山西省百校联盟2015届高三教学质量监测数学(文)试题 扫描版含答案
山西省2015届高三第三次四校联考数学(文)试卷及答案
的距离．
（19 题图）
20. (本小题满分 12 分 )
交圆于 A 、 B 两点 , 连接 PA 并延长 , 交圆 O 于点 C , 连接 PB 交圆 O 于点 D , 若 MC BC .
(1) 求证 : △ APM ∽△ ABP ;
(2) 求证 : 四边形 PMCD 是平行四边形 .
23． (本小题满分 10 分）选修 4— 4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为：
B. 2
1
C.
2
D. 9 16
D. 1
9.已知函数 f ( x)
3x ,
( x 1),
log 1 x, ( x 1),，则函数 y
3
f (1 x) 的
大致图象是
y
y
y
y
O
x
O
x
Ox
Ox
A
B
C
D
10.在半径为 10cm的球面上有 A, B ,C 三点，如果 AB 8 3 ， ACB 60 0 ，则球心 O 到平面 ABC
化简得 cos( A B )
2
,
2
……………………… 4 分
∵0 A B
∴ AB 3 4
又A B C
∴ C＝ 4
（２）由已知及正弦定理得 b 4
又 SΔABC =8 ， C=
4
∴
1 2
ab
山西省大同市2015届高三数学学情调研测试试题 文(含解析)新人教A版
山西省大同市2015 届高三（上）调研数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R，函数f（x）=ln的定义域为M，则∁R M为（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D． [﹣1，1]分析：求出f（x）的定义域确定出M，根据全集R，求出M的补集即可．解答：解：由f（x）=ln，得到＞0，即（x+1）（x﹣1）＜0，解得：﹣1＜x＜1，即M=（﹣1，1），∵全集为R，∴∁R M=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．故选：C．点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），z的共轭复数为=（）A．B．2 C．D．1分析：给出z=﹣1﹣i，则，代入整理后直接求模．解答：解：由z=﹣1﹣i，则，所以=．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，考查了学生的运算能力，此题是基础题．3．抛物线y=x2的准线方程是（）A． y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2分析：先化为抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程．解答：解：抛物线y=x2的标准方程为x2=4y，焦点在y轴上，2p=4，∴=1，∴准线方程 y=﹣=﹣1．故选：A．点评：本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．4．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=（）A． 2 B．C．D．3解答：解：设公比为q，则===1+q3=3，所以q3=2，所以===．故选B．点评：本题考查等比数列前n项和公式．5．执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A． [﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5]考点：程序框图．专题：图表型．分析：本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．解答：解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选A．点评：要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析是条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式．6．从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；转化思想．分析：用间接法，首先分析从5个球中任取3个球的情况数目，再求出所取的3个球中没有白球即全部红球的情况数目，计算可得没有白球的概率，而“没有白球”与“3个球中至少有1个白球”为对立事件，由对立事件的概率公式，计算可得答案．解答：解：根据题意，首先分析从5个球中任取3个球，共C53=10种取法，所取的3个球中没有白球即全部红球的情况有C33=1种，则没有白球的概率为；则所取的3个球中至少有1个白球的概率是；故选D．点评：本题考查古典概型的计算，注意至多、至少一类的问题，可以选用间接法，即借助对立事件的概率的性质，先求其对立事件的概率，进而求出其本身的概率．7．4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣1考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用；二倍角的正弦．专题：压轴题；三角函数的求值．分析：原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．解答：解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故选C点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．8．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B．C．D．5πa2考点：球内接多面体．专题：计算题．分析：由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．解答：解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选B．点评：本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的图象的顶点坐标求出A，由特殊点的坐标求出ω，由五点法作图求出ω的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=﹣2，2sinφ=，∴sinφ=，结合|φ|＜，可得φ=．再根据五点法作图可得ω×+=π，求得ω=2，故f（x）=2sin（2x+）．故把f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin[2（x+）+]=2sin （2x+）=2cos2x的图象，故选：C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． 180 B．240 C．276 D．300考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知几何体复原后，上部是四棱锥，下部是正方体，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可．解答：解：由题意可知几何体复原后，上部是四棱锥，下部是正方体，四棱锥的底面是边长为6的正方形，侧面斜高为5；下部是棱长为6的正方体，所以几何体的表面积为：5个正方形的面积加上棱锥的侧面积，即：5×6×6+4××4=240．故选B．点评：本题考查几何体与三视图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力．11．已知双曲线﹣y2=1的左右焦点为F1、F2，点P为左支上一点，且满足∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为（）A．B．C．D．D、2考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得 F2（0，），F1 （0，﹣），由余弦定理可得 PF1•PF2=4，由S=PF1•PF2sin60°，即可求得△F1PF2的面积．