试题 理(含解析)

武威六中2020届高三一轮复习过关考试（五）数学（理）一、选择题：本大题共12个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是 A. M N N =I B. ()U M N =∅I ð C. M N U =U D. ()U M N ⊆ð【答案】A 【解析】 【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ． 故选A ．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定． 2.下面关于复数21iz =--的四个命题： 1:2p z =2:p z 的共轭复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1-- 3:p z 的虚部为-1 24:2i p z =-其中的真命题是（ ） A. 23,p p B. 12,p p C. 24,p p D. 34,p p【答案】C 【解析】由题意可得：()()()2122211112i i z i i i i -+-+====-+-----+，则： ()22112z =-+=，命题1p 假命题；1i z =--，其在复平面内对应的点的坐标为()1,1--命题2p 为真命题；z 的虚部为1，命题3p 为假命题；()2221122z i i i i =-+=-+=-，命题4p 为真命题；综上可得：真命题是24,p p . 本题选择C 选项.3.下列有关命题的说法正确的是（ ） A. 若“p q ∧”为假命题，则,p q 均为假命题B. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C. 命题“若1x >，则11x<”的逆否命题为真命题 D. 命题“0x ∃∈R ，使得20010x x ++<”的否定是：“0x ∃∈R ，均有210x x ++≥”【答案】C 【解析】 【分析】对每一个命题逐一判断得解.【详解】A. 若""p q ∧为假命题，则,p q 中至少有一个假命题，所以该选项是错误的；B."1"x =-是2"560"x x --=的充分不必要条件，因为由2"560"x x --=得到“x=-1或x=6”，所以该选项是错误的；C. 命题"若1,x >则11x< "的逆否命题为真命题，因为原命题是真命题，而原命题的真假性和其逆否命题的真假是一致的，所以该选项是正确的；D. 命题0",x R ∃∈使得20010"x x ++<的否定是：",x R ∈均有210x x ++≥"，所以该选项是错误的. 故答案为C【点睛】本题主要考查复合命题的真假和充要条件的判断，考查逆否命题及其真假，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4.设30.2a =，2log 0.3b =，3log 2c =，则（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性，并结合取中间值法即可判断大小. 【详解】由于300.20.2<<，22log 0.3log 10<=，331log 2log 2>=， 则323log 0.30.2log 2<<，即c a b >>.故选D.【点睛】本题主要考查对数与对数函数和指数与指数函数，利用函数的单调性比较大小是常用手段，属基础题.5.空间中有不重合的平面α，β，γ和直线a ，b ，c ，则下列四个命题中正确的有（ ）1p ：若αβ⊥且αγ⊥，则βγ∥；2p ：若a b ⊥r r且a c ⊥，则b c ∥；3p ：若a α⊥且b α⊥，则a b P ；4p ：若a α⊥，b β⊥且αβ⊥，则a b ⊥r r.A. 1p ，2pB. 2p ，3pC. 1p ，3pD. 3p ，4p【答案】D 【解析】对于1p ，得出βγP 或β与γ相交，故1p 错误；对于2p ，得出b c ∥或,b c 相交或,b c 异面，故2p 错误；对于3p ，得出a b ∥，故3p 正确；对于4p ，得出a b ⊥r r，故4p 正确，选D.点睛：本题主要考查立体几何中的平行、垂直问题，属于基础题，对于线面、面面之间的平行或垂直关系，要掌握，才能做好这道题．6.已知等比数列{}n a 中，有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，其前n 项和为n S ，且77b a =，则13S =（ ）A. 26B. 52C. 78D. 104【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用等比性质可得2774a a =，即77b a =，再结合13713S b =，即可得到结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，∵31174a a a =，∴2774a a =≠0，解得7a ＝4，数列{}n b 是等差数列，且77b a =． ∴()1131377131313522a a Sb a ⨯+====故选B ．【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE ，SD 所成的角的余弦值为（ ）A.13B.3D.23【答案】C 【解析】 【分析】由四棱锥S ABCD -的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，可推出四棱锥S ABCD -为正四棱锥，可以建立空间坐标系用向量的方法求解. 【详解】设点O 为底面正方形ABCD 的中心，连接SO ,由四棱锥S ABCD -的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，可得AOS COS ≅△△,则SO AC ⊥, 同理可得SO BD ⊥，所以SO ⊥平面ABCD ，即四棱锥S ABCD -为正四棱锥. 以点O 为原点，BC 的中垂线为y 轴，AB 的中垂线为x 轴，SO 为z 轴建立空间坐标系,根据条件，设棱长为2，如图，则(1,1,0)A - 0()1,1,D --,2)S ,(1,1,0)B则112(,,)222E ， 所以=(1,1,2)SD --u u u r ,132(,,)222AE =-u u u r ，所以3cos ,||||23AE SD AE SD AE SD ⋅<>===⋅⨯u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 所以AE ，SD 3故选：C【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，本题还可以用定义法求解,是基础题.8.已知函数2,(),x x af x x x a ⎧≥=⎨-<⎩若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. (),0-∞B. ()0,∞+C. (),1-∞D. ()1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】分析函数f(x)解析式可知函数存在唯一零点x=0,则只需()0,a ∈-∞，从而得到a 的范围. 【详解】指数函数20xy =>，没有零点，y x =-有唯一的零点0x ＝，所以若函数()f x 存在零点，须()()f x x x a =-<有零点，即()0,a ∈-∞， 则0a >， 故选B.【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解. 9.如右图所示的图象对应的函数解析式可能是（ ）A. ()22xy x x e -= B. 2sin 41x xy x ⋅=+C. ln x y x=D. 221x y x =--【答案】A 【解析】【分析】根据图像判断函数的定义域可排除B,C 选项，对于选项D 分析函数值的正负可得出错误，对选项A 可通过求导，求出单调区间，极值，函数值的正负，可判断正确. 【详解】选项A ：()22,(2)(2)(2)2x x xy x e x x e e x y x '-=-+=-=， 令0,22,(,2)(2,),0y x x x y ''==-=∈-∞-+∞>U 或，(2,2),0x y '∈-<，函数的单调递增区间是(,2),(2,)-∞-+∞，单调递减区间是(2,2)-，函数的极大值点为2-， 极小值点为2，函数的零点为0,2，(,0)(2,),0x y ∈-∞+∞>U ，(0,2),0x y ∈<，故选项A 满足题意；选项B ：函数定义域为11(,)(,)44-∞-+∞U ，不合题意； 选项C ：函数的定义域为(0,)+∞，不合题意； 选项D ：当31,02x y =-=-<时，不合题意. 故选:A【点睛】本题考查了函数的图像和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与值域的图像特征，是综合性题目.10.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，下面结论错误的是( )A. 函数f (x )的最小正周期为23π B. 函数f (x )的图象可由g (x )＝A cos ωx 的图象向右平移12π个单位长度得到C. 函数f (x )的图象关于直线x ＝12π对称D. 函数f (x )在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】D 【解析】∵由题意可知，此函数的周期T=2（1112π﹣712π）223ππω==，∴解得：ω=3，可得：f （x ）=Acos （3x+φ）．又∵由题图可知f （712π）=Acos （3×712π+φ）=Acos （φ﹣14π）=0， ∴利用五点作图法可得：φ﹣14π=32π，解得：φ=74π，∴f （x ）=Acos （3x+74π）．∴令3x+74π=kπ，k ∈Z ，可解得函数的对称轴方程为：x=3k π﹣712π，k ∈Z ，令2kπ﹣π≤3x+74π≤2kπ，k ∈Z ，可解得：23kπ﹣1112π≤x ≤23kπ﹣712π，k ∈Z ，故函数的单调递增区间为：[23kπ﹣1112π，23kπ﹣712π]，k ∈Z ．∴对于A ，函数f （x ）的最小周期为23π，故A 正确；对于B ，因为g （x ）=Acos3x 的图象向右平移12π个单位得到y=Acos[3（x ﹣12π）]=Acos （3x ﹣4π）=Acos （3x ﹣4π）=Acos （3x+74π）=f （x ），故B 正确； 对于C ，因为函数的对称轴方程为：x=3k π﹣712π，k ∈Z ，令k=2，可得函数f （x ）的图象关于直线x=12π对称，故C 正确；对于D ，因为函数的单调递增区间为：[23kπ﹣1112π，23kπ﹣712π]，k ∈Z ，令k=2，可得函数单调递增区间为：[512π，32π]，故函数f （x ）在区间（4π，2π）上不单调递增，故D错误． 故选D ．点睛：点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数()()sin y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()πk k Z ϕ⇔=∈；函数()()sin y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()ππ+2k k Z ϕ⇔=∈； 函数()()cos y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()ππ+2k k Z ϕ⇔=∈；函数()()cos y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()πk k Z ϕ⇔=∈. 