解答：解：由题意可得 F2（，0），F1 （﹣，0），由余弦定理可得20=PF12+PF22﹣2PF1•PF2cos60°=（PF1﹣PF2）2+PF1•PF2=16+PF1•PF2，∴PF1•PF2=4．S△F1PF2=PF1•PF2sin60°=×4×=．故答案为：A．点评：本题主要考察了双曲线的简单性质，属于基础题．12．如图，偶函数f（x）的图象如字母M，奇函数g（x）的图象如字母N，若方程f（f（x））=0，f（g（x）=0的实根个数分别为m、n，则m+n=（）A．18 B．16 C．14 D．12考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：结合函数图象把方程根的个数转化为函数图象的交点个数，可分别求得m，n进而可得答案．解答：解：由图象知，f（x）=0有3个根，0，±，g（x）=0有3个根，0，±（假设与x轴交点横坐标为±），由f（g（x））=0，得g（x）=0或±，由图象可知g（x）所对每一个值都能有3个根，因而m=9；由g（f（x））=0，知f（x）=0 或±，由图象可可以看出0时对应有3个根，而时有4个，而﹣时只有2个，加在一起也是9个，即n=9，∴m+n=9+9=18，故选：A．点评：本题考查了函数的奇偶性、方程的根，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上）13．设非零向量、、满足||=||=||，+=，则= ．数量积表示两个向量的夹角．考点：专计算题．题：分由非零向量、、满足||=||=||，+=，知（+）2=2，所以析：，由此能求出的大小．解解：∵非零向量、、满足||=||=||，答：+=，∴（+）2=2，即，∴，∴，∴=．故答案为：．点评：本题考查数量积表示两个向量的夹角的计算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量的性质的灵活运用．14．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为 3 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．解答：解：不等式组表示的平面区域如图所示，由得A（3，3），当直线z=2x﹣y过点A（3，3）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值3．故答案为：3．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15．设函数f（x）=ax3+bx2+cx，若1和﹣1是函数f（x）的两个零点，x1和x2是f（x）的两个极值点，则x1•x2= ．考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；导数的综合应用．分由1和﹣1是函数f（x）的两个零点可得f（x）=ax3+bx2+cx=a（x﹣1）x（x+1），求析：导利用根与系数的关系即可．解答：解：∵1和﹣1是函数f（x）的两个零点，∴f（x）=ax3+bx2+cx=a（x﹣1）x（x+1），∴x1和x2是f′（x）=a（3x2﹣1）=0的两个根，则x1•x2=．故答案为：．点评：本题考查了导数在求极值时的应用，属于中档题．16．设等差数列{a n}的前n项和为S n，等差数列{b n}的前n项和为T n，若=，则+= ．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：+====，代入计算，即可得出结论．解答：解：+======，故答案为：．点评：本题考查等差数列的前n项和，考查等差数列的性质，比较基础．三、解答题：本大题共5个小题，每小题12分，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或步骤．17．（12分）在△ABC中，∠A、B、C所对的边分别是a、b、c，且满足a2﹣2bccosA=（b+c）2（1）求∠A的大小；（2）若a=3，求△ABC周长的取值范围．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，代入已知等式化简得到关系式，代入表示出的cosA 中求出值，即可确定出A的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将a，cosA的值代入，利用完全平方公式变形，再利用基本不等式求出b+c的最大值，即可确定出周长的范围．解答：解：（1）由余弦定理得：cosA=，即b2+c2﹣a2=2bccosA，代入已知等式得：a2﹣b2﹣c2+a2=b2+2bc+c2，即b2+c2﹣a2=﹣bc，∴cosA==﹣，则∠A=120°；（2）∵a=3，cosA=﹣，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即9=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc≥（b+c）2﹣=，再由b+c＞a=3得到：3＜b+c≤2，则△ABC周长a+b+c的范围为6＜a+b+c≤2+3．点评：此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．（12分）（2014•深圳一模）某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2013年11月11日的网购金额，所得数据如下表：网购金额（单位：千元）人数频率（0，1] 16 0.08（1，2] 24 0.12（2，3] x p（3，4] y q（4，5] 16 0.08（5，6] 14 0.07合计200 1.00已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3：2（1）试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图）．（2）该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这200网友中，用分层抽样的方法从网购金额在（1，2]和（4，5]的两个群体中确定5人中进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）由网友和为200，网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3：2列方程组求解x，y的值，则p，q可求，进一步补全频率分布直方图；（2）分别求出从网购金额在（1，2]和（4，5]的两个群体中的人数并标记，然后用枚举法列出从5人中随机选取2人的所有不同方法数，查出2人来自不同群体的方法数，最后由古典概型概率计算公式求解．解答：解：（1）根据题意有：，解得．∴P=0.4，q=0.25．补全频率分布直方图如图，（2）根据题意，网购金额在（1，2]内的人数为（人），记为：a，b，c．网购金额在（4，5]内的人数为（人），记为：A，B．则从这5人中随机选取2人的选法为：（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B）共10种．记2人来自不同群体的事件为M，则M中含有（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B）共6种．∴P（M）=．点评：本题主要考查频率分布直方图，分层抽样，古典概型等基础知识，考查学生数据处理和数据分析、运算求解能力和应用知识、或然与必然思想方法的理解程度．是中档题．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，19．AB⊥B1C．（I）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（II）若AB=2，求三棱柱ABC﹣A1B1C1体积．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）证AB垂直于平面内的两条相交直线，再由线面垂直⇒面面垂直；（II）先求得三棱锥B1﹣ABC的体积，再利用棱柱是由三个体积相等的三棱锥组合而成来求解．解答：解：（Ⅰ）证明：由侧面AA1B1B为正方形，知AB⊥BB1．