由()ππ2π2π22k x k k Z ωϕ-+≤+≤+∈求增区间;由()π3π2π2π22k x k k Z ωϕ+≤+≤+∈求减区间. 11.“牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上（图1），好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如（图2）所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（ ）A. ,a bB. ,a cC. ,c bD. ,b d【答案】A 【解析】∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）． ∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上 ∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形， 故选A ．点睛：本题很是新颖，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状．三视图是一个常考的内容，对于几何体，他描述的应该熟悉，想想出它的样子，才能够作对此题．12.已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()23xf x e x f x '=++（e是自然对数的底数），()01f =，若不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（ ）A. 21,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B. 21,0e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 21,0e ⎛⎤-⎥⎝⎦D.21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】 设()()xf x h x e =，则()()()=23xf x f x h x x e '-'=+，可得2()3h x x x c =++由条件可得1c =，从而()()23=x x x f e c x ⋅++，再求导分析出()f x 的单调性并画出()f x 的图像即可得解. 【详解】由对任意的实数x 都有()()()23xf x e x f x '=++，有()()()23xf x f x e x '-=+，即()()23xf x f x x e '-=+设()()xf x h x e =，则()()()=23xf x f x h x x e '-'=+，所以2()3h x x x c =++，其中c 为常数.即()2(=3)xx f h e x x c x =++所以()()23=x x x f e c x ⋅++，又()01f =，则1c =， 即()()21=3x x f x x e ⋅++所以2()(54)(1)(4)xxf x e x x e x x '=⋅++=⋅++， 由()0f x '>得1x >-或4x <-，()0f x '<得41x -<<-. 则()f x (,4)-∞- 上单调递增，在(4,1)--上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，且()01f =，()11f e-=-，()202f e -=-<-，()303f e -=>- 当x →-∞时，()0f x >，当x →+∞时，()f x →+∞.其图像大致如下.不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数, 即()f x k <的解集中恰有两个整数, 则(2)0f k -<≤，即20e k --<≤. 故选: C【点睛】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值及其图象性质、方程与不等式的解法、数形结合思想方法、构造方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知实数x ，y 满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩且2z x y =-的最大值为a ，则2cos d 2xa x π⎰=_____． 【答案】3π 【解析】作出可行域，目标函数可变为2y x z =-，令0z =，作出2y x =，由平移可知直线过()4,2时z 取最大值，则max 6a z ==．则()ππ2ππ00006cos 3cos 33sin |3|3π2x dx x dx x x =+=+=⎰⎰．故本题应填3π． 14.已知向量cos ,13a πα⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r ，()1,4b =r如果a b r r P ，那么cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_______． 【答案】78【解析】 【分析】由a b r r P ，得1cos 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又2cos 2cos 212sin 366πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合sin =cos 63ππαα⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求解. 