又∵AB⊥B1C，BB1∩B1C=B1，∴AB⊥平面BB1C1C，又∵AB⊂平面AA1B1B，∴平面AA1B1B⊥BB1C1C．（Ⅱ）由题意，CB=CB1，设O是BB1的中点，连接CO，则CO⊥BB1．由（Ⅰ）知，CO⊥平面AB1B1A，且CO=BC=AB=．连接AB1，则=•CO=×AB2•CO=．∵====，∴V三棱柱=2．点评：本题考查面面垂直的判定及空间几何体的体积．20．（12分）在平面直角坐标系xoy中，已知点B（1，0）圆A：（x+1）2+y2=16，动点P在圆A上，线段BP的垂直平分线AP相交点Q，设动点Q的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点D（1，0）点且斜率为1的直线与曲线C交于A、B两点，求弦长AB．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知|QP|=|QB|，Q在线段PA上，利用椭圆的定义，可求曲线C的方程；（Ⅱ）求出AB的方程，联立直线与椭圆方程，设出A，B坐标，通过韦达定理以及弦长公式即可求解|AB|的距离．解答：解：（Ⅰ）由已知|QP|=|QB|，Q在线段PA上，所以|AQ|=|QP|=4，|AQ|+|QB|=4 所以点C的轨迹是椭圆，2a=4，a=2，2c=2，c=1，∴b2=3，所以C点的轨迹方程为．（Ⅱ），AB的直线方程为：y=x﹣1．，整理得：7x2﹣8x﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=，x1•x2=﹣，|AB|==．点评：本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的关系，弦长公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．21．（12分）已知函数在x=1处取到极值2．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数．若对任意的x1∈R，总存在x2∈[1，e]，使得，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）利用函数的求导公式计算函数的导数，根据函数在x=1处取到极值得出函数在x=1处的导数为0，再把x=2代入函数，联立两式求出m，n的值即可．已知函数在x=1处取到极值2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x）．故f（x）为奇函数．f（0）=0，x＞0时，f（x）＞0，f（x）=≤2．当且仅当x=1时取“=”．故f（x）的值域为[﹣2，2]．从而．依题意有（7分）解答：解：（Ⅰ）（2分）根据题意，f（x）=，f′（x）=﹣；由f（x）在x=1处取到极值2，故f′（1）=0，f（1）=2即，解得m=4，n=1，经检验，此时f（x）在x=1处取得极值．故（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x）．故f（x）为奇函数．f（0）=0，x＞0时，f（x）＞0，f（x）=≤2．当且仅当x=1时取“=”．故f（x）的值域为[﹣2，2]．从而．依题意有（7分）函数的定义域为（0，+∞），（8分）①当a≤1时，g′（x）＞0函数g（x）在[1，e]上单调递增，其最小值为合题意；②当1＜a＜e时，函数g（x）在[1，a）上有g′（x）＜0，单调递减，在（a，e]上有g′（x）＞0，单调递增，所以函数g（x）最小值为f（a）=lna+1，由，得．从而知符合题意．③当a≥e时，显然函数g（x）在[1，e]上单调递减，其最小值为，不合题意（11分）综上所述，a的取值范围为（12分）点评：该题考查函数的求导，以及函数极值的应用，考查一个函数小于零一个函数时，小于它的最小值．要会利用函数的导数判断函数的单调性．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-1：几何证明选讲．22．（10分）（2011•西山区模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，DE⊥AC交AC延长线于点E，OE交AD于点F．（Ⅰ）求证：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若，求的值．考点：圆的切线的判定定理的证明；相似三角形的判定；相似三角形的性质．专题：证明题．分析：（Ⅰ）根据OA=OD，得到∠ODA=∠OAD，结合AD是∠BAC的平分线，得到∠OAD=∠DAC=∠ODA，可得OD∥AE．再根据DE⊥AE，得到DE⊥OD，结合圆的切线的判定定理，得到DE是⊙O的切线．（II）连接BC、DB，过D作DH⊥AB于H，因为AB是⊙O的直径，所以在Rt△ACB中，求出，再利用OD∥AE，所以∠DOH=∠CAB，得到Rt△HOD中，=．设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，用勾股定理，在Rt△HOD中算出DH=4x，再在Rt△HAD中，算出AD2=80x2．最后利用△ADE∽△ADB，得到AD2=AE•AB=AE•10x，从而AE=8x，再结合△AEF∽△ODF，得出．解答：证明：（Ⅰ）连接OD，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD∵∠BAC的平分线是AD∴∠OAD=∠DAC∴∠DAC=∠ODA，可得OD∥AE…（3分）又∵DE⊥AE，∴DE⊥OD∵OD是⊙O的半径∴DE是⊙O的切线．…（Ⅱ）连接BC、DB，过D作DH⊥AB于H，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，Rt△ABC中，∵OD∥AE，∴∠DOH=∠CAB，∴．∵Rt△HOD中，，∴，设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，∴Rt△HOD中，DH==4x，AH=AO+OH=8x，Rt△HAD中，AD2=AH2+DH2=80x2…（8分）∵∠BAD=∠DAE，∠AED=∠ADB=90°∴△ADE∽△ADB，可得，∴AD2=AE•AB=AE•10x，而AD2=80x2∴AE=8x又∵OD∥AE，∴△AEF∽△ODF，可得…（10分）点评：本题以角平分线和圆中的垂直线段为载体，通过证明圆的切线和求线段的比，考查了相似三角形的性质、相似三角形的判定、圆的切线的判定定理等知识点，属于中档题．五、选修4-4：坐标系与参数方程．23．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．考点：参数方程化成普通方程．专题：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．分析：（1）将曲线C化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长．（2）运用圆的参数方程，设出M，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值．解答：解：（1）直线I的参数方程为（t为参数），消去t，可得，3x+4y+1=0；由于ρ=cos（θ+）=（），即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，则有x2+y2﹣x+y=0，其圆心为（，﹣），半径为r=，圆心到直线的距离d==，故弦长为2=2=；（2）可设圆的参数方程为：（θ为参数），则设M（，），则x+y==sin（），由于θ∈R，则x+y的最大值为1．点评：本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题．六、选修4-5：不等式选讲．24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≤3的解集；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，f（x）≤3恒成立，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=1时，由f（x）≤3，可得①，或②，或③．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）当x∈[1，2]时，f（x）≤3恒成立，即|x﹣2a|≤3﹣|2x﹣1|=4﹣2x，化简得3x﹣4≤2a≤4﹣x．再根据3x﹣4的最大值为2，4﹣x 的最小值2，可得2a=2，从而得到a的范围．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，由f（x）≤3，可得|2x﹣1|+|x﹣2|≤3，∴①，或②，或③．解①求得0≤x＜；解②求得≤x＜2；解③求得x=2．综上可得，0≤x≤2，即不等式的解集为[0，2]．（Ⅱ）∵当x∈[1，2]时，f（x）≤3恒成立，即|x﹣2a|≤3﹣|2x﹣1|=4﹣2x，故2x﹣4≤2a﹣x≤4﹣2x，即 3x﹣4≤2a≤4﹣x．再根据 3x﹣4的最大值为6﹣4=2，4﹣x 的最小值为4﹣2=2，∴2a=2，∴a=1，即a的范围为{1}．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。
山西省2015届高三第二次诊断考试数学(文)试卷(WORD版)
山西省2014—2015年度高三第二次诊断考试数学试卷（文科）考生注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟；2、本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数、平面向量、三角函数与解三角形、数列。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1、已知集合}06|{2>+-∈=x x Z x M ，}05|{2<-=x x N ，则=⋂N M （ ）A 、｛1，2，3｝B 、｛1，2｝C 、｛2，3｝D 、｛3，4｝2、)32014cos(π的值为（ ） A 、21-B 、23C 、21D 、23- 3、已知等差数列}{n a 中，17,594==a a ，则=14a （ ）A 、11B 、22C 、29D 、124、已知定义在R 上的奇函数)(x f ，当0>x 时，)12(log )(2+=x x f ，则)21(-f =（ ）A 、3log 2B 、5log 2C 、1D 、1-5、已知α为第三象限角，且m 2cos sin =+αα，22sin m =α，则m 的值为（ ）A 、33B 、33-C 、31- D 、32- 6、已知“)0(0><<m m t ”是“函数t tx x x f 3)(2+--=在区间（0，2）上只有一个零点”的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ ）A 、（0，2）B 、（0，2]C 、（0，4）D 、（0，4]7、已知非零向量b a 、满足1||=b ，且b 与a b -的夹角为30°，则||a 的取值范围为（ ）A 、（0,21） B 、)1,21[ C 、),1[+∞ D 、),21[+∞ 8、设3log ,8log ,1===c b a ，则c b a 、、之间的大小关系中（ ）A 、b a c >>B 、b c a >>C 、b a c >>D 、a b c >>9、设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若623,622015201420142013+=+=S a S a ，则数列}{n a 的公比q 等于（ ）A 、21B 、21-或1 C 、21或1 D 、2 10、给出下列命题，其中错误的是（ ）A 、在ABC ∆中，若B A >，则B A sin sin >；B 、在锐角ABC ∆中，B A sin sin >；C 、把函数x y 2sin =的图像沿x 轴向左平移4π个单位，可以得到函数x y 2cos =的图像； D 、函数)0(cos 3sin ≠+=ωωωx x y 最小正周期为π的充要条件是2=ω。
山西省2015届高考模拟试题_2015届山西省高三第二次四校联考数学(文)卷
2015届高三年级第二次四校联考数学试题（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集U R =，集合{}2|2A x x =>，则U C A 是A．( B．(),-∞⋃+∞C. ⎡⎣D．(),-∞⋃+∞2. 复数()22i iZ --=（i 为虚数单位），Z 在复平面内所对应的点在 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 从1、2、3、4这四个数中一次随机取两个,则取出的这两数字之和为偶数的概率是 A ．16B ．13 C. 12 D ．154. 已知212sin =⎪⎭⎫⎝⎛+απ，02<<-απ，则cos()3πα-的值是A.21B.23C.21-D.15. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是 A ．6B ．5 C. 4D ．36. 已知直线b x y +=与曲线()0122>=+x y x 有交点，则A . 11<<-b B. 21<<-bC. 22≤≤-b D. 12<≤-b11111俯视图侧（左）视图正视图7. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若80S >且90S <,则当n S 最大时n 的值是A ．8B ．4C. 5D ．38. 设变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤--≥-+0302063y y x y x ，且目标函数z y ax =+的最小值为-7，则a的值为 A.-2B.-4C.-1D.19. 如图是一几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A.35+B. 325+C. 4+D. 4+10. 设()23ln ,3,2234.1===c b a ,则a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．b c a >>C. c a b >>D ．b a c >>11. 函数3cos391x x xy =-的图像大致为12. 函数121()4cos 2(35)32x y x x π-=+--≤≤，则此函数的所有零点之和等于（ ）A.4B.8C.6D.10二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 已知||=2a ，(cos ,sin ),()3b a a b αα=⋅+=，则向量a 与b 的夹角为 .14. 已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，且对于任意x R ∈，恒有()()11f x f x -=+成立，当[1,0]x ∈-时，()21xf x =-，则=)2013(f . 15. 已知正四棱锥ABCD S -的所有棱长均为2，则过该棱锥的顶点S 及底面正方形各边中点的球的体积为 .16. 已知双曲线2221(0)9x y b b-=>，过其右焦点F 作圆922=+y x 的两条切线，切点记作,C D ，双曲线的右顶点为E ，150CED ∠=，则双曲线的离心率为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2015年高考文科数学全国卷1(含详细答案)