【详解】由a b r r P ，向量cos ,13a πα⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r ，()1,4b =r有cos 413πα⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭，即1cos 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2cos 2cos 212sin 366πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭212sin []23ππα⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭212cos 3πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭21712()48=-⨯= 故答案为：78【点睛】本题考查两个向量的共线，诱导公式和二倍角公式的应用，属于中档题. 15.已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2AB =，2SA SB SC ===，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离是_______．【答案】3 【解析】 【分析】根据三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，SA SB SC ==，可得S 在面ABC 上的射影为的AB 的中点H ，则SH ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的外接球的球心O 在线段SH 上，OH 为O 与平面ABC 的距离，则可得出答案.【详解】由三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，SA SB SC ==， 所以S 在面ABC 上的射影为的AB 的中点H ，连接,AH SH ,如图.则SH ⊥平面ABC ，由AH BH HC ==, 则SH 上任意一点到,,A B C 的距离都相等,所以三棱锥S ABC -的外接球的球心O 在线段SH 上， 在ABS V 中2SA AB SB ===,H 为AB 的中点, 所以3=SH ,3SO OC R OH ===,在OCH △中，222HO HC OC +=, 1CH =得22(3)1OHOH =--,解得：3OH =， 所以三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离是33. 故答案为：33【点睛】本题考查三棱锥的外接球的球心到平面的距离，考查球的性质，属于中档题. 16.已知ABC ∆为等腰直角三角形，1OA =，OC 为斜边的高．（1）若P 为线段OC 的中点，则AP OP ⋅=u u u r u u u r__________．（2）若P 为线段OC 上的动点，则AP OP ⋅u u u r u u u r的取值范围为__________．【答案】 (1). 14(2). []0,1 【解析】 【分析】(1) 由条件可知2AC BC ==,1AO BO CO ===,又1()2AP AC AO =+u u ur u u u r ，代入AP OP ⋅u u u r u u u r中，利用向量的数量积的定义可求解答案.(2) 当P 为线段OC 上的动点时，设OP OC λ=u u u r u u u r,01λ≤≤,()AC CP AP OP OP ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 利用向量的数量积的运算性质和定义可求解.【详解】ABC ∆为等腰直角三角形，CO 为斜边的高,则CO 为边AB 的中线，所以2AC BC ==1AO BO CO ===.(1) 当P 为线段OC 的中点时，在ACO △中,AP 为边CO 上的中线,则1()2AP AC AO =+u u ur u u u r所以11()()22AC AO OP AC OP AO OP AP OP +⋅+⋅==⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u u r u u u r r1111||||cos 450==22224AC OP =⋅+⨯o u u u r u u u r (2)当P 为线段OC 上的动点时，设OP OC λ=u u u r u u u r,01λ≤≤. ()AC CP OP AP O AC OP CP O P P +⋅=⋅⋅=⋅+u u u r u u u r u u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=(1)()OC AC OC OC λλλ⋅--⋅u u u r u u u r u u u r u u u r1cos ,(1)OC AC λλλ=⨯<>--⋅u u u r u u u r1(1)2λλλ=⨯--⋅ 22[0,1]λλλλ=-+=∈所以AP OP ⋅u u u r u u u r的取值范围为[]0,1 故答案为：(1).14(2). []0,1 【点睛】本题考查向量的加法运算，数量积的运算，本题还可以建立坐标系利用向量的坐标运算解决本题,属于中档题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.在锐角ABC ∆中， a ， b ， c 为内角A ，B ，C 的对边，且满足()2cos 0c a cosB b A --=．（1）求角B 的大小．（2）已知2c =，边AC 边上的高7BD =，求ABC ∆的面积S 的值．【答案】（1）3π；（2【解析】试题分析：（1）由(2)cos cos 0c a B b A --=，利用正弦定理和三角函数的恒等变换， 可得1cos 2B =，即可得到角B 的值；（2）由三角形的面积公式，代入c ，解得,sin BD B 的值，及b 的值，再根据余弦定理，求得,a b 的值，由三角形的面积公式，即可求解三角形的面积. 试题解析：（1）∵()2cos 0c a cosB b A --=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos 0C A B B A --=， ∴()2sin sin sin cos C A cosB B A -=，()2sin cos sin 0C B A B -+=，∵πA B C +=-且sin 0C ≠，∴1cos 2B =， ∵()0,πB ∈，π3B =． （2）∵11sin 22S ac B BD b ==⋅，代入c，7BD =，sin 2B =，得3b a =，由余弦定理得：22222cos 42b a c ac B a a =+-=+-，代入3b a =，得29180a a -+=，解得3a b =⎧⎪⎨=⎪⎩6a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，又∵锐角三角形，∴222a c b <+，∴3a =，∴11sin 2322ABC S ac B V ==⨯⨯=18.已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，735S =，且2a ，5a ，11a 成等比数列．()1求数列{}n a 的通项公式；()2若n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，且存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立，求实数λ的取值范围．【答案】(1) 1n a n =+ (2) 1,16⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】试题分析：（1）由题意可得()()()1211176735,2410,a d a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=++⎩解得1a d ，即可求得通项公式；(2)111112n n a a n n +=-++,裂项相消求和n T = ()112222n n n -=++，因为存在*N n ∈，使得10n n T a λ--≥成立，所以存在*N n ∈，使得()()2022n n n λ-+≥+成立，即存在*N n ∈，使得()222n n λ≤+成立.求出()222n n +的最大值即可解得λ的取值范围.试题解析：（1）由题意可得()()()1211176735,2410,a d a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=++⎩即12135,2.a d d a d +=⎧⎨=⎩又因为0d ≠，所以12,1.a d =⎧⎨=⎩所以1n a n =+.（2）因为()()111111212n n a a n n n n +==-++++，所以 111111233412n T n n =-+-++-=++L ()112222n n n -=++. 因为存在*N n ∈，使得10n n T a λ--≥成立，所以存在*N n ∈，使得()()2022n n n λ-+≥+成立，即存在*N n ∈，使得()222n n λ≤+成立.又()21114416222424nn n n n n =⋅≤⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当2n =时取等号）.所以1 16λ≤，即实数λ的取值范围是1,16⎛⎤-∞⎥⎝⎦.19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA BEP，4AB PA==，2BE=．（1）求证：CE P平面PAD；（2）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求AFAB的值；如果不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，35AFAB=【解析】【分析】（1）根据已知条件便可证明平面BCE∥平面PAD，从而便得到CE∥平面PAD；（2）首先分别以AB，AD，AP三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，要使平面DEF⊥平面PCE，则有这两平面的法向量垂直，设(,0,0)F a，平面PCE的法向量为(),,m x y z=u r，根据m PCm PE⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vvu u u vv即可求出mu r，同样的办法表示出平面DEF的法向量nr，根据0m n⋅=u r r即可求出a，从而求出AFAB的值.【详解】解：（1）设PA中点为G，连结EG，DG，因为PA BEP，且4PA=，2BE=，所以BE AGP且BE AG=，所以四边形BEGA为平行四边形，所以EG AB∥，且EG AB=．因为正方形ABCD ，所以CD AB P ，CD AB =， 所以EG CD P ，且EG CD =，所以四边形CDGE 为平行四边形，所以CE DG P ．