数学试卷 第1页（共30页）数学试卷 第2页（共30页）数学试卷 第3页（共30页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学（文科）使用地区：河南、山西、河北、江西本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|}32,A x x n n ==+∈N ,{6,8,10,12,14}B =,则集合A B 中元素的个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．22．已知点0,1A （），3,2B （），向量AC =43--（，），则向量BC =（ ）A （-7，-4）B ．（7，4）C ．（-1，4）D ．（1，4） 3．已知复数z 满足（z -1）i=1+i ，则z=（ ）A ．-2-iB ．-2+iC ．2-iD ．2+i4．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）A．310B ．15C ．110D ．1205．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线28C y x =：的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．126． 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛7．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为n {}a 的前n 项和.若844S S =，则10a = （ ）A ．172B ．192C ．10D ．128．函数=cos(+)x f x ωϕ（）的部分图象如图所示，则f x （）的单调递减区间为 （ ）A ．13π,π+44k k k -∈Z （）,B ．132π,2π+44k k k -∈Z （）, C ．13,+44k k k -∈Z （）,D ．132,2+44k k k -∈Z （）,9．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n = （ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．已知函数1222, 1,()log (1), 1,x x f x x x -⎧-=⎨-+⎩≤＞且()3f a =-，则(6)f a -= （ ）A ．74-B ．54-C ．34-D ．14-11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16π20＋，则r = （ ）A ．1B ．2C ．4D ．812．设函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =-对称，且(2)(4)f f -+-1=，则a =（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．4--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共30页）数学试卷 第5页（共30页）数学试卷 第6页（共30页）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．在数列{}n a 中12a =，12n n a a +=，n S 为{}n a 的前n 项和.若126n S =，则n =_____.14．已知函数31f x ax x =++（）的图象在点1,1f (())处的切线过点(2,7)，则a =_____. 15．若x ，y 满足约束条件20,210,220,x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≤≤≥则z 3x y =+的最大值为_____.16．已知F 是双曲线2218yC x -=：的右焦点，P 是C 的左支上一点，0,66A （）.当APF △周长最小时，该三角形的面积为_____.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别是ABC △内角A ，B ，C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （Ⅰ）若a b =，求cos B ；（Ⅱ）若B =90°，且2a =，求ABC △的面积. 18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面. （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（Ⅱ）若ABC ∠=120°，AE EC ⊥，三棱锥E ACD -的体积为63，求该三棱锥的侧面积.19．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyω28i=1()ixx -∑28i=1()iωω∑-8i=1()()iiy x x y-∑-8i=1()()ii y y ωω--∑46.65636.8289.8 1.6 1 469108.8表中i ω=i x ，ω=188ii=1ω∑（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =＋与y c d x =＋哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x ，y 的关系为z=0.2y －x .根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11()u v ,，22(,)u v ，…，(,)n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()(),()nii i nii uu v v v u uu βαβ==--==--∑∑.20．（本小题满分12分）已知过点(0,1)A 且斜率为k 的直线l 与圆22 ()2(3)1C x y -+-=：交于M ，N 两点. （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求||MN . 21．（本小题满分12分）设函数()2ln x f x e a x =-.（Ⅰ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （Ⅱ）证明：当0a >时，()22ln f x a a a+≥.请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E . （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；（Ⅱ）若OA =3CE ，求∠ACB 的大小.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数12f x =|||x |x a --+（），0a >. （Ⅰ）当=1a 时，求不等式1f x >（）的解集； （Ⅱ）若f x （）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.3 / 102015年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷{8,14A B =【答案】A 【解析】(3,1)AB OB OA =-=(7,BC AC AB ∴=-=-，故选A.【考点】向量运算 【答案】C【解析】(1)i 1i z -∴=+，22i (12i)(i)2i i z +-==--∴=【解析】抛物线，1e 2c a ==的方程解得(2,3)A -数学试卷 第10页（共试卷 第11页（共30页）数学试卷 第12页（共30页）【解析】()f a =-5 / 10第Ⅱ卷【解析】12a =，64，6n ∴=【考点】等比数列定义与前【答案】1【解析】()3f x '=又(1)f a =切线过(2,7)，∴【考点】利用导数的几何意义求函数的切线，常见函数的导数【答案】4平移直线l ，当直线数学试卷 第16页（共30页） 数学试卷 第17页（共30页）数学试卷 第18页（共30页）(0,66)A ∴直线AF 66y =或22APF S ∴=△22ac .，由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac； 22ac .因为90B ，由勾股定理得222a c b ，故222a c ac ，得2c a ，所以先由正弦定理将22sin B A =化为变得关系，结合条件a b =，用其中一边把另外两边B 22ac ，根据勾股定理即可求出7 / 10ACBD ，因为BE平面ABCD AC BE ，故AC 平面BED AEC平面BED （Ⅱ）设AB x ，在菱形中，由120ABC ，可得32AG GC x ，2x GB GD . 因为AE EC ⊥，所以在可得32EG x ，由BE 平面ABCD EBG △为直角三角形，22BEx ，由已知得，E ACD 的体积3116632243E ACD V AC GD BE x，故2x ，从而AE EC ==EAC 的面积为3，EAD △的面积与ECD △的面积均为5. 