因为DG ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ，所以CE P 平面PAD ．(2)如图，建立空间坐标系，则()4,0,0B ，()4,4,0C ，()4,0,2E ，()0,0,4P ，()0,4,0D ，所以()4,4,4PC =-u u u r ，()4,0,2PE =-u u u r ，()0,4,4PD =-u u u r． 设平面PCE 的一个法向量为(),,m x y z =u r， 所以00200x y z m PC x z m PE ⎧+-=⎧⋅=⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎩u u u v v u u u v v 令1x =，则，所以()1,1,2m =u r．假设存在点(),0,0F a 满足题意，则()4,0,2FE a =-u u u r ，()4,4,2DE =-u u u r． 设平面DEF 的一个法向量为(),,n x y z =r， 则()22004200x y z n DE a x z n FE -+=⎧⎧⋅=⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎩u u u v v u u u v v ，令2x =，则224x a y z a =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，所以2,,44a n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ．因为平面DEF ⊥平面PCE ，所以0m n ⋅=u r r ，即22802aa ++-=，所以1245a =<，故存在点12,0,05F ⎛⎫⎪⎝⎭满足题意，且35AF AB =．【点睛】考查线面平行、面面平行的判定定理，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决面面垂直问题的方法是常用的方法．属于中档题.20.如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．（3）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析（245（33【解析】 【分析】（1）由条件4AP CP AC ===, O 为AC 的中点可得OP AC ⊥，同理OB AC ⊥，求出OPB △的三边长，利用勾股定理可得OP OB ⊥，从而可证.（2）由（1）可知，平面PAC ⊥平面ABC ，作CH OM ⊥，垂足为H ，所以CH ⊥平面POM ．所以CH 的长度为点C 到平面POM 的距离，然后通过解三角形解出CH 即可.（3）以O 为坐标原点，OB ,OC ,OP 的分别为x ，,y z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，平面PAC 的一个法向量m u r()2,0,0=，设(),2,0M a a -，求出平面PAM 的法向量为(),,n x y z =r ，由3cos ,2m n =u r r a 的值，从而可求出PC 与平面PAM 所成角的正弦值.【详解】证明：因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且3OP =连接OB ．因为2AB BC AC ==， 所以ABC V 为等腰直角三角形，且OB AC ⊥，122OB AC ==． 在POB V 中，2,23,4OB OP PB ===，由222OP OB PB +=知，OP OB ⊥． 由OP OB ⊥，OP AC ⊥且OB AC O =I ，知PO ⊥平面ABC ．（2）解：作CH OM ⊥，垂足为H ．又由（1）可得OP CH ⊥，所以CH ⊥平面POM ．故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知122OC AC ==，24233CM BC ==，=45ACB ∠o ． 在OCM V 中，2222cos OM OC CM OC CM MCO =+-⋅⋅∠,所以253OM =，则sin sin CM OM COM OCM =∠∠, 即sin sin OCM OCM CM OM ∠∠=⋅ 又sin CH OC OCM =⋅∠,所以sin 45OC MC ACB CH OM ⋅⋅∠==． 所以点C 到平面POM 45． （3）解：如图，以O 为坐标原点，OB ,OC ,OP 的分别为x ，,y z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，由已知得()0,0,0O ，()2,0,0B ，()0,2,0A -，()0,2,0C ，(0,0,23P ，(0,2,23=． 取平面PAC 的一个法向量m u r ()2,0,0=．在平面xoy 内直线BC 的平面直角坐标方程为：2x y +=，设(),2,0M a a -（02a ≤≤），则PM u u u u r (),4,0a a =-．(0,2,3)AP =u u u r ,设平面PAM 的法向量为(),,n x y z =r ．由00n AP n PM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v ，得()230,40y z ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩ 可取))343,n a a a =--r ， 所以()222234cos ,2343a m n a a a -=-++u r r ． 