故三棱锥EACD 的侧面积为5.（Ⅰ）由四边形AC BD ，由BE平面ABCD 知ACBE ，由线面垂直判定定AC平面BED ，由面面垂直判定定理知AEC 平面BED ；AB x ，通过解直角三角形将，GC ，GB ，GD 用x 表示出来，AEC △中，根据条件三菱锥EACD 的体积为x ，即可求出三菱锥E ACD 的侧面积. 【考点】线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定，三棱锥的体积与表面积的计算（Ⅰ）由散点图可判断，关于年宣传费用c y dw ∴=-（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当576.60.2z =⨯（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润的预报值0.2(100.6z =13.62x =时，z 取得最大值，故宣传费用为【提示】（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；关于w 的线性回归方程，即可的回归方程先求出年销售量数学试卷 第22页（共30页） 数学试卷 第23页（共30页）数学试卷 第24页（共30页）1ykx ，因为l 231|11k k，474733k，所以k 的取值范围是4747,33.（Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将1ykx 代入方程22(2)(3)1x y ，22(1)4(1)70k xk x ，所以1224(1)1k x x k ，12271x x k . 21212121224(1)y (1)()181k k OM ONx x y k x x k x x k ，由题设可得24(1)8=121k k k ，解得所以l 的方程为1y kx ，故圆心在直线l 上，所以||2MN =.【提示】（Ⅰ）设出直线l 的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于的不等式，即可求出值范围；（Ⅱ）设()M x (,)N x y 方程代入圆的方程化为关于x 的一元二次方程，利用韦达定理将表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及12OM ON =列出关于(0,)，2()=2(0)xaf x e x x. 0a 时，()0f x ，()f x 没有零点，当0a 时，因为2e x 单调递增，ax单调递增，()f x 在(0,)单调递增，又()0f a ，当b 满足04a b 且14b 时，(b)0f ，故当0a 时，()f x 存在唯一零点；（Ⅱ）由（Ⅰ），可设()f x 在(0,)的唯一零点为0x ，当0(0,)x x 时，()0f x ，当0(,)x x 时，()0f x ，)单调递减，在0(,)x 单调递增，所以当0xx 时，()f x 取得最小值，最小值为(f 0=0a x ，所以0022()=2ln2ln2a f x ax a a a x aa ，故当0a 时，2()2ln f x a a a. 【提示】（Ⅰ）先求出导函数，分0a 与0a 考虑()f x 的单调性及性质，即可判断出零点个数；（Ⅱ）由（Ⅰ）可设()f x 在(0,)的唯一零点为0x ，根据()f x 的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于22lna a a，即证明了所证不等式，90ACB∠+，90∴∠，90，DE∴1=，12BE=-，由射影定理可得，CE BE，2x，解得60.90，即90∠，所以，设AE=，由勾股定理得CE BE，列出关于的方程，解出x，即可求出ACB∠【考点】圆的切线判定与性质，圆周角定理，直角三角形射影定理cosxρθ=40+=；（Ⅱ）将2=，|MN1452=.（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得π代入9/ 10数学试卷第28页（共30页）数学试卷第29页（共30页）数学试卷第30页（共30页）。
2015年山西省高考文科数学试题与答案(word版)
2015年山西省高考文科数学试题与答案（word 版）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分。
考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。
若在试卷上作答，答题无效。
本试题相应的位置。
3. 考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}N n n x x A ∈-==,23|，集合{}14,12,10,8,6=B ,则集合B A ⋂中元素的个数为（A ）5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (2) 已知点A （0,1），B （3,2），向量()34--=，AC ，则向量=BC(A) (-7，-4) (B) (7,4) (C) (-1,4) (D) (1,4) （3）已知复数z 满足()i i z +=-11，则z=(A)i --2 (B) i +-2 (C) i -2 (D) i +2(4) 如果三个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这三个数为一组勾股数。
从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这三个数构成勾股数的概率为(A)103 (B) 51 (C) 101 (D) 201（5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为21，E 的右焦点与抛物线C:x y 82=的焦点重合，A,B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|=(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
山西省2015届高三年级第二次四校联考 文科数学试题
山西省2015届高三年级第二次四校联考文科数学试题【满分150分，考试时间为120分钟】一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1. 已知集合}{1log 4<=x x A ，集合{}82<=xx B ，则AB 等于A ．()4,∞-B ．()4,0C ． ()3,0D ．()3,∞-2. 已知复数iiz -=1(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点在 A ． 第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 已知数列{}n a 满足12=a ,031=++n n a a )(*∈N n ，则数列{}n a 的前10项和10S 为A ．)13(4910- B ．)13(4910+ C ．)13(4910+- D ．)13(4910-- 4. 已知函数x x x f 2)(2+=，若)2(2)()(f a f a f ≤+-，则实数a 的取值范围是A ．[]2,2-B ．(]2,2-C ．[]2,4-D ．[]4,4-5．已知命题p ：()0,∞-∃x ，xx 32<，命题q ：()1.0∈∀x ，0log 2<x 则下列命题为真命题的是A. q p ∧B ．)(q p ⌝∨C ．q p ∧⌝)(D ．)(q p ⌝∧ 6．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A. 144 B ．36C ．49D ．1697．已知向量,1=2=，3-=∙，则与的夹角为 A ．32π B ．3πC ．6πD ． 65π8. 已知圆:C 0218622=++++y x y x ,抛物线x y 82=的准线为l ,设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为d ,则PC d +的最小值为A ．41B ．7C ．6D ．99．已知函数x x f x +=3)(，x x x g 3log )(+=，33log )(x x x h -=的零点分别为1x ，2x ，3x ，则1x ，2x ，3x 的大小关系是A ．1x >2x >3xB ．2x >1x >3xC ．1x >3x >2xD ．3x >2x >1x10. 已知α是第二象限角,54)3sin(=-απ,函数)2cos(cos cos sin )(x x x f -+=παα 的图像关于直线0x x =对称,则=0tan xA ．53-B. 34- C. 43- D. 54-11.A．510+ B. 210+ C.6226++ D. 626++12. 已知函数⎩⎨⎧>≤-=-0,lg 0,22)(x x x x f x ，则方程)0()2(2>=+a a x x f 的根的个数不可能为A ．3B ．4C ．5D ．6 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13. 已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，则此双曲线的离心率为_______. 14. 点),(y x M 满足不等式12≤+y x ，，则y x +的最大值为________. 15. 已知三棱锥ABC D -中，1==BC AB ，2=AD ，5=BD ，2=AC ，AD BC ⊥，则三棱锥ABC D -的外接球的表面积为________.16. 已知定义在R 上的函数)(x f y =满足：①对于任意的R x ∈，都有)(1)1(x f x f =+；②函数)1(+=x f y 是偶函数；③当(]1,0∈x 时，xxe x f =)(，则)23(-f ，)421(f ，)322(f 从小到大．．．．的排列是______. 三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17. (本小题满分12分)（第11题）正视图侧视图俯视图在公差不为0的等差数列{}n a 中，已知11=a ，且2a ，5a ，14a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n n a b ⋅=2，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18. (本小题满分12分)如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形， ⊥PA 平面ABCD ，E 为PD 的中点. （1）证明://PB 平面AEC ;（2）设1==AB AP ,3=AD ,求点P 到平面AEC 的距离. 19. (本小题满分12分)已知向量()x x m sin 3,sin =，()x x n cos ,sin -=，设函数()n m x f ∙=. （1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，边c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，角A 为锐角，若()162sin =⎪⎭⎫⎝⎛-+πA A f ，7=+c b ，ABC ∆的面积为32，求边a 的长. 20. (本小题满分12分)已知动圆C 过定点A )0,3(-，且与圆B :64)3(22=+-y x 相切，点C 的轨迹为曲线T ，设Q 为曲线T 上(不在x 轴上)的动点，过点A 作OQ （O 为坐标原点）的平行线交曲线T 与N M ,两点. （1）求曲线T 的方程；（2）是否存在常数λ，使2AM λ=∙总成立？若存在，求λ；若不存在，说明理由. 21. (本小题满分12分)设函数x xppx x f ln 2)(--=（R p ∈）. （1）若函数)(x f 在其定义域内为单调递增函数，求实数p 的取值范围； （2）设xex g 2)(=，且0>p ，若在[]e ,1上至少存在一点0x ，使得>)(0x f )(0x g 成立，求实数p 的取值范围.请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，CF ABC ∆是边AB 上的高，,.FP BC FQ AC ⊥⊥ PABC DE（1）证明：A 、B 、P 、Q 四点共圆； （2）若14==AQ CQ ，，354=PF ，求CB 的长.23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是t t y t x (sin cos 1⎩⎨⎧=+=αα是参数).（1）写出曲线C 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且14=AB ，求直线l 的倾斜角α的值．24．(本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲已知函数122)(--+=x x x f （1）解不等式2)(-≥x f ；（2）对任意[)+∞∈,a x ，都有)(x f a x -≤成立，求实数a 的取值范围.2015四校二联文科数学试题答案一选择题 1-6 CBDACB 7-12DADCCA 二填空题 13. 35或4514. 1 15. 6π 16. )23(-f <)322(f <)421(f 三解答题17.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题知，14225a a a ⋅=， (1)分11=a )131)(1()41(2d d d ++=+∴， (2)分即022=-d d ，又0≠d ，2=∴d (4)分)1(21-+=∴n a n ，12-=∴n a n (5)分（2） n n n b 2)12(⋅-=， ……………6分n n n T 2)12(252321321⨯-++⨯+⨯+⨯=∴ ① 14322)12(2)32(2523212+⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T ②①-②得11432)12(2222++⨯--++++=-n n n n T ……………9分122)12(21282++⨯----+=n n n 122)12(282++⨯--+-=n n n )122(261+-+-=+n n )23(261n n -+-=+ ……………11分)32(261-+=∴+n T n n ……………12分18.（1）连结BD 交AC 与点O ，连结EO∵底面ABCD 为矩形 ∴O 为BD 的中点又∵E 为PD 的中点 ∴OE 为△PBD 的中位线，则OE ∥PB ………4分 又AEC OE 平面⊂，A E C PB 平面⊄∴PB ∥平面AEC ……………6分 （2）∵PB ∥平面AEC∴P 到平面AEC 与B 到平面AEC 的距离相等∴V P-AEC =V B-AEC =V E-ABC ……………8分又S △ABC =233121=⨯⨯,且E 到平面ABC 的距离为2121=PAAC=2，EC=2，AE=1， ∴S △AEC =47……………10分设P 到平面AEC 的距离为h ，则2123314731⨯⨯=⨯⨯h ，可得h =721 ∴P 到平面AEC 的距离为721……………12分 19.（1）()x x x n m x f cos sin 3sin 2-=⋅=PAB C DEx x 2sin 2322cos 1--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=62sin 21πx ……………3分 由()Z k k x k ∈+≤+≤+πππππ2236222，得)(326Z k k x k ∈+≤≤+ππππ ∴)(x f 的单调递增区间为)(32,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ ……………6分（2）()12cos 2162sin 62sin 2162sin =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+A A A A A f πππ ∴211cos 22cos 2-=-=A A 又A 为锐角，∴21cos =A ，3π=A …………9分S △ABC =32sin 21=A bc ， ∴8=bc ， 则bc bc c b A bc c b a --+=-+=2)(cos 2222225=∴5=a ……………12分 20.