由已知可得3cos ,m n =u r r ()222234322343a a a a -=-++，解得4a =-（舍去），43a =， 所以83434333n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭r．又(0,2,23PC =-u u u r ，所以222434223|,|333cos ,||||834344()()()333PC n PC n PC n +⨯===⋅-⨯++-u u u r r u u u r r u u u r r ．所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为34．【点睛】本题考查线面垂直的证明，点面距离和根据二面角探索点的位置从而求线面角.利用向量法解决立体几何问题时，注意计算要准确，属于中档题.21.已知函数()321212f x ax x x =-++-在1x =处的切线斜率为2. （Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若()ln 20f x k x '-->在[)1,+∞上无解，求k 的取值范围.【答案】(Ⅰ) 单调递增区间为()1,2-，单调递减区间为(),1-∞-和()2,+∞ 极小值为()1316f -=-，极大值为()723f = (Ⅱ) 1k ≥- 【解析】 试题分析：(Ⅰ)结合导函数的解析式有()13122f a +'=-+=，则13a =，由()0f x '=得1x =-或2x =.结合导函数的符号研究函数的性质可得函数()f x 的单调递增区间为()1,2-，单调递减区间为(),1-∞-和()2,+∞.则函数的极小值为()1316f -=-，极大值为()723f =； (Ⅱ)构造新函数，令()()22g x f x klnx x x klnx =--=-+-'，由题意可得()0g x ≤在[)1,+∞上恒成立.其中()2221k x x k g x x x x-+-=-+-='，研究其分母部分，记()22h x x x k =-+-，由题意可得()()11max h x h k ==--.分类讨论：若1k ≥-，则()g x 单调递减∴()()100max g x g ==≤恒成立.若1k <-，则()g x 在()01,x 上单调递增.而()10g =，故与已知矛盾，舍去.综上可知，1k ≥-.试题解析：解：（Ⅰ）∵()232f x ax x '=-++，()13122f a +'=-+=， ∴13a =. ∴()32112132f x x x x =-++-，()2'2f x x x =-++. 令()0f x '=，解得1x =-或2x =.当()0f x '=变化时，()(),f x f x '的变化情况如下表：∴函数()f x 的单调递增区间为()1,2-，单调递减区间为(),1-∞-和()2,+∞. ∴函数的极小值为()1316f -=-，极大值为()723f =；（Ⅱ）令()()22g x f x klnx x x klnx =--=-+-'.∵()0g x >在[)1,+∞上无解，∴()0g x ≤在[)1,+∞上恒成立.∵()2221k x x k g x x x x -+-=-+-='，记()22h x x x k =-+-，∵()410h x x '=-+<在[)1,+∞上恒成立，∴()h x 在[)1,+∞上单调递减.∴()()11max h x h k ==--.若1k ≥-，则()10h ≤，()0h x ≤，∴()0g x '≤.∴()g x 单调递减.∴()()100max g x g ==≤恒成立.若1k <-，则()10h >，存在()01,x ∈+∞，使得()00h x =，∴当()01,x x ∈时，()0h x >，即()0g x '>.∴()g x 在()01,x 上单调递增.∵()10g =，∴()0g x >在()01,x 上成立，与已知矛盾，故舍去.综上可知，1k ≥-.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值．【答案】（1）5cos 2ρθ=；（2） 【解析】【分析】(1)先将1C 和2C 化为普通方程，可知是两个圆，由圆心的距离判断出两者相交，进而得相交直线的普通方程，再化成极坐标方程即可；(2)先求出l 的普通方程有4x y +=，点(0,4)M ，写出直线l的参数方程4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入曲线1C ：22(5)10x y -+=，设交点,A B 两点的参数为1t ，2t ，根据韦达定理可得12t t +和12t t ，进而求得MA MB +的值．【详解】(1) 曲线1C 的普通方程为：22(5)10x y -+=曲线2C 的普通方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=由两圆心的距离32)d =∈，所以两圆相交，所以两方程相减可得交线为6215x -+=，即52x =. 所以直线的极坐标方程为5cos 2ρθ=. (2) 直线l 的直角坐标方程：4x y +=，则与y 轴的交点为(0,4)M直线l的参数方程为4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，带入曲线1C 22(5)10x y -+=得2310t ++=.设,A B 两点的参数为1t ，2t所以12t t +=-1231t t =，所以1t ，2t 同号.所以1212MA MB t t t t +=+=+=【点睛】本题考查了极坐标，参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度，是常见考题．。