(1)∵)0,3(-A 在圆B 的内部 ∴两圆相内切，所以AC BC -=8，即AB AC BC >=+8∴C 点的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，且长轴长82=a ，4=a ，3=c ，79162=-=∴b ∴曲线T 的方程为：171622=+y x ……………4分（2）当直线MN 47==,72=OQ∴λπ7cos ||||=⋅⋅=⋅AN AM AN AM ，则167-=λ ……………5分当直线MN 斜率存在时，设),(11y x M ，),(22y x N ，MN:)3(+=x k y ，则OQ:kx y =，由⎩⎨⎧+==+)3(11216722x k y y x 得011214496)167(2222=-+++k x k x k ，则 222116796k k x x +-=+，2221167112144k k x x +-=⋅ ……………7分 ∴()()[]()[]222121221221167499333kk x x x x k x x k y y +-=+++=++= ()()222121167)1(4933k k y y x x AN AM ++-=+++=⋅ ……………9分 由⎩⎨⎧==+kx y y x 11216722得112167222=+x k x ，则22167112k x +=，∴()()222222216711121k k x k y x OQ ++=+=+=，由2OQ AN AM λ=⋅可解得167-=λ。
山西省2015届高三第四次诊断考试数学文试题 Word版含答案
山西省2014～2015学年度高三第四次诊断考试数 学 试 卷（文 科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设集合{}215x x A =-≥，集合x y ⎧⎫B ==⎨⎩，则A B 等于（ ）A ．()3,7B ．[]3,7C ．(]3,7D ．[)3,7 2、已知向量()2,1a m =，向量()1,8b =-，若a b ⊥，则实数m 的值是（ ）A ．4-B ．4C ．43D ．143、设sin 6a ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数()(),0,0xa x f x f x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则21log 6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值等于（ ）A ．14B ．4C ．16D ．64、若R m ∈，则“6l o g 1m =-”是“直线1:l 210x my +-=与2:l ()3110m x my ---=平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（ ）A ．1BCD 6、若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220l n l n l n a a a ++⋅⋅⋅+等于（ ）A ．50B ．25C ．75D ．1007、为得到函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将函数sin y x =的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度（m ，n 均为正数），则m n -的最小值是（ ）A ．3πB ．23πC ．43πD ．53π8、已知奇函数()f x 是R 上的单调函数，若函数()()2y f x f k x =+-只有一个零点，则实数k 的值是（ ） A ．14 B ．2 C ．23D ．1 9、在C ∆AB 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，若222b c a +-=，且b =，则下列关系一定不成立的是（ ）A ．a c =B ．b c =C ．2a c =D ．222a b c +=10、若实数x 、y 满足22030x y y ax y a +-≥⎧⎪≤⎨⎪--≤⎩，且22x y +的最大值等于34，则正实数a 的值等于（ ）A ．12B ．34C ．43D ．311、已知O 为原点，双曲线2221x y a-=（0a >）上有一点P ，过P 作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为A ，B ，平行四边形OBPA 的面积为1，则双曲线的离心率为（ ）ABCD12、已知函数()221ln f x x x a x =-++有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，则（ ） A ．()212ln 24f x +<- B ．()212ln 24f x -< C ．()212ln 24f x +>D ．()212ln 24f x -> 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、已知α为锐角，且3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α= ．14、若直线l 与幂函数n y x =的图象相切于点()2,8A ，则直线l 的方程为15、1by +=（其中a 、b 为非零实数）与圆221x y +=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且∆AOB 为直角三角形，则2212a b +的最小值为 ．16、点A ，B ，C ，D 在同一球面上，C AB =B =C 2A =，若球的表面积为254π，则四面体CD AB 体积的最大值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分10分）在C ∆AB 中，已知()sin sin sin A +B =A +B ()1求角B ；()2若4tan 3A =，求sin C 的值．18、（本小题满分12分）已知命题:p 方程22121x y m m -=-表示焦点在y 轴上的椭圆；命题:q 双曲线2215y x m-=的离心率()1,2e ∈，若p 、q 有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围．19、（本小题满分12分）数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n -=---，2n ≥且n *∈N ．()1证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； ()2设13n n b -={}n b 的前n 项和n S ．20、（本小题满分12分）如图，四棱锥CD P -AB 中，C//D B A ，C 1B =，D 3A =，C CD A ⊥，且平面CD P ⊥平面CD AB ． ()1求证：C D A ⊥P ；()2在线段PA 上，是否存在点E ，使//BE 平面CD P ？若存在，求PEPA 的值；若不存在，请说明理由．21、（本小题满分12分）如图，分别过椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）左、右焦点1F 、2F 的动直线1l ，2l 相交于P 点，与椭圆E 分别交于A 、B 与C 、D 不同四点，直线OA 、OB 、C O 、D O 的斜率1k 、2k 、3k 、4k 满足1234k k k k +=+．已知当1l 与x 轴重合时，AB =，CD 3=． ()1求椭圆E 的方程；()2是否存在定点M 、N ，使得PM +PN 为定值？若存在，求出M 、N 点坐标并求出此定值；若不存在，请说明理由．22、（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =，()()23x g x x ax e =-+-（a 为实数）．()1求()f x 在区间[],2t t +（0t >）上的最小值； ()2若存在两不等实根1x ，21,x e e ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使方程()()2x g x e f x =成立，求实数a 的取值范围．。